Đang tải... (xem toàn văn)
K lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)aK lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá ( Luận án tiến sĩ)a
1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu cá nhân tơi hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khác Tác giả Dương Quang Hòa Mục lục Trang Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 1.1 Các MD-nhóm MD-đại số 13 1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 19 1.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 22 Chương – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 2.1 Phân 26 2.2 Tôpô phân 29 2.3 Phân đo 30 2.4 Phân loại tôpô MD(5,4)-phân liên kết với MD(5,4)-nhóm 31 Chương – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 3.1 C*-đại số Connes liên kết với phân 40 3.2 Phép đặc trưng C*-đại số phương pháp K-hàm tử 50 3.3 K-lý thuyết phân 57 3.4 K-lý thuyết MD(5,4)-phân 59 KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN 78 Danh mục công trình tác giả 80 Tài liệu tham khảo 81 Phụ lục 85 Danh mục ký hiệu : Tổng trực tiếp : Tích tenxơ tích tenxơ ngồi , ■ : Kết thúc phép chứng minh Ad : Biểu diễn phụ hợp ad : Vi phân biểu diễn phụ hợp AutG : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G A : Tích xiên A G tác động Aã G , : Trường số phức, trường số thực C X : C*-đại số hàm phức liên tục X C0 X : C*-đại số hàm phức liên tục X triệt tiêu vô C0 : Đơn vị hoá C*-đại số C0 Cc H : Không gian hàm trơn H có giá compact, nhận giá trị phức Cc H , 1/ : Không gian nửa mật độ H C (V , F ) : C*-đại số Connes liên kết với phân (V , F ) Cc (G , A) : Không gian ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A End(G) : Không gian đồng cấu G exp : Ánh xạ mũ exp Ext ( B, J ) : KK nhóm Kasparov G : Đại số Lie nhóm Lie G Lie G G* : Không gian đối ngẫu đại số Lie G GL1 C S : Tập ma trận cấp khả nghịch với phần tử thuộc C S GL02 C S : – thành phần liên thông đường ma trận exp Mat2 C S đơn vị cấp với phần tử thuộc C S Index A : (Hệ) bất biến số C*-đại số A Ki ( A) : K i nhóm C*-đại số A K : C*-đại số toán tử compact không gian Hilbert vô hạn chiều tách L2 H x , 12 : Không gian nửa mật độ H x bình phương khả tích Matn A : Tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A P2 C S : P M2 C S2 – tập phần tử chiếu (projection) C*- đại số ma trận vuông cấp với phần tử thuộc C S Sn : Mặt cầu đơn vị n-chiều TV : Phân thớ tiếp xúc V : Không gian phân V,F : Không gian phân V , F V /F : Quỹ đạo Kirillov qua F F 1/ x x V G F : Phân thớ nửa mật độ V : FX | X G : Độ đo hoành (đối với phân lá) , : Cặp đồng cấu nối dãy khớp tuần hoàn thành phần MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xuất phát điểm vấn đề mà chúng tơi quan tâm tốn “Đi tìm lớp C*-đại số có khả đặc trưng phương pháp K-hàm tử” Năm 1943, I Gelfand A Naimark ([13]) đưa khái niệm C*-đại số Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng Tốn học Vật lý Tuy nhiên vấn đề mơ tả cấu trúc C*-đại số trường hợp tổng quát lại phức tạp tốn mở Năm 1975, theo gợi ý A A Kirillov việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số lớp nhóm Lie giải K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) thành công việc sử dụng K-hàm tử đồng điều Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff ) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực Năm 1976, J Rosenberg ([18]) sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C*-đại số C*(Aff ) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng phức C*-đại số vài nhóm Lie giải khác Trong cơng trình này, J Rosenberg gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số K-hàm tử BDF phương pháp Diệp (Diep’s method) Năm 1977, Đ N Diệp ([12]) cải tiến phương pháp để đặc trưng C*-đại số kiểu I mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, K-hàm tử BDF dường khơng thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp C*-đại số phức tạp Từ đó, cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn sau: Vấn đề 1: Tổng quát hóa K-hàm tử BDF theo cách để đặc trưng lớp rộng C*-đại số Vấn đề 2: Đi tìm khảo sát lớp rộng C*-đại số lớp nhóm Lie mà C*-đại số chúng có khả đặc trưng K-hàm tử mở rộng Năm 1980, G G Kasparov ([14]) nghiên cứu vấn đề thứ thành công việc tổng quát hóa K-hàm tử BDF thành K-song hàm tử tốn tử (còn gọi KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như áp dụng đầu tiên, Kasparov sử dụng KK-hàm tử để đặc trưng thành cơng C*đại số C*(H3) nhóm Heisenberg H3 Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với C*-đại số có cấu trúc phổ (tức không gian lớp tương đương unita biểu diễn bất khả quy với tôpô cảm sinh từ tôpô Jacobson) không phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ đồng với đối ngẫu unita nhóm (tức khơng gian lớp tương đương unita biểu diễn unita bất khả quy nhóm) Đặc biệt nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy tập đối ngẫu unita nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) Do đó, việc chọn lớp nhóm Lie có khơng gian K-quỹ đạo khơng q phức tạp cho phép ta đặc trưng C*-đại số nhóm chúng phương pháp K-hàm tử Dựa ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đề nghị xét lớp C*-đại số MD-nhóm Lớp đơn giản phương diện phân tầng K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số chúng đặc trưng nhờ KK-hàm tử Giả sử G nhóm Lie thực giải n chiều (n số nguyên dương) G gọi MDn-nhóm K-quỹ đạo khơng chiều có chiều số k (chẵn) khơng vượt q n Khi k n G gọi MDn -nhóm Đại số Lie(G) MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) gọi MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số) Rõ ràng lớp MD lớp MD Đến đây, toán lớn đặt là: “Phân loại MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số MD-nhóm tương ứng phương pháp K-hàm tử” Năm 1984, H H Việt ([35]) phân loại triệt để MDn -đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán n , đại số Lie affine thực Lie(Aff ) đại số Lie affine phức Lie(Aff ) Ngay sau đó, H H Việt dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C* Aff phủ phổ dụng Aff nhóm affine phức Aff Như vậy, với kết có trước Đ N Diệp J Rosenberg, việc nghiên cứu lớp MD -đại số MD -nhóm xem giải triệt để Bài toán tương tự MD-đại số MD-nhóm tốn mở Ngoài ra, phân tầng đơn giản K-quỹ đạo lớp MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: MD-nhóm, họ K-quỹ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo theo nghĩa A Connes ([8]) Các phân gọi MD-phân liên kết với MDnhóm xét Đối với phân V , F tùy ý, tốn quan trọng “tơpơ phân lá” nghiên cứu không gian (hay vắn tắt khơng gian lá) phân Tuy nhiên, đáng tiếc khơng gian V F thường có tơpơ khơng Hausdorff, ta khơng thể định nghĩa K-lý thuyết không gian (theo nghĩa thông thường) Đây trở ngại lớn nghiên cứu tôpô phân Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đề ý tưởng thay C0 V F C * V , F , mà từ Connes định nghĩa: Ki V F Ki C * V , F , i 0,1 Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết không gian phân (hay vắn tắt K-lý thuyết phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc C*đại số Connes C * V , F liên kết với phân (hay vắn tắt C*-đại số phân lá) Kể từ cơng trình [8] A Connes, việc nghiên cứu C*-đại số phân K-lý thuyết phân trở thành hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học khơng giao hốn A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 kỷ trước Vấn đề đặt là: “Liệu C*-đại số phân có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?” Đáng ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) dùng KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số phân Reeb xuyến chiều số phân mặt cầu đơn vị S3 Kết hợp hai hướng nghiên cứu làm nảy sinh toán “Nghiên cứu K-lý thuyết không gian MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số MD-phân phương pháp K-hàm tử” Năm 1990, L A Vũ ([2]) thành công việc nghiên cứu toán lớp MD4-phân Những kết ban đầu đạt lớp MD-phân tạo nên động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu Trường hợp mà nghĩ đến tiếp tục tốn với số chiều cao hơn, để từ làm sở cho việc phát triển công cụ cần thiết nhằm giải toán trường hợp tổng quát Ý tưởng dẫn đến đề tài “K-lý thuyết không gian lớp MD5-phân lá” tác giả hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ Mục đích đề tài Mục đích đề tài “Nghiên cứu K-lý thuyết không gian lớp MD5-phân tạo thành từ họ K-quỹ đạo chiều cực đại lớp MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số phân phương pháp K-hàm tử” Cụ thể sau: Trên sở định lí phân loại MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hốn L A Vũ K P Shum, mô tả K-quỹ đạo lớp MD(5,4)-nhóm, tức MD5-nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số tương ứng chúng có ideal dẫn xuất (giao hốn) chiều Phân loại tơpơ MD(5,4)-phân tương ứng, tức MD-phân tạo thành từ họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD(5,4)nhóm xét Nghiên cứu K-lý thuyết không gian MD(5,4)-phân đặc trưng C*-đại số phân phương pháp K-hàm tử Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu lớp MD5-phân tạo thành từ họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm tương ứng Cụ thể, chúng tơi xét tốn mơ tả K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân 10 Tiếp theo, xem xét MD(5,4)-phân liên kết với MD(5,4)-nhóm xét Cuối cùng, xét C*-đại số Connes liên kết với phân khảo sát toán đặc trưng C*-đại số MD(5,4)-phân phương pháp K-hàm tử Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài, áp dụng số kỹ thuật phương pháp sau: Trước hết, dùng số kỹ thuật phương pháp quỹ đạo Kirillov ([15]), đặc biệt phương pháp mô tả Kquỹ đạo L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm Tiếp theo, chúng tơi dùng số kỹ thuật lý thuyết tôpô phân Cuối cùng, sử dụng kỹ thuật K-lý thuyết C*-đại số, đặc biệt phương pháp đặc trưng C*-đại số phân KK-hàm tử nêu tài liệu [22] A M Torpe tài liệu [2] L A Vũ với vài cải tiến cho thích hợp Ý nghĩa khoa học đề tài Đề tài góp phần lớp C*-đại số thích hợp với phương pháp Khàm tử (Vấn đề 2), lớp C*-đại số Connes liên kết với MDphân Ngoài ra, kết đề tài đóng góp cho thể hiện, minh họa Hình học khơng giao hốn nói chung, hướng nghiên cứu K-lý thuyết không gian phân nói riêng lớp phân cụ thể Vì thế, kết đề tài có ý nghĩa khoa học ... – K- LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 3.1 C*-đại số Connes liên k t với phân 40 3.2 Phép đặc trưng C*-đại số phương pháp K- hàm tử 50 3.3 K- lý thuyết phân 57 3.4 K- lý thuyết. .. nghiên cứu không gian (hay vắn tắt khơng gian lá) phân Tuy nhiên, đáng tiếc không gian V F thường có tơpơ khơng Hausdorff, ta khơng thể định nghĩa K- lý thuyết không gian (theo nghĩa thông thường)... toán trường hợp tổng quát Ý tưởng dẫn đến đề tài K- lý thuyết không gian lớp MD5- phân lá tác giả hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ Mục đích đề tài Mục đích đề tài “Nghiên cứu K- lý thuyết không gian lớp