Tích phân Kiến thức Công thức Niutơn Laipnit Laipnit: Cho F(x) nguyên hàm hàm f(x) đoạn a; b Ta cã: b b a f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a ) a b Chó ý: TÝch ph©n f ( x)dx chØ phơ thc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số a tích phân Vì ta cã thÓ viÕt: b F(b) – Laipnit F(a) = b b ( f ( x)dx f (t )dt f (u )du  a a a C¸c tÝnh chất tích phân Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục khoảng K a,b,c ba ®iĨm cđa kho¶ng K Ta cã: a * TÝnh chÊt 1: f ( x)dx 0 a b * TÝnh chÊt 2: a f ( x)dx  f ( x)dx a b b * TÝnh chÊt 3: b kf ( x)dx k f ( x)dx, k  R a a b * TÝnh chÊt 4: b a a b * TÝnh chÊt 5: b  f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx c a b f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx a a c b * TÝnh chÊt 6: NÕu f(x) 0, x   a; b  f ( x)dx 0 a b * TÝnh chÊt 8: NÕu f ( x)  g ( x), x   a; b  b f ( x)dx g ( x)dx a a b * TÝnh chÊt 9: NÕu m  f ( x)  M , x   a; b  m(b  a)  f ( x)dx M (b  a) a Bài toán Tích phân hàm số đa thức hữu tỷ I Kiến thức áp dụng C«ng thøc 1:  x dx  x  1  C.,  1 (   1) x dx ln x  C.; II VÝ dô minh hoạ Công thức 2: Ví dụ Tính tích ph©n sau a ) I  ( x x 5) dx Bài giải  x4  13  x  x  10 = ;   a) I1 =  3x  b) I   dx x 1 )dx  x  ln( x  1) 13 6  ln x 1 b) I2 = (3  VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: I = x dx  Bµi gi¶i 1 1 x (  )dx  ln  ln  x x2 x2 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: dx x2  a) I  b) J   dx; 2 x  6x  ( x  x  1)( x  x 1) Bài giải 1 1 x a) I = ( ;  )dx  ln  ln x x7 x7 1 d (x  1 2 x) 1 1  x b) J =  dx     ln( x   1)  ln( x   3)  12  (ln  ln 5) 1 1 2 x x 2  (x  (x   3)( x   1)  3)( x   1) x x x x x  11 VÝ dô §HSP.TPHCM-2000:TÝnh tÝch ph©n sau: I =  dx ; x 5x Bài giải 1 4( x  2)  1   C¸ch 1: I =  dx   3(  ) dx   ln(x  3)  ln(x  2) 10 ln  ln ( x  2)( x  3) x 3 x 2 x 3  0 Cách 2: (Phơng pháp hệ số bất định) x 11 a b Đặt: , x   2; x  x  ·x  x  x  11 a ( x  3)  b( x  2) (a  b) x  3a  2b    ( x  2)( x  3) x  5x  x  5x  a  b  a 3  3a  2b 11  b 1 ; Ta cã: I = Khi ®ã: I = (  )dx  ln( x  2)  ln( x  3) x 2 x 3 ln  ln 2 VÝ dụ ĐHYHN-2000 Tính tích phân sau: I = x2 dx ;  x  x  12 Bài giải Cách Phân tích: 2 x  x  12  7( x  3)  1   I=  dx  1   9(  ) dx ( x  )( x  ) x  x  x    1 =  x  16 ln x   ln x   1  16 ln  ln Cách (Phơng pháp hệ số bất định) Đặt: a   x2 a b 1      x· x  x x 12 b 16 (Bạn đọc tự làm) Ví dụ ĐHNT-2000 Tính tích phân sau: x  3x  dx x2  x a) I Bài giải x  3x  10 b) J   dx x  2x  a) I = (1  b) J = (1  2x  )dx  x  ln( x  x  1) 02 2  ln x  x 1   x 1 1   )dx   x  ln( x  x  9) 10 1  ln 2 x  2x    VÝ dơ 7.§HNT-1999 TÝnh tÝch ph©n sau: I = ( x dx x 2) Bài giải 1   1 2 I = (  ) dx     dx 2 x 1 x  ( x  1)( x  2)  ( x  2) 0  ( x  1) 1 1 x 1  1 1 4 =    ln  1     ln   ln  x 1 x2 x  2 2 3 1 VÝ dơ §HTN – Laipnit 2001 TÝnh tÝch ph©n sau: I = x x dx x Bài giải 1 1 1 ) x  1 1 d ( x  x x x   ln x Ta cã: I =  dx   dx   1 1 (x  (x  x2  )2  )2  x  1 1 x x x x 1 1 III Bài tập áp dụng x dx ; 1) A   (1  x ) dx B  ;  x  3x  2 ( x  x  2.dx ; 2) A   x3 1 x dx B  ; 10 ( x  1) ( x  10 x  16 x  1).dx C  ; x  5x  1 dx D  ; 2 ( x  3) ( x  1) ( x  x  x  6).dx (7 x  4)dx ; B  ; 3) A   x  5x  6x 1  x  3x  2 dx dx ; B  ; 4) A   2 x  2x  x x  4x  ( x  x  x  1).dx x dx A  ; B  ; 5)   x4  x3 ( x  4) dx ; 6) A  x ( x  1) (1  x ).dx B  ; x.( x  1) 3x  I  dx 7) (C§SP HN 2000):   x dx 8) (§HNL TPHCM 1995) I   x  5x  x dx 9) (§HKT TPHCM 1994) I   (1  x ) 1  ( x  x  10 x  1).dx x  2x  10) (§HNT HN 2000) I   (4 x  11).dx x  5x  11) (§HSP TPHCM 2000) I   3.dx x3 1 12) (§HXD HN 2000) I   dx x  4x  13) (§H M§C 1995 ) I   14) (§HQG HN 1995) Xác định số A,B,C để 3x  3x  A B C    TÝnh x x2 x  3x  ( x  1) 3x  3x  I  dx x  3x  x dx 15) (§HTM 1995) I   x 1 (1  x ).dx 16) (ĐH Thái Nguyên 1997) I x 1 HD : t  x x x2 A B ( x  2)   dx 17) Xác định số A,B để Tính I   ( x  1) ( x  1) x  ( x  1) x dx x  x  13 18 ) A   ; B  dx;  x  x3  ( x  2)( x  1) 3 Bài toán Phơng pháp đổi biến số Dạng Đặt x = u(t) * x = tant, t     * x = sint, t      ; 2    ;  2 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n : I =  x dx; Bài giải ; 2 Đặt x = 3sint, t    *x=0  t=0  *x=3  t=  9  x dx  9(1  sin x) cos xdx 9 cos xdx  (1  cos x)dx   I = (1  cos x)dx =  ( x  sin x) 2  = 9 4 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: I = 4x x dx Bài giải I=   ( x  x  4) dx    ( x  2) dx;    ; 2 Đặt x -2 = 2sint, t    *x=0  t=0  *x=3  t=   ( x  2) dx  4(1  sin x) cos tdt 2 cos tdt (1  cos 2t ) dt   I = (1  cos 2t )dt   a 2 , a  Ph¬ng pháp : Đặt x = asint Tổng quát :  a  x dx  a Ví dụ ĐHSP1-2000 Tính tích phân : I = x a  x dx; víi a > 0 Bài giải ; 2  *x=0  t=0  *x=a  t= Đặt x = asint t 4  x2 a  x dx a sin t a (1  sin t ) a cos tdx a sin t cos tdx  a sin 2tdt  a (1  cos 4t )dt  I= a  (1  cos 4t )dt  a 4 16 VÝ dô TÝnh tÝch ph©n : I = 5  x dx Bài giải ; 2 tant, t Đặt x = *x=0  t=0 *x=   5  x   t= dx   a  Tỉng qu¸t : x 2  (1  tan t ) 5 dt   5dt   tan t a dx  , a a Phơng pháp : Đặt x = atant VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau 1 dx a) I  x  x 1 b) HVTC  2000 : J   xdx ; x  x 1 Bài giải a) I = dx (x  )     Đặt x+ tan t t   ;  2 2  *x=0  t= *x=1  t=    (1  tan t ) dx 3  I=   dt  dt   12  tan t   (x  )2  6 b)Đặt x2 + tan t (Làm tơng tự) Ví dơ TÝnh tÝch ph©n sau : I =  x dx x4 Bài giải ; 2 Đặt x2 = sint, t   *x=0  t=0 *x=  xdx = cosxdx ;  I=  1 1 x  2  sin x  t   cos x  xdx 1 x  dx  2 dx 12 b VÝ dô HVKTQS – Laipnit 2001 TÝnh tÝch ph©n sau: I = Híng dÉn : §Ỉt x = a  x2 dx; a, b  2  (a  x ) a tan t a x a (1  tan t ) cos 2t dx  a dt   dt 2 2 2 (a  x ) a (1  tan t ) cos t a b  I = = a b2 Dạng Đặt t = u(x) Ví dơ TÝnh tÝch ph©n sau : a) I (3x  2)( x  1) dx b) DHL.TPHCM  2001 : J x  x dx Bài giải a) Đặt t = x+1 * x=0 , t = vµ x = 1, t =  x = t – Laipnit  dx = dt 3t t  I = (3t  1)t dt (  )1 b) Đặt t = x * x =  t = *x=1  t=0  x3 = – Laipnit t2  2tdt  x2 dx =  x  x dx (1  t ).t  2t dt   (t  t )dt 3 2 t t (t  t )dt  (  )  30  I= VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: I = 1 30 dx x Bài giải Đặt t =  = *x=1  t=2 *x=9  t=4 x Khi ®ã x = t2 -2t +  dx = (2t -2)dt  I = (2  dx  1 x  2t  dt t )dt ( 2t  ln t ) 42 4  ln t Ví dụ ĐHK.A-2004 Tính tích phân sau: I = xdx Bài giải Đặt t =  x *x=1  t=1 *x=2  t=2  x = t2 – Laipnit 2t +  dx = (2t-2)dt  I= 2 (t  2t  2)(2t  2) 2t  6t  8t  4 2t 11 dt  dt  ( t  t   ) dt  (  3t  8t  ln t ) 12   ln    t t t 3 1 x VÝ dô Tính tích phân sau a)ĐHK.A-2003 : I = x Bài giải a) Đặt t = x  4 dx dx b) DHAN  1999 : J   7x x 9 x2  2 c) K  x dx x 1 *x=  t=3 * x=  t =  x2 = t2 -4  xdx = tdt  xdx x  x 4 tdt 1  (  )dt (t  4).t t  t  2 1 1 t (  )dt  ln  ln  t  t 2 t 2 I= b) + c) Làm tơng tự ln VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau : I = Bài giải Đặt t = e x dx ex  *x=0  t=2 * x = ln2  t = dx  ex = t2 – Laipnit  exdx = 2tdt   I= ( t  2  t )dt  x e 7 ln t  e x dx e t x x e 7 2   2tdt 1  (  )dt (t  7).t t t (ln 3 3  ln 2 2 ) ln e VÝ dô ĐHK.B-2006 Tính tích phân sau : I = ln x dx  2e  x  Bµi giải Đặt t = ex * x = ln3 t = * x = ln4  t = dx e x dx dt 1 xdx dt = e   x  e x  3e x   (  )dt x t t1 e  2e  t  3t   I = ( 1 t  )dt ln t t1 t1 ln VÝ dô TÝnh tÝch ph©n sau : ln 1 ex dx b) HVQY – Laipnit 97 : I = a) §HTM-97 : I =  x 1 e ln ln  1 e x dx c) §HBK – Laipnit 2000 : I = Hớng dẫn Đặt t = ex, làm tơng tự nh VD5, VD6 e Ví dụ ĐHHH Laipnit 98 Tính tích phân : I = x Bài giải Đặt t =  ln x ln x  ln x dx *x=1  t=1 *x=e  t= dx 2tdt   lnx = t2 – Laipnit  ln x x x  ln x dx  t2  2tdt ( 2t  2) dt t 2t 4 2  2t )  3 VÝ dô TÝnh tÝch ph©n sau: e  ln x ln x dx b) HV CTQG.TPHCM – Laipnit 1999: J = a) §H.K.B – Laipnit 2004.: I =  x  I= (2t  2)dt ( e ln x.3  ln x dx ;  x Bài giải a) Đặt t = ln x *x=1  t=1 *t=e  t=2 2  lnx = t   dx  2tdt   ln x ln x dx t t  2tdt  (t  t )dt x x 3 2 t t 31 116 ; (t  t ) dt  (  ) 12  (  )   91 9 135 b) Làm tơng tự I= Bài tập áp dụng 2a 1) A  x 15  x dx; B  x 2a  x dx(a  0) a 2) dx A  x a  x dx; B   x) x (1  ( a  0)  e2x 1 ex dx 3) A   1 dx x  x 1 dx ; B  ( x  1)( x  2) 4) A   1  x dx dx ; B  x x  x2 1 2 dx 5) A   x x  2 ; B x  1.dx x x dx dx 6) A  ; B  3  2x 1 x 1 0 3 dx ( x   2)dx ; (*)B   8 x 1 x x  2x   x 1 7) A   8) (*) A  3 1 x  dx ; x  x 1 9) A   x dx; B   x  x  dx C  1 x 1 1 x2 dx; D   dx x x2 x dx 10) (HVNH THCM 2000) I   x  x2 1 11) a)(§H BKHN 1995) I   dx x x  dx b) (HVKTQS 1998) I   1 dx 12) (§HAN 1999) I    x  x2 1 x x  13) (§HQG HN 1998) I  x  x dx 14) (§HSP2 HN 2000) I   1 dx x x  ( x  1).dx x 1 15) (§HXD HN 1996) I   16) (§HTM 1997) I   x dx 1 x2 17) (§HQG TPHCM 1998) I   x.dx 2x Bài toán Phơng pháp tích phân phần I Công thức tích phân phần Ta cã: b b b udv uv a  vdu a a II Phơng pháp giải toán b f ( x)dx Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = a Phơng pháp chung: Bớc 1: Biến đổi TP vỊ d¹ng: I = b b f ( x)dx = f a ( x) f ( x ) dx a u  f ( x ) du    v dv  f ( x ) dx Bớc 2: Đặt: Bớc 3: Khi đó: I = b b b udv uv a  vdu a a VÝ dơ §HK.D – Laipnit 2006: TÝnh tÝch ph©n sau: I = 2)e x dx ( x Bài giải Đặt: du dx u  x      2x 2x v  e dx dx dv e    I= ( x  2) e x 1  1` x 1  3e e dx  (  e  2)  e x 10   2 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: 1 a ) DHHH  99 : I (2 x  x  1)e x dx b)CDGT  2004 : J (4 x  x  1)e x dx Híng dÉn: Tõng phÇn lÇn VÝ dơ TN.THPT-2008: TÝnh tÝch ph©n sau:  I (2 x 1) cos xdx Bài giải §Ỉt: u 2 x  du  2dx    dv cos xdx v sin x   I = = ((2x-1)sinx + 2cosx) ( VÝ dô §H KT – Laipnit 2001 TÝnh tÝch ph©n sau: I =  2 =   )3 sin x dx Bài giải Đặt t = x *x=0  t=0  * x = ( )3  t     x = t3  dx = 3t2dt  I 3t sin t.dx Bạn đọc tự giải( Từng phần lần) Ví dụ ĐHK.D-2004 TÝnh tÝch ph©n sau : I = ln( x Bài giải x ) dx Đặt: 2x   u ln( x  x ) dx du    x  x  dv dx  v  x 2x  dx 3 ln  ln  (2 x  ln( x  1)) x  I = xln(x2-x) 32   = ln216 - ln4 – Laipnit – Laipnit ln2 = ln27 – VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n : e a)§H K.D – Laipnit 2007: I = 10 x ln xdx b) §HL.TPMCM : J = Bài giải a) Đặt : x ln x  I= x lg xdx ln x  dx du   u ln x  x     dv  x dx v x Đặt : e e   du1  dx u1 ln x    x    x dx dv1  v  x    x ln x e4 dx   I1   x ln x I1 = e e  x3 e4 8 dx   b) Làm tơng tự Ví dụ Tính tích phân sau :  a) I = e x sin xdx Hớng dẫn a) Từng phần lần, đặt : b) Làm tơng tự b) J e x cos xdx; u e x ;  dv sin xdx u1 e x ;  dv1 cos xdx Ví dụ CĐSP.Tây Ninh Laipnit 2003 Tính tÝch ph©n sau : e a) I  cos(ln x)dx; e b) J  sin(ln x)dx ; Híng dẫn Đặt : t = lnx phần lần Bài tập áp dụng Tính tích phân sau: e 1/ I = x ln xdx 2/ (CĐSP Hà Nam A2004) T= x tan xdx  3/.(C§ KTKT I - 2005) T = e3x sin5 xdx  e ln x dx 4/.(CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T = x2  e4  32  I = 5e  32  T = x.sin x dx  sin x.cos2 x 5/.(C§ SP STrB 2005) 6/ .(C§ SP VÜnh Long A05) T= e x ln xdx 2 T = x.cos x dx 7/ (CĐ CN Hà Nội 2005) 8/.(C§ SP QNam05) T = x(e x  x 1)dx 9/ (CĐ Y tế ThHoá05) T= ln2 x2  x e dx 10/ (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002) T104 ln(1  tan x) dx 10 T107  x lg xdx 11/ (ĐH Luật, Dợc 01-02) 1 2 12/ a) ( x  3)e x dx b) ( x  x)e  x dx c) ln( x  10 x)dx 0 d ) (4 x  3) ln xdx e) (6 x  4) ln xdx Bài toán Tích phân hàm số lợng giác Ví dụ : Tính tích phân sau 1)    dx tan x.dx A  ; B   sin x  cos x  cos x  sin x.cos x  tan x.dx 2) A   ; B  ( cos x  cos x  Bµi tËp sin x ).dx  3) A  ( x  sin x ) dx ; B  sin x cos 2 x.dx    cos x 0  4) A  x cos x.dx ;   sin x 1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh :   sin x.dx sin x.dx I  ; va J   4  sin x cos x  2) (§HSP TPHCM 1995) Cho f ( x)  sin x sin x  cos x  cos x  sin x    cos x  sin x  a) T×m A,B cho f ( x)  A  B  b) TÝnh I  f ( x ).dx  3) (§HGTVT TPHCM 1999) a) CMR   cos x.dx sin x.dx  4 4   cos x  sin x cos x  sin x  cos x.dx b) TÝnh I  4  cos x  sin x  4) (§HTS 1999) TÝnh : I  sin x cos x.(1  cos x) dx   dx 5) (§HTM HN 1995) TÝnh I   cos x  6) (HVKTQS 1999):TÝnh I  sin x.dx   cos x  7) (§HNN1 HN Khèi B 1998) I  cos x.dx   cos x  8) (§HQGHN Khèi A 1997) I  sin x.dx   cos x   sin x  cos x 9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh I   dx sin x  cos x   10) (§HQG TPHCM 1998) I  cos x sin x.dx   11) (HVNH TPHCM 2000) I  sin x.dx   cos x sin x (2  sin x) A cos x B cos x a) Tìm A,B để h( x)  (2  sin x) 2  sin x 12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số h( x)  b) TÝnh I  h( x ).dx    13) (§HBK HN 1998) I  cos x.(cos x  sin x).dx   14) (HVNH TPHCM 2000) I  ( x  sin x).dx  cos x ... (§HTM 1997) I   x dx 1 x2 17) (§HQG TPHCM 1998) I x.dx 2x Bài toán Phơng pháp tích phân phần I Công thức tích phân phần Ta có: b b b udv uv a vdu a a II Phơng pháp giải toán b f ( x)dx... c) ln( x  10 x)dx 0 d ) (4 x  3) ln xdx e) (6 x  4) ln xdx Bài toán Tích phân hàm số lợng giác Ví dụ : Tính tích phân sau 1) dx tan x.dx A  ; B   sin x  cos x  cos x  sin x.cos... 1   x 1 1   )dx   x  ln( x  x  9) 10 1  ln 2 x  2x    Ví dụ 7.ĐHNT-1999 Tính tích phân sau: I = ( x dx  x  2) Bài giải 1 1 2 I = (  ) dx     dx 2 x 1 x  ( x  1)(