LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Trong q trình học tập, đặc biệt suốt q trình làm khóa luận nhận dạy dỗ ân cần động viên, bảo, tạo điều kiện Quý thầy, cô giáo tham gia giảng dạy, công tác trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới Quý thầy, giáo tổ Giải tích, khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Quý thầy, giáo giảng dạy tồn khóa học Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Xuân Hòa, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Nga LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luận tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán với đề tài "Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass" hoàn thành nhận thức thân, khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, tơi thừa kế thành tựu nhà khoa học với lòng trân trọng biết ơn sâu sắc Xuân Hòa, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Nga Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1.Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa không gian metric 1.1.2 Sự hội tụ không gian metric 1.1.3 Lân cận, tập đóng, tập mở 10 1.1.4 Phần trong, bao đóng 11 1.1.5 Ánh xạ liên tục không gian metric 12 1.1.6 Không gian metric compact 13 1.2 Không gian topo 15 1.3 Không gian định chuẩn 16 1.4 Một số khái niệm đại số 19 Chương 2.Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass 21 2.1 Định lý xấp xỉ Weierstrass 21 2.1.1 Đa thức Bernstein 21 2.1.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885) 22 2.2 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass 26 2.2.1 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass tập compact 26 2.2.2 Định lý Stone-Weierstrass tập compact địa phương 32 2.2.3 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass tập số phức 34 Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass 2.3 Ứng dụng 36 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Nguyễn Thị Huyền Nga K36B - Sư phạm Tốn MỞ ĐẦU Năm 1885, Weierstrass cơng bố kết “Mọi hàm số liên tục xác định khoảng đóng [a, b] xấp xỉ hàm đa thức” Đến năm 1937, nghiên cứu đại số hàm liên tục không gian Hausdoft compact, Marshall H Stone mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass Trong đó, Ơng thay đoạn [a, b] tập compact tập compact địa phương đa thức thay phần tử đại số thỏa mãn số tiên đề cho trước Để ghi nhận cơng lao hai nhà Tốn học trên, người ta đặt tên định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass định lý xấp xỉ Stone Weierstrass Hiện nay, có nhiều tài liệu đề cập đến định lý xấp xỉ Stone Weierstrass, phạm vi khóa luận, tơi tiến hành nghiên cứu định lý xét tập compact, tập compact địa phương, tập số phức ứng dụng Từ đó, phần hồn thiện kiến thức Giải tích Tốn học cho thân, đồng thời giới thiệu cho bạn sinh viên nhìn sâu sắc định lý xấp xỉ Stone Weierstrass Vì lý trên, với góp ý động viên tận tình giúp đỡ thầy cơ, đặc biệt thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn với đam mê thân, mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass" Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận tơi gồm hai chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Chương hệ thống lại kiến thức sở không gian metric compact, không gian topo, không gian định chuẩn, khái niệm Đại số, Đại số Banach Chương Định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass Trong chương này, nghiên cứu định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass xét không gian Hausdoft compact tìm hiểu ứng dụng định lý Mặc dù khóa luận hồn thành với đam mê cố gắng thân, song trình độ thời gian có hạn, nên trình viết trình in ấn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì vậy, tơi mong đóng góp ý kiến Q thầy, bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Nguyễn Thị Huyền Nga K36B - Sư phạm Toán Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa không gian metric Trong Tốn học, khơng gian metric tập hợp mà khái niệm khoảng cách phần tử định nghĩa Không gian metric gần với hiểu biết trực quan người không gian Euclide ba chiều R3 Metric Euclide (khoảng cách) hai điểm không gian Euclide R3 độ dài đoạn thẳng nối chúng Bây giờ, ta tìm hiểu cụ thể khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Không gian metric tập hợp X , cho với x, y ∈ X xác định số d(x, y), gọi khoảng cách x y thỏa mãn tiên đề: i) Xác định dương, có nghĩa với x, y ∈ X, d(x, y) ≥ Dấu xảy x = y ii) Đối xứng, có nghĩa với x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x) iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa với x, y, z ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Ta kí hiệu khơng gian (X, d) với tập X metric (khoảng cách) d Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Ví dụ 1.1 (Các không gian metric thông thường, xem [2]) i) Không gian R không gian metric với metric d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R ii) Không gian Rn không gian metric với metric n (xi − yi )2 d(x, y) = i=1 với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn iii) Cho X tập Đặt    1, x = y d(x, y) =   0, x = y, xác định metric X gọi metric rời rạc ∞ iv) Xét lp = {x = (x1 , x2 , , xn , ) : |xn |p < ∞} với metric n=1 ∞ |xn − yn | dp (x, y) = p p , n=1 x = (x1 , x2 , , xn , ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ lp Khi đó, khơng gian (X, dp ) không gian metric v) Xét C[a,b] gồm tất hàm liên tục đoạn [a, b] Trên X ta xác định metric d∞ (x, y) = max |x(t) − y(t)|, x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] a≤t≤b Khi đó, khơng gian (C[a,b] , d∞ ) lập thành không gian metric 1.1.2 Sự hội tụ không gian metric Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]) Cho (X, d) không gian metric Phần tử x ∈ X gọi giới hạn dãy phần tử {xn } ⊂ X Nguyễn Thị Huyền Nga K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass (kí hiệu xn → x, n → +∞ lim xn := x) d(xn , x) → n→+∞ n → ∞, có nghĩa với > nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 > cho với n > n0 ta có d(xn , x) < Một số tính chất đơn giản i) Giả sử dãy {xn } dãy phần tử không gian metric X Nếu dãy {xn } hội tụ hội tụ đến phần tử Thật xn → x xn → y , n → +∞ ≤ d(x, y) ≤ d(xn , x) + d(xn , y) → 0, n → ∞ Do d(x, y) = hay x = y ii) Metric d(·, ·) hàm liên tục theo hai biến Thật vậy, với x, y, z, u ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ d(x, z) + d(z, u) + d(u, y) Suy ra, d(x, y) − d(z, u) ≤ d(u, y) + d(x, z) Đổi vai trò x, y, z, u ta có d(z, u) − d(x, y) ≤ d(u, y) + d(x, z) Như |d(z, u) − d(x, y)| ≤ d(u, y) + d(x, z) Từ z → x, u → y |d(z, u) − d(x, y)| ≤ d(u, y) + d(x, z) → (n → ∞) iii) Giả sử dãy {xn } gồm phần tử không gian metric X , hội tụ đến x (X, d), {xnk } dãy dãy {xn } Khi đó, dãy {xnk } hội tụ đến x (X, d) Thật vậy, d(xnk , x) ≤ d(xnk , xn )+d(xn , x) Ta có lim d(xnk , xn ) = lim d(xn , x) = nk ,n→∞ n→∞ Suy ra, xnk → x nk → ∞ Nguyễn Thị Huyền Nga K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass 1.1.3 Lân cận, tập đóng, tập mở Định nghĩa 1.1.3 (xem [2]) Cho (X, d) không gian metric, x0 ∈ X số thực dương r Tập hợp tất phần tử X cách x0 khoảng nhỏ r, gọi hình cầu mở tâm x0 bán kính r, kí hiệu S(x0 , r), hay S(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} Tương tự, tập hợp tất phần tử x cách x0 khoảng không lớn r, gọi hình cầu đóng tâm x0 bán kính r, kí hiệu S(x0 , r), hay S(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r} Định nghĩa 1.1.4 (xem [2]) Cho A tập không gian metric (X, d) Tập A gọi lân cận điểm x ∈ X tồn số > cho S(x, ) ⊂ A Định nghĩa 1.1.5 (xem [2]) Cho không gian metric (X, d), x ∈ X A tập X i) Điểm x gọi điểm tập A tồn lân cận mở x nằm A, hay tồn số > cho S(x, ) ⊂ A ii) Điểm x gọi điểm tập A tồn lân cận x không chứa điểm thuộc A, hay tồn số > cho S(x, ) ⊂ X\A iii) Điểm x gọi điểm biên tập A lân cận x chứa điểm thuộc A điểm không thuộc A, hay số > ta có S(x, ) ∩ A = ∅, S(x, ) ∩ (X\A) = ∅ iv) Điểm x gọi điểm dính tập A với lân cận x chứa điểm thuộc A, hay với số > ta có S(x, ) ∩ A = ∅ Nguyễn Thị Huyền Nga 10 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass hay Bn (·, f ) − f (·) < Do ξ ta chọn đoạn [0, 1] nên Bn (·, f ) hội tụ đến hàm f (·) đoạn [0, 1] Đây điều phải chứng minh 2.2 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass 2.2.1 Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass tập compact Định nghĩa 2.2.1 (Đại số đơn vị, tách điểm, xem [9]) Cho X không gian metric compact, xét đại số Banach C(X, R) := {f : X → R| f hàm liên tục } trang bị chuẩn f := sup |f (t)| Khi đó, t∈X i) Tập A ⊂ C(X, R) đại số đơn vị ∈ A f, g ∈ A α, β ∈ R ta có αf + βg ∈ A f g ∈ A ii) Tập A ⊂ C(X, R) tách điểm X với s, t ∈ X s = t, tồn f ∈ A cho f (s) = f (t) Định nghĩa tổng quát cách thay X không gian metric compact X không gian topo Chú ý 2.2.1 (xem [9]) i) Từ định nghĩa ta có, A đại số đơn vị hàm phần tử A ii) Cho P ([a, b], R) không gian đa thức từ [a, b] → R dễ dàng kiểm tra P ([a, b], R) đại số đơn vị tách điểm Định nghĩa 2.2.2 (xem [9]) Cho tập S ∈ C(X, R) dàn với f, g ∈ S , f ∨ g ∈ S f ∧ g ∈ S Trong đó, i) (f ∨ g)(x) := max(f (x), g(x)), x ∈ R; ii) (f ∧ g)(x) := min(f (x), g(x)), x ∈ R Nguyễn Thị Huyền Nga 26 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Nhận xét 2.2.1 Trong bổ đề (2.2.1), ta sử dụng khai triển chuỗi Taylor hàm số − g(t) với ≤ g(t) ≤ Đầu tiên, ta xét chuỗi √ Taylor hàm − t, ta có √ 1 1 1 ( − 1) 2 ( − 1)( − 2) 1−t=1− t+ t − t − 2! 3! ∞ an t n =1− n=1 Trong đó, (−1)n−1 an = n! n−1 k=0 −k = 21−2n (2n − 2)! n! (n − 1)! Với n ∈ N, an ≥ 0, ta có lim n→∞ (2(n + 1) − 2)! (n + 1)!(n + − 1)! = lim n→∞ (2n − 2)! 21−2n n!(n − 1)! (2n)! −1−2n (n + 1)!n! = lim 1−2n n→∞ (2n − 2)! n!(n − 1)! 2n − = = lim n→∞ 2n + 21−2(n+1) an+1 an ∞ an tn hội tụ theo điểm (−1, 1) Ta n=1 √ chứng minh chuỗi hội tụ đến − t [0, 1] Như vậy, chuỗi − ∞ an tn , ψ(t) hội tụ với t ∈ (−1, 1) Lấy đạo Đặt ψ(t) = − n=1 hàm hàm ψ(t) theo t ta có ∞ dψ(t) =− nan tn−1 dt n=1 Nguyễn Thị Huyền Nga 27 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Ta có ∞ ∞ (1 − t)(− nan t n−1 )=− n=1 ∞ nan t n−1 nan tn + n=1 n−1 Tương đương với ∞ ∞ −2(1 − t)(− nan t n−1 )=2 n=1 n2 n=1 ∞ 2−2n nan tn −2 n=1 n=1 (2n − 2)!tn (2n − 2)! n−1 t − n22−2n n!(n − 1)! n!(n − 1)! n=1 2−2(n+1) (2(n n2 = nan t ∞ ∞ = ∞ n−1 n=0 ∞ ∞ −2n =1+ n=1 ∞ =1+ (2n − 2)! 2n! n t − 22−2n tn n!n! (n − 1)!(n − 1)! n=1 21−2n (2n − 2)! 2n(2n − 1) − 2n tn n!(n − 1)! 2n 21−2n (2n − 2)! n t n!(n − 1)! n=1 ∞ =1− ∞ + 1) − 2)! n (2n − 2)! n t − n22−2n t n!n! n!(n − 1)! n=1 n=1 ∞ an t n =1− n=1 Hay ψ(t) = −2(1 − t) dψ(t) dt Khi − dt = 1−t dψ ψ 1 ln |1 − t| + ln c 2 √ ⇔ ψ = c − t với c ∈ R ⇔ ln ψ = √ Đánh giá hai bên t = cho c = Do đó, ψ(t) = − t theo biến t với t ∈ [0, 1] Ta chứng tỏ ψ(t) = Áp dụng bất đẳng thức Nguyễn Thị Huyền Nga 28 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Stirling 1 e −n nn+ < n! < e1−n nn+ Do với n ≥ 2n−2 1−2n an = 2 (2n − 2)! 21−2n e1−(2n−2) (2n − 2) ≤ −n n+ −(n−1) n!(n − 1)! e n e (n − 1)n−1)+ 2n− 32 (2n − 2) ≤ 21−2n n+ 1 e n (n + 1)n− 2n− 23 1−2n 2n− 23 (n − 1) ≤2 1 nn+ (n − 1)n− (n − 1)2n− − 21 0, hội tụ chuỗi Taylor hàm [0, 1], tồn N ∈ N cho √ − t N an g n ) < , với N ≥ N f − (1 − n=1 Ta có N lim N →∞ an g n ) = f − (1 − n=1 N Từ đó, với n ∈ N∪{0}, g n ∈ A A đại số 1− an g n ∈ n=1 √ A Theo giả thiết ta lại có, A tập đóng, suy f ∈ A Vậy mệnh đề i) hoàn toàn chứng minh ii) Ta có |f | = f với f ∈ A, f.f = f ∈ A A đại số Áp dụng i) cho hàm f ta suy |f | ∈ A 1 (f + g − |f − g|) f ∨g = (f + g + |f − g|) 2 Áp dụng ii) ta suy f ∧ g ∈ A f ∨ g ∈ A Hay mệnh đề iii) chứng minh iii) Ta có f ∧g = Nguyễn Thị Huyền Nga 30 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Định lý 2.2.1 (Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass, xem [9]) Cho X không gian metric compact A ⊂ C(X, R) đại số đơn vị tách điểm X Khi đó, tập A trù mật C(X, R) Nhận xét 2.2.2 Định lý phát biểu sau “nếu A đại số đơn vị đóng với tách điểm tập compact X , A ⊂ C(X, R) A = C(X, R)” Chứng minh A ⊂ C(X, R) đại số đơn vị đóng với tách điểm X Cho > 0, với f ∈ C(X, R) ta chứng tỏ tồn hàm g ∈ A cho f −g < Xét điểm s, t ∈ X Theo giả thiết, A tách điểm nên tồn h ∈ A ∼ cho h(s) = h(t) Với λ, µ ∈ R ta xét ánh xạ h : X → R với ∼ h (v) := µ + (λ − µ) ∼ ∼ h (v) − h (t) , với v ∈ X h (s) − h (t) ∼ Chú ý h ∈ A h(s) = λ, h(t) = µ Do đó, với s = t tồn fs,t ∈ A cho fs,t (s) = f (s) fs,t (t) = f (t) Và fs,t ∼ f lân cận s t Bây cố định s cho t thay đổi, ta đặt Ut := {v ∈ X|fs,t (v) < f (v) + } Ta có, tập Ut tập mở tạo ảnh tập mở Ngồi ra, t ∈ Ut hợp Ut phủ mở X Do X tập compact nên tồn t∈X hữu hạn t1 , t2 , , tn ∈ X , cho n X⊂ Uti i=1 Đặt hs := fs,ti 1≤i≤n Nguyễn Thị Huyền Nga 31 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Khi hs ∈ A, hs (s) = f (s) hs < f + Ta đặt Vs := {v ∈ X|hs (v) > f (v) − } Mặt khác Vs tập mở X ⊂ Vs Do X tập compact nên tồn s∈X m hữu hạn s1 , s2 , , sm ∈ X cho X ⊂ Vsj Đặt g = max hsj j=1 1≤j≤m g ∈ A f− tồn xn cho dX (x, xn ) < Chúng ta áp dụng điều cho không gian hàm liên tục X , C(X) với metric hội tụ theo chuẩn Từ định nghĩa ta có, tồn tập đếm {f (n)}∞ n=0 cho với f ∈ C(X) với > 0, tồn fn cho f − fn < Hệ 2.3.1 (xem [15]) Giả sử X khơng gian metric compact Khi đó, C(X) tách Chứng minh Ta xác định dãy hàm gn ∈ C(X) với gn (x) = dX (x, xn ) Cho tùy ý hữu hạn số (n1 , n2 , , nk ), ta định nghĩa gn1 , ,nk (x) = gn1 (x) gnk (x) Đặt A= an1 ,n2 , ,nk gn1 ,n2 , ,nk (x) : a, an1 ,n2 , ,nk ∈ R , a+ n1 , ,nk tập gồm tổ hợp tuyến tính hữu hạn Mặt khác, A đại số chứa hàm khác không, ta cần kiểm tra A tách điểm Giả sử x, y ∈ X, x = y Cho dX (x, y) = > chọn xn cho dX (x, xn ) < Bây giờ, ta xét gn ∈ A, từ gn (x) = dX (x, xn ) suy gn (x) < Mặt khác gn (y) = dX (y, xn ) ≥ dX (x, y) − dX (x, xn ) ≥ − = , suy gn (x) = gn (y) Do đó, A thỏa mãn giả thiết định lý StoneWeierstrass A tập trù mật C(X) Đặt A = an1 ,n2 , ,nk gn1 ,n2 , ,nk (x) : a, an1 ,n2 , ,nk ∈ Q a+ n1 , ,nk Nguyễn Thị Huyền Nga 36 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass Rõ ràng, A đếm trù mật A, nên A tập đếm trù mật C(X) Nguyễn Thị Huyền Nga 37 K36B - Sư phạm Toán Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass KẾT LUẬN Khóa luận hoàn thành chủ yếu [9], [11] số tài liệu khác Trong khóa luận này, tác giả đã: Hệ thống lại kiến thức (các kiến thức không gian metric compact, không gian topo, không gian Hausdoff compact, không gian định chuẩn, khái niệm Đại số, Đại số Banach) Đưa kết định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass xét tập compact, tập compact địa phương, tập số phức ứng dụng Do thời gian có hạn vấn đề thân tơi, nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu xót Tơi kính mong Q thầy, bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thiện khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Huyền Nga 38 K36B - Sư phạm Toán Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] PGS TS Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Topo đại cương - Độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục [B] Tài liệu nước [4] Baker, Roger (2001), Linear Algebra, Rinton Press [5] Bishop, Errett (1961), "A generalization of the Stone–Weierstrass theorem", Pacific Journal of Mathematics 11 (3), 777–783 [6] Cheney, E W (1966), Introduction To Approximation Theory, McGraw Hill [7] K Davidson and A Donsig (2002), Real Analysis with Real Applications, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J [8] M Stone (1937), " Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology", Translations of the Americain Mathematical Socienty 41 (3), 375-481 [9] M Stone (1948), "The Generalied Weierstrass Approximation Theorem", Mathematics Magazine 21 (21), 167-184 and 21 (5), 237-254 Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass [10] H Sohrab (2003), Basic Real Analysis, Birkhăauser, New York, N.Y ă [11] K Weierstrass (1885), "Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkrlicher Functionen einer reellen Vernderlichen", Sitzungsberichte der Kniglich Preuischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 633-639 and 789-805 [C] Tài liệu mạng Internet [12] http://idoc.vn/tai-lieu/dai-so-banach-va-ly-thuyet-pho.html [13] https://www.google.com.vn/search?q=khong+gian+hausdorff+ compact+dia+phuong [14] http://doc.edu.vn/tai-lieu/luan-van-khong-gian-hilbert-dai-sobanach-va-tinh-tru-mat-cua-cac-toan-tu-hypercyclic-tren-khong -41156 [15] http://www.maths.manchester.ac.uk/ nikita/31002/separabilit y.pdf Nguyễn Thị Huyền Nga 40 K36B - Sư phạm Toán ... 21 2.1.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885) 22 2.2 Định lý xấp xỉ Stone- Weierstrass 26 2.2.1 Định lý xấp xỉ Stone- Weierstrass tập compact... 26 2.2.2 Định lý Stone- Weierstrass tập compact địa phương 32 2.2.3 Định lý xấp xỉ Stone- Weierstrass tập số phức 34 Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass 2.3 Ứng... học trên, người ta đặt tên định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass định lý xấp xỉ Stone Weierstrass Hiện nay, có nhiều tài liệu đề cập đến định lý xấp xỉ Stone Weierstrass, phạm vi khóa luận,