TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *** -Phạm Thị Hƣờng ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ, BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS Phạm Lƣơng Bằng HÀ NỘI – 2014 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy giáo tổ Đại số tạo điều kiện thuận lợi để giúp em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng quan tâm hướng dẫn chỉnh sửa khóa luận cho em Mặc dù cố gắng thân em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em hy vọng nhận góp ý chân thành thầy bạn để khóa luận em hoàn chỉnh Sinh viên Phạm Thị Hƣờng SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp kết nỗ lực tự thân em hướng dẫn thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng Nội dung khóa luận khơng trùng lặp với cơng trình nghiên cứu tác giả trước công bố Sinh viên Phạm Thị Hƣờng SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN tập số thực  tập số thực dương  tập số hữu tỉ dương tập số tự nhiên  tổng hoán vị cyc Ví dụ: Tổng hốn vị số dương a,b,c a b  a b  b c  c a 2 2 cyc  tích hốn vị cyc Ví dụ: Tích hốn vị số dương a,b,c a a b c b  c  b  c c  a a  b cyc SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU: ………………………………………………………… CHƢƠNG 1: VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ CÁC NHÀ TỐN HỌC CAUCHY, SCHWARZ, BUNHIACƠPSKI, HOLDER VÀ CHEBYSHEV .3 1.1: Nhà toán học Cauchy:………………………………………………….3 1.2: Nhà tốn học Schwarz Bunhiacơpski ………………………… 1.2.1 Nhà toán học Schwart 1.2.2 Nhà tốn học Bunhiacơpski 1.3: Nhà toán học Holder: ……………………………………………… 1.4: Nhà toán học Chebyshev:……………………………………………6 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ, BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 2.1: Bất đẳng thức AM-GM: ………………………………………… 2.1.1: Chú dẫn biểu diễn ……………………… 2.1.2: Sai lầm thường gặp lời giải sử dụng bất đẳng thức AM-GM 2.2: Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz – Holder: ………………………27 2.2.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz (CBS): …………………… .27 2.2.2: Bất đẳng thức Holder: ……………………………………… .35 2.3: Bất đẳng thức Chebyshev: …………………………………………41 2.3.1: Bất đẳng thức Chebyshev dãy đơn điệu: …………… .41 2.3.2: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev: ……………… .43 SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng CHƢƠNG 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN LỜI GIẢI 49 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Lời mở đầu 1.Lí chọn đề tài Bất đẳng thức vấn đề phổ biến Toán học sơ cấp, phần toán học sơ cấp đẹp thú vị nhất, ln hút nhiều người quan tâm Bất đẳng thức giữ vị trí quan trọng kì thi học sinh giỏi, thi đại học, Ôlympic quốc gia quốc tế Điểm đặc biệt bất đẳng thức toán sơ cấp có nhiều tốn khó chí khó ln giải kiến thức sở, chủ yếu sử dụng phép biến đổi, đánh giá sơ cấp để thu kết Đối với tốn có ràng buộc biến cần phải xác định xác nên dùng phương pháp giải bất đẳng thức để dấu bất đẳng thức xảy ra, điều tạo tò mò, hứng thú em Xuất phát từ sở lí luận thực tiễn mà em định chọn đề tài “Điều kiện xảy đẳng thức bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Chebyshev” làm đề tài nghiên cứu cho Ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo, luận văn có chương Chương 1: Vài nét lịch sử nhà toán học Cauchy, Schwarz, Holder Chebyshev Chương 2: Một số vấn đề điều kiện xảy đẳng thức bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Chebyshev SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Chương 3: Hệ thống tập hướng dẫn giải Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: Nắm kiến thức độc đáo bất đẳng thức sơ cấp, từ tìm phương pháp giải thích hợp, điều kiện để xảy đẳng thức tùy theo yêu cầu toán Đối tƣợng nghiên cứu: Các bất đẳng thức sơ cấp số toán ứng dụng bất đẳng thức tìm điều kiện xảy bất đẳng thức cụ thể Phƣơng pháp nghiên cứu: Đọc, nghiên cứu tài liệu So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức Sắp xếp giải tập SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng CHƢƠNG 1: VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC CAUCHY, SCHWARZ, BUNHIACƠPSKI, HOLLDER VÀ CHEBYSHEV 1.1: Nhà tốn học Cauchy CauchyAugustin Cauchy sinh ngày 21 tháng năm 1789 Nhà Toán học đầy óc sáng tạo có nhiều cơng trình tốn học, thua Euler mà thơi Những nhà toán học đại tiếp thu từ Cauchy hai điều bật đường nghiên cứu toán kỷ 18 Điều đổi đưa chặt chẽ vào giải thích tốn học, mà trước nhà tốn học q dễ dãi Điều đổi thứ hai, vào hướng trái ngược : giải tích tổ hợp Từ phương pháp Lagrange lý thuyết phương trình, Cauchy rút tinh tuý để hệ thống thành sở lý thuyết nhóm Ơng nhìn thấy tính đối xứng cơng thức đại số phép tốn tính chất chúng dẫn tới lý thuyết nhóm Ngày lý thuyết sơ cấp phức tạp có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực toán học, từ lý thuyết phương trình đại số hình học lý thuyết cấu trúc nguyên tử Trong 19 năm cuối đời mình, Cauchy có 500 cơng trình tất lĩnh vực toán học kể học, vật lí học, thiên văn học Cauchy qua đời đột ngột vào ngày 23 tháng năm 1857 lúc 68 tuổi Một vài SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng trước mất, Cauchy nói với tổng giám mục Paris: “Những người mất, cơng trình họ lại” 1.2: Nhà tốn học Schwarz Bunhiacơpski 1.2.1: Nhà tốn học Schwarz Karl Hermann Amandus Schwarz (25/1/1843 30/11/1921) nhà toán học người Đức, tiếng với cơng trình giải tích phức Ông sinh ởHermsdorf, Silesia (nay Jerzmanowa, Ba Lan) qua đời Berlin Schwarz ban đầu nghiên cứu hóa học Berlin, Kummer Weierstrass thuyết phục ông chuyển sang toán học Giữa năm 1867 năm 1869 ơng làm việc Halle, sau Zürich Từ 1875 ơng làm việc Đại học Gưttingen, giao dịch với đối tượng lý thuyết chức năng, hình học vi phân phép tính biến thể Tác phẩm ông bao gồm Bestimmung Minimalfläche speziellen einer, trao vương miện Học viện Berlin vào năm 1867 in vào năm 1871, Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1890) Năm 1892 ông trở thành thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Berlin giáo sư Đại học Berlin, nơi sinh viên ông bao gồm Lipot Fejer, Paul Koebe Ernst Zermelo 1.2.2: Nhà tốn học Bunhiacơpski Nói đến bất đẳng thức quan trọng đại số, ta thường nhắc tới vận dụng bất đẳng thức BunhiaCơpski, nhà tốn học Nga Bunhiacôpski sinh ngày 16-12-1804 viện sĩ Viện Hàn lâm Pêtecbua từ SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng VT    a 1  b  bc  ma  nb  pc   (1)  cyc    a  ma  nb  pc   b  mb  nc  pa   c  mc  na  pb     m  a  b  c    n  p  ab  bc  ca   3 Chọn n+p=2m ta có: VT  (1)  m3  a  b  c   a 1  b  bc  ma  nb  pc  cyc Dự đoán bất đẳng thức cho đạt a=b=c=1 a=3, b=c=0 Ở đẳng thức xảy khi: a b  b  bc  c  ca  2 a 1  b  bc  ma  nb  pc  b 1  c  ca  mb  nc  pa  c  a  ab  c 1  a  ab  mc  na  pb  Ta chọn m=2,n=1,p=3 Ta trình bày lời giải sau:   a    b  bc cyc   3    a 1  b  bc  2a  b  3c    cyc       a  2a  b  3c     a  b  c   cyc  Ta chứng minh: SV: Phạm Thị Hường Tốn 42 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng 3   a  b  c     a 1  b  bc  2a  b  3c    cyc    a  b  c    a  a  b  c   3b  a  b  c   9bc . 2a  b  3c    cyc 2 (2) Bằng khai triển trực tiếp ta có: VT 2  VP 2  4. ab  a  b   26. a 2b  39. a 4b abc cyc cyc cyc 54 a 3b3  261.a 2b 2c  24 a 4bc  93 a 3b 2c  97 a 2b3c cyc cyc cyc cyc Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM Schur ta chứng minh được: 4. ab  a  b   26. a 2b  39. a 4b  54 a 3b3  261.a 2b 2c cyc cyc cyc cyc  24 a bc  93 a b c  97 a b c cyc cyc 2 cyc Vậy (2) chứng minh => (1) chứng minh Dấu “=” xảy a=b=c=1 a=3, b=c=0 hoán vị 2.3: Bất đẳng thức Chebyshev 2.3.1: Bất đẳng thức Chebyshev dãy đơn điệu a,Bất đẳng thức Chebyshev dãy đơn điệu chiều Cho dãy hữu hạn số thực a1 , a2 , , anvàb1 , b2 , , bn có: a1  a2   an a1  a2   an  Ta có:  b  b   b b  b   b n n 1 1 a b  a b   anbn a1  a2   an b1  b2   bn  - Dạng 1: 1 2 n n n - Dạng 2: n  a1b1  a2b2   anbn    a1  a2   an b1  b2   bn   a1  a2   an Dấu “=” xảy  b1  b2   bn b, Bất đẳng thức Chebyshev dãy đơn điệu ngược chiều Cho dãy số hữu hạn số thực a1 , a2 , , anvàb1 , b2 , , bn có: SV: Phạm Thị Hường Tốn 43 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng a1  a2   an  b1  b2   bn a1  a2   an ta có:  b1  b2   bn a1b1  a2b2   anbn a1  a2   an b1  b2   bn  n n n - Dạng 2: n  a1b1  a2b2   anbn    a1  a2   an b1  b2   bn  - Dạng 1:  a1  a2   an Dấu “=” xảy  b1  b2   bn c, Bất đẳng thức Chebyshev mở rộng: Cho m1 , m2 , mn  thỏa mãn m1  m2   mn   Nếu có: a1  a2   an a1  a2   an  thì:  b  b   b b  b   b n n 1 1  m1a1b1  m2a2b2   mnanbn    m1a1  m2a2   mnan  m1b1  m2b2   mnbn   a1  a2   an Dấu “=” xảy  b1  b2   bn  Nếu có: a1  a2   an a1  a2   an   b1  b2   bn b1  b2   bn m a b  m a b 1 2   mn anbn    m1a1  m2a2   mnan  m1b1  m2b2   mnbn   a1  a2   an Dấu “=” xảy  b1  b2   bn 2.3.2: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cheybyshev Một số tập minh họa: Bài 1: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1 a  b  c  d     Chứng minh rằng: a b c d  a  b  c  d   a   b2   c   d  Giải SV: Phạm Thị Hường Tốn 44 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Nếu nhìn thống qua đề hẳn thấy khó khăn giả thiết tốn khơng thật tường minh Nếu người biết nhiều kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức lại dễ bị nhầm theo phương pháp làm mạnh, ví dụ dồn biến chẳng hạn Thật bất ngờ, tốn giải hồn tồn đơn giản bất đẳng thức Chebyshev tất nhiên với số kĩ thuật áp dụng đặc biệt Ta trừ tương ứng số hạng vế ý đẳng thức: 2a  a   3 a  1 (*) 2a  a  Không thể áp dụng bất đẳng thức Chebyshev tử số mẫu số biểu thức hàm đơn điệu tăng, nhiên ý giả thiết: 1 1 abcd     a b c d 1 1 a  b2  c  d  a b c d  0    0 a b c d a b c d Từ đẳng thức thấy mối liên hệ với (*) chung tử số a  chìa khóa để giải tốn Bất đẳng thức tương đương với:  a  1  b  1  c  1  d  1    0 2a  a  2b  b  2c  c  2d  d  a2  b2  c2  d 1 a b c d     0 3 3  1 2  1 2  1 2  1 a b c d Lưu ý bất đẳng thức cho hoàn toàn đối xứng với biến a,b,c,d x2  1 , f  x   x  hàm tăng hàm số g  x   x x  1 x  nên theo bất đẳng thức Chebyshev ta có: SV: Phạm Thị Hường Tốn 45 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng f  a  g  a   f  b  g  b   f  c  g  c   f  d .g  d    f  a   f b   f  c   f  d    g  a   g b   g  c   g  d    Vì có: f  a   f  b   f  c   f  d   , đẳng thức xảy  a  b  c  d  Điều đặc biệt lời giải việc chia tử mẫu phân số tương ứng cho số a,b,c,d sau dùng bất đẳng thức Chebyshev, dùng trực tiếp khơng mang lại hiệu Có thể khái quát phương pháp thành dạng tổng quát với n biến Để chứng minh: x1 y1  x2 y2   xn yn  ta chứng minh: y1 y y  x1a1    x2a2    n  xnan   , a1, a2 , , an số thực a1 a2 an ta phải tìm cho:    x a  ,  x a  , ,  x a   ,  ay , ay 1 2 n n , , yn   đơn an   điệu chiều để sử dụng bất đẳng thức Chebyshev thỏa mãn Khi việc chứng minh bất đẳng thức ban đầu qui chứng minh bất đẳng thức đơn giản là: y1 y2 y    n  a1 a2 an  x a    x a     x a   1 2 n n Một dạng thường sử dụng kĩ thuật áp dụng phân thức Giả sử y y y ta phải chứng minh bất đẳng thức dạng:    n  lý thuyết a1 a2 an ta ln đưa bất đẳng thức dạng này, chí chọn y1 , y2 , , yn  Khi ta tìm số thực a1 , a2 , , a2 cho: 1    0 a1 y1 a2 y2 an yn x a   x a   x a   1 2 n n Thông thường với bất đẳng thức, dãy số x1 , x2 , , xn y1 , y2 , , yn có dãy dương nên chọn dãy a1 , a2 , , a2 dương SV: Phạm Thị Hường Tốn 46 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng cần chứng minh bất đẳng thức cuối Trong nhiều trường hợp ta có đẳng thức  x1a1    x2a2     xn an   toán Tuy nhiên việc chọn số nhân tử a1 , a2 , , a2 khơng thể máy móc phương pháp đòi hỏi khéo léo tinh ý Bài 2: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh rằng: 1     ab  bc  ca Giải Đặt x=bc, y=ca, z=ab Ta phải chứng minh 1 1 x 1 y 1 z       0 9 x 9 y 9 z 9 x 9 y 9 z Đến ta phải tìm số ax , a y , az tương ứng để nhân tử mẫu với phân số Ta lấy ax   x, ay   y, az   z  1  x   x   1  y   y   1  z   z     x   x    y   y    z   z  Khơng tính tổng qt, giả sử: a  b  c  z  y  x , a+b+c=3 9 Nên: z  y  a  b  c   , z  x  , x  y  Ngoài dễ thấy 4 1  x   x   1  y   y   1  z   z    x   x    y   y    z   z        1  x   x       cyc   cyc   x   x   Cuối cùng, ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:  1  x   x   18   x  y  z    x  y  z   cyc   ab  bc  ca    a 2b  b 2c  c a   18   ab  bc  ca    ab  bc  ca   18  6abc SV: Phạm Thị Hường Tốn 47 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc    2a   2b   2c   xyz   3abc   ab  bc  ca  Thay 3abc   ab  bc  ca   vào bất đẳng thức ta phải chứng minh:  ab  bc  ca    ab  bc  ca    ab  bc  ca   ab  bc  ca  Bất đẳng thức hiển nhiên a+b+c=3 Đẳng thức xảy a=b=c=1 1 1 1 Bài 3: Cho a,b,c,d>0 thỏa mãn a  b  c  d       a b c d  Chứng minh rằng:  a  b  c  d   3a   3b2   3c   3d  (1) Giải   1   2a  3a     cyc 4     a   a cyc  2 3 a cyc a4  2a  3a  0 Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c  d  4 4 a b c d  a b c d 1 1    Và 4 4 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có: 4 1  4     a    0   a   a a  cyc cyc  4 cyc  2 3 2 3 a a SV: Phạm Thị Hường Toán 48 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Dấu “=” xảy a=b=c=d=2 Bài 4: Chứng minh a, b, c  ta có a b c    bc ca ab Giải Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c b  c  c  a  a  b   a b c    b  c c  a a  b Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho dãy đơn điệu ngược chiều ta có: b c   a      b  c    c  a    a  b   bc ca ab b c  a   3  b  c    c  a    a  b   ca ab b  c  b c   a       a  b  c     a  b  c  bc ca ab 3 a  b  c  a b c      b  c c  a a  b 2a  b  c Dấu “=” xảy a=b=c>0 Chƣơng 3: Hệ thống tập hƣớng dẫn giải: Bài 1: ( Bất đẳng thức Nesbit) Chứng minh rằng: a b c    , a, b, c  bc ac ab Giải a b c   bc ac ab b c a c a b A   ,B    bc ac ab bc ac ab Đặt: S  Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM có: SV: Phạm Thị Hường Tốn 49 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng A B  bc ca ab   3 bc ac ab S  A ab bc ca ab bc ca    3 3 bc ac ab bc ac ab ac ab cb ac ab cb    3 3 bc ac ab bc ac ab   2S  A  B   2S  2S   S  ( Điều phải chứng minh) SB Dấu xảy a=b=c>0 a, b, c  ab  bc  ca  Bài 2: Cho  a Chứng minh rằng: S   a2  b  b2  c  c2  Giải Sử dụng giả thiết ab+bc+ca=1 để đưa bất đẳng thức đồng bậc bậc hai vế: a 1 a b 1 b   a ab  bc  ca  a b ab  bc  ca  b  a a 1 a a      a b a  c 2 a b a c   b b 1 b b      b  a b  c 2b  a b c  c c 1 c c      c  a c b 2 c  a c b   c2 ab  bc  ca  c 1 a b a c bc  S     2 a b a c b c  c  c  (Điều phải chứng minh) Dấu “=” xảy a=b=c=1  x, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x  y  Bài Cho  S x y  1 x 1 y SV: Phạm Thị Hường Toán 50 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Giải Biển đổi biểu thức S ứng dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : S   y x y  x     y  x   y x  y    x 2 x 2 y   x y  x y  x y   1 Mặt khác viết lại: S x y 1 y 1 x  1        y x y x  x y   x y   2 Từ (1) (2) suy : 2S  1    x y xy Với x  y  2 S  x y Min S= 2 Bài Cho a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b c bc ca ab 4 4 4   bc ca ab a b c Giải Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  a a bc  4 b b ca  2P   4 4 4 4   b  c b  c a c  a c  a b 8      c c ab    b  c ca ab   4 4         ab c   a b c  8   ab  3 a a bc  3 bc bc a SV: Phạm Thị Hường Toán 51 b b ca ca ca b Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp 3 3 GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng c c ab   (a  b)(b  c)(c  a)        ab ab c abc    c c ab   (a  b)(b  c)(c  a)        ab ab c abc    3   ab bc ca       4 abc 42 42  8           P   2  8 2 Với a  b  c P     Bài 5: Cho a,b,c thỏa mãn a  b2  c2  x   0,  Tìm giá trị lớn nhất,  2  giá trị nhỏ biểu thức y  a  b 2.sinx  c sin x Giải: Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có:   y  a  b 2.sinx  c sin x  12  2sin x  sin 2 x  a  b  c   1  2sin x  sin 2 x  Đặt: f  x    2sin x  sin 2 x   2sin x  4sin x cos x   2sin x  4sin x 1  sin x   4sin x  6sin x      t   0,1  2 Đặt t  sin x, x   0, Thì hàm f(x) trở thành hàm: SV: Phạm Thị Hường Toán 52 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng  13   3 g  t   4t  6t   4  t  t      t   4   4 13 13  Max g  t    Max f x    t 0,1   4 x 0,   2 2  y  13  13 Dấu “=” xảy khi: sinx sin 2x sin x    a b c     x  2 Với x   0,  a  b  c  1  a       a 2b 2c  b  a 13 a  b  c     a c   Vậy Miny   13 Dấu “=” xảy khi: a 4 2 2  ,b  ,c  ,x  13 13 13 Và Maxy  13 Dấu xảy khi: a  ,b  ,c  ,x  13 13 13 Bài 6: Chứng minh rằng: a  b a  b  c a  ab  abc a  , a, b, c  3 Giải Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có: SV: Phạm Thị Hường Tốn 53 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng   a  b a  b  c  a  a  a  a  ab  b  a  b  c   a  ab  abc  a    27   a  b a  b  c a  ab  abc (điều phải chứng minh)  a  3 Dấu “=” xảy a=b=c a, b, c  a  b  c   Bài 7: Cho  Chứng minh rằng: 1    (1) c ab a bc b ca Giải: Ta có c 1  c  1 1     c  a  b c  c  3  c  c  3 Tương tự suy bất đẳng thức (1) tương đương: a  a  1 b  b  1 c  c  1 a 1 b 1 c 1   0   0 3 3 3 a a 3 b b3 c c 3 a 1 b 1 c 1 a b c Giả sử a  b  c a   b   c  a 1 b 1 c 1 Từ a+b+c=3 suy ab, bc, ca     3 a 1 b 1 c 1 a b c Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có: a 1 a 1 a b 1  b 1 b  c 1 c 1 c     1  (a   b   c  1)    0 3 3  a 1 b 1 c 1  a b c  Dấu “=” xảy a=b=c=1 SV: Phạm Thị Hường Toán 54 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng KẾT LUẬN Sau thực xong đề tài này, bổ xung cho em nhiều kiến thức bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức CauChy-Schwaz, bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Chebyshev, qua có thêm phương pháp độc áp dụng giải tốn bất đẳng thức có ràng buộc biến, bước đầu làm quen với việc tự sáng tạo bất đẳng thức dựa sở bất đẳng thức biết Đồng thời hội tốt cho em hồn thiện kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy trường trung học phổ thông sau này.Tuy nhiên, kiến thức hạn chế nên em chưa xây dựng hệ thống tập đa dạng, phong phú Đề tài em hoàn thành mục đích đề ra, lần tiếp cận với công tác nghiên cứu khoa học nên gặp phải nhiều khó khăn, khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo nhiệt tình thầy cơ, góp ý chân thành bạn để đề tài em hoàn chỉnh hơn, làm tài liệu tham khảo cho em khóa sau Em xin chân thành cảm ơn! SV: Phạm Thị Hường Tốn 55 Lớp K36B_Sư phạm Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn (2013), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nhà xuất Đại học sư phạm [2] Trần Phương (2011), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, Nhà xuất tri thức [3] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Hà Nội [4] Phan Huy Khải - Trần Hữu Nam, Bất đẳng thức ứng dụng, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [5] Phạm Văn Thuận – Lê Vĩ, Bất đẳng thức suy luận khám phá, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội SV: Phạm Thị Hường Toán 56 Lớp K36B_Sư phạm ... MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM- GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ, BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 2.1: Bất đẳng thức AM- GM: …………………………………………... 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM- GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ, BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 2.1 Bất đẳng thức AM- GM 2.1.1: Chú dẫn... giải bất đẳng thức để dấu bất đẳng thức xảy ra, điều tạo tò mò, hứng thú em Xuất phát từ sở lí luận thực tiễn mà em định chọn đề tài Điều kiện xảy đẳng thức bất đẳng thức AM- GM, bất đẳng thức Cauchy- Schwarz,