1 mPackage inputenc Error: Keyboard character used is undefinedin inputencoding ‘utf8’See the inputenc package documentation for explanation.You need to provide a definition with or before using this key.m3 LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang Em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo nhà trưòng thay giáo khoa Tốn-Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i giúp đõ em suot q trình hoc t¾p Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Tran Văn Bang, ngưòi ó luụn quan tõm, đng viờn v tắn tỡnh húng dan em q trình thnc hi¾n lu¾n văn Em xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân, ban bè đ®ng viên tao đieu kiắn e em hon thnh luắn ny H Nđi, ngày 09 tháng 05 năm 2011 Tác giá Tran Th% Hồn LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang M®t so ket q đat đưoc lu¾n văn mói chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khoa hoc cna khác Hà N®i, ngày 09 tháng 05 năm 2011 Tác giá Tran Th% Hoàn Mnc lnc Lài cám ơn Lài cam đoan Má đau Hàm vái bien phân b% ch¾n 1.1 Bien phân theo tùng điem 1.2 Phép hop hàm BP V (I) 27 1.3 Không gian BP V (I) 31 1.4 Chí đo Banach 40 Hàm liên tnc tuyêt đoi 48 2.1 Khơng gian hàm liên tuc tuy¾t đoi 48 2.2 Quy tac đao hàm hàm hop phép đoi bien .73 2.3 Hàm kì d% 89 Ket lu¾n 92 Tài li¾u tham kháo 93 Mé ĐAU Lý chon đe tài Các hàm đơn đi¾u đóng vai trò quan trong giái tích co đien Neu đe nói ve vi¾c nghiên cúu hàm đơn đi¾u có le phái dùng ngơn ngu cna Tốn hoc "vơ cùng" Như ta biet: Cho khoáng I ⊂ R T¾p hop hàm đơn đi¾u u : I → R khơng khơng gian vectơ, nói chung, hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u khơng đơn đi¾u V¾y mđt cõu húi l: Liắu cú the tỡm đưoc m®t khơng gian véc tơ chúa tat cá hàm đơn đi¾u hay khơng? Câu trá lòi có, ngưòi ta sú dung ngơn ngu "Bien phân" đe xây dnng m®t khơng gian, có tên "Khơng gian tat cá hàm có bien phân b% ch¾n" khơng gian nhó nhat chúa tat cá hàm đơn đi¾u Tuy nhiên khơng gian rđng e nghiờn cỳu moi liờn hắ giua phộp tớnh vi tích phân phép tính tích phân (theo nghĩa Lebesgue) Đe khac phuc han che đó, ngưòi ta lai tìm m®t khơng gian véc tơ nhó "Khơng gian tat cá hàm liên tnc tuy¾t đoi" Các hàm khơng gian thóa mãn Đ%nh lý bán ve phép tính vi tích phân đoi vói tích phân Lebesgue Mó r®ng roi lai thu hep, moi quan h¾ giua hai khơng gian the nào? chúng có nhung tính chat đ¾c bi¾t gì? Đieu đó, thúc đay em đen vi¾c chon đe tài "Hàm vái bien phân b% ch¾n hàm liên tnc tuy¾t đoi"nham muc đích tìm hieu ve hai loai hàm tìm hieu câu trá lòi cho nhung câu hói vùa nêu Mnc đích nghiên cNu Bưóc đau làm quen vói cơng vi¾c nghiên cúu khoa hoc tìm hieu ve tính chat đ¾c trưng cna hai khơng gian: Khơng gian hàm có bien phân b% ch¾n khơng gian hàm liên tuc tuyắt oi Nhiắm nghiờn cNu Ngiờn cỳu mđt so đ%nh nghĩa, đ%nh lý, tính chat ve: Hàm vói bien phân b% ch¾n hàm liên tuc tuy¾t đoi a mđt so bi ỏp dung cỏc %nh lý tính chat vói m®t so t¾p ví du phán chúng Đoi tưang pham vi nghiên cNu Hàm vói bien phân b% ch¾n hàm liên tuc tuy¾t đoi Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp nghiên cúu cna giái tích loi giái tích bien phân hi¾n đai Cau trúc khóa lu¾n Ngồi phan mó đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n cna em gom chương: Chương I: Hàm vói bien phân b% ch¾n Chương II: Hàm liên tuc tuy¾t đoi Chương Hàm vái bien phân b% ch¾n Cho khống I ⊂ R T¾p hop hàm đơn đi¾u u : I → R khơng khơng gian vectơ, nói chung, hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u khơng đơn đi¾u Trong chương này, se mơ tá khơng gian véc tơ nhó nhat hàm u : I → R chúa tat cá hàm đơn đi¾u 1.1 Bien phân theo tNng điem Cho khoáng I ⊂ R Mđt phõn hoach cna I l mđt P := {x0, x1, , xn} ó đó, x0 < x1 < < xn Đ%nh nghĩa 1.1 Cho khoáng I ⊂ R hàm u : I → R Bien phân theo tùng điem (goi tat bien phân) cúa u khoáng I giá tr%: n Varu := sup, , | −1)| (1.1) u(xi) − u(xi i=1 đó, c¾n đưoc lay tat cá phân hoach P := {x0, x1, , xn} cúa I, n ∈ N Hàm u : I → R đưoc goi có bien phân huu han ho¾c bien phân b% ch¾n neu Varu < ∞ Khơng gian tat cá hàm u : I → R vói bien phân b% ch¾n đưoc kí hi¾u là: BV P (I) Nhắn xột 1.2 Chỳ ý rang, neu mđt điem đau mút, chang han b := supI ∈ I đ%nh nghĩa cúa Varu, ta chs can xét nhung phân hoach có xn = b Th¾t vắy, neu P := {x0, x1, , xn} l mđt phân hoach vói xn < b P r := {x0, x1, , xn, b} m®t phân hoach cúa I n i= n |u(xi) − u(xi−1)| |u(xi) − u(xi−1)| + |u(b) − u(xn)| ≤ ≤ Varu i= Đe nhan manh sn phu thu®c vào khống I, thưòng kí hi¾u VarI u Neu khoáng I suy bien túc inf I = supI ta viet VarI u = Hàm u : I → R đưoc goi có bien phân huu han đ%a phương ho¾c bien phân b% ch¾n đ%a phương neu Var[a,b] u < ∞, ∀[a, b] ⊂ I Không gian tat cá hàm u : I → R có bien phân b% ch¾n đ%a phương đưoc kí hi¾u BP Vloc (I) Neu I = [a, b] BP Vloc ([a, b]) = BP V ([a, b]) Neu R l mđt mú thỡ ta có the viet Ω hop đem đưoc khống mó đơi m®t ròi nhau: [ Ω= In n Khi đó, bien phân cna u : Ω → R đưoc đ%nh nghĩa bói: Varu := Var I u n n u đưoc goi có bien phân b% ch¾n Ω neu Varu < ∞ Khơng gian tat cá hàm u : Ω → R có bien phân b% ch¾n đưoc kí hi¾u là: BP V (Ω) Neu u : I → Rd ta đ%nh nghĩa bien phân cna u giong Đ%nh nghĩa 1.1 giá tr% tuy¾t đoi bây giò đưoc thay the bói chuan Rd Khơng gian tat cá hàm u : I → Rd có bien phân b% ch¾n (bien phân b% ch¾n đ%a phương) đưoc kí hi¾u BP V (I; Rd)(tương úng, BP Vloc (I; Rd)) Sau õy l mđt so bi tắp: Bi 1.3 (i)Neu u : [a, b] → R vi khap nơi đao hàm ur cúa b% ch¾n u ∈ BP V ([a, b]) (ii)Neu u : [a, b] → R vi khap nơi ur tích Riemann u ∈ BP V ([a, b]) Varu = ¸ b |ur(x)| dx a Đoi chieu vói đ%nh lý Katznelson-Stromberg dưói Bài t¾p 1.4 Cho u : [0, 1] → R đưoc đ%nh nghĩa bói: neu < x ≤ 1, x u(x) := 1b a x sin neu x = a, b ∈ R Vói giá tr% cúa a,b hàm u có bien phân b% ch¾n Chúng minh rang ton tai giá tr% a, b cho vói a, b u có bien phân b% ch¾n ur khơng b% ch¾n Bài t¾p 1.5 Cho u, v ∈ BP V ([a, b]).Chúng minh rang: (i)u ± v ∈ BP V ([a, b]) (ii) u · v ∈ BP V ([a, b]) (iii) Neu v(x) ≥ c > 0, ∀x ∈ [a, b] vói c > 0v ∈ BP V ([a, b]) u (iv)Đieu se xáy neu ta thay the [a, b] bói m®t khống bat kỳ I ⊂ R (có the khơng b% chắn)? Chỳng ta chuyen sang mđt vi tớnh chat chung cna hm vúi bien phõn b% chắn Sj=1 Kj ∞ ψ(x)|ur(x)|dx = ¸ R S∞ t∈ j=1 ψ(t)dy −1 Kj∩u ({y}) Vì L1 I\ S∞ K = nên theo giá thiet ta có j=1 j L u Và v¾y ta có (2.19) = ∞ [ I\ Kj j=1 Bưóc 4: Neu I m®t khống tùy ý, lay (an, bn) ⊂ I thóa mãn an → (inf I)+, bn → (supI)− Theo Bưóc 3, (2.19) moi (an, bn) Công thúc (2.19) I o đưoc suy tự %nh lý hđi tu n iắu Lebesgue Neu ho¾c cá điem đau mút cna I thu®c I ta có the tien hành phan cuoi cna Bưóc đe chúng tó (2.19) I Chon ψ(x) := g(u(x)) (2.19), ó g : R → [0, ∞] hàm Borel ta có ¸ ¸ g(y)Nu(y; I)dy = g(u(x))|ur(x)|dx I R ó đó, ta nhó lai Nu(·; I) đưoc goi chí đo Banach cna u Trưòng hop đ¾c bi¾t, vói q = ta có mơ hình cna Đ%nh lý Banach, là: ¸ ¸ r Nu(y; I)dy = |u (x)|dx R I Bài t¾p 2.66 Cho K ⊂ (a, b) l mđt Compac v u : K R hàm vi K lim y∈K,y→x u (y ) − u(x) = ur(x) đeu vói x ∈ y−x K Chúng minh rang, ton tai m®t hàm v : (a, b) → R, vói v ∈ C c ((a, b)) có tính chat v = u vr = ur K Goi ý, moi thành phan liên thông (ak, bk) cúa (a, b)\K, xác đ%nh v búi mđt a thỳc bắc ba thớch hop Ta ket thúc muc bang vi¾c tháo lu¾n cna Đ%nh lý 1.31 Bài t¾p sau (xem Bài t¾p 1.30) chúng tó rang hop cna hàm liên tuc tuy¾t đoi có the khơng liên tuc tuy¾t đoi Bài t¾p 2.67 Cho f : R → R đưoc đ%nh nghĩa bói: 1 neu z ≤ −1,  , f (z) := | z| neu −1 < z  < 1, neu z ≥ goi u : [−1, 1] → R hàm neu x ƒ= 0, x2 u(x) := x sin neu x = Chúng minh rang f u liên tnc tuy¾t đoi hop cúa chúng f ◦ u khơng liên tnc tuy¾t đoi Ket q tiep theo cho ta đieu ki¾n can đn ve hàm f : R → R đe f ◦ u liên tuc tuy¾t đoi, vói moi hàm liên tuc tuy¾t đoi u : [a, b] → R Đ%nh lí 2.68 (Sn chong chat) Cho khoáng I ⊂ R f : R → R Khi đó, f ◦ u ∈ ACloc(I) vói moi hàm u ∈ ACloc(I) neu chs neu f Lipschitz đ%a phương Trưòng hop đ¾c bi¾t, neu f Lipschitz đ%a phương u ∈ ACloc(I) quy tac đao hàm hàm hop (2.14) Chúng minh Bưóc 1: Giá sú rang f Lipschitz đ%a phương u ∈ ACloc(I) Co %nh mđt oan [a, b].ắc biắt, |u| b% chắn đoan [a, b]: |u| ≤ A ton tai m®t hang so L > đe |f (z1) − f (z2)| ≤ L|z1 − z2|, ∀z1, z2 ∈ [−A, A] (2.22) Ta chúng minh rang f ◦ u liên tuc tuy¾t đoi đoan [a, b] Th¾t vây, u ∈ AC([a, b]) nên vói moi ε > 0, ∃δ > đe ε |u(bk) − L u(ak)| ≤ k vói so khống huu han khơng giao bat kỳ (ak, bk) ⊂ [a, b], (bk − ak) ≤ δ k Do đó, theo (2.22) |(f ◦ u)(bk) − (f ◦ u)(ak)| ≤ |u(bk) − u(ak)| ≤ ε L k k Và ta có đieu phái chúng minh Quy tac đao hàm hàm hop đưoc suy tù H¾ q 2.52 Bưóc 2: Giá sú f ◦ u ∈ ACloc(I), vói moi u ∈ ACloc(I) Ta chúng minh rang f Lipschitz đ%a phương Phan chúng minh sau gan vói chúng minh cna Đ%nh lý 2.31, vói điem khác nhat thay cho u gián đoan ta sú dung hàm afin tùng khúc Co đ%nh đoan [a, b] ⊂ I Ta bat đau bang vi¾c chỳng minh f b% chắn %a phng Xột mđt oan [−r, r], ó r > Ta chúng minh f b% ch¾n [−r, r] Th¾t v¾y, ∀z0 ∈ [−r, r], ta xét hàm a+  z + x − b2 neu x ∈ [a, b], b− u(x) :=  z a neu x < a, −  neu x > b z + 2b a Vì u ∈ ACloc(I) nên theo giá thiet (f ◦ u) ∈ AC([a, b]) Nói riêng, b % ch¾n đoan [a, b] Do đó, ton tai m®t hang so Mz0 = Mz0 (a, b) > cho a+ b ≤ Mt , ∀x ∈ [a, b] f z + x − b− a b−a đieu suy ra: |f (z)| ≤ My0 , ∀z ∈ z0 − , z0 + Do [−r, r] t¾p Compac nên f b% ch¾n [−r, r] bói hang so Mr > Tiep theo, ta chúng minh f Lipschitz [−r, r] Th¾t v¾y, giá sú f khơng Lipschitz [−r, r] Khi đó, ta có the tìm đưoc dãy {sn}, {tn} cho sn ƒ= tn |f (sn) − f (tn)| |sn − tn| > 2(n2 + n), ∀n ∈ N (2.23) Vì {sn} b% chắn, ta cú the trớch mđt dóy (van viet sn): sn → s∞ Lay m®t dãy khác (khơng kí hi¾u lai) cho (2.23) van |sn − s∞ | < (n + 1)2 (2.24) Vì f b% ch¾n [−r, r] bói Mr nên theo (2.23), ∀n ∈ N ta có 2Mr ≥ |f (sn) − f (tn)| > 2(n2 + n)|sn − tn| Do dó, < δn | := (b a) →0 + n) 2(n < sn − tn|(b − a) 2Mr Vói moi n ∈ N, ta chia đoan a + b−a b−a (2.25) ,a+ thành nhung khống n+1 n có đ® dài δn, v¾y goi b−a 2Mr diamIn >2 = An := 2 δn (n + n) |sn − |(n + n) δn = tn (2.26) đ¾t mn := max{j ∈ N0 : j < An} Vì An > nên ta có, An Xét phân hoach Pn cna a + b−a ≤ mn < An b−a ,a+ b−a cho (2.27) bói, n+1 b − a, n n + Pn : = ,a + jδn : j = 0, , 2mn, ∪ ,a + n + (n) (n) =: {x0 , , x2mn+1} Xác đ%nh m®t hàm afin tùng khúc u : I → R sau: Đ¾t s0 := s1 Đ%nh nghĩa: neu x ≤ a, s u(x) := ∞ s0 Còn vói x thu®c moi khống a +  2(sn−tn) (n) x  neu x ≥ b b−a ,a+ n+1 + (n)tn x− x b−a , n ∈ N, ta đ¾t n neu (n) 2i−1 δn 2i−1  x ≤ u(x) : = ≤ 2(tn −sn ) x 2i (n) x− δn x2i   sn−1 (n) x , ≤ i ≤ mn − −t n (n) x x − (n) + sn −1 Chú ý rang δn x≤ 2mn+1 neu x2i ≤ x ≤ x2i+1, ≤ i ≤ mn neu x (n ) 2mn− ≤x≤ x (n) 2mn+1 n 2mn+1−x2mn−1 (n) (n + ) t 2mn−1 (n) (2.28) (n) x− ≤ 2δn, ta chúng minh rang u ∈ AC(I) 2mn−1 Vì sn → s∞ tn → t∞, ta có u liên tuc tai x = a Do đó, u liên tuc vi trù m®t so đem đưoc điem v¾y theo Bài t¾p 2.23 đe chúng tó liên tuc tuy¾t đoi đ%a phương I Ta chí phái chúng minh ur tích Theo (2.24),(2.25),(2.27), ta có ¸ ¸ ∞ r r 2mn|sn − tn| + |tn − sn 1| |u |dx b |u |dx ≤ − a = n=1 ∞ I ≤ n=1 ∞ 2An|sn − tn| + |tn − sn| + |sn − s∞| + |s∞ − sn−1| Mr ≤ Mr n=1 Vì chuoi ∞ n=1 n2 n2 + n ≤ n2 + n2 + n ∞ 2Mr + + n= n2 < ∞ h®i tu nên ta có ur tích I M¾t khác, theo (2.25)-(2.27), 2mn+ f −f u ≥ 2mn|f (sn) − f (tn)| u (n) xi− (n) i=1 xi > 2An(n2 + n)|sn − tn| = 4Mr, nên vói ∀n ∈ N theo Nh¾n xét 1.7, ta có n Var[a,b] (f ◦ u) ≥ VarI k (fou) ≥ 4Mrn → ∞, n → ∞ k=1 Do đó, ta có đieu mâu thuan Nh¾n xét 2.69 Chú ý rang, phan đieu ki¾n can cúa đ%nh lý ta chúng minh đưoc ket manh nhieu Cn the là, neu f : R → R cho f ◦ u ∈ BP Vloc (I), vói moi hàm u ∈ AC(I) ⊂ ACloc(I) f Lipschitz đ%a phương Nh¾n xét 2.70 Chú ý rang, phan chúng minh trưóc van neu f : Rd → R túc f ◦ u ∈ ACloc(I) vói moi hàm u ∈ ACloc(I; Rd) neu chs neu Lipschitz đ%a phương 2.3 Hàm kì d% Trong muc này, ta chúng minh rang: moi hàm có bien phân b% chắn cú the phõn tớch thnh tong cna mđt hm liờn tuc tuyắt oi v mđt hm kỡ d% %nh nghĩa 2.71 Cho khống I ⊂ R, m®t hàm u : I → R (khác hàm hang) đưoc goi hàm kì d% neu vi tai h.k.n, x ∈ I, vói ur(x) = h.k.n, x ∈ I Hàm bưóc nháy uJ cna hàm u ∈ BP Vloc (I) m®t ví du cna hàm kì d% Có ví du khác hàm Cantor ho¾c hàm cho Đ%nh lý 0.47 Đ%nh lý theo sau cho ta đ¾c trưng cna hàm kì d% Đ%nh lí 2.72 (Hàm kì d%) Cho khống I ⊂ R u : I → R hàm (khác hàm hang) cho ur(x) ton tai (có the vơ han) h.k.n, x ∈ I Khi đó, u hàm kì d% neu chs neu ton tai mđt o oc Lebesgue E ⊂ I cho L1(I\E) = L1(u(E)) = Chúng minh Giá sú u hàm kì d% E := {x ∈ I : ur(x) = 0} Khi đó, L1(I\E) = Theo H¾ q 2.14, ta có L1(u(E)) = Đáo lai, giá sú rang ton tai mđt o oc Lebesgue E I cho L1(I\E) = L1(u(E)) = Khi đó, theo H¾ 2.45, ur(x) = h.k.n, x ∈ E Vì L1(I\E) = nên ta có ur(x) = h.k.n, x ∈ I Như m®t úng dung cna Bo đe 2.31 ta có phân tích tiêu chuan cna hm n iắu thnh mđt hm n iắu liờn tuc tuyắt oi v mđt hm n iắu kỡ d% %nh lí 2.73 Cho khống I ⊂ R u : I → R m®t hàm tăng Khi đó, u có the phân tích thành tong cúa ba hàm tăng: u = uAC + uC + uJ (2.29) ó đó, uAC ∈ ACloc(I), u C : liên tnc kì d%, uJ hàm bưóc nháy cúa u Chúng minh Đ¾t v := u − uJ , theo Bài t¾p 0.5 0.50 ta có v tăng, liên tuc vr(x) = ur(x) h.k.n, x ∈ I Co đ%nh x0 I, vúi moi x I, ắt: á x r v (t)dt uAC (x) := = x0 x ur(t)dt, uC (x) := v(x) − uAC (x) (2.30) x0 Khi đó, phân tích (2.29) Hơn nua, theo Bo đe 2.31 ta có ur C (x) = h.k.n, x ∈ I Ta chí phái chúng minh uC tăng Layx, y ∈ I, vói x < y Theo Hắ quỏ 0.37, uAC (y) uAC (x) = y vr(t)dt ≤ v(y) − v(x) x v¾y, uC (y) ≥ uC (x) theo (2.30) Hàm uC đưoc goi phan Cantor cna u Vì moi hàm có bien phân b% ch¾n có the viet thành hi¾u cna hàm tăng nên ket tương tn van cho hàm có bien phân b% ch¾n H¾ q 2.74 Cho khoáng I ⊂ R cho u ∈ BP Vloc (I) Khi đó, u có the phân tích thành tong cúa hàm BP Vloc (I), nghĩa là: u = uAC + uC + uJ (2.31) ó đó, uAC ∈ ACloc(I), uC liên tnc kì d% uJ (x) := (u+(y) − u−(y)) + u(x) − u−(x) (2.32) y∈I,y