L ỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội có nhận xét quý báu, động viên giúp đỡ em để em hồn thành khóa luận suốt thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện thuận lợi bảo tận tình để em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Thị Hảo LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với bảo thầy giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định kết đề tài khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lê T h ị H ảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Không gian Euclid Hàm vectơ Cung tham số Ánh xạ khả vi Trường vectơ dọc cung tham số Đạo hàm trường vectơ dọc cung tham số Chương CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E .11 §1 Cung E 11 Cung E 11 Cung quy 12 Cung định hướng 12 §2 Độ dài cung Tham số hóa tự nhiên cung quy .19 Độ dài cung 19 Mặt phẳng mật tiếp cung điểm song quy .22 Tham số hóa tự nhiên cung quy 25 §3 Cung song quy , độ cong độ xoắn 28 Độ cong độ xoắn .28 Cung song quy 32 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E 36 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn học nghiên cứu số, cấu trúc không gian phép biến đổi Nói cách khác người ta cho mơn học “Hình Số” Bên cạnh phát triển “Số” “Hình” phận lớn phát triển đa dạng với nhiều mơn học như: Hình xạ ảnh, hình Euclid, hình học vi phân Trong Hình học vi phân mơn có tính hệ thống cao, chặt chẽ, tính logic, trừu tượng cao Ở đó, khái niệm cung, cung song quy , cung định hướng khái niệm bản.Tuy nhiên, vấn đề trình bày cách sơ lược chưa phân loại hệ thông cách chi tiết Xuất phát từ mong muốn niềm đam mê tìm hiểu sâu vấn đề em định chọn đề tài: “Cung song quy định hƣớng E ” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức cung song quy định hướng E Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức cung song quy định hướng E 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm cung, cung quy, cung song quy E số toán liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cung song quy định hướng E Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tổng kết tài liệu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Cung song quy định hướng E Chương 3: Một số tập cung song quy định hướng E Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nói tới số định nghĩa, kí hiệu, số định lí sử dụng khóa luận Khơng gian Euclid 1.1 Định nghĩa (xem [4], tr 139) Cho V ¡ - khơng gian vectơ Khi tích vô hướng V ánh xạ: < , > :V V r ur x, y a thỏa mãn tiên đề sau: r ur ur r i) x, y y, x r ur r r ur r r ii) x, y z x, y x, z r ur r ur iii) x, y r x,r y x, x iv) r r r r0 x, 0x x ¡ r ur x, y r ur x, y V r ur r x, y, z V r ur x, y V , r xV ¡ uur r ur ur Ta gọi số thực x, tích vơ hướng y x y r ur Ngồi tích vơ hướng kí hiệu x.y 1.2 Định nghĩa Không gian vectơ Euclid ¡ không gian vectơ xác định tích vơ hướng Không gian Euclid không gian afin liên kết với không gian Euclid hữu hạn chiều Không gian Euclid gọi n chiều không gian vectơ Euclid liên kết với n chiều Ta thường kí hiệu n ur không gian Euclid n chiều n không gian vectơ Euclid n chiều ur ur ur n Với , ur ur urur cos, ur ur bất kỳ, tích vơ hướng hai vectơ vàđược kí ur ur hiệu Hàm vectơ 2.1 Định nghĩa (xem [2], tr 6) n ur n :U Trong cho U tập hợp tùy ý khác rỗng ánh xạ ur ,u a ur gọi hàm vectơ xác định U (u) 2.2 Định lý (xem [2], tr 6) Cho U tập hợp tùy ý ur n :U ur , u a ur (u) Gọi ur uur cho hàm vectơ sở trực chuẩn uur e1,e2 , , en Khi đó, tồn hàm số: xi : U r n ur xi (u)ei x(u) i L n, n ¡ ,u a i x (u) cho: * Nhận xét: Trong n cho hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ tương ứng ta gọi hàm hàm tọa độ 2.3 Định nghĩa (xem [2], tr 6) Cho J khoảng ¡ ur n Xét hàm vectơ : J ur ur ur ur ,t a ur (t) Khi giới hạn hàm vectơ (t) (t t) tồn gọi đạo li (t) hàm hàm vectơ m t t ur t Ta kí hiệu (t) Cung tham số 3.1 Định nghĩa (xem [2], tr 16) n n ¡ vào gọi từ khoản g J Mỗi ánh xạ :J ntham số (hay quỹ đạo) 3.2 V í d ụ a) cun g n ánh xạ hằng, (¡ ) {O}; ảnh cung tham số : ¡ tập có điểm O b) : ¡ n r r ur n tn vectơ ≠ ); ảnh ( r n , (t) đường thẳng qua O với vectơ phương n : ¡ n (t) r r t n (n ur n vectơ ≠ ), n ả h đường thẳng nói Ánh xạ khả vi Định nghĩa: Cho U tập mở m , V tập mở n f f làVmột , , p ấnh xạ u : f khả vi hà U n ( (lớp £ k ) m với O p ur ) v , O khả vi (lớp £ k ) e p c af t ( p ) U n, Vậy cung cung phẳng thỏa mãn u cầu tốn b) Giả sử cung song quy :J Đường thẳng mật tiếp định) ur r B a E có tham số hóa tự nhiên: 3, sa (s) điểm song song với ur r ( cố ( a vectơ B vng góc với mặt phẳng mật tiếp, B trường vectơ pháp tuyến đơn vị) ur r ur r Ta có: B'.a B.a ' ur r 0,khi ta có B' a r a = 0) r Tức là: N.a ( r vectơ suy (Do a J , N trường vectơ r pháp tuyến định vị ) N.a Do tiếp tuyến không song song với đường thẳng suy độ xoắn cung s = hay Suy cung Vậy cung cung phẳng cung phẳng thỏa mãn yêu cầu tốn Bài tập 2: Tìm cung song quy ta xác định tham số hóa: (t) biết phương trình mặt phẳng mật tiếp điểm hệ tọa độ Descarts vng góc Oxyz là: a t X b t Y Trong : c t Z d t t a a(t),b(t),c(t), d (t) hàm số cho trước Lời giải: Giả sử :ta (t) (x(t), y(t), z(t)) tham số hóa cung Mặt phẳng mật trình : a t X b t Y tiếp c t Z d t cung có phương Ta ký hiệu : N t a t ,b t ,c t vectơ pháp tuyến mặt phẳng Mặt phẳng mật tiếp qua ur uur (by dczd ax t h a ' x a '') xb ' (t yc 'oz d' ) N b ''dy ặc '' z d '' '(t c ( t ) ) ur d ''( uu t) r ( t ) N ' ( t ) ur uu r ( t ) N '' ( t ) N, N , N a = 1)a ' N a '' ế u D b c b ' c ≠ b '' ' c ' ' (t) nên ta có: (1) Khi , ,z t (1) hệ y Camer cách , ta t tính x t n , ,c t đạo h b hàm bậc nhất, bậc ất hai chúng t t h e o a t với đường thẳng cho trước cung phẳng (xem tập 1) Bài tập 3: Chứng minh tính chất sau cung song quy định hướng tương đương: 1) Tiếp tuyến tạo góc khơng đổi với phương cố định 2) Pháp tuyến song song vơi mặt phẳng cố định 3) Trùng pháp tuyến tạo góc khơng đổi với phương cố định với điều kiện độ xoắn khác điểm 2) N 0, N t u D song song với mặt phẳng cố định Suy mặt phẳn g mật tiếp song song 4) Tỷ số độ xoắn độ cong hàm 5) T ,T ,T = ( T trường vectơ tiếp , xúc đơn vị dọc D ds) Cung gọi cung đinh ốc tổng quát Lời giải: r Trước hết ta chứng minh 1,2,3 tương đương Thực vậy, giả sử a vectơ không đổi làm với tiếp tuyến cung đổi ur r T.a góc khơng ur r (khơng đổi) Khi đó: T '.a cos Khi ta có: r uur k.a N 0( k r uur 0) tức a.N 0, điều tương đương với pháp tuyến song song với mặt phẳng cố định Suy ur r r si (Trùng pháp tuyến làm với vectơ cho trước a góc khơng B.a đổi) n ur r Giả sử B làm với a (vectơ đơn vị cho trước) góc khơng đổi ur r r 0) .N.a0( uur r ur r ( B a ) = tức là: Khi ta có: N.a 0.Suy ra: T ln làm với a góc cố định Vậy 1,2,3 tương đương suy ra: Bây ta chứng minh tương đương với r Giả sử vectơ không đổi làm với T góc khơng đổi a r uur a.N tức là: r ur ur a( kT R) (1) r ur r sin vào (1) ta có: k.cos r sin Thay ur a.T cos a.B k = cotg Ngược lại, ta (không đổi) r k khơng đổi dọc ta tìm vectơ đơn vị a không đổi làm với vectơ tiếp tuyến đơn vị T Xét trường vectơ dọc : k T B góc khơng đổi Ta có: ' k 'T k T 'B ' k kN Vậy X trường vectơ song song dọc N ( vì= 0) k (xác định a không đổi) Để dễ dàng thử lại T ln làm với X góc không đổi mà cotg = k Điều kiện 4, tương đương ta có: T = k N , T = -k T + k N + kT B T =-3k k T – (k + k – k ) N + (2 k + k ) B Tích hỗn tạp T ,T , T là: T ,T ,T kT , N, B = k (k , T , N, B - ) = k (k - k ) (Vì T , N, B = 1) T ,T ,T Vậy : T, T ,T =k k (k 0) = điểm dấu hiệu để cung k số T , cặp Bectơrăng (Bertrand) có tham số hóa ,t a :J I ,t a u ,u (t) và%: I = T cung đinh ốc Bài tập 4: Cặp cung song song quy định hướng :J ,T trong3 gọi và a %(u) có vi là: phân bảo tồn hướng (t) để pháp tuyến 40 t (t) trùng với t J ( khác nhau) Chứng minh ( , ) cặp Bertrand thì: 40 1) Khoảng cách điểm tương ứng %( (t)) không đổi (t) 2) Các tiếp tuyến điểm tương ứng tạo với góc khơng đổi 3) Độ cong k độ xoắn cung thỏa mãn hệ thức ak + b = (a, b số) 4) Độ cong k độ xoắn thỏa mãn hệ thức: a(k.sin + cos ) = sin Lời giải: Giả sử cung 3, r:sa song quy có tham số hóa tự nhiên r : J I , N, B trường mục tiêu Frênê dọc (Xem [2], T r ), k , độ cong độ xoắn Theo định nghĩa cung song liên hợp Rectrăng 60 vớ , a const i cặp rectrăng) có tham số hóa: s J 1ka 'T k 1ka aN2 a ' r:J (1) uur , s ar%(s) r(s) a(s).N (a hàm số biến số s , khả vi bậc 1, s nói ( N (s) Từ suy ra: ể m ) c h ứ a (2) T ( ) t a c ó : r %' (s) r%'.N r '(s) a(s).N a(s).N ' 1ka T a'N a (tiếp tuyến vng góc với pháp tuyến chính) tương đươn a' 0,a const Vậy khoảng cách g với điểm tương ứng , là: ,r% (s) d 2) r ''( s) r ( s ) 61 Vì , cặp Bectơrăng nên mặt phẳng mật tiếp (tại chung).không phải tham số cung ) ( r%(s),r%''(s), N (s) 1ka ' ' Dựa vào (1),1ka (2) (3) ta có: r%(s),r%''(s), N(s) 0, s (4) J S a1ka 'a ' 1ka Hoka ln b c: ( b ln số) ka b Suy b ra: ( ) 3) Đặt góc tạo hai tiếp tuyế n điể m tươ ng ứng r %vectơ ' tiếp s tuyến ,T (s) vectơ tiếp tuyến đơn vị Dựa a ' ) ta có: vào (2) (với ý (tha bs ) b a a y1 k b ka cos 2 V a cos sin sin Bài tập 5: Tìm liên hệ a, b, c để cung :t k a ( a t , b t , c t cos b (7) a2 b2 Các tiếp tuyến điểm tương ứng tạo thành góc khơng đổi 4) Cũng từ (2) ta có: sin a ( a k a ) a k sin cos sin đinh ốc l c u n g Lời giải: Ta có: 'a, 2bt,3ct ;'' ''' 0,0,6c ; 0, 2b,6ct '2 a2 4b2t2 9c2t4 ' ''6bct , 6act, 2ab '.'' a2 b2 ','',''' 9a2c2t 12abc a2b2 9a 2c 2t 9b2c2t a2 4b2t2 9c2t4 Suy độ cong: k Độ xoắn: a 2b2 3abc a2 k 9b2c2t a 2b 12abc 9a2c2t 9b2c2t4 4b2t 9c2t 9a 2c 2t 9b2c 2t4 Điều kiện để cung cho cung đinh ốc là: k không số phụ thuộc vào t Do đó: Suy ra: a a 2b , 4b2 9a2c2 9a2c2 t 9c2 2b2 9b2c2 t4 3ac 4b4 b2 Trong chương này, tìm lời giải cho số toán liên quan tới :Cung song quy định hướng E , nhằm củng cố giúp bạn đọc nắm vững kiến thức tím hiểu chương chương KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận trình bày khái niệm số tốn cung song quy định hướng E Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan hình học thuận lợi Mặc dù có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan chủ quan khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận bảo thầy giáo, giáo, góp ý phê bình bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Thị Hảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Bình Đơ, Hình học vi phân, NXB ĐHSP [2] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB GD 2000 [3] Đồn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trƣơng Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học vi phân, NXB GD 1993 [4] Phan Hồng Trƣờng, Đại số tuyến tính,NXB ĐHSP Hà Nội ... nghiên cứu Kiến thức cung song quy định hướng E 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm cung, cung quy, cung song quy E số tốn liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cung song quy định hướng E Phƣơng pháp... hiệu Trong chương này, xét số định nghĩa, tính chất, số định lý mang tính chất chuẩn bị Sau đây, nghiên cứu sâu Cung song quy định hướng E ” 10 Chương CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E Trong. .. hóa tự nhiên cung quy 25 §3 Cung song quy , độ cong độ xoắn 28 Độ cong độ xoắn .28 Cung song quy 32 Chương MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E