BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ HỆ BẬC NHẤT KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Tác giả: Lê Thị Lệ Quyên Đơn vị: Tổ Toán - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Lai Châu Email: letieuquynhlc@gmail.com I TĨM TẮT BÁO CÁO Phương trình nghiệm ngun lớp đa thức vấn đề quan trọng Số học Ngồi lớp phương trình đặc biệt phương trình Pell, nhiều phương pháp khác để giải toán nghiệm nguyên phương trình như: phương pháp quy hệ bậc nhất, phương pháp đánh giá hai vế, phương pháp lựa chọn môđulô, phương pháp dùng định lý Số học, phương pháp sử dụng tính chia hết, Với việc tìm nghiệm ngun cho phương trình mơ tả đa thức hai nhiều biến với bậc lớn 1, báo cáo tập trung sâu vào phương pháp quy hệ bậc để tìm nghiệm nguyên phương trình II NỘI DUNG BÁO CÁO Phương pháp quy hệ bậc phương pháp đưa phương trình dạng tích đa thức có kết số nguyên, từ dựa vào tính chia hết số nguyên để đưa phương trình hệ bậc tương ứng Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  x   y Lời giải: Ta có x  x   y  x  x  24  y 2   y    x  1  23   y  x  1 y  x  1  23 1 Từ (1) dẫn đến việc tìm nghiệm nguyên hệ sau:  y  x   23  2 y  x   2 y  x     y  x   23  y  x   23   y  x   1  y  x   1   y  x   23 Lần lượt giải hệ này, tương ứng chúng cho nghiệm (x; y): (5;6), (-6;6), (-6; -6), (5; -6) Đó nghiệm ngun phương trình cho Ở số tốn, việc phân tích đa thức thành nhân tử dựa vào tính phương biệt thức  phương trình bậc hai Sau dựa vào tính ngun dương nghiệm để đánh giá giá trị biểu thức liên quan Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x  y  xy  x  y  14 Lời giải: Viết lại phương trình dạng: x  3x  y  1  y  y    14   (1) ,  ta xác định sau Coi vế trái (1) tam thức bậc hai x, ta có:    y  1  y  20 y  4  y  y   4 Vì ta cần quan tâm đến nghiệm nguyên (1), nên trước hết  cần có dạng bình phương đúng, cần chọn  = 2,   y  y    y  1 Lúc tam thức bậc hai vế trái (1) có nghiệm: 3 y   y   y  3 y   y  x2   2 y  1 x1  Vì 1   x  y   x  y  1  16 (2) Do x, y nguyên dương nên x 1, y   x + y +  x + 2y +  Vì vế phải 16 ta phân tích 4.4 T dẫn đến hệ sau: x  y    x  y 1  x  y    Vậy (1; 1) nghiệm nguyên dương cần tìm Chú ý: 1) Nếu tốn đòi hỏi tìm nghiệm ngun, từ (2) ta suy hệ sau:  x  y   16  x  y 1 1 x  y    x  y 1  x  y    x  y 1   x  y   16   x  y   1  x  y   8   x  y   2  x  y   4   x  y   4 x  y  1   x  y   16  x  y   1   x  y   16 x  y    x  y    x  y   2   x  y   8 Như tốn tìm nghiệm ngun ban đầu dẫn đến việc tìm nghiệm nguyên 10 hệ bậc nói Nghiệm hệ lấy làm nghiệm phương trình cho, hệ cho nghiệm nguyên 2) Chúng ta sử dụng phương pháp nhóm số hạng để phân tích thừa số (có thêm bớt thích hợp) đưa phương trình (1) dạng (2) Bài tốn tương tự: Tìm nghiệm ngun phương trình: x  xy  y  x  y  10  Bằng cách làm tương tự, ta đưa phương trình cho dạng:  x  y  x  y    10 Ở số dạng tập, ta áp dụng cách phân tích thành tổng bình phương đa thức số nguyên, từ dẫn đến việc đưa hệ bậc tìm nghiệm nguyên chúng Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x  xy  y  169 Lời giải: Ta có: x  xy  y  169   x  y   y  169  x  y  y  169 (1) Vì x  y số nguyên  0, y số nguyên dương 169 = 132 +02 =122 + 52 nên từ (1) suy khả sau (để ý x, y >0):  x  y   x  26 +   y  13  y  13  x  y  12  x  22 +  (do x  0) y  y      x  29   x  y    y  12 +    x  19  y  12    y  12 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên dương là: (26;13), (22; 5), (29;12), (19; 12) Cũng phương pháp phân tích thành tổng bình phương dựa vào tính nguyên dương nghiệm nên ta có đánh giá phù hợp để dẫn phương trình hệ bậc Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau: x  y  z  xy  yz  26  xz Lời giải: Viết lại phương trình cho dạng tương đương sau: x   x  xy  y    x  y  z  xy  xz  yz   26 2  x   x  y    x  y  z   26 (1) Do x, y, z nguyên dương nên x < x +y < x + y + z Mặt khác 26 có cách phân tích thành tổng ba bình phương, 26 = 12 + 32 + 42 Vì lẽ ấy, từ (1) ta có hệ sau: x 1 x     y  x  y  x  y  z  z    Vậy (1;2;1) nghiệm nguyên dương phương trình cho Ở số tốn, việc đánh giá giá trị biểu thức áp dụng bất đẳng thức kinh điển AM - GM, Cauchy - Schwarz, trường hợp xảy dấu đẳng thức, điều thể ví dụ sau: Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  z  15 x z  x y z   y   Lời giải: Đưa phương trình cho dạng tương đương sau: x    y    z  3x z  y  5 1 Chú ý, x > 0, y > 0, z > nên theo bất đẳng thức AM - GM, ta có: x    y  5  z  3x2 z  y  5  2 Từ ta có (1) trường hợp xảy dấu (2), tức là:  3 4  x  y    x  z Ta có  3  x  y    x  y  x  y    5 Do x > 0, y > nên từ (5) suy x + y > x - y > Mặt khác, dựa vào phân tích = 1, từ (5) ta đến hệ sau: x  y  x    x  y  y  Do vậy, từ (4) ta có z = Hay (3; 2; 9) nghiệm nguyên dương phương trình cho Ví dụ 6: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x 2  y  28   17  x  y  14 y  49  Lời giải: Viết lại phương trình cho dạng tương đương sau: 1.x   2  1  2   2  4. y    12    x    y   Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, 1.x   4. y    12    x    y   Dấu đẳng thức (2) xảy x2 y   Vì lẽ ấy, phương trình cho tương đương với phương trình sau: x  y    x  y  x  y   (3) Do x > 0, y > nên từ (3) suy 2x + y > 2x - y > Mặt khác, dựa vào phân tích = 1, từ (3) ta đến hệ sau: 2 x  y  x    2 x  y  y  Vậy (x; y) =(2; 3) nghiệm nguyên dương phương trình cho Đối với số biểu thức chứa căn, dựa vào tính chất số nguyên, ta đánh giá để đưa hệ bậc sau: Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 11x  2x   3y  y   Lời giải: Ta có nhận xét rằng, bình phương số ngun khơng có dạng 4m + 3, m   , y   y  số vơ tỉ Đưa phương trình cho dạng sau: y 1  2x   3y   x, y   vế phải (1) số hữu tỉ, 11x (1) y  số vô tỉ, (1) có nghiệm nguyên hệ sau có nghiệm nguyên:  y 1  2x   4 y   x      11x 0 15 y  10  11x  3 y    2 x   x    4 y  x   15 y  11x  10  y   Vậy phương trình cho có nghiệm (5; 3) Bài tập tương tự: Tìm nghiệm nguyên phương trình 5x  y  3x   y   Làm tương tự ví dụ ta thấy (3; 6) nghiệm phương trình Đối với biểu thức phân thức điều cần biểu thức phải số hữu tỉ Từ đưa đánh giá thích hợp Ví dụ 8: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x  y  3  yz Lời giải: Trong lớp nghiệm nguyên dương, phương trình cho viết dạng tương đương sau: zx y 3 y (1) Từ (1) x nguyên, nên suy để z nguyên điều kiện cần y3 y phải số hữu tỉ Từ suy ra: y   k2  y  l Với k, l số nguyên dương Từ suy ra: k  l    k  l  k  l   Do k + l > k - l, nên ta có:  k  l  k   y      y 1  k  l  l  y     Thay y = vào (1) có z = 2y Vì nghiệm nguyên dương phương trình cho có dạng (k, 1, 2k), k số nguyên dương tùy ý Ở số phương trình, việc áp dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hữu hiệu Ví dụ sau thể điều Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  xy  Lời giải: Áp dụng đẳng thức: a  b  c  3abc   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  , đưa phương trình cho dạng tương đương sau: 3 x    y    1  x   y  1    x  y  1  x  y   xy  y  x   x  y 1   2  x  y   xy  y  x  x  y 1  2  x  y    x  1   y  1  x  y 1     x  1   y  Vậy phương trình cho có nghiệm ngun (-1; 1), (k +1; k) với k   Một phương trình có dạng bậc hai, muốn có nghiệm ngun biệt thức  cần số phương, từ ta đưa đánh giá phù hợp Theo hướng này, nhiều ta phân tích đa thức thành dạng tam thức bậc hai, kết hợp với điều kiện  để đưa hệ bậc Ví dụ 10: Tìm nghiệm ngun phương trình: x  y  y  x    x  y  Lời giải: Đưa phương trình cho dạng tương đương sau: y  x y  xy  x y  3xy   y  y   x  x  y   x  x    (1) Từ (1) xảy hai khả sau: + Nếu y = 0, x   thỏa mãn (1) + Nếu y  0, từ (1) ta có: y   x  x  y   x  x   (2) Xét biệt thức  (2) (coi (2) phương trình bậc hai ẩn y) 2    x  x   8(3 x  x )  x  x  1  x   Phương trình (2) có nghiệm nguyên trước hết ta cần có  số phương, tức khi: x  x  8  k , k     x   k  x   k   16 (3) Do x   k  x   k (vi k   ); (x - - k) (x - + k) số chẵn nên từ (3) suy ra:  x   k    x   k   x   k  x   x   x   k    x  x   k        x   k  4  x  1    x   k  8   x   k  2   y  6 Khi x = 9, thay lại (2) ta có: y  27 y  126     y  21 Khi x = 8, thay vào (2) ta có: y  20 y  100   y  10 Khi x = 0, thay lại vào (2) ta có: y   y  (loại xét y  0) Khi x= - 1, thay lại vào (2) ta có: y  y    y  1 Vậy phương trình cho có nghiệm ngun sau: (9; -6); (9; -21); (8; -10); (-1; -1); (k; 0), k   tùy ý Việc phân tích thành tổng bình phương cho kết số nguyên không lớn, ta chia trường hợp cho số hạng tổng Điều thể ví dụ sau đây: Ví dụ 11: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 2 8 x  y    y  z    3z  x  2 Lời giải: Do x, y, z nguyên dương nên x  y , y  z , 3z  x số ngun khơng âm Vì từ 2 8x  y  y  z  3z  x  suy hai ba số x  y , y  z , 3z  x số lại phải Có ba khả sau:  x  y  y  z  1)   z  x   x  y  z  x  2)   y  z   x  y  3)   y  z  3z  y  Xét đại diện trường hợp 1)   8x  y   y  z    3z  x   8x  y   y  z   8x  y    3z  x   3y  2z      8x  y  z  x     y  z   3z  x    8x  y   y  z    z  x 1 1 0 1  1 0  1 1 0  1  1 0 Rõ ràng việc giải hệ không phức tạp nhiên phải giải nhiều hệ Phương trình cho có nghiệm ngun dương sau: (3;5;7), (12;19; 28) Số học mảng rộng Tốn học phương trình nghiệm nguyên phần chương trình Số học rộng lớn Các phương pháp tìm nghiệm nguyên phương trình vơ đa dạng phong phú, phương pháp quy hệ bậc phương pháp nhỏ để tìm nghiệm nguyên 10 nguyên dương phương trình Các ví dụ viết thể phương pháp tìm nghiệm nguyên phương trình lớp đa thức góc nhìn cá nhân, nên mong ý kiến đóng góp quý thầy cô TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Khải, (2009), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học - Chuyên đề - Phương trình nghiệm nguyên, NXB Giáo dục 11