KIỂM TRA 45 PHÚT HÌNH HỌC DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TỐN 10 Bài I: (6 điểm) Cho góc nhọn BAx, điểm C di động tia Ax ( C khác A) Gọi tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC M,N,P PA EA  Gọi E giao điểm MN AB Chứng minh PB EB Chứng minh : MN qua điểm cố định C di động (Trích đê 30 – – 2014 THPT Gia Định) Bài II: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD điểm M, N, P, Q ; số m,n,p,q khác không thỏa điều kiện sau: uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur r m.MA  n.MB  m.ND  n.NC  p.PA  q.PD  p.QB  q.QC  Gọi I giao điểm MN PQ uuur uur uur uur r p IM  q IN  m IP  n IQ  Chứng minh DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TOÁN 10 Bài I : (4 điểm) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC, AB E, F Gọi K giao điểm BI � EF Chứng minh BKC  90 Bài II : (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với BC cạnh nhỏ Đường tròn nội tiếp (I) tam giác tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự X, Y, Z Gọi G trọng tâm tam giác XYZ Trên tia BA, CA lấy điêm E, F cho BE = CF = BC Chứng minh IG  EF Trích SGK chun tốn Hình 10 LUYỆN TẬP THÊM TỈ SỐ KÉP VÀ HÀNG ĐIỀU HÒA BÀI TẬP VẬN DỤNG CĨ HƯỚNG DẪN DÀNH CHO LỚP CHUN TỐN 10 Đề THPT Thực Hành SP An Giang 2012 Cho tam giác ABC điểm M Gọi Ga GbGc Ga ; Gb ; Gc ; Gm ; G theo thứ tự trọng tâm tam giác MCB; MCA; MAB , ABC Chứng minh M thay đổi, đường thẳng MGm quay quanh điểm cố định HD: Dùng phương pháp vectơ THPT Thượng Hiền 2012 Cho hai đường tròn  O; R  ;  O '; R ' cắt hai điểm A B Một cát tuyến CBD quay quanh B nhìn 900.C � O  ; D � O '  từ A góc AD Chứng minh CI; FD; BE đồng quy Đường kính CE (O) cắt (O’) F G Gọi I giao điểm BG HD: Dùng hàng điểm điều hòa ( Hệ thức Newton) áp dụng Ceva + Menelaus Chuyên Thăng Long 2012 Cho hình bình hành ABCD điểm M AC Gọi E điểm đối xứng B qua M Trên CD AD lấy điểm P Q cho EP//AD; EQ//CD Chứng minh M,P,Q thẳng hàng HD Dùng Menelaus Cho tam giác ABC điểm M nằm tam AM , BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB A1 ; B1; C1 BA; CA; AB điểm theo thứ tự cắt B1C1 ; C1 A1 ; A1B1 A2 , B2 , C2 A3 , B3 , C3 theo thứ tự trung A1 A2 ; B1 B2 ; C1 C2 Chứng minh A3 , B3 , C3 thẳng hàng HD : dùng định lí Menelaus Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác BO, CO theo thứ tự cắt AC, AB E, F I  AO �EF H � � hình chiếu I BC Chứng minh AHE  OHF HD : dùng định lí 16 Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D,E,F H hình chiếu D EF � � Chứng minh BHD  CHD HD : dùng định lí Ceva Cho hai đường thẳng a,b cắt O Điểm M không thuộc a, b không thuộc đường phân giác � � góc tạo a,b Hai điểm A,B theo thứ tự thay đổi a,b cho OMA  OMB Chứng minh AB qua điểm cố định HD: Dùng định lí chùm điều hòa Một số ứng dụng định lý Menelaus, Ceva toán THCS: - Chứng minh tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích - Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy - Áp dụng để giải tập tổng hợp: Chứng minh song song, tính góc,… I Bài tập minh họa: Bài Cho ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC P Chứng minh rằng: PA = 2PC Bài Cho ABC Gọi D trung điểm BC, E F hai điểm nằm AB, AC cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh EF // BC Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q tiếp điểm (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN đường kính thay đổi đường tròn (M khơng trùng với A, B) Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d C D Gọi I giao điểm CO BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng Bài Cho tam giác nhọn ABC, AB  AC Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P giao điểm đường thẳng BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp PB DB  PC DC D trung điểm QS b) c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E , D cho DE  DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F � a) Chứng minh đường thẳng EF chia đơi góc AED b) Chứng minh �  CED � BFE Bài Cho tam giác ABC, gọi M chân đường vng góc kẻ từ A xuống đường phân giác góc BCA, N L chân đường vng góc kẻ từ A C xuống đường phân giác góc ABC Gọi F giao MN AC, E giao BF CL, D giao BL AC Chứng minh DE song song với MN Bài Cho ABC lấy E, F, M thứ tự cạnh AC, AB cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM đồng quy Bài Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự AB, AC cho AH phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy Bài 11 Cho ABC vuông A, đường cao AK Dựng bên ngồi tam giác hình vuông ABEF ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy II Bài tập đề nghị: Bài Cho tứ giác ABCD có M, N giao cặp cạnh đối AB CD, AD BC Đường thẳng AC cắt JA IA  BD, MN I, J Chứng minh JC IC Bài Cho tam giác ABC A’B’C’ cho AA’, BB’, CC’ đồng quy O Gọi A 1, B1, C1 giao điểm cặp cạnh BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’ Chứng minh A 1, B1, C1 thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối AB Cd, AD BC cắt M, N Chứng minh trung điểm I, J, K AC, BD, MN thẳng hàng Bài Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Các điểm A’, B’, C’ giao điểm cặp AB DE, BC EF, CD AF Chứng minh điểm A’, B’, C’ thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB Điểm M nằm tam giác ABC điểm A1, B1, C1 giao điểm MA, MB, MC với B’C’, C’A’, A’B’ Chứng minh A’A 1, B’B1, C’C1 đồng quy Bài Cho tam giác ABC Một đường thẳng cắt cạnh BC, CA, AB A 1, B1, C1 Gọi A2, B2, C2 điểm đối xứng A 1, B1, C1 qua điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh điểm A 2, B2, C2 thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác AM, BM, CM cắt cạnh đối diện A 1, B1, C1 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A 1B1C1 cắt cạnh BC, CA, AB điểm thứ hai A 2, B2, C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy Bài Cho (O1) (O2) cắt hai điểm A, B Các tiếp tuyến A B (O 1) cắt K Lấy điểm M nằm (O1) không trùng A B Đường thẳng AM cắt (O 2) điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O 1) điểm thứ hai C đường thẳng AC cắt (O 2) điểm thứ hai Q Gọi H giao điểm PQ với đường thẳng MC Chứng minh rằng: H trung điểm PQ Bài Cho góc xOy, tia Ox lấy hai điểm C A, tia Oy lấy hai điểm D B cho AD cắt BC E IA KA  Các đường thẳng AB CD cắt K; tia OE cắt AB I Chứng minh rằng: IB KB II Bài tập minh họa: Bài Cho ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC P Chứng minh rằng: PA = 2PC Lời giải Áp dụng định lí Menelaus cho AMC với cát tuyến BIP ta có: A PC IA BM 1 PA IM BC P PC IM BC   IA BM nên PA = 2PC Suy ra: PA I C B M Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho toán dẫn đến lời giải hay ngắn gọn Bài Cho ABC Gọi D trung điểm BC, E F hai điểm nằm AB, AC cho AD, BF, CE đồng quy Chứng minh EF // BC Lời giải Áp dụng định lí Ceva cho ABC với đường đồng quy A AE BD CF 1 AD, BF CE ta có EB DC FA AE CF EA FA 1  Vì BD = CD nên EB FA suy EB FC E F O B D C Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC Nhận xét: Trong tập dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thơng thường dùng khó khăn chứng minh Ở ta dùng định lí Ceva dẫn đến EA FA  tỉ số có lợi EB FC áp dụng định lí Ta-let để thu kết hay ngắn gọn Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q tiếp điểm (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy Lời giải Gọi I giao QM BD Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD QA ID MB 1 với điểm Q, M, I thẳng hàng ta có QD IB MA mà MB ID 1 QD IB MA = QA nên suy Ta có MB = NB, DQ = DP, PC = NC NB ID PC ID NB 1� 1 PD IB NC nên DP IB , theo định lý Menelaus I, N, P thẳng hàng Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN đường kính thay đổi đường tròn (M khơng trùng với A, B) Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d C D Gọi I giao điểm CO BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng (Trích Câu 5.d Đề HSG Phú Thọ 2010-2011) Lời giải Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng B, I, M ta có: (1) AB OI CM OI MA 1  BO IC MA � IC 2CM Tương tự với tam giác BCO ba điểm thẳng hàng A, I, F ta có: OI FB  IC 2CF (2) MA FB = Từ (1) (2) ta có CM CF Do MF // AB (định lí Ta lét đảo) mà AB  BC � MF  BC � Ta có �  900 MFC �  EBA � EFB (cùng phụ với góc EAB); �  EMC � EBA (tứ giác AMEB nội tiếp) �  EMC � � EFB � Tứ giác MEFC nội tiếp �  MFC �  900 � MEC Do đó: ME  EC (3) � Lại có MEN  90 (chắn nửa đtròn) � ME  EN (4) Từ (3) (4) suy C, E, N thẳng hàng Bài Cho tam giác nhọn ABC, AB  AC Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P giao điểm đường thẳng BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp PB DB  b) PC DC D trung điểm QS c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Toán, Vĩnh Phúc 2013-2014) Lời giải A a) Do AB  AC nên Q nằm tia đối E tia BA R nằm đoạn CA, F từ Q, C nằm phía đường thẳng BR � � Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE  BCA , R H S B P Q � � Do QR song song với EF nên AFE  BQR � � Từ suy BCA  BQR hay tứ giác BQCR nội tiếp DB HB  b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên AE HA DC HC  HA Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên AF DB AE HB AE FB    1 Từ hai tỷ số ta DC AF HC AF EC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được: PB EC FA PB AE FB 1�   2 PC EA FB PC AF EC PB DB   3 Từ (1) (2) ta PC DC DQ BD DS CD  ,  BP PF CP Do QR song song với EF nên theo định lí Thales PF Kết hợp với (3) ta DQ  DS hay D trung điểm QS c) Gọi M trung điểm BC Ta chứng minh DP.DM  DQ.DR Thật vậy, tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ.DR  DB.DC (4) �DC  DB � DP.DM  DB.DC � DP � � DB.DC � � Tiếp theo ta chứng minh D M C DP  DC  DB   DB.DC � DB  DP  DC   DC  DP  DB  � DB.PC  DC.PB � PB DB  PC DC (đúng theo phần b) Do DP.DM  DB.DC   Từ (4) (5) ta DP.DM  DQ.DR suy tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E , D cho DE  DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F � a) Chứng minh đường thẳng EF chia đơi góc AED b) Chứng minh �  CED � BFE (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012) Lời giải a) Gọi M trung điểm BE , G giao điểm đường thẳng EF , AC GA EA  � Ta chứng minh GD ED Áp dụng định lý Ménélaus cho ADM với cát tuyến G, E, F GA FD EM GA FM EA � � 1�  � GD FD EM ta có: GD FM EA Lấy I �BC cho DI P AB Khi hai tam giác FMB, FDI đồng dạng nên FM BM  FD DI FM BM BM   DI P AB DI DE Do ABC cân, nên DCI cân, hay DI  DC  DE suy ra: FD EA EA  Do M trung điểm BE nên EM  MB EM MB GA FM EA BM EA EA  �  �  DE BM ED điều phải chứng minh Vậy GD FD EM � � � � � � b) Đặt ABC  ACB   ; DCE  DEC   ; DEG  GEA   Ta chứng minh      Thật vậy: � � Trong tam giác BEC có CBE   , BCE     suy �  1800          1800  2   CEB (1) � Do G , E , F thẳng hàng nên FEB   �  1800  CEG �  BEF �  1800         CEB (2) Từ (1) (2) suy      , điều phải chứng minh Bài Cho tam giác ABC, gọi M chân đường vng góc kẻ từ A xuống đường phân giác góc BCA, N L chân đường vng góc kẻ từ A C xuống đường phân giác góc ABC Gọi F giao MN AC, E giao BF CL, D giao BL AC Chứng minh DE song song với MN Lời giải Kéo dài AM cắt BC G, kéo dài AN cắt BC I, kéo dài CL cắt AB J Khi AM = MG AN = NI suy MN BC song song với (1) Vì AM = MG nên AF = FC Gọi H giao LF BC, ta có BH = CH Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt BH CE LD 1 F, theo định lý Ceva ta có HC EL DB CE DB  Vì BH = CH nên EL LD , suy DE BC song song với (2) Từ (1) (2) suy MM song song với DE Bài Cho ABC lấy E, F, M thứ tự cạnh AC, AB cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM đồng quy Lời giải Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Gọi AM  EF = K A Theo định lý Talét ta có: ; ; Suy = K F E Áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có CF, BE , AM đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE N, AM  BE = I B C M A N Ta có =; =2; = F Suy =.2 =1 Áp dụng định lý Menelaus cho ABM F, I, C thẳng hàng Từ suy CF, BE , AM đồng quy E I B M C Bài Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy Lời giải Cách 1: (Chứng minh đồng quy) A Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: F E AF = AE; BF = BD; CE = CD Suy = =1 Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy AD, BE, CF N B A F D đồng quy C E I B D C Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF N AD  CF = I Ta có : = =.==1 Áp dụng định lí Menelaus cho ACD AD, BE, CF đồng quy Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự AB, AC cho AH phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy M Lời giải A N Cách 1: (Chứng minh đồng quy) E Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD M N D Vì HA phân giác góc A, HA đường cao nên AM = AN B Ta có: ;  C H Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy AH, BE, CD đồng quy M A N K E Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) D Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE M, N, K Gọi AH I  BE = I B Ta có: == C H .== ==1 Áp dụng định lí Menelaus cho ABH D, I, C thẳng hàng Vậy AH, BE, CD đồng quy H Bài 11 Cho ABC vuông A, đường cao AK Dựng bên ngồi tam giác hình vng ABEF vàGACGH F Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy A Lời giải E I D B K C Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Gọi D = AB  CE, I = AC  BG Đặt AB = c, AC = b Ta có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC  = =; = (do AIB  CIG)  = =1 Áp dụng định lý Ceva cho ABC AK, BG, CE đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BG H M AK  BG O Ta có =; = suy = G F = = =.=1 Áp dụng định lý Menelaus cho ABK D, O, C thẳng hàng Vậy AK, BG, CE đồng quy A E M I D B O K C ... = =1 Áp dụng định lý Ceva cho ABC AK, BG, CE đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BG H M AK  BG O Ta có =; = suy = G F = = =.=1 Áp dụng định lý Menelaus... , AM đồng quy Lời giải Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Gọi AM  EF = K A Theo định lý Talét ta có: ; ; Suy = K F E Áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có CF, BE , AM đồng quy Cách 2: (Chứng minh thẳng... H Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy AH, BE, CD đồng quy M A N K E Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) D Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE M, N, K Gọi AH I  BE = I B Ta có: == C H .== ==1 Áp dụng định