XÂY DỰNG SONG ÁNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP I Tóm tắt lí thuyết 1) Cho ánh xạ f : A  B a1, a� A,fι(a1 ) f (a2 ) a1 a2 a1 , a2 A, a1 a) f là đơn ánh �� � b) f là toàn ánh � b �B, a �A : f (a )  b c) f là song ánh � f là đơn ánh và toàn ánh � b �B, !a �A : f (a )  b 2) Cho A, B là tập hợp hữu hạn Khi đó: a) Nếu có một đơn ánh f : A  B thì | A | �| B | b) Nếu có một toàn ánh f : A  B thì | A | �| B | c) Nếu có một song ánh f : A  B thì | A |  | B | 3*) Cho A, B là tập hợp hữu hạn có lực lượng bằng Khi đó: a) Nếu có một đơn ánh f : A  B thì f là song ánh b) Nếu có một toàn ánh f : A  B thì f là song ánh 4) Công thức tính lực lượng của tập hợp : n n U Ai  �Ai  i 1 i 1 � A �A 1�i  j �n i j �  1�i  j  k �n a2 f (a1 ) f ( a2 ) Ai �A j �Ak   (1) n A1 �A2 � An II Các ví dụ: Ví dụ 1: Hãy tính trung bình cộng tất cả các số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N M99 và các chữ số của N thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Giải : Gọi T là tập hợp tất cả các số N thỏa điều kiện đề bài Ta xây dựng song ánh f : T  T sau : f : T �� �T N  a1 a2 a2010 a f ( N )  b1b2 b2010 đó bi   , i  1, 2010  a) Chứng minh f là ánh xa : Với mỗi N = a1 a2 a2010  T ta có : Rõ ràng vì �{1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} nên bi   �{1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}, i  1, 2010 43 M99 nên f ( N ) M99 Vì N M99 và N  f ( N )  9999 999 2010 ch sô ' Do đó, f(N)  T Vậy f là ánh xạ  b) Chứng minh f là đơn ánh: Giả sử N1  x1 x2 x2010 , N  y1 y2 y2010 �T cho f ( N1 )  a1a2 a2010 , f ( N )  b1b2 b2010 và f ( N1 )  f ( N ) Khi đó,  bi , i  1, 2010 �  xi   yi � xi  yi , i  1, 2010 � N1  N  c) Chứng minh f là toàn ánh: ( nếu áp dụng tính chất 3) thì không cần phải chứng minh ) Lấy số N  b1b2 b2010 �T tùy ý Chọn số P  a1a2 a2010 với   bi Chứng minh tương tự phần a) ta có P  T Và rõ ràng f(P) = N Vậy, f là song ánh �N  f ( N )  9999 999, 43 N �T � 2010 ch sô ' N  � N  f ( N )   T 9999 999 43 Ta có : �  N� �T N �T 2010 ch sô ' ��N  � f  N  (vì f là song ánh ) N �T �N�T �N 9999 999 43 102010  T 2 Ví dụ 2: Cho tập A = {1, 2, 3, …, 2n} Một tập của A gọi là một tập cân nếu tập đó số các số chẵn và số các số lẻ là bằng ( Tập � cũng là một tập cân vì nó có số các số lả và số các số chẵn là bằng 0) Gọi C là họ tất cả các tập cân của A và D là họ tất cả các tập của A có đúng n phần tử a) Hãy xây dựng song ánh f : C  D n b) Từ đó suy số tập cân của A là C2 n Giải : Gọi X và Y lần lượt là tập hợp các số chẵn và số lẻ của A Chú ý : X  Y  n Suy trung bình cộng các số N là : N �T  2010 ch sô '  �D Ta xây dựng song ánh f : C �� sau: M ( X �M ) �(Y \ M )  Chứng minh f là ánh xa :  M  C ta có : Vì M là tập cân nên X �M  Y �M a Do đó, ( X �M ) �(Y \ M )  X �M  Y \ M ( vì ( X �M ) �(Y \ M )  � ) = X �M  Y  Y �M  Y  n Như vậy, ( X �M ) �(Y \ M ) �D  Chứng minh f là đơn ánh: Lấy M, N tùy ý thuộc C cho f ( M )  f ( N ) Tức là : ( X �M ) �(Y \ M )  ( X �N ) �(Y \ N ) (1) Vì X �M , X �N là tập hợp các số chẵn và Y \ M , Y \ N là tập hợp các số lẻ nên từ (1) suy : �X �M  X �N �X �M  X �N �� � M   X �M  � Y �M    X �N  � Y �N   N � Y \M Y \ N Y �M  Y �N � �  Chứng minh f là toàn ánh: Với mỗi tập N  D , ta chọn M   X �N  � Y \ N  Số các số chẵn của tập hợp M là : X �N Số các số lẻ của tập hợp M là : Y \ N  Y  Y �N  n  Y �N  N  Y �N  X �N Do đó, M  C và f ( M )  ( X �M ) �(Y \ M )   X �N  � Y �N   N n Vậy f là song ánh và đó C  D  C2 n III Bài tập Tính trung bình cộng các số N gồm 2n chữ số (n > 1) thỏa mãn các điều kiện: i) N gồm các chữ số {1, 2, 4, 5} và hiệu chữ số liên tiếp lớn ii) N chia hết cho 11 (VMO – 2002) Cho tập S gồm tất cả các số nguyên đoạn [1; 2002] Gọi T là tập hợp tất cả các tập không rỗng của S Với mỗi X  T, kí hiệu m(X) là trung bình cộng các phần tử của X Tính m  �m( X ) X �T T Có một nhóm người mà đó : mỗi cặp không quen có đúng người quen chung, còn mỗi cặp quen thì không có người quen chung Chứng minh rằng số người quen của mỗi người là Cho trước số nguyên dương n và số nguyên dương r thỏa mãn điều kiện r < n – r + Cho X là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên Tính số các tập của X có r phần tử mà không chứa số nguyên liên tiếp r ĐS: Cn  r 1 Một cửa hàng kem có bán m loại kem Một nhóm có n người vào ăn kem và gọi n cốc kem Hỏi: a) Hỏi có tất cả sự lựa chọn? b) Hỏi có tất cả sự lựa chọn, đó cả m loại kem đều có mặt ? m 1 m 1 ĐS: a) Cn  m1 b) Cn 1 ... …, 2n} Một tập của A gọi là một tập cân nếu tập đó số các số chẵn và số các số lẻ là bằng ( Tập � cũng là một tập cân vì nó có số các số lả và số các số chẵn... đúng n phần tử a) Hãy xây dựng song ánh f : C  D n b) Từ đó suy số tập cân của A là C2 n Giải : Gọi X và Y lần lượt là tập hợp các số chẵn và số lẻ của A Chú ý :... là song ánh và đó C  D  C2 n III Bài tập Tính trung bình cộng các số N gồm 2n chữ số (n > 1) thỏa mãn các điều kiện: i) N gồm các chữ số {1, 2, 4, 5} và hiệu chữ số