Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Sự tương giao: Cho đồ thị hàm số: y = f ( x ) , y = g ( x ) Phương trình hoành độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) = phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm phân biệt: giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: ax + bx + cx + d , a ≠ ( ) Nếu có nghiệm x = x0 phân tích: ( x − x0 ) Ax + Bx + C = Nếu đặt hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yC Ð yCT > , có nghiệm: yC Ð yCT = , có nghiệm phân biệt: yCÐ yCT < yC Ð yCT < Phương trình bậc có nghiệm dương khi: xC Ð , xCT > a f < ( ) 2) Hai điểm nhánh đồ thị y = g ( x) , ta thường lấy hai hoành độ k − a k + b với a, b > x−k Góc khoảng cách: r r cos u ,v = - Góc vectơ: xx '+ yy ' ( ) x + y x '2 + y '2 ( r ur ) - Góc đường thẳng: cos α = cos n, n ' = - Khoảng cách AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) AA '+ BB ' A2 + B A '2 + B '2 - Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến ( ∆ ) : Ax + By + C = : d= Ax0 + By0 + C A2 + B - Đồ thị hàm bậc 3: y = f ( x ) cắt trục hoành điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB = BC tức nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng điểm uốn thuộc trục hồnh Trang - Phương trình trùng phương ax + bx + c = 0, a ≠ có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng < t1 < t2 , t2 = 9t1 Tiếp tuyến tiếp xúc: - Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) đồ thị ( C ) : y = f ( x ) y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) , hệ số góc: f ' ( x ) = k = tan ( x, t ) - Điều kiện đồ thị y = f ( x ) y = g ( x ) tiếp xúc hệ phương trình: f ( x ) = g ( x ) có nghiệm f ' x = g ' x ( ) ( ) - Tiếp tuyến qua điểm K ( a; b ) : Lập phương trình tiếp tuyến x0 cho tiếp tuyến qua điểm K ( a; b ) tìm x0 Chú ý: Với hai đường thẳng d : y = ax + b, d ' : y = a ' x + b ' có: d ≡ d ' a = a ' , b = b ' ; d / / d ' a = a ' , b ≠ b ' ; d ⊥ d ' a.a ' = −1 Yếu tố đối xứng: - Hàm số chẵn: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D f ( − x ) = f ( x ) Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Hàm số lẻ: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D f ( − x ) = − f ( x ) Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc O uur - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI ( Oxy ) → ( IXY ) x = X + x0 y = Y + y0 với I ( x0 ; y0 ) : - Điều kiện ( C ) nhận I ( x0 , y0 ) tâm đối xứng y0 = f ( x0 − x ) + f ( x0 + x ) , ∀x0 − x, x0 + x ∈ D , chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện ( C ) nhận d : x = a làm trục đối xứng; f ( a − x ) = f ( a + x ) , ∀a − x, a + x ∈ D , chuyển trục phép tịnh tiến đến S ( a;0 ) hàm số chẵn Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y M, khử tham số x y Trang Giới hạn: Chuyể ndk có tham số điều kiện x (hay y) Đặc biệt: Nếu M ( x; y ) ∈ ( V ) cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số CÁC BÀI TỐN Bài tốn 3.1: Chứng minh đồ thị hàm số y = x + 2m x + cắt đường thẳng y = x + hai điểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x + 2m x + = x + ⇔ x ( x3 + 2m2 x − 1) = ⇔ x = x + 2m x − = Xét hàm số f ( x ) = x + 2m x − Ta có f ( ) = −1 ≠ f ' ( x ) = x + 2m ≥ nên hàm số đồng biến ¡ ( ) f ( x ) = lim x + 2m x − = −∞ Vì lim x →∞ x →−∞ ( ) f ( x ) = lim x + 2m x − = +∞ xlim →+∞ x →+∞ nên phương trình f ( x ) = ln có nghiệm x ≠ : đpcm Bài tốn 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: a) y = x + ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x + m + b) y = x − 3mx + m + Hướng dẫn giải a) Cho y = ⇔ x + ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x + m + = ⇔ ( x + 1) ( x + 2mx + m + ) = ⇔ x = −1 f ( x ) = x + 2mx + m + = ( 1) Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m2 − m − > ∆ ' = ⇔ ⇔ m < −1 m > 2, m ≠ − m + ≠ f ( −1) ≠ b) D = ¡ Ta có y ' = x − 3m, y ' = ⇔ x = m Điều kiện ( Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị có CĐ, CT yC Ð yCT < Trang ( ) ( m) < ⇔ m > yC Ð yCT < ⇔ f − m f ( )( ) ⇔ m + − 2m m m + + 2m m < ⇔ ( m + 1) − 4m3 < ⇔ −4m3 + m + 2m + < ⇔ ( m − 1) ( 4m + 3m + 1) > ⇔ m > (vì ∆ = − 16 < nên 4m + 3m + > 0, ∀m ) Bài tốn 3.3: Tìm giá trị m để đường thẳng ( d m ) qua điểm A ( −2;2 ) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số: y = 2x −1 x +1 a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? Hướng dẫn giải Phương trình ( d m ) : y = m ( x + ) + = mx + 2m + Phương trình hồnh độ giao điểm ( d m ) đường cong: mx + 2m + = 2x −1 ⇔ ( mx + 2m + ) ( x + 1) = x − 1, x ≠ −1 x +1 ⇔ mx + 3mx + 2m + = 0, x ≠ −1 ( 1) a) Đường thẳng ( d m ) cắt đường cong cho hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 a ≠ m ≠ ⇔ ⇔ m < m > 12 ∆ > 0, g − ≠ ( ) m − 12 m > b) Hai nhánh đường cong cho nằm hai bên đường tiệm cận đứng x = −1 đồ thị Đường thẳng ( d m ) cắt đường cong cho hai điểm thuộc hai nhánh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 x1 < −1 < x2 Đặt x = t − x1 < −1 < x2 ⇒ t1 < < t2 Phương trình trở thành: m ( t − 1) + 3m ( t − 1) + 2m + = ⇔ mt + mt + = ( ) ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ⇔ m < Bài tốn 3.4: Tìm tham số để đường thẳng Trang a) y = m, m > cắt đồ thị ( C ) hàm số y = x − x − hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O b) y = x + m cắt đồ thị ( C ) hàm số y = x2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1 − x2 đạt x −1 giá trị nhỏ Hướng dẫn giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x − = m ⇔ x − 3x − − m = Với m > đường thẳng y = m cắt ( C ) hai điểm phân biệt A ( x A ; m ) B ( xB ; m ) đối xứng qua Oy, x A < xB uuu r uuu r Tam giác OAB vuông O nên OA.OB = ⇔ x A xB + m = Mà x A + xB = nên x A = − m; xB = m ( ) Do m − 3m − m − = ⇔ ( m − ) m + 2m + m + = ⇔ m = (vì m > ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 = x + m ⇔ x + ( m − 3) x − m = 0, x ≠ x −1 Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1: ∆ > m + 2m + > ⇔ : Đúng ∀m −1 ≠ g ( 1) ≠ Ta có: x1 − x2 = = −b + ∆ −b − ∆ ∆ − = 2a 2a m + 2m + = 4 ( m + 1) +8 ≥ 2 Vậy giá trị x1 − x2 nhỏ m = −1 Bài tốn 3.5: Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + m cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài b) Đường thẳng d : y = − x + m cắt ( C ) : y = 2x −1 hai điểm A, B mà AB = 10 x −1 Hướng dẫn giải Trang a) Hoành độ giao điểm đường cong trục hồnh nghiệm phương trình: x − ( m + 1) x + m = ⇔ x = x = m Điều kiện m > m ≠ Khi đó, phương trình có nghiệm x = −1, x = 1, x = − m , x = m Đường cong cắt trục hoành điểm tạo thành ba đoạn thẳng khi: m= m = 1 ⇔ m = m = (chọn) b) Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) : x − ( m − 1) x + m − = 2x −1 = −x + m ⇔ x −1 x ≠ Đường thẳng d cắt ( C ) điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác ∆ = ( m − 1) − ( m − 1) > m − 6m + > m < ⇔ ⇔ m > 1 ≠ 0, ∀m 1 − ( m − 1) + m − ≠ Khi A ( x1; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m ) x1 + x2 = m − 1; x1.x2 = m − Ta có AB = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) = 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( m − 1) − ( m − 1) − = 2 m − = −1 m = ⇔ ⇔ (thỏa mãn) m − = m = Vậy m = hay m = Bài toán 3.6: Chứng minh đường thẳng d : y = m − x cắt đồ thị ( C ) : y = cắt tiệm cận ( C ) P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có trung điểm x − 3x điểm M, N x −1 Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) : x − 3x = m − x ⇔ x − ( m + ) x + m = 0, x ≠ x −1 Trang Ta có x = khơng nghiệm ∆ = m + 16 > , ∀m nên d cắt ( C ) điểm phân biệt M, N Ta có y = x − 3x nên TCĐ: x = , TCX: y = x − = x−2− x −1 x −1 Do xP = , hoành độ giao điểm Q d với TCX: m − x = x − ⇒ xQ = xP + xQ m + xM + xN m+2 Do : đpcm = = 2 2 Bài tốn 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y = x + biết tung độ tiếp điểm y0 = 3 b) y = − x − x − x + song song với d : y = x+9 Hướng dẫn giải ( ) a) Ta có phương trình tiếp tuyến điểm x0 , f ( x0 ) : y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) Vì y0 = ⇔ f '( x ) = x + = ⇔ x0 = 1 nên f ' ( x0 ) = x+2 Thế vào: y = 1 ( x − 2) + = x + 4 b) y ' = − x − x − Đường thẳng d có hệ số góc k = Tiếp tuyến song song với nên y ' = ⇔ x + 16 x + 15 = ⇔ x0 = − 3 ⇔ − x2 − 4x − = 4 x0 = − 2 Với x0 = − 29 37 f ( x0 ) = nên có tiếp tuyến y = x + 24 12 Với x0 = − f ( x0 ) = − nên có tiếp tuyến y = x − 4 Vậy có tiếp tuyến y = 3 37 x − y = x + 12 Bài tốn 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: Trang a) y = x − x + có hệ số góc bé b) y = f ( x ) thỏa mãn f ( + x ) = x − f ( − x ) x = Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm y ' = x − 12 x = −6 + ( x − 1) ≥ −6 , dấu = x0 = nên max y ' = −6 , tiếp tuyến A ( 1; −1) y = −6 x + b) Lấy đạo hàm vế, ta có: f ( + 2x ) f '( + 2x ) = + f ( − x ) f '( − x ) Thế x = : f ( 1) f ' ( 1) = + f ( x ) f ' ( 1) ( *) 3 Thế x = vào f ( + x ) = x − f ( − x ) ⇒ f ( 1) = − f ( 1) ⇒ f ( 1) ( + f ( 1) ) = ⇒ f ( 1) = f ( 1) = −1 Với f ( 1) = ( *) : = (loại) Với f ( 1) = ( *) : −4 f ' ( 1) = + f ' ( 1) ⇒ f ' ( 1) = Vậy phương trình tiếp tuyến y = − −1 ( x − 1) Bài tốn 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) hàm số: a) y = x−3 biết khoảng cách từ tâm đối xứng ( C ) đến tiếp tuyến 2 x +1 b) y = x − x + biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB = 9OA Hướng dẫn giải a) Ta có y ' = ( x + 1) , x ≠ −1 Phương trình tiếp tuyến d M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1 y= ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − x0 + ⇔ x − ( x0 + 1) y + ( x02 − x0 − 3) = nên Trang −4 − ( x0 + 1) + ( x02 − x0 − 3) d ( I , ∆) = 2 ⇔ 16 + ( x0 + 1) =2 2 2 ⇔ ( x0 + 1) − ( x0 + 1) + 16 = ⇔ ( x0 + 1) − = x0 = ⇔ ( x0 + 1) = ⇔ x0 = −3 Với x0 = ta có phương trình tiếp tuyến y = x − Với x0 = −3 , ta có phương trình tiếp tuyến y = x + b) Ta có y ' = x − x Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB = 9OA nên hệ số góc tiếp tuyến d là: k = tan OAB = ± OB = ±9 OA Do y ' = ±9 ⇔ x − x = ±9 x2 − 2x − = x0 = −1 ⇔ ⇔ x0 = x − x + = ( VN ) Với x0 = , phương trình d y = x + Với x0 = , phương trình d y = x − 25 Bài tốn 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) hàm số: y = tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích S = x +1 điểm M có hồnh độ âm, biết tiếp x−2 Hướng dẫn giải Ta có y ' = −3 ( x − 2) ,x ≠ Tiếp tuyến d với ( C ) M ( x0 ; y0 ) , x0 < d:y= −3 ( x0 − ) ( x − x0 ) + x0 + x0 − Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy Trang x + x0 − x02 + x0 − ÷ Ta có A ;0 ÷, B 0; ( x0 − ) ÷ 1 1 x02 + x0 − x02 + x0 − S = ⇔ OA.OB = ⇔ = 6 ( x0 − ) x02 + x0 = x0 = −1 ∨ x0 = ⇔ ⇔ x0 = −4 ∨ x0 = x0 + x0 − = Chọn x0 < nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y = − 1 ( x + 1) ; d : y = − x + 12 Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) hàm số: a) y = x − x + qua A ( 0;2 ) b) y = ( − m ) x + − m , m ≠ qua M ( −1; −1) mx + m − Hướng dẫn giải a) Ta có: y ' = x − 10 x Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 y = ( x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − x02 + ) ( Cho tiếp tuyến qua A ( 0;2 ) : = x0 − 10 x0 )(0− x ) +( x ⇔ x03 − x02 = ⇔ x02 ( x0 − ) = ⇔ x0 = x0 = − x02 + ) Với x0 = có tiếp tuyến y = Với x0 = 25 x+2 có tiếp tuyến y = − b) Ta có y ' = −1 ( mx + m − 1) ,x ≠ 1− m m Gọi d tiếp tuyến với ( Cm ) điểm T ( x0 ; y0 ) d : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Trang 10 x02 = = AO : đpcm 16 ( x0 − x02 ) Bài tốn 3.28: Tìm điểm M thuộc ( C ) : y = cận ( C ) ngắn x +1 cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm x −1 Hướng dẫn giải Đồ thị ( C) : y = x +1 có TCĐ: x = , TCN: y = nên giao điểm tiệm cận I ( 1;1) Ta có x −1 x +1 M x; ÷∈ ( C ) nên khoảng cách: x −1 x +1 IM = ( x − 1) + − 1÷ = x −1 Dấu = xảy ( x − 1) = ( ( x − 1) + ( x − 1) ≥4 ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ± ( x − 1) ) 2 ( ) Vậy M 1 + 2;1 + , M − 2;1 − x +1 có đồ thị ( C ) Tìm điểm M đồ thị ( C ) cho tổng khoảng cách x −1 từ M đến đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x + y − = nhỏ Bài toán 3.29: Cho hàm số: y = Hướng dẫn giải Giả sử M x0 ; x0 + d= x0 + ÷∈ ( C ) , x0 ≠ Tổng khoảng cách x0 − −3 x0 − x0 + + x0 − = − + x0 + x0 + ÷ x0 − x0 − ÷ 5 ≥ 2 x0 + − + x0 + = x0 − + x0 − x0 − x0 − 5 Trang 20 = x0 − + ÷≥ x0 − ÷ 5 x0 = + 2 ⇔ x − = ⇔ Dấu đẳng thức xảy x0 = − ( ) ( Vậy điểm M thỏa mãn M + 2;1 + , M − 2;1 − Bài tốn 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y = ) 4x − có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé x−3 Hướng dẫn giải Đồ thị y = Gọi M x; 4x − có TCĐ ∆ : x = , TCN ∆ ' : y = x −3 4x − ÷∈ ( C ) , ta có d ( M ; ∆ ) + d ( M ; ∆ ') x −3 = x−3 + 4x − −4 = x−3 + ≥2 =6 x−3 x−3 Dấu = xảy x − = ⇔ ( x − 3) = , có điểm M ( 6;7 ) M ' ( 0;1) x−3 Bài toán 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y = x −1 có tổng khoảng cách đến trục bé x +1 Hướng dẫn giải Gọi M x; x −1 x −1 , x ≠ −1 ÷∈ ( C ) , tổng khoảng cách đến trục d = x + x +1 x +1 Xét điểm A ( 0;1) ∈ ( C ) d = nên d ≤ , xét điểm có: x ≤ , x −1 ≤ nên x +1 < x < , đó: d = x+ x −1 2 = x −1+ = −2 + ( x + 1) + ≥ −2 + 2 x +1 x +1 x +1 Dấu = xảy x + = ( 2 ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 ± x +1 ) ( Vậy có điểm M −1 − 2;1 + , M ' −1 + 2;1 − Bài tốn 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y = ) x2 − có tổng khoảng cách đến trục bé x−2 Trang 21 Hướng dẫn giải x2 − x2 − M x ; ∈ C d = x + , x ≠ ( ) Gọi tổng khoảng cách đến trục ÷ x − x − 3 2 Xét điểm A 0; ÷∈ ( C ) d = 3 , d ≤ nên xét điểm có hồnh độ x ≤ 2 x2 − x2 − Khi > nên d = x + x−2 x−2 x2 − x2 − 8x + d = f x = x + , f ' x = ( ) ( ) Nếu ≤ x ≤ x−2 ( x − 2) f '( x ) = ⇔ x = − Lập BBT d = f ( ) = x2 − −1 , g '( x ) = g ( ) = So sánh d = 3 M ≡ A 0; ÷ 2 Bài tốn 3.33: Tìm hai điểm nhánh đồ thị ( C ) : y= x2 − x − có khoảng cách bé x−2 Hướng dẫn giải x2 − x − 1 Hàm số y = = x +1+ ,x ≠ x−2 x−2 Gọi A + a;3 + a + 1 1 ÷, B − b;3 − b − ÷ điểm thuộc nhánh với a, b > Ta có: a b 2 1 BA = ( a + b ) + a + b + + ÷ = ( a + b ) 1 + + ÷ a b ab 2 2 = ( a + b) + + 2 ÷ ≥ 4ab + + 2÷ ab a b ab a b Trang 22 = + 2ab + ÷ ≥ + 4.2 ab Dấu = xảy a = b 2ab = Vậy A + 1 ⇔a=b= ab 1 1 4 ;3 + + B − ;3 − − ÷ ÷ 4 4 2 2 2 Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc ( P ) : y = f ( x ) = −3x + x − N thuộc ( P ' ) : y = g ( x ) = x + x + 13 cho MN bé Hướng dẫn giải Ta có khoảng cách MN bé tiếp tuyến M N song song với chúng vng góc với đoạn MN ( ) ( ) Gọi M x; f ( x ) , N x1 ; g ( x1 ) f ' ( x ) = g ' ( x1 ) ⇔ −6 x + = x1 + ⇔ x1 = −3x ( ) Do MN = 36 x − 192 x + 392 x − 352 x + 121 = h ( x ) ( Ta có h ' ( x ) = 64 x − 36 x + 49 x − 22 = 64 ( x − 1) ( 9x ) − 27 x + 22 ) h ' ( x ) = ⇔ x = Lập BBT h ( x ) = h ( 1) = Khi M ( 1;4 ) , N ( −3; −2 ) ; kiểm tra MN vng góc với tiếp tuyến M, N: Vậy M ( 1;4 ) , N ( −3; −2 ) Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị ( C ) : x2 − 2x + a) y = có tâm đối xứng x−3 b) y = x + x + x có trục đối xứng Hướng dẫn giải a) Ta có y = x + + nên ( C ) có TCĐ: x = TCX: y = x + , giao điểm tiệm cận I ( 3;4 ) x−3 uur x = X + Thế vào ( C ) được: y = Y + Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ OI : Trang 23 Y + = X + +1+ 5 ⇔Y = X + X +3−3 X Vì Y = F ( X ) = X + hàm số lẻ ⇒ đpcm X ( 2 b) y ' = x + 12 x + x = x x + x + ) y ' = ⇔ x = −2 x = −1 x = uur x = X −1 Thế hàm số: y = Y +1 Xét điểm I ( −1;1) Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI : Y + = ( X − 1) + ( X − 1) + ( X − 1) ⇔ Y = X − X hàm số chẵn ⇒ đpcm Bài tốn 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y = x2 + x + đối xứng qua điểm x −1 5 I 0; ÷ 2 Hướng dẫn giải Ta có y = x + + Gọi E ( x1; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) theo đề bài: x −1 x1 + x2 = x1 + x2 = x + x = ⇔ ⇔ 4 y1 + y2 = x1 x2 = −9 x1 + x2 + + x − + x − = 2 Do x1 = − x2 , x1 = −9 nên E ( −3; −2 ) F ( 3;7 ) Bài tốn 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = x2 − 2x + đối xứng qua đường thẳng x −1 d : y = x + Hướng dẫn giải Xét đường thẳng d ' vuông góc với d d ' : y = − x + b x2 − 2x + PT hoành độ giao điểm d ' ( C ) : = − x + b, x ≠ x −1 ⇔ x − ( b + 3) x + + b = Điều kiện ∆ = ( b + 3) − ( + b ) = b − 2b − > Hoành độ giao điểm I d d ' : x + = − x + b ⇒ xI = I trung điểm đoạn AB: xI = b−3 x A + xB Trang 24 ⇔ b−3 b+3 = ⇔ b = (chọn) 14 14 14 14 ;6 + ;6 − ÷, B + ÷ 2 2 Vậy A − Bài tốn 3.38: Tìm m để đường thẳng y = − x − cắt đồ thị hàm số y = xứng qua y = x x2 + ( m + 2) x − m hai điểm đối x +1 Hướng dẫn giải Điều kiện PT hồnh độ giao điểm có nghiệm phân biệt khác −1: x2 + ( m + 2) x − m = − x − ⇔ x + ( m + ) x + − m = ( 1) x +1 2 ( −1) − ( m + ) + − m ≠ m ≠ − ⇔ Đk: ∆ = ( m + ) − ( − m ) > m < −11 − 104 hay m > −11 + 104 Gọi x1 , x2 hồnh độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 nghiệm (1) theo định lí Viet: x1 + x2 = − m+7 Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vuông góc với đường thẳng y = − x − nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2 = − x1 − ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ m + = ⇔ m = (thỏa mãn) Bài tốn 3.39: Tìm cặp điểm ngun ( C ) : y = x − x − đối xứng với qua đường thẳng y = x khơng nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Nếu gọi A ( x; y ) điểm đối xứng A qua đường thẳng y = x có tọa độ ( y; x ) Vì u cầu tốn tương đương với việc tìm nghiệm nguyên ( x; y ) với x ≠ y hệ phương trình y = x − x − x = y − y − ( ) 2 2 nên ( x − y ) x + xy + y − = ⇔ x + xy + y = Phương trình x + xy + y = có nghiệm nguyên x ≠ y ( 2; −1) , ( −1;2 ) , ( −2;1) , ( 1; −2 ) Thử lại vào hệ, ta chọn nghiệm ( 2; −1) , ( −1;2 ) Trang 25 Vậy cặp điểm nguyên đối xứng với qua đường thẳng y = x khơng nằm đường thẳng ( 2; −1) ( −1;2 ) Bài toán 3.40: Cho f ( x ) hàm đa thức bậc Chứng minh đồ thị f ( x ) có trục đối xứng x = a khi: f ' ( a ) = f ''' ( a ) = Hướng dẫn giải Ta khai triển f ( x ) theo x − a : f ( x ) = a4 ( x − a ) + a3 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + a1 ( x − a ) + a0 đó: = f ( i) ( a ) nên đồ thị đa thức f ( x ) có trục đối xứng x = a i! g ( x ) = f ( x − a ) hàm số chẵn: f ( 3) ( a ) =0 a3 = 3! f ' ( a ) = ⇔ ⇔ ( ) a1 = f ( a) f ''' ( a ) = = 1! • Mở rộng cho đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x = a f ' ( a ) = f ''' ( a ) = = f ( m −1) ( a) = Bài tốn 3.41: Tìm điểm cố định của: x − ( m + ) x + 6m + a) Các đồ thị y = x−2 b) Các đường thẳng qua CĐ, CT đồ thị: y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + − m Hướng dẫn giải a) Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm mà đồ thị qua ∀m Ta có y0 = − x0 − m, ∀m ⇔ ( x02 − 1) m − y0 + x02 − x0 = 0, ∀m x02 = x0 = 1, y0 = ⇔ ⇔ y0 = x0 − x0 x0 = −1, y0 = Vậy đồ thị có hai điểm cố định M ( 1;0 ) M ' ( −1;0 ) b) y ' = 3mx − 6mx + 2m + 1, ∆ > ⇔ m < m > Trang 26 Ta có y = y= x −1 − 2m 10 − m y '+ x+ nên đường thẳng qua CĐ, CT là: 3 − 2m 10 − m m x − 10 x+ = − ( x + 1) + 3 3 Suy đường thẳng qua CĐ, CT qua điểm cố định A − ;3 ÷ Bài tốn 3.42: Tìm điểm M mà đồ thị sau không qua a) y = mx + x−9 ( ) 2 b) y = x − 3mx + 2m − x + m − 5m + với M thuộc d : x = Hướng dẫn giải a) Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm mà đồ thị không qua: y0 ≠ x0 = mx0 + , ∀m ⇔ x0 − x0 ≠ 9, mx0 + ≠ y0 ( x0 − ) , ∀m x0 = ⇔ Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng: x = x = , bỏ điểm A ( 0; −1) x0 ≠ 0, y0 ≠ −1 b) Gọi M ( 1; y ) ∈ d điểm cần tìm: y ≠ − 3m + 2m − + m − 5m + 1, ∀m ⇔ 3m − 8m + ( − y ) ≠ ⇔ ∆ = 16 − ( − y ) < ⇔ y < − Vậy điểm cần tìm M ( 1; y ) với y < − 13 13 3 Bài toán 3.43: Chứng minh đồ thị y = ( + m ) x + ( + m ) x − 4mx − m qua điểm cố định thẳng hàng Hướng dẫn giải Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định đồ thị: y0 = ( + m ) x03 + ( + m ) x02 − 4mx0 − m, ∀m ⇔ y0 = ( x03 + 3x02 − x0 − 1) m + x03 + 3x02 , ∀m Trang 27 x03 + x02 − x0 − = ⇔ y0 = x0 + 3x0 ( 1) (2) Ta chứng minh (1) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f ( x ) = x + x − x − f liên tục ¡ , ta có f ( −6 ) = −85 < , f ( −1) = > , f ( ) = −1 < , f ( ) = 11 > nên (1) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −6; −1) , ( −1;0 ) , ( 0;2 ) Từ ( 1) ⇒ x0 + x0 = x0 + nên ( ) ⇒ y0 = x0 + Vậy điểm cố định thẳng hàng đường thẳng y = x + Bài toán 3.44: Chứng minh đồ thị hàm số y = ( m − 1) x + m , m ≠ x−m tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Hướng dẫn giải Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định: y0 = ( m − 1) x0 + m , ∀m ≠ x0 − m ⇔ ( m − 1) x0 + m = y0 ( x − m ) , x0 ≠ m, ∀m ≠ ⇔ ( x0 + + y0 ) m − x0 ( + y0 ) = 0, x0 ≠ m, ∀m ≠ ⇔ x0 = 0, y0 = −1 Ta có y ' = −m ( x − m) , x ≠ m ⇒ y ' ( ) = −1 Vậy đồ thị luôn tiếp xúc điểm cố định M ( 0; −1) , có tiếp tuyến chung y = − x − Bài toán 3.45: Trên đồ thị ( C ) hàm số y = − x + x − có cặp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc p, chứng minh trung điểm đoạn thẳng nối cặp điểm điểm cố định Hướng dẫn giải Tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc p, hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: y ' = p ⇔ x + x = p ⇔ 3x − x + p = ( 1) ∆' = − 3p > ⇔ p < Với p < ( C ) có tiếp tuyến song song với hệ số góc p Gọi x1 , x2 nghiệm (1), với tiếp điểm M , M trung điểm M 1M có hồnh độ: xI = x1 + x2 =1 ⇒ yI = Vậy trung điểm M 1M điểm cố định I ( 1;0 ) Trang 28 − x + mx − m Bài tốn 3.46: Tìm điểm mặt phẳng cho có hai đường họ ( Cm ) : y = x−m qua Hướng dẫn giải Giả sử ( x0 ; y0 ) điểm mặt phẳng mà có hai đường cong ( Cm ) qua Khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt − x02 + mx0 − m y0 = ⇔ m − ( x0 + y0 ) m + x0 ( x0 + y0 ) = x0 − m Điều kiện ∆ > ⇔ ( x0 + y0 ) ( y0 − x0 ) > Vậy điểm cần tìm có tọa độ ( x0 ; y0 ) thỏa mãn quan hệ ( x0 + y0 ) ( y0 − 3x0 ) > Bài tốn 3.47: Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị ( Cm ) : a) y = ( m + 1) x + m b) y = mx − 6m + + x+m x−m Hướng dẫn giải y = +∞, lim + y = −∞ nên TCĐ: x = −m với m ≠ a) D = ¡ \ { − m} Ta có x →lim x →( − m ) ( − m) − Ta có lim y = lim x →±∞ x →±∞ ( m + 1) x + m = m + nên TCN: x+m y = m +1 uur x = X − m Thế vào y = Y + m +1 Giao điểm tiệm cận I ( −m; m + 1) , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI : ( Cm ) được: m + 1) ( X − m ) + m ( m2 Y + m +1 = ⇔Y = X ( X − m) + m m2 Ta có Y = F ( x ) = hàm số lẻ nên ( C ) có tâm đối xứng I có tọa độ x = − m ; y = m + Khử tham X số m quỹ tích tâm đối xứng đường thẳng d : y = − x + 1, x ≠ b) Đồ thị ( Cm ) : y = mx − 6m + + , x ≠ m có TCĐ: x−m x = m TCX: y = mx − 6m + nên giao điểm I ( m; m − 6m + 1) uur Chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI tâm đối xứng I có tọa độ: x = m , y = m − 6m + Trang 29 Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol ( P ) : y = x − x + Bài tốn 3.48: Tìm quỹ tích điểm: x − 2mx + 3m − a) Cực đại đồ thị y = x −1 ( ) 2 b) Cực tiểu đồ thị y = x + 3mx + m − x + m − 3m Hướng dẫn giải a) D = ¡ \ { 1} , y ' = x − 2mx + 3m − ,∆' = m − x −1 Điều kiện có cực trị ∆ > 0,1 − − m + ≠ ⇔ m > , hoành độ cực trị x = ± m − Lập BBT điểm cực đại A: x = − m − 4, y = f ( x ) Ta có x = − m − ⇒ m = + ( − x ) ( P ) : y = −2 x + x − 10 , ( vào y quỹ tích điểm cực đại thuộc x = − m − < nên giới hạn x < ) 2 b) D = ¡ , y ' = x + 6mx + m − Vì ∆ ' = > , ∀m nên đồ thị ln có CĐ, CT có hồnh độ x = − m ± Lập BBT điểm cực tiểu B : x = − m; y = f ( − m ) = −2 Vậy quỹ tích điểm cực tiểu đường thẳng d : y = −2 2x2 − x + Bài toán 3.49: Với giá trị m đường thẳng y = m − x cắt đồ thị y = hai điểm phân x −1 biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB Hướng dẫn giải PT hoành độ giao điểm: x2 − x + = m − x ⇔ 3x − ( m + ) x + m + = 0, x ≠ x −1 Vì x = khơng phải nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong cho hai điểm phân biệt khi: ∆ = ( m + ) − 12 ( m + 1) > ⇔ m − 8m − > ⇔ m < 4−2 xM = m > + Hoành độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: x A + xB m + = Vì điểm M nằm đường thẳng y = m − x nên yM = m − xM Trang 30 Khử m, ta có m = xM − nên yM = xM − − xM = xM − Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng y = x − Giới hạn: m < − ⇒ x − < − ⇔ x < − m > + 6 ⇒ 6x − > + ⇔ x > + Bài tốn 3.50: Tim quỹ tích điểm thuộc trục tung mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị y= x2 − x + x −1 Hướng dẫn giải Ta có D = ¡ \ { 1} , y ' = y= x0 ( x0 − ) ( x0 − 1) ( x − 1) ( x − x0 ) + Cho x = y = Xét f ( x ) = x ( x − 2) nên phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x0 ≠ x02 − x0 + x0 − x0 − ( x0 − 1) 2x −1 ( x − 1) 2 , x ≠ f ' ( x ) = −2 x ( x − 1) Cho f ' ( 1) = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ y' y − +∞ + − +∞ +∞ −1 Do y ≥ −1 , nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm B ( 0; y ) với y ≥ Bài tốn 3.51: Tìm quỹ tích điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến ( C ) : y = x − + x mà tiếp x −1 tuyến vng góc với Hướng dẫn giải Gọi M ( a; b ) , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: y = k ( x − a ) + b Trang 31 Điều kiện d tiếp xúc ( C ) hệ sau có nghiệm x ≠ 1 x − + = k ( x − a) + b x −1+ x −1 ⇔ ⇔ 1 − x −1− =k ( x − 1) Do = k ( x − a) + b x −1 = k ( x − 1) x −1 2 = k ( 1− a) + b ⇒ 1− ( k ( 1− a) + b) = k x −1 Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: g ( k ) = ( a − 1) k + ( ( − a ) b + ) k + b − = 0, k ≠ Yêu cầu toán: a ≠ 1, k1k2 = −1, g ( 1) ≠ ⇔ a ≠ 1, b − = − ( a − 1) , ( a − 1) + ( ( − a ) b + ) + b − ≠ 2 ⇔ ( a − 1) + b = 4, a ≠ 1, a ≠ b + Vậy quỹ tích điểm cần tìm đường tròn ( ) ( ( x − 1) + y = bỏ điểm A ( 1;2 ) , B ( 1; −2 ) , ) C + 2; D − 2; − BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng a) y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 + x − hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn x thẳng AB thuộc trục tung b) y = m cắt đồ thị y = x − x + điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm x + ( − m ) x − = ( x ≠ ) Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với m Hoành độ trung điểm I AB: x1 = x1 + x2 m − = Kết m = b) Kết m = 41 25 Bài tập 3.2: Tìm m cho đường thẳng Trang 32 a) y = m ( x − ) + cắt đồ thị hàm số y = x2 + ( C ) hai điểm thuộc hai nhánh x x2 − b) y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A, B cho AB = x Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm dấu Kết m > b) Kết m = ±2 Bài tập 3.3: Cho hàm số y = ( C) x có đồ thị ( C ) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( C ) cho tiếp tuyến ( x − 3) M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B diện tích tam giác OAB Hướng dẫn Các tiếp điểm x0 = ( 3 , x0 = ± ) Bài tập 3.4: Cho hàm số y = f ( x ) = cos x + m sin x Tìm m để hai tiếp tuyến x = − π π x = song song trùng Hướng dẫn ( − 3+2 π π = f ' Kết ÷ ÷ m= 4 3 −1 Điều kiện f ' − Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị 2m − 1) x − m ( y= x −1 ) tiếp xúc với đường phân giác góc phần tư thứ Hướng dẫn Đường phân giác góc phần tư thứ y = x Điều kiện đồ thị y = f ( x ) y = g ( x ) tiếp xúc hệ phương trình: f ( x ) = g ( x ) có nghiệm Kết m ≠ f ' ( x ) = g ' ( x ) Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị a) y = − x + x − điểm uốn b) y = − x + x có hệ số góc lớn Trang 33 Hướng dẫn a) y ' = −4 x3 + x, y '' = −12 x + Kết y = − 3 x− x− y = 3 3 b) Kết y = x − x + 2m x + m Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y = có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc O x +1 Hướng dẫn Điều kiện f ( − x ) = − f ( x ) có nghiệm x ≠ x ≠ −1 Kết m < − 1 , m ≠ ±1 m > 2 Bài tập 3.8: Tìm hai điểm nhánh đồ thị ( C ) : y = 2x + có khoảng cách bé x −1 Hướng dẫn ( ) ( 4 4 Kết A + 5;2 + , B − 5;2 + ) Bài tập 3.9: Tìm điểm mà đồ thị khơng qua: y = x + ( m + 1) x + ( m − 3m ) x + ( + 2m − m ) Hướng dẫn Kết đường thẳng x = , bỏ điểm A ( 1;7 ) điểm M ( x; y ) cho ( x − 1) ( x − 1) ( x − ) − ( x3 + x + − y ) < Bài tập 3.10: Tìm điểm M đồ thị ( H ) : y = 4x − có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé x −3 Hướng dẫn Kết M ( 0;1) M ( 6;7 ) Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x3 + mx + m + , giao điểm với trục Oy, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Hướng dẫn Kết m = hay m = −3 ± 2 Trang 34 ... M ; ∆ ) + d ( M ; ∆ ') x 3 = x 3 + 4x − −4 = x 3 + ≥2 =6 x 3 x 3 Dấu = xảy x − = ⇔ ( x − 3) = , có điểm M ( 6;7 ) M ' ( 0;1) x 3 Bài tốn 3. 31: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y = x −1 có tổng... Trang 17 Bài toán 3. 23: Cho hàm số y = mx + ( 3m − ) x − x + 3m Tìm m để góc tiệm cận 45° Hướng dẫn giải Ta có: y = mx − + 6m − ,m ≠ x + 3m Khi m = đồ thị có TCĐ TCN vng góc: loại Khi m ≠ đồ thị. .. điểm cần tìm: y ≠ − 3m + 2m − + m − 5m + 1, ∀m ⇔ 3m − 8m + ( − y ) ≠ ⇔ ∆ = 16 − ( − y ) < ⇔ y < − Vậy điểm cần tìm M ( 1; y ) với y < − 13 13 3 Bài toán 3. 43: Chứng minh đồ thị y = ( + m ) x
Ngày đăng: 03/05/2018, 11:23
Xem thêm: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 3 bài toán liên quan đồ thị lê hoành phò file word , Kiến thức trọng tâm