CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM -–TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  Bài 01 NGUYÊN HÀM Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định khoảng K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) F '( x) = f ( x) với x �K Nhận xét Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) F ( x) +C, ( C ��) nguyên hàm f ( x) Ký hiệu: �f ( x) dx = F ( x) +C Tính chất    ( �f ( x) dx) / = f ( x) �a f ( x) dx = a.�f ( x) dx ( a ι �, a 0) f ( x) �g( x) � dx = �f ( x) dx ��g( x) dx �� � � Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm �kdx = kx +C , a �x dx = xa +1 +C ( a �- 1) a +1 k số a +1 ( ax + b) a a +1 a �( ax + b) dx = 1 �x dx = ln x +C �ax + b dx = a ln ax + b +C �e dx = e +C �e x x x �a dx = ax +C ln a +C dx = eax+b +C a ax+b mx+n �a dx = amx+n +C m.ln a �cosxdx = sin x +C �cos( ax + b) dx = a sin( ax + b) +C �sin xdx = - �sin( ax + b) dx = - �cos 2 x 1 cos( ax + b) +C a dx = tan x +C �cos ( ax + b) dx = a tan( ax + b) +C dx = - cot x +C �sin x �sin cosx +C Một sô phương pháp tìm nguyên hàm 4.1 Phương pháp đổi biến số 1 dx = - cot( ax + b) +C a ( ax + b) Nếu �f ( x) dx = F ( x) +C u( x) � u'( x) dx = F � u( x) � +C �f � � � � � Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = �f ( x) dx , ta phân tích f ( x) = g( u( x) ) u'( x) ta thực phép đổi biến số t = u( x) , suy dt = u'( x) dx Khi ta nguyên hàm: u( x) � +C �g( t) dt = G ( t) +C = G � � � Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t = u( x) 4.2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần Cho hai hàm số u v liên tục đoạn [ a;b] có đạo hàm liên tục đoạn [ a;b] Khi đó: �udv = uv- �vdu Để tính nguyên hàm ( *) �f ( x) dx phần ta làm sau: dv = v'( x) dx ) Bước Chọn u, v cho f ( x) dx = udv (chú ý � dv du = u'.dx Sau tính v = � Bước Thay vào công thức ( *) tính �vdu Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân �vdu dễ tính �udv Ta thường gặp dạng sau � sin x � P ( x) � � dx , P ( x) đa thức ● Dạng I = � � cos x� � � � u = P ( x) � � � Với dạng này, ta đặt � sin x � � � dv = � � dx � � � cos x� � � � P ( x) eax+bdx , P ( x) đa thức ● Dạng I = � � u = P ( x) Với dạng này, ta đặt � � � dv = eax+bdx � P ( x) ln( mx + n) dx , P ( x) đa thức ● Dạng I = � � u = ln( mx + n) � Với dạng này, ta đặt � � dv = P ( x) dx � � sin x �x � � e dx ● Dạng I = � � cos x� � � � � sin x � � u= � � � � � cos x� Với dạng này, ta đặt � � � � � x � dv = e dx � CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ex  3x  2  x  dx ? Câu 1: Tìm I  � x  ex x       x A I  x  ln e x    C   x C I  ln e x    C   x B I  x  ln e x    C   x D I  ln e x    C ex.sinxdx ? Câu 2: Tìm J  � ex  cos x  sin x  C ex C J   sin x  cos x  C A J  ex  sin x  cos x  C ex D J   sin x  cos x  1  C B J  ln  1 x2   2017x x Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số f  x  ln  x2  1  1� A ln  x  1  1008ln � � � ln �  e �ex � x2 1 � ? � � ln  x2  1  1� B ln  x  1  2016ln � � � ln  x2  1  2016ln � ln  x2  1  1� � � 2 ln  x2  1  1� D ln  x  1  1008ln � � � C �4  x2 � Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số f  x  x ln � �? �4  x � �4  x2 � �x4  16 � �4  x2 � x ln  x ln �  2x A B � � � 2� 2� �4  x � � � �4  x � �4  x2 �  2x C x ln � � �4  x � sin x dx ? Câu 5: Tìm I  � sin x  cos x A I   x  ln sin x  cos x   C C I  x  ln sin x  cos x  C �x4  16 � �4  x2 � ln �  2x D � � 2� � � �4  x � B I  x  ln sin x  cos x  C D I  cos4 x Câu 6: Tìm I  � dx ? sin x  cos4 x � �  sin2x � 1� x ln � C � A I  � � �  sin2x � � 2� 2 � � � � �  sin2x � ln � B I  x  � � C 2 � �  sin2x � � �  sin2x � 1� x ln � C � C I  � � � � � 2� � 2 �  sin2x � �  x  ln sin x  cosx   C D I  x  �  sin2x � ln � � � C 2 � �  sin2x � x 1 Câu 7: Tìm Q  � dx ? x1 2 A Q  x   ln x  x   C 2 B Q  x   ln x  x   C 2 C Q  ln x  x   x   C D Cả đáp án B,C xn T � dx Câu 8: Tìm ? x2 x3 xn 1 x     2! 3! n! n � x x � 1 x    � C A T  x.n! n!ln � 2! n! � � � x2 xn � 1 x    � C B T  x.n! n!ln � 2! n! � � � x2 xn � 1 x    � C C T  n!ln � 2! n! � � � x2 xn � n 1 x    � x n! C D T  n!ln � 2! n! � � dx T � n1 ? Câu 9: Tìm n xn     1 �n A T  � � n  1�  C �x � C T   xn  1  n n � B T  � � n  1�  C �x � D T   xn  1 n  C C x2dx H  Câu 10: Tìm ? �  x sin x  cos x x cos x  x sin x  cos x x B H  cos x  x sin x  cos x x C H  cos x  x sin x  cos x x D H  cos x  x sin x  cos x A H   tan x  C  tan x  C  tan x  C  tan x  C 2 x Câu 11: Tìm R  �2 dx ? x 2 x tan2t 1 sin2t �x �  ln  C với t  arctan � � A R   1 sin2t �2 � tan2t 1 sin2t �x �  ln  C với t  arctan � � 1 sin2t �2 � tan2t 1 sin2t �x �  ln  C với t  arctan � � C R  1 sin2t �2 � tan2t 1 sin2t �x �  ln  C với t  arctan � � D R  1 sin2t �2 � B R   xnexdx ? Câu 12 : Tìm F  � x xn  nxn1  n n  1 xn2   n! 1 A F  e � � n x  n! 1 � xn  C � n1 n x �n n1 n2 x  nx  n n  1 x   n! 1 x  n! 1 � C B F  e � � x C F  n!e  C n1 n D F  xn  nxn1  n n  1 xn2   n! 1 x  n! 1  ex  C n1 2x2   1 2ln x x  ln2 x G  dx ? Câu 13 : Tìm � x2  x ln x   1 1  C C B G   x x  ln x x x  ln x 1 1 C C C G   D G   x x  ln x x x  ln x Câu 14:Hàm số sau nguyên hàm A G   7x  1 dx � 2019  2x  1 2017 K ? 2018 �7x  1� A .� � 18162 �2x  1� C 18162 2x  1 2018 B   7x  1 18162 2x  1 2018 2018 D 18162 2x  1 2018   7x  1 18162 2x  1 18162 2x  1 2018 Câu 15: Hàm số sau nguyên hàm g x   ln2x  x ln2 x  ln  1999 B x1 x 1 ln x x  ln  2016 C D x1 x1 Câu 16: Hàm số sau 1 ln x h x  1n ? x ln x. xn  lnn x A 2018   7x  1 18162 2x  1 2018 2018 2018 ln x  x  1 ?  ln x x  ln  1998 x1 x1 ln x x  ln  2017 x 1 x1 nguyên hàm 1 1 ln x  ln xn  lnn x  2016 B ln x  ln xn  lnn x  2016 n n n n 1 1 C  ln x  ln xn  lnn x  2016 D  ln x  ln xn  lnn x  2016 n n n n Câu 17: Nguyên hàm f  x  x  x  x là: A 4 x  x3  x C 4 3 x C C x  x  4 x  x  x C 3 3 x C D x  x  3   là: Câu 18: Nguyên hàm f  x  x x 43 x  3x  C A x  33 x2  3x  C B x  1 x  33 x2  3x  C x  x2  3x  C C D 2 dx là: Câu 19: Nguyên hàm �2 x  7x  x 1 x C C A ln B ln x x 1 1 2 C ln x  7x   C D  ln x  7x   C 5 2x  6x  4x  Câu 20: Nguyên hàm � dx là: x  3x  x 1 x 2 C C A x  ln B x  ln x2 x 1 x 1 x2 C C C x  ln D x  ln x x 1 3x  dx là: Câu 21: Nguyên hàm � x  x  A 2ln x   ln x   C B 2ln x   ln x   C A B C 2ln x   ln x   C D 2ln x   ln x   C Câu 22: Nguyên hàm �x   dx là: x A  x  2   x  1 C B   x  2   x  1 C C  x  2   x  1 C D   x  2   x  1 C Câu 23: Nguyên hàm  sin2x  cosx dx là: � cos2x  sin x  C B C  cos2x  sin x  C D e2x1  Câu 24: Nguyên hàm �3 x dx là: e x x   A e3  e  C B 3 5x1 x C e3  e3  C D 3 A  cos2x  sin x  C  cos2x  sin x  C 53x1 3x e  e C 3 5 3x1  3x e  e C 3 Câu 25: Nguyên hàm � sin  2x  3  cos 3 2x � � �dx là: � A 2cos 2x  3  2sin  3 2x  C B 2cos 2x  3  2sin  3 2x  C C 2cos 2x  3  2sin  3 2x  C Câu 26: Nguyên hàm � sin  3x  1  cos x� dx là: � � � x  3sin  6x  2  sin x  C C x  3sin  3x  1  sin x  C A Câu 27: Gọi F  x D 2cos 2x  3  2sin  3 2x  C B x  3sin  6x  2  sin x  C D x  3sin  6x  2  sin x  C f  x  x   nguyên hàm hàm số Nguyên hàm f  x biết F  3  là: 1 1 3 A F  x  B F  x   x  1    x  1   x 3 x 1 1 3 C F  x  D F  x   x  1    x  1   x 3 x F  x Câu 28: Gọi nguyên hàm hàm x2 số f  x  4x3  2 m 1 x  m 5, với m tham số thực Một nguyên hàm f  x biết F  1  F  0  là: A F  x  x  2x  6x  B F  x  x  6x  C F  x  x  2x  Câu 29: Nguyên hàm D Đáp án A B x dx là: � x 1 A ln t  C , với t  x2  B  ln t  C , với t  x2  1 C ln t  C , với t  x2  D  ln t  C , với t  x2  2 Câu 30: Kết nguyên hàm  sin3 x  cos3 x dx ? � sin2x  sin x  cos x  C � � � � C 2sin2x sin �x  � C D 2sin x.cos x.sin �x  � C � 4� � 4� ln2x Câu 31: Với phương pháp đổi biến số  x � t  , nguyên hàm � dx x bằng: A t  C B t2  C C 2t2  C D 4t2  C Câu 32: Với phương pháp đổi biến số  x � t  , nguyên hàm �2 dx x 1 bằng: A t  C B t  C C t2  C D t  C 2 A 3cos x.sin2 x  3sin x.cos2 x  C B 33: Với phương pháp đổi biến số  x � t  , nguyên hàm I � dx bằng:  x  2x  t C A sint  C B t  C C  cost  C D Câu 34: Theo phương pháp đổi biến số với t  cos x, u  sin x , nguyên  tan x  cot x dx là: hàm I  � Câu A  ln t  ln u  C B ln t  ln u  C C ln t  ln u  C D  ln t  ln u  C Câu 35: Theo phương pháp đổi biến số  x � t  , nguyên hàm 2sin x  2cos x I  �3 dx là: 1 sin2x A 23 t  C B 63 t  C C 33 t  C D 123 t  C x ln xdx với: Câu 36: Nguyên hàm I  � x2 B ln x  � xdx  C 2 C x ln x  �xdx  C D x sin xdx Câu 37: Nguyên hàm I  � A x2 ln x  �xdx  C 2 x2 ln x  � xdx  C với: cos xdx  C A x cosx  � cos xdx  C B  x cos x  � cos xdx  C C  x cos x  � cos xdx  C D x cos x  � x sin2 xdx là: Câu 38: Nguyên hàm I  � 1 2x2  x sin2x  cos2x  C B cos2x   x  x sin2x  C  8 1�2 � C �x  cos2x  x sin2x � C D Đáp án A C 4� � exdx là: Câu 39: Họ nguyên hàm I  � A A 2ex  C C e2x  C ex  1 x dx là: Câu 40: Họ nguyên hàm � D ex  C B ex A I  ex  xex  C x B I  e  x xe  C x e  xex  C D I  2ex  xex  C x sin x cos2 xdx là: Câu 41: Nguyên hàm I  � C I  3 A I   x cos x  t  t  C, t  sin x 3 B I   x cos x  t  t  C, t  sin x 3 C I  x cos x  t  t  C, t  sin x 3 D I  x cos x  t  t  C, t  sin x ln  cos x Câu 42: Họ nguyên hàm I  � dx là: sin x A cot x.ln  cos x  x  C B  cot x.ln  cos x  x  C C cot x.ln  cos x  x  C D  cot x.ln  cos x  x  C Câu 43: �  x2  2x3  dx có dạng a3 x3  4b x4  C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: A B C D 32 �1 1 � a b dx có dạng x  x  C , a, b hai Câu 44: � � �3 x  x � � 12 � � số hữu tỉ Giá trị a bằng: 36 1 A B 12 C D Không tồn a b 2x x2   x ln x dx có dạng x2   x2 ln x  x2  C , Câu 45: � a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: A B C D Không tồn �3 1 � x  x    dx Câu 46: � có dạng � � � x2 � � � a 1 b x   x x   C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị b, a x bằng: A 2; B 1; C a, b �� D 1; 2 a b e7x3  cos2x dx có dạng e x1  sin2x  C ,  x  1 ex 5x � Câu 47: � a, b hai số hữu tỉ Giá trị a, b bằng: A 3; B 1; C 3; D 6; Câu 48: �   2a  1 x  bx  dx , a, b hai số hữu tỉ Biết           x  x3  C Giá trị a, b bằng: A 1; B 3; C  ; D a, b �� (2  e3x )2 dx Câu 49 Tính �   2a  1 x � A  bx2  dx  4 3x  e3x  e6x  C B 4x  e3x  e6x  C 6 3x 6x C 4x  e  e  C D dx Câu 50 Tính � thu kết là: 1 x 4x  e3x  e6x  C A D C 1 x 1 x  C B 2 1 x  C Câu 51 Họ nguyên hàm hàm số f  x  x3 1 x2 C C 1 x là: x  2 1 x2  C B   x2  1 1 x2  C  3 2 2 C  x  1 1 x  C D   x  2 1 x  C 3 dx Câu 52 Tính F (x)  � x 2ln x  A F (x)  2ln x   C B A F (x)  2ln x   C 2ln x   C C F (x)  F (x)  2ln x   C D � Câu 53 Nguyên hàm hàm số f  x  x �3x  �� x x4 3x2 x3 3x2 A B   ln x  C   ln x  C x4 3x2 x3 3x2 C D   ln x  C   ln x  C �1 � Câu 54 Nguyên hàm hàm số y  3x  � ; ��là: �3 � 3 A B  3x  1  C x  xC 3 C D  3x  1  C x  x C x Câu 55 Tính F (x)  �4 dx x 1 F (x)  ln x4   C B F (x)  ln x4   C A 4 C F (x)  ln x   C D F (x)  ln x4   C x3 d(x4  1) Ta có: �4 dx  �  ln x4   C x 1 x 1 Câu 56 Một nguyên hàm hàm số y  sin3x B Hình phẳng (H ) giới hạn (C1): y  f (x),(C2 ): y  g(x),x  a,x  b quay (H ) quanh trục Ox ta vật thể tròn xoay tích b | f (x)  g2 (x)|dx tính theo cơng thức: S  � a C Diện tích hình phẳng giới hạn (C1): y  f(x),(C ): y  g(x) b x  a, x  b tính cơng thức: S  � | f (x)  g2 (x)|dx a D Diện tích hình phẳng giới hạn (C ): y  f(x),Ox : y  b x  a, x  b tính công thức: S  � | f (x)|dx a Câu 39 Chọn phát biểu Sai phát biểu sau: A Diện tích hình phẳng giới hạn (C1): y  f(x),(C ): y  g(x),(C ): y  h(x) x  a, x  b, x  c tính b c ( f (x)  h(x))dx  � ( g(x)  h(x))dx cơng thức: S  � a c B Diện tích hình phẳng giới hạn (C1): y  f(x),(C ): y  g(x) b c ( f (x)  g(x))dx  � ( g(x)  f(x))dx x  a, x  b Với x �[a;b] c�[a;b] thì: S  � a c (H ) C Hình phẳng giới hạn 1 1 (C1): y  f (x),(C2 ): y  f (x), 1 : y  f (a),  : y  f (b),f ( y) �g ( y) �0 quay (H ) quanh trục Oy ta vật thể tròn xoay tích tính f (b) theo cơng thức:V   � ([ f 1( y)]2  [ g1( y)]2 )dy a (H ) D Hình phẳng giới hạn (C ): y  f (x),Oy: x  0, 1 : y  f (a),  : y  f (b) quay (H ) quanh trục Oy ta vật thể tròn xoay tích tính theo cơng thức: f (b) V   � [f( y)]2 dy f (a) Câu 40: Chọn phát biểu Đúng phát biểu sau: A Nếu f (x)  g(x) khơng đổi dấu [a;b] ta đem dấu trị tuyệt đối ngồi tích phân: b b a a S� | f (x)  g(x)|dx  � [ f (x)  g(x)]dx (H ) B Hình phẳng giới hạn (C1): y  f (x),(C2 ): y  g(x),x  a,x  b,f(x) �g(x) �0 quay (H ) quanh trục Ox ta vật thể tròn xoay tích tính theo công thức: b V � [ f (x)  g(x)]dx a C Thể tích hình phẳng (H ) quay (H ) quanh trục Ox âm dương D Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số b x  f ( y), x  g( y) hai đường thẳng y  a, y  b là: S  � | f (y)  g2 (y)|dy a Câu 41: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới hạn (P ): y  x2  3x, y  quay quanh trục Ox là: 83 81 79 78 A B C D 10 10 10 10 Câu 42: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới (d): y  x,(P ): y  x2  x quay quanh trục Ox là: 8  A B  C  D  5 5 Câu 43: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới (P): y  x2,(d): y  2x  1, x  quay quanh trục Ox là: 31 29 17 28     A B C D 15 15 15 15 Câu 44: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới (C ): y  x3  x2,(d): y  x  quay quanh trục Ox là: 208 209 208 209 A B C D 105 103 103 105 Câu 45: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới hạn hạn hạn hạn (C ): y  x  1, y  quay quanh trục Ox là: A  B  C  D  3 3 Câu 46: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới hạn (C ): y  x3  4, y  2, x  2 quay quanh trục Ox là: A 36 B 30 C 35 D 32 Câu 47: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới hạn x , y  0, x  quay quanh trục Ox là: x 1 1 1 A ln(10) B ln(15) C ln(20) D ln(5) 2 2 Câu 48: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới hạn (C ): y  x , y  1, x  quay quanh trục Ox là: x 2 A  3ln(4)  2ln(2)  B  3ln(7)  2ln(2)  (C ): y  C  3ln(5)  2ln(2)  D  2ln(2)  3ln(7)  Câu 49: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới hạn (C1): y  x4,(C ) : y  x2, x  quay quanh trục Ox là: 251 225 252 223     A B C D 5 5 Câu 50: Thể tích vật thể tròn xoay quay miền (D) giới hạn (C1): y  ex3  2,(d): y  3, x  quay quanh trục Ox là: A (1 2e) B (1 e2 ) C (1 e2 ) D (1 e2 )  Bài 02 TÍCH PHÂN  Khái niệm hình thang cong a;b� Cho hàm số y  f  x liên tục, không đổi dấu đoạn � � � Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b gọi hình thang cong Tích phân ? Định nghĩa a;b� Cho f  x hàm số liên tục đoạn � � � Giả sử F  x a;b� nguyên hàm f  x đoạn � � � Hiệu số F  b  F  a gọi tích phân từ a đến b (hay tích a;b� phân xác định đoạn � � �) hàm số f  x , kí hiệu b f  x dx � a Ta dùng kí hiệu F  x b Vậy f  x dx  F  x � a b a b a để hiệu số F  b  F  a  F  b  F  a b �là dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f  x dx biểu thức dấu tích phân f  x hàm số dấu tích Ta gọi a phân Chú ý: Trong trường hợp a  b a  b , ta quy ước a f  x dx  0; � a b a a b f  x dx   � f  x dx � Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến bcó thể kí hiệu b f  x dx � hay a b f  t dt Tích phân phụ thuộc vào � f cận a, b mà a không phụ thuộc vào biến số x hay t Ý nghĩa hình học tích phân Nếu hàm số f  x liên tục b a;b� không âm đoạn � � �, tích phân f  x dx � diện tích S a hình thang cong giới hạn đồ thị f  x , trục Ox hai b f  x dx đường thẳng x  a, x  b Vậy S  � a Tính chất 1: b b a a kf  x dx  k� f  x dx � Tính chất 2: b b b a a a �f  x �g x � dx  � f  x dx �� g x dx � � � Tính chất 3: b c b a a c f  x dx  � f  x dx  � f  x dx �  a c  b Phương pháp đổi biến số Định lí a;b� Cho hàm số f  x liên tục đoạn � � � Giả sử hàm số x    t có ; � đạo hàm liên tục đoạn � � �sao cho      a,      b a �  t  �b với t �� ; � � � Khi b  a    f  x dx  � f   t  �  t dt � Chú ý Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép đổi biến số dạng sau: a;b� Cho hàm số f  x liên đoạn � � � Để tính b f  x dx , ta � a a;b� chọn hàm số u  u x làm biến số mới, đoạn � � �, u x có đạo hàm liên tục u x �� ; � � � Giả sử viết   f  x  g u x u� a;b�  x , x�� � �, ; � với g u liên tục đoạn � � � Khi đó, ta có b u b a u a f  x dx  � g u du � Phương pháp tính tích phân phần Định lí Nếu u  u x v  v x hai hàm số có đạo hàm liên tục a;b� đoạn � � �thì b  u x v�  x dx  u x v x � a b b u�  x v x dx  � b b a a b udv  uv a  � vdu hay � a CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM a 2x.dx có giá trị là: Câu 1: Tích phân I  � A I = B I =2 C I = D I = 1 dx có giá trị là: x Câu 2: Tích phân I  � A I = ln2 B I = ln2 – � x2  Câu 3: Tích phân I  � � � C I = – ln2 x � dx có giá trị là: � x  1� 10  ln2  ln3 10 C I   ln2  ln3 10  ln2  ln3 10 D I   ln2  ln3 A I  B I  Câu 4: Tích phân I  x �   3x  dx có giá trị là: 1 A.I = D I = – ln2 B.I = C.I = �1 x 1� D.I = � dx có giá trị là: Câu 5: Tích phân I  � �  2x � A I  B I  � C I  D I  11 e2 x e x Câu 6: Tích phân I  � dx có giá trị là: 1 e e2 A I  1  1 e e2 1 e e2 B I  1  C I  1  1 e e2 D I  1   Câu 7: Tích phân I  sin xdx có giá trị là: � B I  D Cả A, B, C sai A I  C I  1 Câu 8: Tích phân I    sin x  cosx dx �  A I  B I  Câu 9: Tích phân I  C I  2 D I  1   sin2x  cos3x dx có giá trị là: �  A I  có giá trị là:   B I  C I   D I   x x Câu 10: Giá trị tích phân I  � dx  a Biểu thức P  2a có giá trị là: A P  1 ln2 B P   2ln2 C P  1 2ln2 e D P   ln2 �1 x  x2 � dx  a Biểu thức P  a có � x � e� Câu 11: Giá trị tích phân I  � � giá trị là: 1 2 C P  e e  e 2 1 2 D P  e e  e 2 2 e2 x  2x dx  a , I  �dx  b Giá trị Câu 12: Cho giá trị tích phân I  � x x e A P  e e2  e4 B P  e e2  e4 biểu thức P  a b là: C P   ln2  ln3 D P   ln2  ln3 A P   ln2  ln3 Câu 13: Cho B P   ln2  ln3 giá trị tích phân I1    sin2x  cosx dx  a, �  I2     cos2x  sin x dx  b Giá trị a + b là: �   3 A P   3 B P   3 C P   D P   1 1 2 Câu 14: Cho gá trị tích phân I  �  x4  2x3  dx  a , I  �  x2  3xdx  b a Giá trị là: b A P   65 Câu 15: Cho 12 65 B P  giá trị C P   tích 12 65 phân D P  I1  65 2  sin3x  cos3x dx  a , �   2e �1 1 � I2  � dx  b Giá trị a.b gần với giá trị sau đây? � 2 � x x x  1� e� A  B  C  D  Câu 16: Tích phân I  �  x3  ax  2dx có giá trị là: 1 a A I   a a C I   4 � ax �  2ax� dx có giá trị là: Câu 17: Tích phân I  � � x � 0� A I  aln2 B I  2ln2 C I  2ln2 B I   Câu 18: Tích phân I  D I  aln2   sin ax  cosax dx , với �  A I  a D I   a �0 có giá trị là:  � � 2� � � �  � 2� � � � � sin �a  � sin � a  � sin �a  � sin �a  � � � B I  � � a � � 4� a � � 4� � 4� � 4� � � � � 2� �  � �  � 2� �  � �  � sin � a  � sin � a  �  sin �a  � sin � a  � � � D I  � � a � � 4� a � � 4� � 4� � 4� � � a �a x � dx ,với a �0 có giá trị là: Câu 19: Tích phân I  � � � x a� 1� C I  a2  2a a2  C I  aln a  2a A I  aln a  a2  2a a2  D I  aln a 2a x  3x  I  �2 dx gần với gái trị 1 x  x  B I  aln a Câu 20: Giá trị tích phân sau đây? A  ln2 B ln2  C  ln4 D  ln3 3 a2x2  2x dx có giá trị nhỏ số thực dương ax Câu 21: Tích phân I  � a có giá trị là: A B C � b� � � D 5 ax2  � dx có giá trị là: Câu 22: Tích phân I  � � x A I  a bln2 B I  3a bln2 C I  a bln2 D I  3a bln2 Câu 23: Tích phân I  �  ax2  bxdx có giá trị là: a b a b a b C I   3 2 � b � ax  dx có giá trị là: Câu 24:Tích phân I  � � � x  2� 1� a a A I  bln3 B I   bln3 C I   bln3 2 a �1 � dx có giá trị là: Câu 25: Tích phân I  � �  2x� x � 2� A I   a b B I   1 a a A I     a2 B I     a2 D I   D I  bln3 a C I     a2 a D I     a2 a x x  1dx có giá trị là: Câu 26: Tích phân I  � A I   a 1   a 1  B I   a 1   a 1  C I   a 1   a 1  D I   a 1   a 1  5 3 15 5 3 15 5 3 5 15 3 15 x2  xdx có giá trị là: Câu 27: Tích phân I  � 1 A I  B I  C I   D I   x3  x2  x  1dx có giá trị là: Câu 28: Tích phân I  � 1 A I  1 x3  3x  B I  Câu 29: Tích phân I  � 2 B I  A I   2ln3 B I  2ln3 D I   D I   17 dx có giá trị là: 17 C I  6 2 x  x dx có giá trị là: Câu 30: Tích phân I  � x 2 A I   x C I   C I   2ln3 D I   3ln2 1 dx có giá trị là: x 1 Câu 31: Tích phân I  �2 A I    B I  C I   dx có giá trị là: x  1 4 C I  D I  2 1 1 3 2x Câu 33: Tích phân I  �2 dx có giá trị là: 1 x  A I  ln3 B I   ln2 C I   ln3 D I  ln2 ax dx ,với a �2 có giá trị là: Câu 34: Tích phân I  � 1 ax  A I  A I  C I  2 D I  x Câu 32: Tích phân I  � 1  B I  ln2  ln a B I   ln2  ln a D I  a x  ax a a 2 ax2  B I  sin3 x cos x  B I  C I  Câu 36: Tích phân I  � 19  17 dx , với a �0 có giá trị là: a a 2  A I   ln2  ln a 2 Câu 35: Tích phân I  � A I  ln2  ln a a a 2 D I  a a 2 dx có giá trị là: 19  174 C I  19  17 D I  19  174 e 2ln x ln2 x  dx có gái trị là: x Câu 37: Tích phân I  � A I  2 B I  2 C I  2 D I  2 3 A I  87 3x5 �8  x Câu 38: Tích phân I  3 dx có gái trị là: 67 B I  C I  77 D I  57  dx có giá trị là: 9cos x  sin x Câu 39: Tích phân I  � A I  ln2 2 B I  ln2 Câu 40: Tích phân I  C I  ln2 D I  ln2 ln12 �e  4dx có giá trị là: x ln5 A I   ln3  ln5 C I   2ln3  ln5 B I   2ln3 2ln5 D I   ln3  2ln5 Câu 41: Tích phân A I    I  � x  1   x dx   B I  Câu 42: Tích phân I   �  A I    C I  sin x  cos x  3sin x � 3 � ln � � � 16 � �  � C I   có giá trị là: � 3 � ln � � � � �  �   D I    dx có gái trị là: B I  � 3 � ln � � � � �  � D I   � 3 � ln � � � 16 � �  �  4x dx có giá trị là: Câu 43: Tích phân I  �  2x  x2 7 7  3  3 A I  B I  6 7 7  3  3 C I  D I  6 4x  Câu 44: Tích phân I  � dx có giá trị là:  4x  x2 5 5 5 A I  B I  C I   3 dx có giá trị là: Câu 45: Tích phân I  � x 9 1 3 3  3 B I   ln C I  ln 3 2ax Câu 46: Tích phân I  � dx  ln2 Giá trị a là: x A I   ln A a  ln2 1 ln2 B a  ln2  2ln2 C a  ln2 1 ln2 D I   5 D I  ln D a  3  3 ln2  2ln2 ax  dx  ln  ln Giá trị a là: 5 x  3x  Câu 47: Tích phân I  �2 A a  5 B a  C a  Câu 48: Tích phân I  � A I  a C I   ln a D a  dx có giá trị là: 3x2  12 a B I   1 � a D I  1 a 1 ln ln ln 1 1 1� 2ax3  � dx có giá trị là: Câu 49: Tích phân I  � � x � � 15a 15a 15a 15a  ln2 B I   ln2  ln2  ln2 A I   C I  D I   16 16 16 16 ax  dx   Giá trị nguyên a là: Câu 50: Tích phân I  � ax  4x A a  B a  C a  D a  2 xln xdx có giá trị là: Câu 51: Tích phân I  � A I  2ln2  B I  2ln2  C I  2ln2  D I  2ln2  a xln xdx có giá trị là: Câu 52: Tích phân I  � a2 ln a 1 a2 A I   a ln a 1 a2 C I   a2 ln a 1 a2  a ln a 1 a2 D I   B I   x cosxdx có giá trị là: Câu 53: Tích phân I  �  A I  7  B I  7  12 C I  7  D I  7  12 D I    3 3 6a  xsin axdx, a �0 có giá trị là: Câu 54: Tích phân I  �  A I    6 3   3 3 B I  6a 6a C I    6 3 6a Câu 55: Tích phân I  �  2x  1 ln  x  1 dx có giá trị là: C I  2ln2  e �1 � ln xdx có giá trị là: Câu 56: Tích phân I  � �  x� x � 1� A I  ln2  B I  2ln2  D I  ln2  A I  e2  e2  B I  2 3 ln x ln2 x   1 x B I  21  x Câu 58: Tích phân I  � C I  54 22     324 4 5 2  C I     324 e2  4 2 D I  2 3  cos x dx có giá trị là: 54 22     324 4 5 2  D I     324 3 B I   cos x  sin x Câu 59: Tích phân I  �x  D I   2x cos x  xcos2 x  A I  e2   dx có giá trị là:  e Câu 57: Tích phân I  � A I  C I   e cosx  1 cosx 3 dx có giá trị là:  �3 � e � e  � � � � � A I  ln 2 e3   �3 � e � e  � � � � � B I  ln 2 e3   �3 � e3 � e  2� � � � � I  ln C 2 e3   �3 � e3 � �e  2� � � � I  ln D 2 e3  e x ln2 x  ln x dx có giá trị là: Câu 60: Tích phân I  � A I  2e B I  e C I  e   D I  2e ln 1 x2  x dx có giá trị là: Câu 61: Tích phân I  � A I   1 ln I    1 ln    21  21 B I   1 ln D I    1 ln  x Câu 62: Tích phân I  � 1 cos x   �    21 C 21 dx có giá trị là: � A I  tan  2ln �cos � 8 � �   � � C I  tan  2ln �cos � 4 � 8�     2cos x � � B I  tan  2ln �cos � 8 � �   � � D I  tan  2ln �cos � 4 � 8� Câu 63: Tích phân I  2x  sin x dx có giá trị là: �  1� 2� � 2  4ln  ln2� � �   B I  � � 1� 2� � 2  4ln  ln2� � �   D I  � �   A I  � �   C I  � � 1� 2� � 2  2ln  ln2� � � 1� 2� � 2  2ln  ln2� � �  Câu 64: Tích phân I   cos x  1 cos2 xdx có giá trị là: � A I     sin x  cos x B I    a Câu 65: Tích phân I  � A a     sin x  cosx B a      1  C I  dx  1 C a  D I    Giá trị alà:  D a    sin x dx có giá trị là:  sin x  cos x Câu 66: Tích phân I  � A I    ln 12   3 B I  �  1� ln � � � � C  � I  � 12 D I   sin2x Câu 67: Tích phân I  � cos x  cos3x � ln � 2� � � ln � C I  2� � A I   1� � 2 2  1� � 2 2  1�  ln � 2 2  1� � 2  3  ln 12  ln  3  ln 12 dx có giá trị là: � ln � 2� � � ln � D I  2� � B I   1� � 22  1� � 2 2  1�  ln � 22  1� � 2  ln  2x  cos x dx có giá trị là:  x  sin x Câu 68: Tích phân I  �2 � �4 � � �16  A I  ln �  1� ln � � � 2� � � � �2 �4 �2 �16 �  B I  ln �  1� ln � � � 2� � � � � � � � � �2 2� 2� I  ln   ln  I  ln   ln �  � � C D � � � � � � � � � �4 � �16 � �4 � �16 � a x2  1 I  dx  ln Giá trị a là: Câu 69: Tích phân � 3 x  3x A a  B a  C a  D a  2 2 a   2xdx  a Giá trị I  � x2  2x dx là: Câu 70: Biết tích phân I  � A I  17 B I  19 C I  16 D I  13  x2  I  sin xdx  a I  dx  bln2  cln5 Câu 71:Biết tích phân � Giá trị �3  ax x Thương số b c là: A – B – C   D a x  x  dx   b Giá trị a b là: Câu 72: Biết I  � A – B – C – D –   Câu 73: Cho I  �  sin3x  cos2 x dx   acos3x  bxsin csin2x Giá trị 0 3a 2b 4c là: A – B 1 Câu 74: Cho I  � A – x x 1 C – D dx  a  b Giá trị a.b là: B – C D 1 dx   a b ln2  bln3 Giá trị a + b là:  2x  x Câu 75: Cho I  � A B C D b f  x dx Biết F  x nguyên hàm Câu 76: Cho tích phân I  � a f  x Giá trị I là: A F  a  F  b định B F  a  F  b C F  b  F  a a �f  x dx  m Câu 77: Cho hai tích phân a D Không thể xác a g x dx  n � Giá trị tích a a phân �f  x  g x � dx là: � � � a A m n định B n  m C m n D Không thể xác b Câu 78: Cho tích phân I  �  x2  1 dx Khẳng định không a đúng? b b b a a a x2dx  � dx A I  �  x2  1 dx  � B I   x3  x C I  b3  b a3  a b a D Chỉ có A C b a a c f  x dx  m I  � f  x dx  n Tích phân Câu 79: Cho tích phân I  � b I � f  x dx có giá trị là: c A m n C m n B m n D Không thể xác định b Câu 80: Tích phân f  x dx � phân tích thành: a b a c c b a c c b f  x  �  f  x dx A � a f  x  �  f  x dx B � c f  x  � f  x dx C � c b a c c f  x  � f  x dx D  �     xcos2xdx  a  b� sin2xdx , a b số hữu tỉ Giá Câu 81: Biết I  � trị A a là: b 12 B 24 C  12 D  � � ln3 x  3x � ln x  x� � Câu 82: Biết � I � dx  x số hữu tỉ Giá trị a là: A B – Câu 83: Biết I  1 ae 27e2  27e3  3 C – dx  a � 1 cos2x    24 , a D x  2dx  b3  , a b I  � 1 số hữu tỉ Thương số a b có giá trị là: A B  C D   � � x  x dx  � bx  cx Câu 84: Biết I  1 tan2 x dx  a I  � � � �, a b � � �0   số hữu tỉ Giá trị a + b + c là: A B C D Câu 85: Số nghiệm nguyên âm phương trình: x3  ax   với a 3e dx � x là: A B C D 2xdx , Câu 86: Số nghiệm dương phương trình: x  ax   , với a  � a b số hữu tỉ là: A B 1 Câu 87: Cho x C D dx  ln a ,a số hữu tỉ Giá trị a là: � x 1 A B Câu 88: Cho A �x dx  ln 1 B 2 C 2 a 1 b D ,a b số hữu tỉ Giá trị C D a là: b Câu 89: Cho tích phân I  � 1 x2 dx  a ,a b số hữu tỉ Giá trị a là: A B C e � 1� � � D ln xdx  ae2  b, a b số hữu tỉ Câu 90: Cho tích phân I  � �x  � x Giá trị 2a 3b là: A 13 B 13 C  13 D  13 ... 14 :Hàm số sau nguyên hàm A G   7x  1 dx � 2019  2x  1 2017 K ? 2018 �7x  1� A .� � 18162 �2x  1� C 18162 2x  1 2018 B   7x  1 18162 2x  1 2018 2018 D 18162 2x  1 2018 ... 18162 2x  1 2018 2018 2018 ln x  x  1 ?  ln x x  ln  1998 x1 x1 ln x x  ln  2017 x 1 x1 nguyên hàm 1 1 ln x  ln xn  lnn x  2016 B ln x  ln xn  lnn x  2016 n n n n 1 1...  1 2018 Câu 15: Hàm số sau nguyên hàm g x   ln2x  x ln2 x  ln  1999 B x1 x 1 ln x x  ln  2016 C D x1 x1 Câu 16: Hàm số sau 1 ln x h x  1n ? x ln x. xn  lnn x A 2018 