chơng giới hạn A Kiến thức cần nhớ I Dãy số có giới hạn định nghĩa dãy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn (hay có giíi h¹n 0) nÕu mäi sè h¹ng cđa d·y sè có giá trị tuyệt đối nhỏ số d¬ng nhá t ý cho tríc kĨ tõ mét sè hạng trở Khi đó, ta viết: lim(un ) = 0, viết tắt lim(un) = limun = hc un n   NhËn xÐt: D·y sè (un) cã giíi h¹n dãy số (un) có giới hạn Dãy số không đổi (un) với un = cã giíi h¹n mét sè d·y sè cã giới hạn thờng gặp Từ định nghĩa, ta có kết quả: a lim = n b lim n = c lim n = Định lí 1: Cho hai dãy số (un) vµ (vn) NÕu un  víi mäi n vµ limvn = limun = Định lí 2: NÕu q < th× limqn = II D·y số có giới hạn hữu hạn định nghĩa dãy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực L lim(un  L ) = n  Khi ®ã, ta viết: lim(un ) = L, viết tắt lim(un) = L hc limun = L hc un  n  L 183 số định lí Định lí 1: Giả sử limun = L Khi đó: a limun = L vµ lim un = L b NÕu un  víi mäi n th× L  lim un = L Định lí 2: Giả sử limun = L, limvn = M vµ c lµ mét số Khi đó: a Các dãy số (un + vn), (un vn), (un.vn) (cun) có giới hạn vµ:  lim(un + vn) = L + M  lim(un  vn) = L  M  lim(un.vn) = LM  lim(cun) = cL un  un  L b NÕu M  th× d·y sè   có giới hạn lim = v M n   tỉng cđa cÊp sè nh©n lïi vô hạn Với cấp số nhân (un) có công bội q thoả mãn q < thì: u1 S = u1 + u2 + … = 1 q III Dãy số có giới hạn vô cực dãy số cới giới hạn + Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn + số hạng dãy số lớn số dơng lớn tuỳ ý cho trớc kể từ số hạng ®ã trë ®i Khi ®ã, ta viÕt: lim(un ) = +, viết tắt lim(un) = + limun = + hc un  n  + Tõ a b c định nghĩa, ta có kết quả: lim n = + lim n = + lim n = + dãy số có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn số hạng dãy số nhỏ mét sè ©m t ý cho tríc kĨ tõ mét số hạng trở 184 Khi đó, ta viết: lim(un ) = , viết tắt lim(un) =  hc limun =  hc un  n   NhËn xÐt: NÕu limun =  th× lim(un) = +  Chó ý: C¸c d·y sè cã giíi hạn + đợc gọi chung dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực Dãy số có giới hạn số thực L đợc gọi dãy số có giới hạn hữu hạn vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu limun = limvn = lim(un.vn) đợc cho bảng sau: limun + limvn + lim(un.vn) + +    +    + Quy t¾c 2: NÕu limun = limvn = L lim(un.vn) đợc cho b¶ng sau: limun + +   DÊu cña L +  +  lim(un.vn) +   + Quy t¾c 3: NÕu limun = L  0, limvn = vµ  víi mäi n lim un đợc cho bảng sau: un DÊu cña L DÊu cña lim + + + +   +   185   + Mét sè kÕt qu¶ a lim n qn = + vµ lim n = 0, víi q > q n Më réng: Ta cã lim nk qn = + vµ lim , víi q > vµ k số qn nk nguyên dơng b Cho hai d·y sè (un) vµ (vn)  NÕu un  với n lim un = + lim = + un  NÕu lim un = L R limvn = + lim =  NÕu lim un = + (hc ) lim = L R lim (un + vn) = + (hoặc ) IV Định nghĩa số định lí giới hạn hàm số giới hạn hàm số điểm Định nghĩa (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) khoảng chứa điểm x0 y = f(x) hàm số xác định khoảng (a; b), cã thĨ trõ ë mét ®iĨm x0 Ta nãi hàm số f(x) có giới hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) víi mäi sè d·y sè (xn) tËp hỵp (a; b)\{x0} mà lim xn = x0 ta có lim f(xn) = L Khi ®ã, ta viÕt: lim f(x) = L hc f(x)  L x  x0 x x0 Từ định nghĩa, ta có kết quả: lim c = c, víi c lµ h»ng sè x x0 lim f (x) = f(x0) NÕu hµm sè f(x) xác định điểm x0 x x0 Định nghĩa (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) khoảng chứa điểm x0 y = f(x) hàm số xác định khoảng (a; b), cã thĨ trõ ë mét ®iĨm x0 Ta nãi hàm số f(x) có giới hạn vô cực x dần đến x0 (hoặc điểm x0) với sè d·y sè (xn) tËp hỵp (a; b)\ {x0} mà lim xn = x0 ta có limf(xn) =  Khi ®ã, ta viÕt: 186 lim f(x) =  hc f(x)   x  x0 x x0 giới hạn hàm số vô cực Định nghĩa 3: Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; +) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn số thực L x dần ®Õn + nÕu víi mäi sè d·y sè (xn) khoảng (a; +) mà lim xn = + ta cã lim f(xn) = L Khi ®ã, ta viÕt: lim f(x) = L hc f(x)  L x  x0 x   lim lim Chó ý: C¸c giíi h¹n xlim   f(x) = L, x  f(x) = , x f(x) = đợc định nghĩa tơng tự Ta có, kết sau với số nguyên dơng k cho trớc: xk = + xlim   lim = xk lim k = x  x x     nÕuk ch½n xk =  xlim      nÕuk lỴ số định lí giới hạn hữu hạn lim Định lí 1: Giả sử xlim x0 f(x) = L vµ x x0 g(x) = M (L, M  R) Khi ®ã: a b lim [f(x)  g(x)] = L  M; x x0 lim [f(x).g(x)] = L.M; x x0 Đặc biệt, c số xlim  x0 [c.f(x)] = cL; f (x) L c NÕu M  th× xlim =  x0 g(x) M Định lí 2: Giả sử xlim x0 f(x) = L  R Khi ®ã: a xlim  x0 f(x) = L; b lim x x0 f (x) = L; c NÕu f(x)  víi th× L  vµ xlim  x0 f (x) = L Định lí 3: Giả sử f(x), g(x) h(x) ba hàm số xác định khoảng (a; b) chøa ®iĨm x0, cã thĨ trõ ë mét ®iĨm x0 NÕu lim f(x)  g(x)  h(x) víi mäi x  (a; b)\{x0} vµ xlim  x0 f(x) = x x0 h(x) = L th× xlim  x0 g(x) = L 187 Chú ý: Các định lí 1, ®Þnh lÝ 2, ®Þnh lÝ vÉn ®óng thay x  x0 bëi x   V Giíi h¹n bên Định nghĩa (Giới hạn phải): Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (x0; b) (x0  R) Ta nãi hµm sè f(x) cã giíi hạn phải số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0) với số dãy số (xn) khoảng (x0; b) mà lim xn = x0 ta ®Ịu cã lim f(xn) = L Khi ®ã, ta viÕt: lim x x  f(x) = L f(x) L x x0 Định nghĩa (Giới hạn trái): Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (a; x0) (x0 R) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn trái số thực L x dần đến x0 (hoặc ®iĨm x0) nÕu víi mäi sè d·y sè (xn) khoảng (a; x0) mà lim xn = x0 ta cã lim f(xn) = L Khi ®ã, ta viÕt: lim f(x) = L hc f(x)  L x  x x x Định lí: Điều kiện cần đủ để lim f (x) x x f (x) = lim f (x) = L lµ xlim  x x  x 0 0 = L Chú ý: Các giới hạn xlim f(x) = , xlim f(x) = đợc định nghĩa tơng x x 0 tự Định lí với giới hạn vô cực VI Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực lim f (x) = Quy tắc 1: Nếu x x0 [f(x).g(x)] đợc cho b¶ng sau: lim f (x) DÊu cđa L + +  +  + x x 188 lim g(x) = L  th× x x0 lim [f(x).g(x) x x0 ] +   lim x x0   + lim Quy t¾c 2: NÕu xlim  x f(x) = L  0, x  x g(x) = vµ g(x)  víi mäi x f (x) x0 xlim đợc cho b¶ng sau:  x0 g(x) f (x) DÊu cđa lim DÊu cña L x x g(x) g(x) + + + +   +     +  Chó ý: lim NÕu xlim  x f(x) = vµ f(x)  víi x  x0 th× x  x lim NÕu xlim  x f(x) = + th× x  x = + | f (x) | = | f (x) | VII Các dạng vô định Khi tìm giới hạn hàm số, gặp trờng hợp sau: u(x) lim víi u(x)  vµ v(x)  v(x) u(x) lim víi u(x)   vµ v(x)   v(x) lim[u(x)  v(x)] víi u(x)   vµ v(x)   lim[u(x).v(x)] víi u(x)  vµ v(x) Ta gọi dạng vô định dạng , , , 0., VIII Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục điểm x0 (a, b) : lim f (x) = f(x ) x x0 189 NÕu t¹i điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, đợc gọi gián đoạn x0 điểm x0 đợc gọi điểm gián đoạn hàm số y = f(x) Chó ý 1: Hµm sè y = f(x) đợc gọi liên tục điểm x ba điều kiện sau đợc đồng thời thoả mãn : (i) f(x) xác định x0 lim f (x) tån t¹i (ii) x x0 (iii) lim f (x) = f(x ) x x0 Hµm sè y = f(x) gián đoạn điểm x0 ba điều kiện không đợc thoả mãn Chú ý 2: Nếu sử dụng giới hạn phía : Nếu lim f (x) x x0 tồn lim f (x) x x0 = f(x0) hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục trái điểm x0 NÕu lim f (x) x x tån lim f (x) x x = f(x0) hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục phải điểm x0 Hàm số y = f(x) liên tục điểm x lim f (x) x x0 lim f (x) x x = = f(x0) Đặc trng khác tính liên tục điểm Cho hàm số y = f(x) xác định (a ; b) Giả sử x O x(x xO) hai phần tử (a ; b) Hiệu x xO, kí hiệu x (đọc đen - ta x), đợc gọi số gia đối số điểm xO Ta có : x = x  xO  x = xO + x  HiƯu yyO = f(x)  f(xO), kÝ hiƯu lµ y, đợc gọi số gia tơng ứng hàm số điểm xO Ta có : y = yyOf(x)f(xO) = f(xO + x)f(xO) Đặc trng : Dùng khái niệm số gia, ta đặc trng tính liên tục hàm số y = f(x) điểm xO nh sau: Định lí Một hàm số y = f(x), xác định (a; b), liên tục y = xO  (a; b) nÕu vµ chØ nÕu lim x Chøng minh ThËt vËy, ta cã : 190 lim f (x) x x0 lim y = = f(xO)  xlim  x0 (f(x)  f(xO)) = x Hàm số liên tục khoảng Định nghĩa 2: Ta có : Hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục khoảng (a; b) liên tục điểm khoảng Hàm số y = f(x) đợc gọi liên tục đoạn [a; b] Liên tục khoảng (a; b), lim f (x)  x a  x b lim f (x) = f(a) (liên tục bên phải điểm a), = f(b) (liên tục bên trái điểm b) Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục khoảng "đờng liền" khoảng Khi ta nói hàm số y = f(x) liên tục mà không khoảng có nghĩa hàm số liên tục tập xác định Các định lí hàm số liên tục Định lí Tổng, hiệu, tích, thơng (với mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm Định lí Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lợng giác liên tục tập xác định chúng B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 giới hạn Dãy số Dạng toán 1: D·y sè cã giíi h¹n ThÝ dơ Chøng minh dãy số (uu) sau có giới h¹n 0: sinn a un = b un = n1 n  Gi¶i a Ta cã: 1 < vµ lim = 0, n1 n n 191 từ đó, suy điều cần chứng minh b Ta cã: sinn 1 < < vµ lim = 0, n n n n tõ ®ã, suy ®iỊu cÇn chøng minh  NhËn xÐt: Nh vậy, để chứng minh dẫy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng 1 định un < kết qu¶ lim = n n ThÝ dơ Chøng minh dãy số (uu) với số hạng tổng quát un = n   n cã giíi h¹n    Gi¶i Ta cã: n = n1 vµ lim n  1 n n1 n = n1 n < n < n = 0, n từ đó, suy điều cần chứng minh Nhận xét: Nh vậy, để chứng minh dẫy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < n vµ lim n = ThÝ dơ Chøng minh r»ng d·y sè (uu) víi sè h¹ng tổng quát un = cos(n) 4n có giới hạn  Gi¶i Ta cã: n n cos(n)  1  1  4n  < 4n =  lim = 0, từ đó, suy điều cần chứng minh Nhận xét: Nh vậy, để chứng minh dẫy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < qn limqn = víi q < 192  Gi¶i ] Giải phơng trình f(x) = 0, ta có: f(x) =   x +  2x = x Hàm số f(x) liên tục [4; �  x �0 �  2x �0  �  �  x   2x  (1  x)(1  2x)  x  � �x �1 � � �x � � � � (1  x)(1  2x)  2x  � �x �2 �1 � � �x �  x =  �2x  �0  �2 � �2x  7x  (1  x)(1  2x)  (2x 1) Nh vậy, khoảng [4; 0) (0; ] hàm số f(x) không triệt tiêu, đó: Vì f( 1) =   < nªn f(x) < víi x  [4; 0) �1 � �2 �  V× f � �=  > nªn f(x) > víi x  (0; ] 2 C Các toán chọn lọc VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng d·y sè (uu) víi số hạng tổng quát un = ( 1)n cosn có giới hạn n2 Giải Ta có: ( 1)n cosn cosn 1 1 = < < < vµ lim = 0, n 1 n 1 n 1 n n n tõ ®ã suy ®iỊu cÇn chøng minh VÝ dơ 2: Tính giới hạn sau: a L = nlim    1  1 1   1      n  243  b L = lim   n 1   2 n 1  n 1   n   n2  1 Gi¶i a Ta biÕn ®ỉi: 1.3 2.4 (n  1)(n  1) n1 22  32  n  = lim = = nlim 2   n   n �� 2 n n n L  lim b Ta cã: n 1  2 n 1  n 1   n 1 (1 + + + n  1) n 1 n(n  1) n2  n = = n 1 2(n2  1) = n 1 Tõ ®ã, suy ra: n2  n L = lim = 2 2(n  1) VÝ dơ 3: Cho d·y sè (un) víi un = a Chøng minh r»ng un1 un n 3n  víi mäi n n  2 b Chøng minh r»ng < un    víi mäi n  3 c Chøng minh r»ng d·y số (un) có giới hạn Giải a Với mäi n ta cã: un1  n  1  n  n 2n =  n1  :  n  =  = , ®pcm un 3n 3n   3  b Sö dụng phơng pháp quy nạp để chứng minh Học sinh tự làm c Từ kết câu b) ta cã: n n  2  2 un    vµ lim   = 0,  3  từ suy điều cần chứng minh Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: 244 u1 = 10 vµ un + = un + víi mäi n  a Chøng minh dãy số (vn) xác định = un 15 cấp số nhân b Tìm limun Giải a Nhận xét rằng: 15 15 un1  un   vn1 1 4 = = =  v n + = 15 15 5 un  un  4 tõ ®ã, suy (vn) cấp số nhân với công bội q = b Từ kết câu a), ta có: = v1.q n1 15 25     = (u1  ) n =  5 n n 15 15 25      un = + = + 4  5 Tõ ®ã, ta ®ỵc:  25   n 15 15 limun = lim      = 4     VÝ dô 5: Cho: S = + q + q2 + …, víi q < 1, T = + Q + Q + …, víi Q < 1, A = + qQ + q2Q2 + … Tính A theo S T Giải Với giả thiÕt q < 1, Q < suy qQ < Khi ®ã: 1 S T S= q= , T= Q= , 1 q 1 Q S T 1 ST S T  = A= = 1 qQ 1 S T  S T 245 VÝ dô 6: Cho mét tam giác ABC cạnh a Tam giác A1B1C1 có đỉnh trung điểm cạnh ABC, A2B2C2 có đỉnh trung điểm cạnh A1B1C1, , An + 1Bn + 1Cn + cã c¸c đỉnh trung điểm cạnh AnBnCn, Gọi p1, p2, , pn vµ S1, S2, Sn, theo thø tự chu vi diện tích A1B1C1, A2B2C2, , AnBnCn, a Tìm giới hạn dãy số (pn) (Sn) b Tính tổng: p1 + p2 + + pn + vµ S1 + S2 + + Sn +  Gi¶i a Ta lần lợt có nhận xét: 1 p1, p3 = p2 = p1, 2 Từ đó, ta dự đoán đợc: 3a 3a pn = n p1 =  Chøng minh b»ng quy nạp n = 2.2 2n Do đó: Víi d·y sè (pn) th× p2 =  limSn = lim a2 4n1 b Ta lần lợt có nhận xÐt:  n 3a  1 n = 3a.lim   =  2 1 Víi d·y sè (Sn) th× S2 = S1, S3 = S2 = S1, 4 Tõ ®ã, ta dự đoán đợc: a2 a2 Sn = n S1 = =  Chøng minh b»ng quy 16.4n 4n1 nạp Do đó: limpn = lim = a  1 lim    4 n1 = D·y sè (pn) lµ mét cÊp số nhân có công bội q = 3a nên: p1 + p2 + + pn + = 246 p1 = 3a 1 q < vµ p1 =  D·y sè (pn) lµ mét cÊp số nhân có công bội q = < S1 = a2 nên: 16 S1 a2 = 1 q 12 1 1 sin3x VÝ dụ 7: (ĐHQG/khối B97): Tính giới hạn lim x0 1 cosx S1 + S2 + + Sn + =  Gi¶i Ta cã: 1 1 sin3x 1 cosx = 1 1 sin3x 1 cosx (3 4sin x)sinx = 1 cosx = sin3x 1 cosx 3 4sin x 1 cos x = = 1 cosx 3sinx  4sin3 x 1 cosx = 1 cosx 34sin2x Do ®ã: lim x�0 1 1 sin3x 1 cosx = lim ( 1 cosx 34sin2x) = x�0 VÝ dụ 8: Tính giới hạn sau: 2x  x a (HVNH98): lim x�1 x1 x3  3x  b (§HQG98): lim x�1 x1  Gi¶i a Ta cã: x1 lim 2x   x = lim = lim = x�1 x�1 x�1 (x  1)( 2x   x) 2x   x x1 b Ta cã: x6  3x  lim x  3x  = lim x�1 x�1 (x  1)(x3  3x  2) x1 (x  1)(x5  x4  x3  x2  x  2) lim = x�1 (x  1)(x3  3x  2) x5  x4  x3  x2  x  lim = x�1 = x  3x  247 Nhận xét: Trong ví dụ trên, câu c) để tránh gặp phải đa thức bậc chóng ta cã thĨ thùc hiƯn theo c¸ch: x3  3x  x3  1 1 3x   lim x�1 x�1 x1 x1 lim x3  1 3x   lim x�1 x  x�1 x1  lim 3 3x  lim x2  x   lim x�1 x�1 (x  1) 1 3x      3  3 lim  3 = x�1 2 1 3x  Ngoµi ra, ý tëng nµy có tên "Phơng pháp gọi số vắng" việc tìm giới hạn, đợc trình bày phía sau Ví dụ 9: Tính giới h¹n sau: lim a x�1 3 x 1 x 21 b lim x�1 x  x2  x  x1  Gi¶i a Ta cã: lim x�1 3 x 1 x 21 = lim x�1 [ (x  2)2  x   1](x  1) ( x2  x  1)(x  1) = lim x�1 (x  2)2  x   x2  x  = b Ta cã: lim x�1 x  x2  x  = lim x  + lim x2  x x�1 x�1 x1 x1 x1 x1 = xlim + xlim x = xlim 1 =  �1 �1 �1 3 3 ( x  x  1)(x  1) x x Ví dụ 10: Tính giới hạn sau: a  Gi¶i a Ta cã: 248 lim 2x   x  x�1 x1 b lim (x  2004) 1 2x  2004 x�0 x 5 lim 2x   x  = lim 2x   1 x   x�1 x�1 x1 x1 2x   lim x   = lim + x1 x1 x1 x1 Đặt: u 2x   � �v  x  � u4  x   � � �x   v5  � Khi ®ã: 2(u  1) 2x   = = vµ x1  u1 (u  1)(u2  1) u 1 x1 v 1 x 21 = = vµ x1  v1 v 1 v  v  v v x1 Vậy, ta đợc: lim 2x   x  = lim + vlim = x�1 u�1 �1 (u  1)(u  1) v  v  v  v  10 x1 b Ta cã: 2 2 7 lim (x  2004) 1 2x  2004 = lim (x  2004) 1 2x  x  2004  x x�0 x�0 x x �2 1 2x  � 4008 (x  2004)  x�=  = lim � x�0 x � �  NhËn xÐt: Trong vÝ dụ trên, câu b) thêm bớt x2 để làm xuất đa thức P(x) = x2 + 2004 tử thức, từ làm xuất d¹ng: n lim 1 ax  = a , x0 n x điểm mẫu chốt lời giải Ví dụ 11: Tính giới hạn: x x x.3 1 1  1 x lim x�1  x  8 x  1 x  Gi¶i Gäi tư thøc lµ T, ta cã: 249 x x x x 1  1 1 + 3 x x x x + 1 1  1 + 1 1 + 1 1 x 3 � x x x 1 x  1� � �+ = 1 1 ( 1 x 1) + 1 � 3 � � � � x � 4 1  1�( 1 x 1) + � � � � � Gäi mÉu thøc lµ M, ta cã: x x M = 1 2 1  1 x � x � � x � 1  1�2 �3 1  1�( 1 x 1) = 3� � � � � � � � � Ta cã: T= 1 x 1 T x x 1 x.3 1 1  1 x lim = lim T = lim x = = 24 x�1 x�1 x�1 M M  x  8 x  1 x 24 x VÝ dô 12: Tính giới hạn sau: a (ĐHQG/khối D99): lim x�1 x3  x2  sin(x  1) b (ĐHDL Hải Phòng/Khối A2000): lim x1 x2 4x tan(x  1)  Gi¶i a Ta cã: x2  2x  2 x  x  (x  1)(x  2x  2) lim = lim = lim = x�1 x�1 x�1 sin(x  1) sin(x  1) sin(x  1) x1 b Ta cã: x (x  1)(x  3)  lim x2  4x   lim x � lim tan(x  1) = 2 x�1 tan(x  1) x�1 tan(x  1) x1 VÝ dô 13: (ĐHAN/Khối A 2000): Tính giới hạn: 98 cos3xcos5xcos7x L  lim � � x�0 83 sin2 7x � � 250  Gi¶i Ta cã: 1cos3xcos5xcos7x = 1 (cos8x + cos2x)cos7x = 1 (cos8x cos7x + cos2xcos7x) = 1 (cos15x + cosx + cos9x + cos5x) = [(1cos15x) + (1cosx) + (1cos9x) (1cos5x)] 5x � x 9x � 15x � 2sin 2 2 � = 4� + 2sin + 2sin + 2sin � + 5x � x 9x � 15x � sin 2 2 � = 2� + sin + sin + sin � Do ®ã: 5x � x 9x 15x � lim 98 � sin 22 2 2 � L = x�0 83 � + sin + sin + sin sin2 7x � � 15x x sin2 � 2 sin2 �1 � 98 lim � 15 � � 2 = � � + �+ �x � � 83 x�0 ��15x � �2 � �2 � �2 � �� � �� �� � � 9x 5x 2� sin 2 �9 � �5 �� (7x) + + � � 2 � �9x � � �2 � �5x � �2 �� sin 7x (7) �2 � � �2 � � � � � � 2 2 � � 15 � �5 � 98 lim � �1 � �9 � = x�0 � �2 � + � � + � � + �2 �� (7)2 = 83 � � � �� � �2 � �2 � sin2  NhËn xÐt: Nh vËy, thí dụ thực chất cần sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng công thức góc nhận đôi cos Tuy nhiên, em học sinh cần thận trong tính toán 251 Ví dụ 14: Tính giới hạn sau: cosx a (§HHH/§Ị 197): lim x�0 b 1 cos x 1 tanx  1 sinx (§HHH2000): lim x�0 x3  Gi¶i a Ta cã: x 2sin2 1 cosx 1 cosx lim = lim = lim x � x � x�0 (1 cos x)(1 cosx) x 1 cos x 2sin2 (1 cosx) 2 � � x� � x � � � � � sin � � 1 x � � � � � = lim �= 2 �2 � x�0 � �x � � � sin2 x � x � 1 cosx � �� � � � �2 � � ��2 � � � � b Ta cã: tanx  sinx 1 tanx  1 sinx = lim lim 3 x � x�0 x ( 1 tanx  1 sinx) x x tanx(1 cosx) 2tanx.sin2 lim = x�0 = lim x ( 1 tanx  1 sinx) x�0 x ( 1 tanx  1 sinx) � � tanx sin2(x/2) � �= 2lim = x�0 x  x/2 1 tanx  1 sinx � � � �  NhËn xÐt: Nh vËy, lêi gi¶i cđa vÝ dụ cần thực phép nhân liên hợp trớc sử dụng phép biến đổi lợng giác để chuyển chùng dạng Với giới hạn dạng: lim f1(x) f2(x) , f1(x0) = f2(x0) = c vµ g(x) g(x0) = Ta lùa chän mét hai c¸ch: C¸ch 1: (ChÌn h»ng số vắng): Ta thực việc thêm số vắng c (víi f1(x0) = f2(x0) = c) vµo biĨu thøc giới hạn, ta đợc: xx0 252 lim f1(x) c  c  f2(x) = lim f1(x)  c + lim c  f2 (x) x�x0 x�x0 g(x) g(x) g(x) xx0 Cách 2: (Chèn hàm số vắng): Ta thực việc thêm hàm số vắng f(x) (với f(x 0) = c) vào biểu thức giới hạn, ta ®ỵc: lim f1(x)  f(x)  f(x)  f2 (x) x�x g(x) f1(x)  f(x) f(x)  f2(x) = xlim + xlim �x �x g(x) g(x) 0 1 x  8 x VÝ dô 15: (ĐHQG/Khối A97): Tính giới hạn lim x0 x Gi¶i Ta cã: 3 lim 1 x  8 x = lim 1 x    8 x x�0 x�0 x x � 2( 1 x  1)  8 x � = lim + � � x�0 x x � � � � = lim x�0 � x � �  � � 13 + �= 1 x  x�  23 8 x  (8 x)2 �� 12 � �� 2x x  VÝ dô 16: Tính giới hạn sau: a lim x1 x  2x tan(x  1) b (§HTM99): lim x�0 1 x2  cosx x2  Gi¶i a Ta cã: 4x2  x  4x  x1 x   2x lim = x�1 = lim x�1 x�1 tan(x  1) ( x   2x)tan(x  1) x   2x tan(x  1) = b Ta cã thể trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Ta cã: lim 253 lim 1 x  cosx lim x�0 x�0 = x = 1 x2  cos2 x   lim 1 x2  cosx x2 = x�0  x2  sin2 x � sin x � 1 � � x �= 1 x2  cosx � lim x�0 C¸ch 2: Ta cã:  1 x2  cosx x2 � � x � � 2sin � 2 �= � lim 1 x  cosx = lim � 1 x  + 1 cosx � lim  = 2 x�0 x�0 � x�0 � x2 � � 1 x2  �x � � x2 � x 4� � � � �2 � � � VÝ dụ 17: Tính giới hạn sau: a lim (x  2) x �� x 1 x3  x b lim x x �� 2x  x x5  x2   Gi¶i a Ta cã: lim (x  2) x �� x 1 (x  1)(x  2) = lim = xlim   x �� x3  x x3  x � 1� � 2� 1 � 1 � � � � x� � x � = 1 1 x b Ta cã: 2 2x  x x (2x  x)   lim x =  lim x   lim x �� x �� x �� x  x2  x5  x  1  x x � lim � VÝ dô 18: TÝnh giíi h¹n x �  �  x �.tanx 2 � �  Gi¶i    x suy x = t NhËn xÐt x  t 2 Vậy, ta đợc: cos t � � � lim �  t.tan �  t �= lim t.cott = lim t = �  x �.tanx = lim x� t �0 t �0 t �0 2 � sin t � �2 � §Ỉt t =  x  2 VÝ dơ 19: (HVKTMM  99): TÝnh giíi h¹n L = xlim     x  1 254 2x1 Giải Ta biến đổi: 2x1 2x1 x  2  =  1    , x  1  x  1  1 đặt = x = t t x 1 NhËn xÐt x   th× t Vậy, ta đợc: x   x  1 Do ®ã: 2x1 lim  x   x   x  1  1 =  1  t  2x1 2(t 1)1 =  1 1 t   1 = lim t   1  t  t 2t t t 2t t = e2 VÝ dụ 20: Xét tính liên tục hàm số sau toàn trục số: x x x  ax  x �1 � f(x) = Giải Hàm số xác định với mäi x R Khi x < 1, ta có f(x) = x2 + x nên hàm số liên tơc víi x < Khi x > 1, ta có f(x) = ax + nên hàm số liªn tơc víi x > Khi x = 1, ta cã: lim f(x) = lim (x2 + x) = ; lim f(x) = lim (ax + 1) = a + x �1 x �1 x �1 x �1 f(1) = a + Do ®ã:  NÕu a = th× xlim f(x) = xlim f(x) = f(1) = 2, hàm số liên �1       tơc t¹i x0 = NÕu a  th× xlim f(x)  xlim f(x), hàm số gián đoạn x �0 �0 = KÕt luËn:  NÕu a = 1, hàm số liên tục toàn trục số Nếu a 1, hàm số liên tục (, 1)(1, + ) gián đoạn x0 =    VÝ dô 21: Chøng minh r»ng với m phơng trình: 255 1 =m cos x sin x (1) có nghiệm Giải , với k Z Biến đổi phơng trình dạng: sinxcosxmsinx.cosx = Điều kiện x Xét hàm số f(x) = sinxcosxmsinx.cosx liên tục đoạn  Ta cã: � � � � f(0) = 1 < vµ f � �= >  f(0).f � �= 1 < �2 � Vậy phơng trình f(x) = lu«n cã mét nghiƯm thc �0; � � 2� � phơng trình (1) có nghiệm thuộc kho¶ng �0; � � 2� VÝ dơ 22: XÐt dÊu hµm sè f(x) = + cosx  2tan  x (0; ) Giải Hàm số f(x) liên tục (0; ) Giải phơng trình f(x) = víi Èn phơ t = tan ta cã: 2+ =0 x  t2 , suy cosx = ,  t2  t2  2t =  2t3t2 + 2t3 =  (t1)(2t2 + t + 3)  t2 x  =1x= 2 Nh vậy, khoảng (0; ) ( ; ) hàm số f(x) không triệt 2 tiêu, đó:  V× f � �= +  > nªn f(x) > víi x  (0; ) 2 �3 �  �2 �  V× f � �=  2 < nªn f(x) < víi x  ( ; ) 2 �3 �  t =  tan 256 257 ... phân vô hạn tuần hoàn sau dới dạng phân số: a 0 ,44 4 b 0,2121 c 0,32111  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: 0 ,44 4 = 0 ,4 + 0, 04 + 0,0 04 = 4 + + + 10 100 1000 4 , , cấp số nhân lùi vô hạn có u 10 100 1000... giới h¹n sau: a  1 4n n  1 4n b lim 3n  4n1 n  3n 4n lim Giải a Ta biến đổi: n  1 lim   1 n n n   1 4 = nlim = =  lim n n   n  1  1  lim   4n n   b Ta biÕn... Ta biÕn ®ỉi: n  3   4  4 3n n  3 lim   n    n 3n  4n1 lim = lim = lim = =  n n n  n  n  3n  4n 3n 3     n  3   lim 3.   n     4  NhËn xÐt: Nh vậy,