http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải §3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí cơsin: Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b AB = c Ta có : a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A b2 = c2 + a2 - 2ca.cos B c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC Hệ quả: b2 + c2 - a2 cos A = 2bc c + a2 - b2 Hình 2.6 cos B = 2ca a2 + b2 - c2 cosC = 2ab Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c R bán kính đường tròn ngoại tiếp Ta có : a b c = = = 2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có : 2(b2 + c2 )- a2 ma = 2(a + c2 )- b2 mb2 = 2(a + b2 )- c2 mc2 = 4 Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, r a+ b+ c bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = nửa chu vi tam giác; S diện tích tam giác Khi ta có: 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bcsin A = casin B = absin C 2 abc = 4R pr = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải = p(p- a)(p- b)(p- c) (cơng thức Hê–rơng) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định yếu tố tam giác Phương pháp  Sử dụng định lí cơsin định lí sin  Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến mối liên hệ yếu tố công thức tính diện tích tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cos A = Tính cạnh BC, độ dài đường cao kẻ từ A A BC = , = 29 29 C BC = 29 , = 16 29 29 B BC = 29 , = 29 29 D BC = 29 , = 29 29 Lời giải Áp dụng định lí cơsin ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos A = 42 + 52 - 2.4.5 = 29 Suy BC = 29 Vì sin2 A + cos2 A = nên sin A = 1- cos2 A = 1- = 25 1 Theo cơng thức tính diện tích ta có SABC = AB.AC.sin A = 4.5 = (1) 2 1 a = 29.ha (2) Mặt khác SABC = ah 2 Từ (1) (2) suy 16 29 29.ha = � = 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy độ dài đường cao kẻ từ A = 16 29 29 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính 3, biết � = 300 , B � = 450 Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A A A ma = 22,547 B ma = 27,54 C ma = 19,57 D ma = 23,547 Lời giải � = 1800 - A �- B � = 1800 - 300 - 450 = 1050 Ta có C Theo định lí sin ta có a= 2R sin A = 2.3.sin300 = 3, b= 2R sin B = 2.3.sin450 = =3 2 c = 2R sin C = 2.3.sin1050 �5,796 Theo công thức đường trung tuyến ta có a m = 2( b2 + c2 ) - a2 � 2( 18+ 5,7962 ) - = 23,547 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có bcsin A 2.5,796sin300 SABC = pr = bcsin A � r = � �0,943 2p 3+ + 5,796 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Biết � = 13 AB = 3, BC = 8, cos AMB 26 Tính độ dài cạnh AC góc lớn tam giác ABC Lời giải hình 2.7) BC = � BM = Đặt AM = x Theo định lí cơsin ta có Hình 2.7 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải � = cos AMB Suy AM + BM - AB2 2AM AB 13 x2 + 16- = 26 2.4.x � x = 13 � � � 13x - 20 13x + 91= � � 13 x= � � 13 Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có AM = 2( AB2 + AC 2) - BC 2AB.AC TH1: Nếu x = 13 � 13 = 2( 32 + AC ) - 82 � AC = Ta có BC > AC > AB � góc A lớn Theo định lí cơsin ta có cos A = AB2 + AC - BC 9+ 49- 64 = =2AB.AC 2.3.7 Suy A �98012' 2( 32 + AC 2) - 82 13 49 397 TH2: Nếu x = � = � AC = 13 13 13 Ta có BC > AC > AB � góc A lớn Theo định lí cơsin ta có 397 - 64 AB + AC - BC 13 cos A = = =2AB.AC 397 2.3 13 2 9+ 53 5161 Suy A �137032' Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD = Giả sử E trung điểm AB � = thỏa mãn sin BDE http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Tính độ dài cạnh AB A B C 2 D Lời giải: (hình 2.8) Đặt AB = 2x ( x > 0) � AE = EB = x � > suy � Vì góc BDE nhọn nên cos BDE � = 1- sin2 BDE � = cos BDE 2 Hình 2.8 Theo định lí Pitago ta có: DE2 = AD + AE2 = 1+ x2 � DE = 1+ x2 BD = DC + BC = 4x2 + 1� BD = 4x2 + Áp dụng định lí cơsin tam giác BDE ta có � = cos BDE DE2 + DB2 - EB2 2 4x2 + � = 2DE.DB ( 1+ x2) ( 4x2 + 1) � 4x4 - 4x2 + 1= � 2x2 = 1� x = Vậy độ dài cạnh AB (Do x> 0) 2 Bài tập luyện tập Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC 3, � cạnh AB= ACB= 600 Tính cạnh BC ( ) A BC = 1+ ( ( ) ( ) B BC = 1+ ) C BC = 2+ D BC = 1+ Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.56: Đặt BC = x ( x > 0) MN = � AC = Theo định lí cơsin ta có AB2 = CA + CB2 - 2.CA CB.cosC Hay 81= 36+ x2 - 2.6.x � x = 1+ ( ) Bài 2.57: Cho tam giác ABC vng B có AB= Trên tia đối AC lấy � = 300 Tính AC điểm D cho CD = AB Giả sử CBD A AC = B AC = 3- C AC = 1+ D AC = 2+ Lời giải: Bài 2.57: Đặt AC = x ( x > 0) Áp dụng định lí cơsin tam giác ABD ta có BD = 1+( 1+ x) - 2( 1+ x) Áp dụng định lí sin tam giác BCD ta có BD = � =2 sin BCD x sin30 Suy ta phương trình x4 + 2x3 - 2x- 4= � ( x + 2) ( x3 - 2) = � x = Vậy AC = Bài 2.58 Cho a= x2 + x + 1; b= 2x + 1; c = x2 - Giả sử a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh tam giác có góc 1200 Lời giải: Bài 2.58: cos A = b2 + c2 - a2 1- x2 = =� A = 1200 2bc 2( x - 1) Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = a) Tính diện tích tam giác ABC A S= B S= C S= D S= 3 x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác A R = 3 , r= B R = , r= 3 C R = 3 , r= 3 D R = 3 , r= 3 C = c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A A = B =- D = Lời giải: Bài 2.59: a) Áp dụng cơng thức Hê - rơng ta có S = p(p- a)(p- b)(p- c) = b) Áp dụng cơng thức tính diện tích S = c) = abc 3 S = pr suy R = , r= 4R 3 2S 12 6 = = a Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn a = b = 2c 6- a) Tính góc tam giác A B= 1200 , A = 450 , C = 150 B C = 1200 , B= 450 , A = 150 C A = 1200 , C = 450 , B= 150 D A = 1200 , B= 450 , C = 150 b) Cho a= Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A.2 B.3 C.4 D.5 Lời giải: Bài 2.60: HD: a) Đặt a = t > � a= 3t, b= 2t, c = - t Áp dụng định lí cơsin ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ( ) ) 2 b2 + c2 - a2 2t + 2- t - 3t cosA= = =- � A = 1200 2bc 2 3- t ( ( ) 2 a2 + c2 - b2 3t + 2- t - 2t cosB= = = � B = 450 , C = 150 2ac 2 3- t ( ) b) Áp dụng định lí sin, ta có: R = a = = 2sin A 2sin1200 � = 600 , a= 10, r = Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A a) Tính R A R = 3 B R = 3 C R = 3 D R = 10 3 b) Tính b, c A b= c = 10 B b= c = C b= c = D b= c = Lời giải: Bài 2.61: (hình 2.22) a) 2R = a 20 10 = �R= sin A 3 b) Gọi M, N, P tiếp điểm BC, CA AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có Hình 2.22 AP = AN - r.cot300 = 5, BP + NC = BM + MC = a= 10 � ( b- AN ) +( c- AP) = 10 � b+ c = 20 (1) Theo định lí cơsin ta có a = b + c - 2bccos60 � bc = 2 ( b+ c) - a2 = 100 (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Từ (1) (2) suy b, c nghiệm phương trình x2 - 20x + 100 = � x = 10 Vậy b= c = 10 � D ABC � = 600 Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = A a) Tính chu vi tam giác A P = 22,72 B P = 20,72 C P = 22 D P = 21,72 B tan C =- C tan C = D tan C =- b) Tính tanC A tan C =- c) Lấy điểm D tia đối tia AB cho AD = điểm E tia AC cho AE = x Tìm x để BE tiếp tuyến đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ADE A x= 5+ 85 B x=- 5+ 85 C x= 3+ 85 D x = 5+ Lời giải: Bài 2.62: a) Theo định lí cơsin ta có BC = 102 + 42 - 2.10.4cos600 = 76 ޻ BC 8,72 Suy chu vi tam giác 2p�10+ 4+ 8,72 = 22,72 b) (Hình 51a.) Kẻ đường cao BH ta có AH = ABcos600 = 5� HC = 5- = BH = AB.sin600 = � =- HB =- Vậy tan C =- tan BCH HC Hình 2.23a c) (Hình 51b.) Hình 2.23b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Để BE tiếp tuyến đường tròn (C) ta phải có BE = BA.BD = 10( 10+ 6) = 160 Áp dụng định lí cơsin tam giác ABE ta có BE2 = x2 + 100- 10x � x2 - 10x- 60 = � x = 5+ 85 Bài 2.63 Cho tam giác ABC cân có cạnh bên b nội tiếp đường tròn (O;R) a) Tính cơsin góc tam giác A cos A = b2 - R2 b2 , cos B = cos C = 2R2 R2 B cos A = b2 - 2R2 b2 , cos B = cosC = 2R2 4R2 b2 - R2 b2 C cos A = , cos B = cos C = R2 4R2 D cos A = b2 - 2R2 b2 , cos B = cos C = 2R2 4R2 b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A r = B r = C r = ( b2 R2 - b2 2R 2R + R2 - b2 b2 R2 - b2 ( 2R R + R2 - b2 ( ) ) b2 4R2 - b2 R 2R + 4R2 - b2 ) S b2 4R2 - b2 r = = D p 2R 2R + 4R2 - b2 ( ) c) Với giá trị b tam giác có diện tích lớn ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CD + DA = 2DE2 + AC (2) Từ (1) (2) suy AB2 + BC + CD + DA = 2( BE2 + DE2 ) + AC BD Mặt khác EF đường trung tuyến tam giác BDF nên BE + DE = 2EF + 2 Suy AB2 + BC +CD + DA = AC + BD + 4EF Bài tập luyện tập Bài 2.68: Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a= b.cosC + c.cos B b) sin A = sin B cosC + sin C cos B c) = 2R sin Bsin C d) ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c2 ) e) SD ABC = uuu r uuur AB2.AC - ( AB.AC) Lời giải: Bài 2.68: a) Áp dụng định lí cơsin ta có: VP = b a2 + b2 - c2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 + c2 + a2 - b2 + c = = a= VT b) 2ab 2ca 2a sin A = sin B cosC + sin C cos B � a b c = cosC + cos B 2R 2R 2R � a= b.cosC + c.cos B (câu a) c) = 2R sin B sin C � 2S b = 2R sin C � S = absin C (đúng) a 2R d) Áp dụng công thức đường trung tuyến http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải e) uuu r uuur AB2.AC - ( AB.AC) = AB.AC 1- cos2 A = AB.AC.sin A Từ suy đpcm Bài 2.69: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) b+ c = 2a � 1 = + hb hc b) Góc A vng � mb2 + mc2 = 5ma2 Lời giải: Bài 2.69: a) b+ c = 2a � b) mb2 + mc2 = 5ma2 � 2S 2S 2S 1 + = � + = hb hc hb hc 2(a2 + c2 )- b2 2(a2 + b2 ) - c2 2(b2 + c2 ) - a2 + = 4 � b2 + c2 = a2 � Góc A vng Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 = b4 + c4 Chứng minh a) Tam giác ABC nhọn b) 2sin2 A = tan B tan C Lời giải: Bài 2.70: a) Dễ thấy a> b, a> c � góc A lớn Và a4 = b4 + c4 < a2.b2 + a2.c2 � a2 < b2 + c2 b2 + c2 - a2 � < 900 Mặt khác theo định lí cơsin ta có cos A = � cos A > A 2bc Vậy tam giác ABC nhọn b) 2sin2 A = tan B tan C � 2sin2 A.cos B.cosC = sin Bsin C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải �a � a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2 b c � � � 2� � = � � 2R � 2ac 2ab 2R 2R � � a4 = b4 + c4 Bài 2.71: Cho tam giác ABC Chứng minh cot A = b2 = ( cot B + cot C) 2 a + c2 ) ( Lời giải: Bài 2.71: Áp dụng cot A = b2 + c2 - a2 4S Bài 2.72: Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: a) S = 2R2 sin A sin Bsin C b) S = Rr(sin A + sin B+ sin C) Lời giải: Bài 2.72: a) Ta có S = b) S = pr = abc 2R sin A.2R sin B.2R sin C = = 2R2 sin A sin B sin C 4R 4R a+ b+ c 2R sin A + 2R sin B + 2R sin C r = r 2 Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD , gọi  góc hợp hai đường chép AC BD Chứng minh diện tích S tứ giác cho công thức: S = AC.BD.sin a Lời giải: Bài 2.73: Gọi I giao điểm hai đường chéo Khi S = SABI + SBCI +SCDI + SDAI � + BI CI sin BIC � + 1CI DI sin CID � + DI AI sin DIA � Ta có góc = AI BI sin AIB 2 2 � , BIC � , CID � � đôi bù suy AIB DIA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � = sin BIC � = sin CID � = sin DIA � = sin a sin AIB 1 Do S = BI AC.sin a + ID.AC.sin a = AC.BD.sin a 2 � = 1200 , AD đường phân giác (D Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC thuộc BC) Chứng minh 1 = + AD AB AC Lời giải: Bài 2.74: Với AB = AC ta có đpcm Với AB �AC Ta có: BD AB = DC AC BD = AB2 + AD - 2AB.AD.cos60o = AB2 + AD - AB.AD CD = AC + AD - 2AC.AD.cos60o = AC2 + AD - AC.AD AB2 BD AB2 + AD - AB.AD = = AC DC AC + AD - AC.AD � AB2( AC + AD - AC.AD) = AC 2(AB2 + AD - AB.AD ) � � (AB2 - AC )AD = AB.AC.AD(AB - AC) � AB = AC � 1 �� � = + AB AC � AD AB AC AD = � AB + AC � Bài 2.75: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: a) cos A + cos B ( b+ c- a) ( c+ a- b) = a+ b 2abc 2 2 2 b) ( c + b - a ) tan A = ( c + a - b ) tan B Lời giải: Bài 2.75: a) Áp dụng định lí cơsin, ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 � � � 2abc( cos A + cos B) = 2abc.� + � � � � � 2bc 2ac � = a( b2 + c2 - a2 ) + b( a2 + c2 - b2 ) = ( a+ b) � c2 - ( a+ b) � � � � � = ( a+ b) ( b+ c- a) ( c+ a- b) Suy cos A + cos B ( b+ c- a) ( c+ a- b) = a+ b 2abc b) Áp dụng định lí sin cơsin, ta có: a a2 + c2 - b2 tan A sin A cos B 2R a2 + c2 - b2 2ac = = = tan B sin B cos A b b2 + c2 - a2 b2 + c2 - a2 2R 2bc 2 2 2 Suy ( c + b - a ) tan A = ( c + a - b ) tan B Bài 2.76 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh a) � p(p- a) b) a2b2 + b2c2 + c2a2 �R2(a+ b+ c)2 Lời giải: Bài 2.76: a) Ta có SABC = p(p- a)(p- b)(p- c) = ah a Mặt khác (a+ b- c)(a+ c- b) = a2 - (b- c)2 �a2 � (p- b)(p- c) � a� � p(p- a) b) Vì S = abc 1 = aha = bhb = chc nên bất đẳng thức tương đương với 4R 2 a2b2 b2c2 c2a2 + + �(a+ b+ c)2 � 4( ha2 + hb2 + hc2) �(a+ b+ c)2 R R R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Sử dụng câu a) suy 4( ha2 + hb2 + hc2) �(b+ c)2 - a2 + (c+ a)2 - b2 + (a+ b)2 - c2 = (a+ b+ c)2 Vậy a2b2 + b2c2 + c2a2 �R2(a+ b+ c)2 Bài 2.77.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2 r +( p- a) + r +( p- b) + r +( p- c) � ab+ bc+ ca Lời giải: Bài 2.77: Ta có S = pr � r = � r +(p- a)2 = (p- a)[ S2 (p- a)(p- b)(p- c) = p p2 (p- b)(p- c) (p- a)bc + p- a] = p p 2 Tương tự r + (p- b) = (p- b)ac (p- c)ab ,r + (p- c)2 = p p Do BĐT cần chứng minh tương đương với (p- a)bc + (p- b)ac + (p- c)ab � p(ab+ bc + ca) BĐT theo CauChy-Schwarz ta có (p- a)bc + (p- b)ac + (p- c)ab � (p- a+ p- b+ p- c)(ab+ bc+ ac) = p(ab+ bc+ ca) Bài 2.78 Cho tam giác ABC Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh r = (p- a)tan A B C = (p- c)tan = (p- c)tan 2 Lời giải: Bài 2.78: Ta có: S = pr � r = p(p- a)(p- b)(p- c) (p- a)(p- b)(p- c) S = = p p p http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải (p- a)tan (p- b)(p- c) (p- a)(p- b)(p- c) A = (p- a) = p(p- a) p Từ đó: r = (p- a)tan A Tương tự: r = (p- b)tan Do : r = (p- a)tan B C r = (p- c)tan 2 A B C = (p- b)tan = (p- c)tan 2 Bài 2.79 Cho tam giác ABC có c mb = �1 Chứng minh b mc 2cot A = cot B + cot C Lời giải: Bài 2.79: Áp dụng cot A = b2 + c2 - a2 suy 2cot A = cot B + cot C � b2 + c2 = 2a2 4S Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có 2 2 2 c mb 2(a + b ) - c 2(a + c ) - b = �c =b � b4 - c4 = 2a2 ( b2 - c2 ) Suy b mc 4 b2 + c2 = 2a2 đpcm Bài 2.80 Cho M điểm nằm tam giác ABC cho � = MBC � = MCA � =a MAB Chứng minh : cot a = cot A + cot B + cot C Lời giải: Bài 2.80: Áp dụng định lí cơsin tam giác MAB , ta có BM = AB2 + AD - 2AB.AD.cosa Mặt khác SABM = AB.AM sin a � BM = AB2 + AD - 4SMAB cot a Tương tự ta có CD = BC + BD - 4SMBC cot a , AD = AC + CD - 4SMCA cot a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Cộng vế với vế suy cot a = a2 + b2 + c2 = cot A + cot B + cot C 4S � = a , GBC � = b , GCA � =g Bài 2.81 Cho tam giác ABC có trọng tâm G GAB Chứng minh cot a + cot b + cot g = 3( a2 + b2 + c2) 4S Lời giải: b2 + c2 - a2 Bài 2.81: Áp dụng cot A = công thức đường trung tuyến với 4S ý SGBC = SGCA = SGAB Bài 2.82 Cho tam giác ABC Chứng minh ( a- b) cot C A B +( b- c) cot +( c- a) cot = 2 Lời giải: Bài 2.82: C1: Gọi D điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp ( I ; r) tam giác � B � C C� A� cot + cot � b= r � cot + cot � � � với BC Suy a= BD + DC = r � , tương tự ta có � � � � � � 2� 2� � � Do ( a- b) cot � B C C C A� = r� cot cot - cot cot � � � � 2 2� � � Xây dựng biểu thức tương tự cộng lại suy đpcm C2: (a- b)cot � (a- b) +(b- c) C A B + (b- c)cot + (c- a)cot = 2 p(p- c) + (p- a)(p- b) p(p- a) p(p- b) + (c- a) =0 (p- b)(p- c) (p- a)(p- c) � (a- b)(p- c) +(b- c)(p- a) +(c- a)(p- b) = � a2 - b2 - c(a- b) + b2 - c2 - a(b- c) + c2 - a2 - b(c- a) = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Điều lng Vậy ta có đpcm Bài 2.83: Cho hình bình hành ABCD có AC = 3AD Chứng minh � � cot BAD Lời giải: Bài 2.83: Ta có AC + BD = 2( AB2 + AD ) � AB2 + AC = 5BD Sử dụng định lý côsin bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh � �4 � cot BAD � �4 cos BAD Bài 2.84 Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c diện tích S Chứng minh a2 + b2 + c2 �4 3.S Lời giải: Bài 2.84: C1: Áp dụng cơng thức diện tích Hêrơng bất đẳng thức cauchy C2: Áp dụng định lí cơsin cơng thức tính diện tích ta có a2 + b2 + c2 �4 3.S � 2( b2 + c2 + bccos A ) �4 bcsin A ( � b2 + c2 �bc 3sin A + cos A Bất đẳng thức cuối ) ( ) 3sin A + cos A �4( sin2 A + cos2 A ) = b2 + c2 �2bc  DẠNG 4: Nhận dạng tam giác Phương pháp giải Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ suy dạng tam giác Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sin C = 2sin Bcos A Chứng minh minh tam giác ABC cân http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Áp dụng định lí cơsin sin ta có: sin C = 2sin B cos A � c b b2 + c2 - a2 = 2R 2R 2bc c2 = b2 + c2 - a2 � a= b Suy tam giác ABC cân đỉnh C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A = sin B + sin C Chứng minh cos B + cosC tam giác ABC vuông Lời giải: Ta có: sin A = � sin B + sin C � sin A(cos B + cosC) = sin B + sin C cos B + cosC a c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 b+ c ( + )= 2R 2ca 2ab 2R � b(c2 + a2 - b2 ) + c(a2 + b2 - c2 ) = 2b2c+ 2c2b � b3 + c3 + b2c+ bc2 - a2b- a2c = � (b+ c)(b2 + c2 )- a2(b+ c) = b2 + c2 = a2 � D ABC vng A Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trường hợp sau: a) a.sin A + bsin B + csin C = + hb + hc b) cos2 A + cos2 B = (cot2 A + cot2 B) sin2 A + sin2 B Lời giải: 1 a) Áp dụng cơng thức diện tích ta có S = bcsin A = aha suy 2 a.sin A + bsin B + csin C = + hb + hc � a 2S 2S 2S 2S 2S 2S + b + c = + + bc ca ab a b c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2 � a2 + b2 + c2 = ab+ bc+ ca � ( a- b) +( b- c) +( c- a) = � a= b= c Vậy tam giác ABC b) Ta có: cos2 A + cos2 B = (cot2 A + cot2 B) 2 sin A + sin B cos2 A + cos2 B + sin2 A + sin2 B � = (cot2 A + 1+ cot2 B + 1) 2 sin A + sin B � 1 = ( + ) � (sin2 A + sin2 B)2 = 4sin2 A sin2 B sin A + sin B sin A sin B 2 �a � �b � � � � sin A = sin B � � =� � � � � � �� a= b� D ABC cân C � � 2R � � 2R � � 2 Bài tập luyện tập Bài 2.85: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân = c.sin A Lời giải: 1 Bài 2.85: Sử dụng công thức S = aha = bcsin A ta có 2 = c.sin A � bha = aha � a= b suy tam giác ABC cân C Bài 2.86: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân 4ma2 = b( b+ 4c.cos A ) Lời giải: Bài 2.86: Sử dụng công thức đường trung tuyến định lí sin 4m = b( b+ 4c.cos A ) � a 2( b2 + c2 ) - a2 � � b2 + c2 - a2 � � = b� b + c � a= b � � � � � 2bc � � Bài 2.87: Chứng minh tam giác ABC a2 + b2 + c2 = 36r Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.87: Ta có r = S2 ( p- a) ( p- b) ( p- c) = p p2 3 � � �� 3p- a- b- c� p� � Theo Cauchy ( p- a) ( p- b) ( p- c) �� �= � � � � � � � � 3� � �� 4p3 ( a+ b+ c) Suy 36r � = �a2 + b2 + c2 3p Dấu xảy a= b= c hay tam giác ABC Bài 2.88: Cho tam giác ABC Tìm góc A tam giác biết cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức: b(b2 - a2 ) = c(c2 - a2 ),(b�c) Lời giải: 2 2 3 2 2 Bài 2.88: b(b - a ) = c(c - a ) � b - c = a ( b- c) � b + bc+ c = a Theo định lí cơsin a2 = b2 + c2 - 2bccos A Do b2 + bc+ c2 = b2 + c2 - 2bccos A � cos A = � � A = 600 �a3 + c3 - b3 � = b2 � Bài 2.89: Cho D ABC thoả mãn điều kiện: � a+ c- b Chứng minh � � a= 2bcosC � � D ABC Lời giải: Bài 2.89: Ta có � cos A = a3 + c3 - b3 = b2 � ( b+ c) ( b2 - bc+ c2 ) = a2 ( b+ c) a+ c- b � � A = 600 a= 2bcosC � a= 2b a2 + b2 - c2 � b= c 2ab http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy tam giác ABC Bài 2.90: Trong tam giác ABC , chứng minh diện tích tính theo cơng thức S = ( a+ b- c) ( a- b+ c) tam giác ABC Lời giải: Bài 2.90: Ta có S = 2� 1 a - ( b- c) � ( a+ b- c) ( a- b+ c) = � � � 4� 2 1 = � b + c2 - 2cos A ) - ( b- c) � = ( 2bc) ( 1- cos A ) = bc( 1- cos A ) ( � � � 4� Mặt khác ta lại có S = bcsin A nên 1- cos A = sin A � 1- 2cos A + cos2 A = sin2 A � cos A ( cos A - 1) = � cos A = � A = 900 Vậy D ABC vuông A Bài 2.91: Cho D ABC thỏa mãn: 1+ cos B 2a+ c = Chứng minh tam sin B 4a2 - c2 giác ABC tam giác cân Lời giải: Bài 2.91: Ta có: 1+ cos B 2a+ c (1+ cos B)2 2a+ c = � = sin B 2a- c sin2 B 4a2 - c2 (1+ 2cos B + cos2 B) + sin2 B 2a+ c+ 2a- c = 2a- c sin2 B 1+ cos B 2a � = � 2a- c = 2a- 2a.cos B 1- cos B 2a- c � � 2a c2 + a2 - b2 = c � a2 - b2 = � a= b 2ac � D ABC tam giác cân C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.92: Chứng minh tam giác ABC vuông A B sin C = cos A + cos B Lời giải: Bài 2.92: Ta có: cos A + cos B = b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 2(a+ b)(p- a)(p- b) + = 2bc 2ca abc Vậy sin C = cos A + cos B � � 2(a+ b)(p- a)(p- b) c = 2R abc 2cS 2(a+ b)(p- a)(p- b) = � c2[(a+ b)2 - c2 ] = (a+ b)2[c2 - (a- b)2 ] abc abc � a2 = b2 + c2 � c4 = (a2 - b2 )2 � � � D ABC vuông A B � b2 = c2 + a2 � Bài 2.93: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với có R.r = ( bc ) 1+ 10 Chứng tam giác ABC cân Lời giải: Bài 2.93: Gọi G trọng tâm, tam giác GBC vng G Theo định lí pitago cơng thức đường trung tuyến suy b2 + c2 = 5a2 Sử dụng R.r = ( bc ) 1+ 10 , R = abc S ,r = suy b+ c = a 10 4S p Từ giả thiết suy b= c = a Bài 2.94: Chứng minh tam giác ABC sin Lời giải: A B ab sin = 2 4c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.94: HD: Ta có: sin (p- b)(p- c) (p- c)(p- a) A B ab ab sin = � = 2 4c bc ca 4c a2b2 16 � [(a+ b- c)(b+ c- a)][(a+ b- c)(c+ a- b)] = a2b2 � (p- c)2(p- a)(p- b) = � [b2 - (c- a)2 ][a2 - (b- c)2] = a2b2 (1) Nhận thấy: < b2 - (c- a)2 < b2 < a2 - (b- c)2 < a2 Nên [b2 - (c- a)2 ][a2 - (b- c)2 ] �a2b2 � c- a= � a= b= c � D ABC Vậy (1) � � � � b c = � Bài 2.95: Chứng minh tam giác ABC cân tại B ptan B C tan = p- c 2 Lời giải: Bài 2.95: Ta có ptan (p- c)(p- a) (p- a)(p- b) B C tan = p- c � p = p- c 2 p(p- b) p(p- c) � p- a= p- c � a= c � D ABC cân ... 4( ha2 + hb2 + hc2) �(b+ c)2 - a2 + (c+ a)2 - b2 + (a+ b)2 - c2 = (a+ b+ c)2 Vậy a2b2 + b2c2 + c2a2 �R2(a+ b+ c)2 Bài 2.77.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2 r +( p- a) + r +( p- b) + r +( p-... trung tuyến tam giác BDF nên BE + DE = 2EF + 2 Suy AB2 + BC +CD + DA = AC + BD + 4EF Bài tập luyện tập Bài 2.68: Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a= b.cosC + c.cos B b) sin A = sin B cosC + sin C... B + cosC) = sin B + sin C cos B + cosC a c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 b+ c ( + )= 2R 2ca 2ab 2R � b(c2 + a2 - b2 ) + c(a2 + b2 - c2 ) = 2b2c+ 2c2b � b3 + c3 + b2c+ bc2 - a2b- a2c = � (b+ c)(b2 +