§5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN  DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI Phương pháp giải Sử dụng phương pháp  Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn  Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn  Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau �y + x2 = 4x a) � � � 2x + y - = � A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm � 3x- 4y + 1= b) � � � xy = 3(x + y) - � A.1 nghiệm Lời giải: � 5- 2x + x2 = 4x � a) Hệ phương trình tương đương � � �y = 5- 2x � � x=1 � � �x = � x= � � x - 6x + = � � � � �� �� � � x = � � � � � � � �y = 5- 2x � �y = �y =- � y = � 5- 2x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) ( 1;3) ( 5;- 5) � 4y - � x= � � � b) Hệ phương trình tương đương � � 4y - 4y - � y = 3( + y)- � � � 116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 4y - � � x= � � 11 �x = � � 4y - � � � � x= x= � � � � �� �� � � � y=3 � � � � � � y= � � � � � y= 4y - 22y + 30 = � � � � � � � y= � � � � � � 11 � ;3� �và Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) � � � � �3 � � 5� � 3; � � � � � � 2� Nhận xét: Từ cách giải hệ phương trình ta thấy hệ phương trình hai ẩn mà có phương trình bậc hai ẩn(hoặc biểu diễn ẩn qua ẩn kia) ta dùng phương pháp Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau � x3 = xy + a) � � � �2x- y = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm � x(x + y + 1)- = � � b) � � (x + y)2 - + 1= � � x � A.1 nghiệm Lời giải: � x3 = x( 2x- 3) + � a) Hệ phương trình tương đương với � � � y = 2x- � �x = ( x- 1) ( x2 - x + 2) = � � �� � � � � y = 2x- � �y =- � Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) ( 1;- 1) b) ĐKXĐ: x�0 � � x+ y = - � � x � Hệ phương trình tương đương với � � � � � � - 1� - + 1= � � � � � � x x � � � 117 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � � � � y = - x- � � x + y = � � � y = x � � x � x �� �� x �� � � x=1 � � � � � � � + + = x x + = � � � � 2 � � �x = x x �x � � x= � � � x=1 � � �� � (thỏa mãn) � � y =�y = � � � 3� � 2;- � Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) ( 1;1) � � � � � 2� Bài tập luyện tập Bài 3.54: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau � 2x + y = a) � � � 4x + y2 = 17 � A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm � x3y = 16 � b) � � 3x + y = � A.1 nghiệm � x3 - 8x = y3 + 2y � c) � � x - = 3(y2 +1) � A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.54: a) Ta có y = 5- 2x vào phương trình hai ta được: � x = 2� y = � 4x + (5- 2x) = 17 � 2x - 5x + = � � � x= � y= � � 2 2 Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (2;1),( ;4) b) Ta có y = 8- 3x thay vào phương trình đầu ta được: x3(8- 3x) = 16 � 3x4 - 8x3 +16 = � (x- 2)2(3x2 + 4x + 4) = 118 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � x = Vậy hệ có nghiệm x = y = c) Từ phương trình � x2 = 3(y2 + 2) (3) thay vào phương trình ta : � x=0 � x2 x - 8x = y(y + 2) = y � x(3x - xy- 24) = � � 3x2 - 24 � y= � x � * Với x = thay vào (3) ta có: y2 + = vơ nghiệm � � 3x2 - 24 3x2 - 24� � � * Với y = thay vào (3) ta được: x = 3� �+ � � x � x � � � � x = �3 � y = �1 x2 = � � � � 13x - 213x + 864 = � � 96 � � 96 78 � x = x=� � y=m � � 13 13 � 13 � Vậy hệ có bốn nghiệm: (x; y) = (�3;�1), (� 96 78 ;m ) 14 13 � x+ y = m Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình: � có nghiệm � � 2x - 3y2 = � A m � B m � C m < 6 D m > Lời giải: Bài 3.55: Ta có x = m- y thay vào phương trình hai ta được: 2(m- y)2 - 3y2 = � y2 + 4my + 1- 2m2 = (*) Hệ có nghiệm � (*) có nghiệm �D= �۳ ' 4m2 (1 2m2 ) Vậy m � m giái trị cần tìm  DẠNG TỐN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phương pháp giải a) Hệ đối xứng loại Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng: �f (x, y) = (I) � với f ( x; y) = f ( y; x) g( x; y) = g( y; x) � � �g(x, y) = 119 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi) Cách giải  Đặt S = x + y, P = xy  Đưa hệ phương trình (I) hệ (I') với ẩn S P  Giải hệ (I') ta tìm S P  Tìm nghiệm ( x; y) cách giải phương trình: X - SX + P = b) Hệ đối xứng loại �f (x, y) = (1) Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng: (II) � � � �f (y, x) = (2) (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) �f (x, y)- f (y, x) = (3)  Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: (II)  � � � �f (x, y) = � x= y  Biến đổi (3) phương trình tích: (3)  (x- y).g(x, y) =  � � g(x, y) = � � f (x, y) = � � � � � � x= y � �  Như (II)  � �f (x, y) = � � � � � � �g(x, y) = �  Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm hệ (II) c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau � x + xy + y = 2+ � a) � � x + y2 = � � A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm � x2y + xy2 = 30 � b) � � x + y3 = 35 � A.1 nghiệm Lời giải: a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ: � � S2 + 2S = 10+ � (S +1)2 = (3+ 2)2 S + P = 2+ � � � � � �2 � � � � � S - 2P = S + P = 2+ P = 2+ - S � � � � � 120 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � � S = 2+ � � � � � S = 2+ S =- 4- � � � � �� �� � � S =4 � � � � � P =2 P = 6+ � � � � � � P = + S � �  Với S= 2+ ; P = 2 ta có x, y nghiệm phương trình: � X =2 X - (2+ 2)X + 2 = � � � X= �  Với S =- 4- ; P = 6+ ta có x, y nghiệm phương trình: X + (4+ 2)X + 6+ = ( vơ nghiệm) Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (2; 2) ( 2;2) b) Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 �4P Hệ phương trình trở thành: � 30 � P= � � SP = 30 � � S= � x+ y = � x= � x= S � �� �� �� �� �� � �� � � � � � � � 90� P =6 � xy = y=3 � y= S(S - 3P) = 35 � � � � � � � � � S� S = 35 � � � � S� � �� Ví dụ 2: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau � x3 + 2x = y � a) � � �y + 2y = x A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm �y2 = x3 - 3x2 + 2x b) � �2 � x = y3 - 3y2 + 2y � A.1 nghiệm � x2 + � x = � � y2 � c) � � y2 + � � y = � � x2 A.1 nghiệm Lời giải: a) Trừ vế với vế phương trình đầu phương trình thứ hai ta được: 121 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x3 - y3 + 3x- 3y = � (x- y)(x2 + y2 + xy + 3) = � x = y � � � y� 3y2 � � � � x + y + xy + = x + �+ + > 0) (Vì � � � � � � 2� � � � � 2 Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x3 + x = � x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = ( 0;0) b) Trừ vế với vế phương trình đầu phương trình thứ hai ta được: y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2 ) + 2(x- y) � (x- y)(x2 + xy + y2 - 2x- 2y + 2) = � (x- y) � x2 + y2 + (x + y - 2)2 � = 0� x= y � � (vì x2 + y2 + (x + y - 2)2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x3 - 4x2 + 2x = � x(x2 - 4x + 2) = � � x=0 x=0 � �� � � � x - 4x + = � x = 2� � Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0;0);(2+ 2;2+ 2) (2- 2;2- 2) c) ĐKXĐ: x �0 y �0 � x> Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm ( x; y) � � � �y > � x2 + � x = � � � 3xy2 = x2 + (1) y2 � � � Ta có � � � 3yx = y2 + (2) y2 + � � � � y = � � x2 Trừ (1) (2) ta được: (x- y)(3xy + x + y) = � x = y (vì 3xy + x + y > ) Với x = y :(1) � 3x3 - x2 - = � (x- 1)(3x2 + 2x + 2) = � x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = ( 1;1) 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � x2 + xy + y2 = m+ � Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình � có nghiệm � 2x + xy + 2y = m � A m= 12 B m= 21 C m= D m= Lời giải: Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Vậy hệ � 3x02 = m+ � � 3x02 = x02 + 4x0 + có nghiệm suy x0 = y0 suy � � x0 + 4x0 = m � � x =- 1� m=- � 2x02 - 4x0 - = � �0 �x = 3� m= 21 �0 � x2 + xy + y2 = � + Với m=- hệ trở thành � � 2(x + y) + xy =- � � � S = x+ y S2 - P = � � , S �4P hệ phương trình trở thành � Đặt � � � 2S + P =- �P = xy � �S = � � � �S = � � S =- � S + 2S = � � �� �� � S =2 � � � � � � � � � P =- P =- 2S- � � � �P = � � P =2S � �X = � S= � x + y =- 2 � � � x , y Khi � ta có � suy nghiệm phương trình X - = � � � � P =- xy = X =- � � � � Do hệ có nghiệm ( 3;- ) ( - ) 3; Suy m=- hệ phương trình khơng có nghiệm � x2 + xy + y2 = 27 � (x + y)2 - xy = 27 �� + Với m= 21 hệ trở thành � � � � 2x + xy + 2y = 21 � 2(x + y) + xy = 21 � � � � S = x+ y S2 - P = 27 � , S � P Đặt � hệ phương trình trở thành � � � � 2S + P = 21 �P = xy � � �S = � � � � S= � S =- � S + S 48 = � � � �� � � S =8 (loại) � � � � � � � � � � P =9 P = 37 � P =- 2S + 21 � � � � P =- 2S + 21 � 123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � �S = x+ y = Khi � ta có � suy x, y nghiệm phương trình X - 6X + = � X = � � � � P = xy = � � Suy hệ có nghiệm ( x; y) = ( 3;3) Vậy với m= 21 hệ có nghiệm Ví dụ 4: Cho ( x; y) � x + y = 2m- nghiệm hệ phương trình � Tìm m để xy nhỏ �2 2 � x + y = m + m � A m=- B m= 3 C m=- D m= Lời giải: Đặt S = x + y, P = xy , điều kiện S2 �4P S = 2m- � Hệ phương trình trở thành � �2 � S - 2P = 2m2 + 2m- � � � S = 2m- S = 2m- � �� � � � � (2m- 1)2 - 2P = 2m2 + 2m- � � �P = m - 3m+ 1)2 4( m2 Điều kiện S2 �4P suy (2m-�-+۳۳ 3m 2) 8m m (*) � 3� 1 Ta có P = xy = m - 3m+ = � m- � �- �� � � � 2� Dấu xảy � m= Vậy m= (thỏa mãn (*)) xy đạt giá trị nhỏ Bài tập luyện tập Bài 3.56: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau � x + y + 2xy = a) � �3 � x + y3 = � A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm 124 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � x3 + y3 = 19 � b) � � ( x + y) ( 8+ xy) = � � A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm � x + y + 3xy = c) � � � 2x + 2y2 - 3xy = � A.1 nghiệm � x + y + xy =- d) � � 2 � � x +y = A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.56: a) Đặt S = x + y, P = xy Khi hệ trở thành: � 2- S � P= � S + 2P = � � � �� � � 6- 3S S(S - 3P ) = � � � S(S2 )=8 � � � � 2S3 + 3S2 - 6S- 16 = � (S- 2)(2S2 + 7S + 8) = � S = � P = � x, y nghiệm PT: X - 2X = � X = 0, X = � � x=0 x=2 �� Vậy nghiệm hệ là: � � � � � �y = �y = b) Đặt S = x + y; P = xy Khi hệ trở thành: SP =- 8S SP = 2- 8S � � S(S2 - 3P ) = 19 � � �� �� � �3 �3 � � S(8+ P ) = S - 3(2- 8S) = 19 � S + 24S- 25 = � � � � S=1 � x, y nghiệm phương trình : �� � � P =- � X - X - = � X = 3; X =- Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm: (x; y) = (- 2;3), (3;- 2) 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm 2 c) ( 15x + 6) 3( x + 2) = 25x + 36x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: � u = 13+ 2x � u3 + v3 = 26 a) Đặt � � � � �v = 13- 2x Phương trình trở thành u + v- 2uv = � � u3 + v3 = 26 u + v) - 3uv( u + v) = 26 ( � � �� Vậy ta có hệ phương trình � (*) � u + v- 2uv = � u + v uv = � � � � � S = u+ v S3 - 3SP = 26 � � , S � P Đặt � , hệ phương trình (*) trở thành � � � �P = uv � S- 2P = � 2S3 - 3S( S- 8) = 52 � �S = 2S3 - 3S2 + 24S - 52 = � � � � �� � � � � � 2P = S- 2P = S- � �P =- � � = u+ v Thay vào ta có � , u, v nghiệm phương trình � � = uv � � � X =- u =- � X - 2X - = � � Suy � �X = � �v = � �u = � � � v =- � � u =- � 13+ 2x =- 1� x =- Với � � � �v = �u = � 13+ 2x = � x = Với � � � v =1 � Vậy phương trình có nghiệm x = �7 b) x + 4- x3 = 2+ 3x 4- x3 Đặt y = 4- x3 � x3 + y3 = Phương trình trở thành x + y = 2+ xy 162 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � � x3 + y3 = x + y) - 3xy( x + y) = ( � � �� Vậy ta có hệ phương trình � (*) � � x + y = + xy x + y = 2+ xy � � � � � S = x+ y S3 - 3SP = � � , S �4P , hệ phương trình (*) trở thành � Đặt � � � �P = xy � S = 2+ P � S3 - 3S( S - 2) = � S=1 S3 - 3S2 + 6S- = � � �� �� � � � � � � P =- P = S- � P = S- � � � 1= x + y � x, y nghiệm phương trình Thay vào ta có � � � �- 1= xy � 1+ � x= 1� � 2 � X - X - 1= � X = � � 1- � x= � � Do phương trình có nghiệm x = 1� c) Phương trình tương đương với - 25x3 + 15 3( x2 + 2) x2 + 3( x2 + 2) - 36x = ( � x +( ) � x3 + - 26x3 + 15 3( x2 + 2) x2 + 3( x2 + 2) - 36x = ) 3( x2 + 2) - 2x = 2 2 Đặt y = 3( x + 2) - 2x � ( 2x + y) = 3( x + 2) � x + 4xy + y = Phương trình trở thành x3 + y3 = � x3 + y3 = Do ta có hệ phương trình � , hệ đối xứng loại giải hoàn toàn tương �2 � x + 4xy + y2 = � tự ta nghiệm hệ phương trình ( x; y) = ( 1;1) Vậy phương trình có nghiệm x= Ví dụ 3: Tìm số nghiệm phương trình sau a) x2 - x + 1= 1- 8x 163 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm b) x2 + 3x + = 23 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm + x x Lời giải: a) ĐKXĐ: x� Đặt 1- 8x = 1- 2y, y � � 1- 8x = 4y2 - 4y + 1� y2 + 2x = y Phương trình trở thành x2 - x + 1= 1- 2y � x2 + 2y = x �y2 + 2x = y Vậy ta có hệ phương trình � (*) �2 � �x + 2y = x �x = y � x2 - y2 + 2y - 2x = x - y � ( x- y) ( x + y - 3) = � � � x = 3- y � Thay vào phương trình đầu hệ phương trình (*): �y = � x = 2 Với x = y ta có y + 2y = y � y + y = � � (thỏa mãn) � y =1 � x =1 � 2 Với x = 3- y ta có y + 2( 3- y) = y � y - 3y + = (vơ nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm x = x =- b) ĐKXĐ: x�0 Phương trình tương đương với x3 + 3x2 + 3x = 23 2x + � ( x + 1) - 1= 23 2( x +1) +1 t3 - Đặt y = x + phương trình trở thành y3 - = 23 2y + 1, đặt t = 2y + � y = �y3 - 1= 2t � Khi ta có hệ �3 � t - 1= 2y � � ( 1) ( 2) Lấy (1) trừ (2) ta có: y3 - t3 = 2t - 2y 164 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � ( y - t) ( y2 + yt + t2 ) + 2( y - t) = � ( y - t) ( y2 + yt + t2 + 2) = 0� y - t = � t� � (Vì y + yt + t + = � y + �+ t2 + 2> ) � � � 2� � 2 Với t = y thay vào (1) ta có y3 - 1= 2y � y3 - 2y- 1= � � y =- 1� x =- � � - 1+ � 1+ � ( y + 1) ( y2 - y - 1) = � � y= � x= 2 � � 1+ � 1- y= � x =� � 2 Vậy phương trình có nghiệm x =- 2; x = - 1+ 1+ ; x =2 Nhận xét: �Phương trình có dạng ax2 + bx + c = a' x + b' ta đặt a' x + b' = a y + b � a 2y2 + 2aby - a' x + b - b' = phương trình trở thành ax2 + bx + c- a y - b = Từ ta chọn a , b cho hệ phương trình � a 2y2 + 2aby - a' x + b - b' = � đối xứng Hồn tồn tương tự phương trình chứa � � � ax + bx + c- a y- b = bậc n �Khi gặp phương trình đưa dạng f n ( x) + b= an af ( x) - b ta đưa hệ đối xứng loại � tn + b= ay cách đặt t = f ( x) , y = n af ( x) - b ta có hệ � �n � �y + b= at Ví dụ 4: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 4x2 + 5+ 3x + = 13x A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) 10x2 +12x + = x 2x2 + 2x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm 165 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: a) ĐKXĐ: x�- Phương trình tương đương với ( 3- 2x) + 3x+ = x + �u = 3- 2x 11 , v �0,u � � v2 + u = x + Đặt � � � � 3x + = v Phương trình trở thành u2 + v = x + (*) � v2 + u = x + � Vậy ta có hệ phương trình �2 � u +v = x+ � �v = u � ( v2 + u) - ( u2 + v) = � ( v- u) ( u + v - 1) = � � � v = 1- u � Với v = u thay vào (*) ta có u2 + u = x + hay ( 3- 2x) + 3- 2x = x + � 4x2 - 15x + = � x = 15� 97 15+ 97 (loại x = v = u < 0) 8 Với v = 1- u thay vào (*) ta có u2 + 1- u = x + hay ( 3- 2x) + 1- ( 3- 2x) = x + � 4x2 - 11x + = � x = 11� 73 11- 73 (loại x = v = 1- ( 3- 2x) < ) 8 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 15- 97 x = 11- 73 b) Phương trình tương đương với (3x + 2)2 + x2 - 1= x x(3x + 2)- x2 + � u = x(3x + 2) - x2 + � , u �0 suy u2 = xv- x2 + Đặt � � v = x + � � Phương trình trở thành v2 + x2 - 1= xu � u2 = xv - x2 + Vậy ta có hệ phương trình � �2 � v + x2 - 1= xu � � u= v � u2 - v2 - x2 + 1= xv- x2 + 1- xu � ( u- v) ( u + v + x) = � � � u+ v + x = � 166 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Với u = v ta có v2 = xv- x2 + hay ( 3x + 2) = x( 3x + 2) - x2 + � x =- � � � 7x + 10x + = � (loại x=- u = v =- 1< ) � x =� � 2 Với u + v + x = � u =- x- v =- 4x- ta có ( - 4x- 2) = x( 3x + 2) - x2 + � 14x2 + 14x + = � x = - 7� - 7+ (loại x = u< ) 14 14 Vậy phương trình có hia nghiệm x=- x = - 7- 14 Chú ý: Đây phương trình sau đặt u = f ( x) , v = g( x) đưa hệ hương trình cịn ẩn x mà đưa phương trình tích Sau tìm nghiệm cần tìm u, v để kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện ẩn phụ hay khơng Ví dụ 5: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 3- 2x3 = 3- x2 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) 2x + 9- x3 = 3x2 + 13 A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: a) ĐKXĐ: x�3 Đặt y = 3- 2x3 , y �0� 2x3 + y2 = Phương trình trở thành 2y = 3- x2 � 2y3 + x2 = � 2x3 + y2 = (1) � 2x3 - 2y3 + y2 - x2 = Vậy ta có hệ phương trình � � � 2y + x = (2) � � x= y � ( x- y) ( 2x2 + 2xy + 2y2 - x- y) = � � (*) � 2x + 2xy + 2y2 - x- y = � 167 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có 2x2 + 2xy + 2y2 - x - y > 0, " x, " y , 2 Nếu x�1 2x + 2xy + 2y - x- y = x( 2x- 1) + y( 2x- 1) + 2y > 2 Nếu < x < 1� 1< y < 2x + 2xy + 2y - x- y = 2x + x( 2y - 1) + y( 2y - 1) > Nếu x ޳� y 2x2 + 2xy + 2y2 - x- y = x2 +( x + y) - x + y( y- 1) > Do (*) � x = y , thay vào phương trình (1) ta 2x3 + x2 = � 2x3 + x2 - = � x = Suy phương trình có nghiệm x= Vậy phương trình có nghiệm x = b) Đặt 9- x3 = y � x3 + y3 = Phương trình trở thành 2x + y = 3x2 + 13 � ( 2x + y) = 3x2 + 13 � x2 + y2 + 4xy = 13 � ( x + y) - 3xy( x + y) = � � x3 + y3 = � � �� Vậy ta có hệ phương trình � (**) 2 � � x + y + xy = 13 � � x + y + xy = 13 ( ) � � � S = x+ y S3 - 3SP = � � , S �4P , hệ phương trình (**) trở thành �2 Đặt � � � S + 2P = 13 �P = xy � � � � 2S3 - 3S( 13- S2 ) = 18 � 5S3 - 39S- 18 = � ( S- 3) ( 5S2 +15S + 6) = �� � � (***) � � � � � � 2P = 13- S2 2P = 13- S2 � � 2P = 13- S � � � 4P S2 Ta có S2 ޳-޳� 2( 13 S2 ) S2 26 � 15� 225 26 225 Mặt khác 5S + 15S + = � 2S + � + S + 6� + 6>0 � � � � 4� 16 16 � � �S = 3= x+ y Do hệ phương trình (***) � � suy � , x, y nghiệm phương trình � � � � P = 2 = xy � � � X =1 X - 3X + = � � � X =2 � Suy hệ phương trình (**) có nghiệm ( x; y) ( 1;2) ( 2;1) Thử x = 1, x = vào thấy thỏa mãn phương trình 168 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = Bài tập luyện tập Bài 3.70: Tìm số nghiệm phương trình sau a) ( 3x +1) 2 + ( 3x- 1) + 9x2 - = A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm x + 17- x = A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.70: a) Đặt: u = 3x + v = 3x- � u2 + v2 + u.v = � � u- v = � u = v + (6) trở thành: �3 � u - v3 = � Do đó: ( v + 2) + v2 + v( v + 2) = � 3v2 + 6v + 3= � 3( v +1) = � v =- 1� u = � u = 3x + = � � x=0 Vậy ta có: � � v = x =1 � � b) ĐKXĐ: �x �2 Đặt a= x; b= 17- x; a,b�0 Ta có hệ phương trình � � � a+ b= a+ b= a+ b= � a+ b= � � � � � �� �4 � �2 � 2 2 � � � � ab = V ab = 16 a + b = 17 [( a + b ) ab ] a b = 17 a b 18 ab + 32 = � � � �   � a+ b= � a= � a= � x=1 �� V� �� Với � � � � � � � ab= b= � b= � x = 16 � � � � a+ b= � hệ vơ nghiệm.Vậy phương trình cho có hai ngiệm x = 1; x = 16 Với � � � ab= 16 � Bài 3.71: Tìm số nghiệm phương trình sau 169 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) 2x2 + 4x = x+ A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) 4x2 + 7x + 1= x + A.1 nghiệm c) 3x- = 8x3 - 36x2 + 53x- 25 A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: Bài 3.71: a) ĐKXĐ: x�- Phương trình � 2(x +1)2 - = (x + 1) + x +1 � (x +1)2 - 1= +1 2 x +1 t t +1 = + � y2 - 1= , ta có hệ phương trình: 2 Đặt t = x +1; y = �2 � � t=y t - 1= y � � � (t - y)(t + y + 1) = � � � � � � y =- t � � y = t � � � � * t = y � t2 - 1= * y =- t - t 1� 17 - 3� 17 (thỏa đk x�- ) � 2t2 - t - = � t = � x= 4 1 t - 1� 13 - 5� 13 � (t + )2 - 1= � 4t2 + 2t - 3= � t = � x= 2 4 (thỏa đk x�- ) Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x = - 3� 17 - 5� 13 ;x= 4 b) ĐKXĐ: x�2 Phương trình � (2x + 1)2 + 3x = 2(2x +1) - 3x Đặt t = 2x + 1; y = 2t - 3x � y2 + 3x = 2t � ta có hệ phương trình 170 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � � t2 + 3x = 2y y=t � � (t - y)(t + y + 2) = � � �2 � � y =- t - �y + 3x = 2t � � x =- � * y = t � t - 2t + 3x = � 4x + 3x- 1= � � � x= � � 2 � x =- � * y =- t - � t + 3x + 2(t + 2) = � 4x + 11x + = � � � x =� � 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x =- 1; x =Cách khác : pt � 4x2 + 8x + = ( ) x+ +1 ;x= 4 c) Ta có phương trình � 3x - = (2x - 3)3 - x + Đặt 3x- = 2y - � (2y- 3)2 = 3x- , ta có hệ phương trình � (2x- 3)3 = 2y - 3+ x- � � a3 - b3 = b- a (Với a= 2x- 3; b= 2y - ) � � (2y - 3) = 2x - 3+ x- � � (a- b)(a2 + ab+ b2 + 1) = � a= b � (2x- 3)3 = 3x- � x= � 2 � � 8x - 36x + 51x- 22 = � (x - 2)(8x - 20x +11) = � 5� � x = � � Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = 2; x = 5� Bài 3.72: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 2- x2 = (2- x)2 A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm 2- x2 = 2- x3 A.1 nghiệm 171 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: Bài 3.72: a) ĐK: �x � Đặt a= x; b= 2- � a+ b= � , ta có hệ phương trình: (I) �4 x � a + b4 = � (I) � a= b= 1� x = nghiệm phương trình cho b) ĐKXĐ: x�3 Đặt a= 2- x2 , a�0 � a3 = 2- x2 � a3 + x2 = Mặt khác từ phương trình ban đầu � a= 2- x3 � x3 + a2 = � a3 + x2 = � Vậy ta có hệ phương trình: � trừ hai phương trình hệ ta � x + a2 = � a3 - x3 - (a2 - x2 ) = � (a- x)(a2 + ax + x2 - a- x) = (*) Ta có: a2 + ax + x2 - a- x = a2 + (a+ x)(x- 1) * Với x �1� a+ x > � (a+ x)(x- 1) �0 � a2 +(a+ x)(x - 1) > * Với � x a a2 ax x2 a x a(a 1) ax x(a 1) * Với x < � a+ x < � (a+ x)(x- 1) > � a2 + (a+ x)(x- 1) > � a2 + ax + x2 - a- x > " x Do đo (*) � a= x thay vào hệ ta được: � �x �3 2- x3 = x � � � x = �3 � x + x = � � Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 3.73: Tìm số nghiệm phương trình sau: (4x3 - x + 3)3 - x3 = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm (1) D nghiệm Lời giải: 172 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � � 2y3 - 2x3 = 2y3 - 2x3 = � � (I ) (I) � � Bài 3.73: Đặt y = 4x - x + (1) có dạng: � � � 4x - x + = y 2x + 2y3 - (x + y) = � � � 2y3 - 2x3 = 3(2) �� � � (x + y)(2x2 - 2xy + 2y2 - 1) = 0(3) � TH1: y =- x kết hợp(2), có nghiệm (1): x=- 3 TH2: 2x2 - 2xy + 2y2 - 1= 0;D 'x = 2- 3y2 Nếu có nghiệm y � 2 Tương tự có x � 3 � 2� � � � Khi VT (2) � 4� = < Chứng tỏ TH2 vô nghiệm � � � 3 � � � 3� KL (1) có nghiệm x=- 3 Bài 3.74: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 3x + = x3 + 3x2 + x- A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) x2 - 3x + = x3 x3 - x2 - x- A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: Bài 3.74: a) Dễ thấy x = khơng nghiệm phương trình Xét x�0 phương trình tương đương với ( x- 1) + x + 1= x2 x2(x- 1) - x- � u = x2(x - 1) - x- � � u3 + x + 1= x2v Đặt � � v = x- � � Phương trình trở thành v3 + x + 1= x2v � u3 + x + 1= x2v � Vậy ta có hệ phương trình �3 � v + x + 1= x2v � 173 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � u= v � u3 - v3 = x2 ( v- u) � ( u- v) ( u2 + uv + v2 + x2 ) = � �2 � u + uv + v2 + x2 = � � x=0 2 Với u = v ta có ( x- 1) + x + 1= x ( x- 1) � 2x - 4x = � � (loại x= ) � x= � � v� � Với u + uv + v + x = � � u+ � + v + x2 = � u = v = x = (loại) � � � 2� � 2 Vậy phương trình có nghiệm x= b) Phương trình cho tương đương với 3x + + 2x + 3= (x +1)3 � (x + 1)3 = 2x + y + Đặt y + 1= 3x + Ta có hệ phương trình � � � (y + 1)3 = 3x + � Trừ hai phương trình hệ, vế theo vế, ta (x- y) � (x - 1)2 + (x - 1)(y - 1) + (y - 1)2 � = y- x � � � x- y = �� � x= y � (x- 1)2 + (x- 1)(y - 1) + (y - 1)2 =- � Suy x + 1= 3x + � (x +1)3 = 3x + � x3 + 3x2 = � (x- 1)(x + 2)2 = � x = 1�x =- Thử lại ta thấy thỏa Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x = 1, x =- 174 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... bậc hai hai ẩn thành tích ta xem ẩn, ẩn lại tham số từ dựa vào ứng dụng định lí Viét để phân tích.(xem lại phần ứng dụng định lí Viét) + Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai ẩn mà phương trình. .. đồng bậc hai phương trình có hệ ta nhân với phương trình hai số thực a khác không cộng vế với vế với phương trình đầu ta (x + 2xy2 ) + a ( x2 + 2y2 ) = ( 2x2y + 4) + a ( xy + x + 2y) � ( 2x + 2a... hai hệ với cộng hai phương trình theo vế ta có x3 + 3x2 + 3y2(x + 1)- 24xy = 6xy + 30y- 78x- 76 � (x + 1)(x2 + 2x + 76) + 3y2(x +1 )- 30y(x +1 ) = � (x +1 )(x2 + 2x + 3y2 - 30y + 76) = (*) Do x2 +