http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA ĐƯỜNG THẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng : r r a Định nghĩa : Cho đường thẳng D Vectơ n¹ gọi vectơ pháp tuyến r (VTPT) D giá n vng góc với D Nhận xét : r r - Nếu n VTPT D kn( k¹ 0) VTPT D b Phương trình tổng quát đường thẳng r Cho đường thẳng D qua M 0(x0 ; y0 ) có VTPT n = (a; b) uuuuur r uuuuur r Khi M (x; y) Ỵ D Û MM ^ n Û MM 0.n = Û a(x- x0 ) + b(y - y0 ) = Û ax + by + c = (c =- ax0 - by0 ) (1) (1) gọi phương trình tổng quát đường thẳng D Chú ý : r - Nếu đường thẳng D : ax + by + c = n = (a; b) VTPT D c) Các dạng đặc biệt phương trình tổng qt • D song song trùng với trục Ox Û D : by + c = • D song song trùng với trục Oy Û D : ax + c = • D qua gốc tọa độ Û D : ax + by = x y • D qua hai điểm A ( a;0) , B( 0; b) Û D : + = với ( ab¹ 0) a b • Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y = kx + m với k = tan a , a góc hợp tia Mt D phía trục Ox tia Mx Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2y + c2 = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word • d1 cắt d2 • d1 / / d2 a1 b1 ¹ a2 b2 a1 b1 b c a b = 1 ¹ , 1 = a2 b2 b2 c2 a2 b2 c1 a1 c2 a2 d1 º d2 a1 b1 b c c a = 1 = 1 =0 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Chú ý: Với trường hợp a2.b2.c2 ¹ + Nếu a1 a2 ¹ hai đường thẳng cắt b1 b2 + Nếu a1 a2 c1 = ¹ b1 b2 c2 hai đường thẳng song song + Nếu a1 a2 c1 = = b1 b2 c2 hai đường thẳng trùng B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng Phương pháp giải: • Để viết phương trình tổng quát đường thẳng D ta cần xác định - Điểm A(x0 ; y0 ) Ỵ D r - Một vectơ pháp tuyến n( a; b) D Khi phương trình tổng quát D a( x- x0) + b( y- y0) = Chú ý: o Đường thẳng D có phương trình tổng qt ax + by + c = 0, a2 + b2 ¹ r nhận n( a; b) làm vectơ pháp tuyến o Nếu hai đường thẳng song song với VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word o Phương trình đường thẳng D qua điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng D : a( x- x0) + b( y - y0 ) = với a2 + b2 ¹ ta chia làm hai trường hợp + x = x0 : đường thẳng song song với trục Oy + y - y0 = k( x- x0) : đường thẳng cắt trục Oy o Phương trình đường thẳng qua A ( a;0) , B( 0; b) với ab¹ có dạng x y + =1 a b Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A ( 2;0) , B( 0;4) , C(1;3) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH A x- 2y - = B x- y - 3= C x- y - = D x- y - = B x- y + = C x- y + = D x- y + = B 2x + y - = C 2x + y - = D 2x + y - = b) Đường trung trực đoạn thẳng BC A x- y + = c) Đường thẳng AB A 2x + y - 14 = d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB A 2x + y - = B 2x + y - = C 2x + y - = D 2x + y - = Lời giải: uuu r a) Vì AH ^ BC nên BC vectơ pháp tuyến AH uuu r uuu r Ta có BC ( 1;- 1) suy đường cao AH qua A nhận BC vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt 1.( x- 2) - 1.( y - 0) = hay x- y - = b) Đường trung trực đoạn thẳng BC qua trung điểm BC nhận vectơ uuu r BC làm vectơ pháp tuyến http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Gọi I trung điểm BC xI = ỉ1 7ö xB + xC y + yC = , yI = B = ị Iỗ ; ữ ữ ç ç ÷ 2 2 è2 2ø Suy phương trình tổng quát đường trung trực BC l ổ 1ử ổ 7ử 1.ỗ x- ữ y- ữ ữ- 1.ỗ ữ= hay x- y + = ỗ ỗ ỗ ữ ố ỗ 2ứ ữ ố 2ø c) Phương trình tổng quát đường thẳng AB có dạng x y + = hay 2x + y - = r d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT n( 2;1) đường thẳng cần tìm r song song với đường thẳng AB nên nhận n( 2;1) làm VTPT có phương trình tổng qt 2.( x- 1) + 1.( y - 3) = hay 2x + y - = Cách 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB có dạng 2x + y + c = Điểm C thuộc D suy 2.1+ 3+ c = Þ c =- Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát 2x + y - = Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x- 2y + = điểm M ( - 1;2) Viết phương trình tổng quát đường thẳng D biết: a) D qua điểm M có hệ số góc k= A 3x- y + = B 3x- y + = C 3x- y + = D 3x- y + = b) D qua M vng góc với đường thẳng d A 2x + y + = B 2x + y + = C 2x + y + = D 2x + y + 1= c) D đối xứng với đường thẳng d qua M A x- 2y + = B x- 2y + = C 2x- 2y + = D x- 2y + = Lời giải: a) Đường thẳng D có hệ số góc k= có phương trình dạng y = 3x + m Mt khỏc M ẻ D ị = 3.( - 1) + mÞ m= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy phương trình tổng quát đường thẳng D y = 3x + hay 3x- y + = b) Ta có x- 2y + = Û y = x + hệ số góc đường thẳng d 2 kd = Vì D ^ d nên hệ số góc D kD F1F2 = 2c( c> 0) Do a> c , MF1 + MF2 = 2a Suy phương trình tổng quát đường thẳng F1 , F2 F1F2 = 2c hay 2x + y + = x2 y2 c) Cách 1: Ta có F1 ( - c;0) , F2 ( c;0) M ( x; y) Ỵ ( E) Û + = ( 1) a b đường thẳng b2 = a2 - c2 đối xứng với đường thẳng F1 ( - c;0) qua M song song với đường thẳng A1 ( - a;0) , A2 ( a;0) , B1 ( 0;- b) , B2 ( 0; b) suy đường thẳng A1A2 = 2a có VTPT B1B2 = 2b Ta có A ( 1;2) Ỵ d, gọi A ' đối xứng với M ( xM ; yM ) qua c c MF1 = a+ exM = a+ xM , MF2 = a- exM = a- xM a, b a a Ta có M trung điểm AA ' xA + xA ' ïìï ïï xM = ìï x = 2x - x = 2.( - 1) - 1=- M A Þ ïí Þ íï A ' Þ A '( - 3;2) ïï yA + yA ' ïïỵ yA ' = 2yM - yA = 2.2- = ïï yM = ïỵ Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D 1.( x + 3) - 2( y - 2) = hay x- 2y + = Cách 2: Gọi A ( x0 ; y0) điểm thuộc đường thẳng d, A '( x; y) điểm đối xứng với A qua M http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Khi M trung điểm AA ' suy ìï ïï x = x0 + x M Û ïïí ïï y +y ïï yM = ỵï ìï ïï - 1= x0 + x Û ïïí ïï y +y ïï = ỵï ì ïíï x0 =- 2- x ïïỵ y0 = 4- y Ta có A ẻ d ị x0 - 2y0 + 3= suy ( - 2- x) - 2.( 4- y) + 3= Û x- 2y + = Vậy phương trình tổng quát D đối xứng với đường thẳng d qua M x- 2y + = Ví dụ 3: Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x- y = x + 3y - = 0, tọa độ đỉnh hình bình hành ( - 2;2) Viết phương trình cạnh lại hình bình hành A x- y + = B x + 3y - = C x + 3y - = D x- y - 1= Lời giải: Đặt tên hình bình hành ABCD với A ( - 2;2) , tọa độ điểm A khơng nghiệm hai phương trình đường thẳng nên ta giả sử BC : x- y = , CD : x + 3y - = uuur Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nCD ( 1;3) làm VTPT có phương trình 1.( x + 2) + 3.( y - 2) = hay x + 3y - = Tương tự cạnh AD nhận x2 y2 + = 1( a> b> 0) làm VTPT có phương trình a2 b2 1.( x + 2) - 1.( y - 2) = hay x- y + = Ví dụ 4: Cho điểm M ( 1;4) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt x2 y2 + = 1, tia 0; A B cho tam giác b= có diện tích nhỏ hai tia A 4x + y - = ( ) B 4x + y - = C 4x + y - = Lời giải: D 4x + y - = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, ti liu file word mi nht ổ4 10 ỗ ;Giả sử A ( a;0) , B( 0; b) với M ỗ ỗ ỗ ố ữ 1ữ Khi đường thẳng qua A, B có ÷ ÷ ÷ ø 160 x2 y2 + = 1Þ a = Do dạng + = nên F1(25a2 3;0) 1 Mặt khác SOAB = OA.OB = ab 2 Áp dụng BĐT Cơsi ta có a2 = b2 + c2 = b2 + Suy M (1; 4 33 528 ) ẻ (E) ị + = nhỏ = + = a b a b a 25b a= 2; b= Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x y + = hay 4x + y - =  DẠNG 2: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải: Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2y + c2 = ïì a1x + b1y + c1 = Ta xét hệ ïí (I) ïïỵ a2x + b2y + c2 = + Hệ (I) vô nghiệm suy d1 / / d2 + Hệ (I) vô số nghiệm suy d1 º d2 + Hệ (I) có nghiệm suy d1 d2 cắt nghiệm hệ tọa độ giao điểm Chú ý: Với trường hợp a2.b2.c2 ¹ + Nếu a1 b1 ¹ hai đường thẳng cắt a2 b2 + Nếu a1 b1 c1 = ¹ a2 b2 c2 hai đường thẳng song song http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Nếu a1 b1 c1 = = a2 b2 c2 hai đường thẳng trùng Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) D : x + y - = 0; D : 2x + y- 3= A D cắt D B D trùng D C D / /D D Không xác định b) D : - x- 2y + 5= 0; D :2x + 4y - 10 = A D cắt D B D trùng D C D / /D D Không xác định c) D : 2x- 3y + = 0; D : x- = A D cắt D B D trùng D C D / /D D Không xác định d) D : 2x + 3y + = 0; D : - 4x- 6y = A D cắt D B D trùng D C D / /D D Không xác định Lời giải: a) Ta có 1 ¹ suy D cắt D 2 b) Ta có - - = = suy D trùng D 2 - 10 c) Ta có ¹ suy D cắt D 2 - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) Ta có - - = ¹ suy D / /D 2 x2 ( 3xM ) Ví dụ 2: Cho tam giác M + có phương = 1Û 26xM2 = 25 Û xM = ± 25 26 ỉ5 15 ÷ ÷ ; trỡnh cỏc ng thng M ỗ ỗ l ữ ç ÷ è 26 26ø AB : 2x- y + = ; BC : 3x + 2y + 1= ; CA : 3x + y + = Xác định vị trí tương đối đường cao kẻ từ đỉnh A đường thẳng D : 3x- y - = A cắt B trùng C Song song D Không xác định Lời giải: Tọa độ điểm A nghiệm hệ a= 5, b= 3,c = a2 - b2 = c Ta xác định hai điểm thuộc đường thẳng BC MF1 = a+ xM = 5+ xM a Đường cao kẻ từ đỉnh A vng góc với BC nên nhận vectơ MF2 = a- c xM = 5- xM làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình a ỉ 2( x + 1) - 3y = hay 5+ xM = 2ỗ 5- xM ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ø Ta có Û xM = 25 suy hai đường thẳng cắt 12 Ví dụ 3: Cho hai ng thng ổ25 119ử ữ ỗ 25 yM2 119 ữ ỗ ; M v ữ + = yM = 1ỗ ữ ỗ ữ 144 è12 ø a) Xác định vị trí tương đối xác định giao điểm (nếu có) D uuuu r uuuu r F1 ( - 4;0) , F2 ( 4;0) Þ MF1 ( xM + 4; yM ) , MF2 ( xM - 4; yM ) trường hợp · MF = 600 F http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A D cắt D B D trùng D C D / /D D Không xác định uuuu r uuuu r MF MF xM2 + yM2 - 16 cos600 = uuuu r1 uuu2u r = b) Tìm ưỉ để hai đường thẳng song song MF1 MF2 æ ç 5+ xM ÷ 5- xM ÷ ÷ç ÷ ç ç ÷è ÷ ç ç ø è ø với A m= B m= C m= D m= Lời giải: 1ỉ 16 xM2 57 yM2 2 25xM ÷ ÷ a) Với xM + yM - 16 = ỗ xột h suy ỗ = ữ ỗ 2ố 25 ứ 25 66 33 yM 57 yM2 3 13 cắt xM = ± điểm có tọa độ + = 1Þ yM = ± 66 33 4 ổ5 13 3ử ữ ữ ỗ M 1ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ 4 ứ ữ ố ổ 13 3ư ỉ5 13 ỉ 13 3ử 3ử ữ ữ ữ ỗỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ; , M ; M ; Vi M ỗ xột h suy D ct ữ ữ ữ 3ỗ 4ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ç 4 ÷ 4 ÷ 4 ÷ è ø è ø è ø r n( - 1;1) gốc tọa độ - xM + yM 1 = - xM + yM theo b) Với - x + y = SOAM = OA.d( M ;OA ) = 2 2 câu a hai đường thẳng cắt nên không thỏa mãn Với SOAM ỉx y xM yM 1 34 M ÷ = - + £ 34.ỗ ỗ + M ữ = v mạ hai ng thng ữ ỗ ữ ỗ ø è 25 song song m- m2 - = ¹ Û m= - m ( m- 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ìï ïï xM =- 25 ï 34 Vậy với ïí hai đường thẳng song song với ïï y = ùù M 34 ùợ ổ25 ;ỗ Vớ d 4: Cho tam giỏc M ỗ ỗ ố 34 ÷ ÷ , tìm tọa độ đỉnh tam giác ÷ ÷ 34 ø trường hợp sau a) Biết A ( 2;2) hai đường cao có phương trình d1 : x + y - = ; d2 :9x- 3y + = ỉ 13ư 1; ÷ ÷ A B( - 2;4) v C ỗ ỗ ỗ ữ ố 3ứ ổ 22ử 2; ữ ữ B B( 0;2) v C ỗ ç ç ÷ è 3ø ỉ2 3ư ÷ ç ; ữ C B( - 1;3) v Bỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố7 ứ ổ 31ử 3; ữ ữ D B( 1;1) v C ỗ ỗ ữ ỗ è 3ø b) Biết A(4;- 1) , phương trình đường cao kẻ từ B A , B ; phương trình trung tuyến qua đỉnh C ABC ỉ 2ử ổ 2ử 1; ữ Cỗ 1;- ữ ữ ữ A Bỗ v ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 3ứ ố 3ứ ổ 4ử 2; ữ ữ B Bỗ ç ÷và C ( 6;- 4) ç è 3ø ổ1 1ử ổ 4ử ; ữ Cỗ 2;- ữ ữ ữ C Bỗ v ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 3ø è2 3ø è D x2 y2 + = 1( a> b> 0) C ( 6;- 4) a2 b2 Lời giải: a) Tọa độ điểm A không nghiệm phương trình A ( x0 ; y0) suy A , B nên ta giả sử B Ỵ d1 , C Ỵ d2 Ta có AB qua A vng góc với A Ỵ ( E) nên nhận làm VTPT nên có phương trình x02 y02 x02 + = 1Û y0 = 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 ABC hay AB2 = AC Þ ( - 2y0 ) = ( 2- x0) +( - y0 ) ; AC qua Û 3y02 = 4- 4x0 + x02 ỉ x2 ç1- ÷ ÷ = 4- 4x0 + x02 Û 7x02 - 16x0 + = Û vuông gúc vi 3ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ éx0 = ê ê nên nhận êx0 = ê ë x0 = làm VTPT nên có phương trình y0 = hay A º C B giao điểm x0 = y0 = ± AB suy tọa độ B nghiệm hệ 7 ỉ2 3÷ ỗ ; ữ Tng t ta C l nghim ca h A ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố7 ữ ứ ổ2 3ử ữ ỗ ; ữ Vy A ( 2;2) , B( - 1;3) v Bỗ ữ ỗ ữ ỗ 7 ữ ố ứ b) Ta có AC qua Oxy vng góc với 9x2 + 25y2 = 225 nên nhận F1 làm VTPT nên có phương trình 3( x- 4) + 2( y + 1) = hay 3x + 2y - 10 = ìï 3x + 2y - 10 = Û Suy toạ độ C nghiệm hệ ïí ïïỵ 2x + 3y = ìï x = ùớ ị C ( 6;- 4) ùùợ y =- Giả sử B( xB ; yB ) suy trung điểm A ( 0;3) AB thuộc đường thẳng B, C ( E) : x2 y2 + = hay 2xB + 3yB + = (1) Mặt khác BỴ D suy 2xB - 3yB = (2) ỉ 5÷ - ;- ữ T (1) v (2) suy Bỗ ç ÷ ç è 6ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x2 y2 Vậy A(4;- 1) , + = 1( a> b> 0) C ( 6;- 4) a b §2 PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương phương trình tham số đường thẳng : a Định nghĩa vectơ phương : r r Cho đường thẳng D Vectơ u¹ gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng D giá song song trùng với D Nhận xét : r r - Nếu u VTCP D ku( k¹ 0) VTCP D r - VTPT VTCP vng góc với Do D có VTCP u = (a; b) r n = (- b; a) VTPT D b Phương trình tham số đường thẳng : r Cho đường thẳng D qua M 0(x0 ; y0 ) u = (a; b) VTCP uuuuur r ìï x = x + at t Ỵ R (1) Khi M (x; y) Î D Û MM = tu Û ïí ïïỵ y = y0 + bt Hệ (1) gọi phương trình tham số đường thẳng D , t gọi tham số Nhận xét : Nếu D có phương trình tham số (1) A Ỵ D Û A(x0 + at; y0 + bt) Phương trình tắc đường thẳng r Cho đường thẳng D qua M 0(x0 ; y0 ) u = (a; b) (với a¹ 0, b¹ 0) vectơ phương phương trình x- x0 y - y0 gọi phương trình tắc = a b đường thẳng D B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng Phương pháp giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word • Để viết phương trình tham số đường thẳng 13 ta cần xác định - Điểm A(x0 ; y0 ) Ỵ D r - Một vectơ phương u( a; b) D Khi phương trình tham số D x2 y2 = a2 b2 • Để viết phương trình tắc đường thẳng b2 = c2 - a2 ta cần xác định - Điểm A(x0 ; y0 ) Ỵ D r - Một vectơ phương u( a; b) , ab¹ D Phương trình tắc đường thẳng 2b= 28 Þ b2 = 7, a2 = c2 - b2 = x2 y2 =1 (trường hợp 2c = 10 Þ a2 + b2 = 25 đường thẳng khơng có phương trình tắc) Chú ý: o Nếu hai đường thẳng song song với chúng có VTCP VTPT o Hai đường thẳng vng góc với VTCP đường thẳng VTPT đường thẳng ngược lại b 16 o Nếu y = ± x có VTCP = b2 = a2 VTPT a 16 a2 + a2 = 25 Û a2 = Þ b2 = 16 Các ví dụ: x2 y2 13 Viết phương trình tham số đường = 16 thẳng ∆ trường hợp sau: Ví dụ 1: Cho điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) c = 13 Û a tuyến r a2 + b2 13 qua n nhận vectơ A ( 1;2) làm vectơ pháp = a ìï x =- 2- 2t A D : ïí ïïỵ y = 3+ t ìï x = 1- 1t B D : ïí ïïỵ y =- 3+ 2t ïì x = 1- 2t C D : ïí ïïỵ y =- 3- t ïì x = 1- 2t D D : ïí ïïỵ y =- 3+ t b) D qua gốc tọa độ song song với đường thẳng AB ïì x = 1- t A D : ïí ïïỵ y = 2t ïì x =- 2t B D : ïí ïïỵ y = 2t ïì x =- 4t C D : ïí ïïỵ y = 2t ïì x =- t D D : ïí ïïỵ y = 2t c) D đường trung trực đoạn thẳng AB ìï ïï x =- - 2t D : A í ïï y = t ïỵ ìï ïï x =- - t D : B í ïï y = + 2t ïỵ ìï ïï x =- - t D : C í ïï y = + 2t ïỵ ìï ïï x =- - t D : D í ïï y = t ïỵ Lời giải: r r a) Vì D nhận vectơ n( 1;2) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP D u( - 2;1) ïì x = 1- 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng D D : ïí ïïỵ y =- 3+ t uuu r r b) Ta có AB( - 3;6) mà D song song với đường thẳng AB nên nhận u( - 1;2) làm VTCP ìï x =- t Vậy phương trình tham số đường thẳng D D : ïí ïïỵ y = 2t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word uuu r c) Vì D đường trung trực đoạn thẳng AB nên nhận AB( - 3;6) làm VTPT qua trung điểm I đoạn thẳng AB r ỉ1 - ;0÷ ÷ u Ta cú I ỗ v nhn D ỗ ( - 1;2) lm VTCP nờn phng trỡnh tham s ca ữ ỗ ø è ìï ïï x =- - t đường thẳng D D : í ïï ïỵ y = 2t Ví dụ 2: Viết phương trình tổng qt, tham số, tắc (nếu có) đường thẳng ∆ trường hợp sau: a) ∆ qua điểm A ( 3;0) B( 1;3) A 3x + 2y - = B 3x + 2y - = C 3x + 2y - = D 3x + 2y - = ìï x = 1- 3t b) ∆ qua N ( 3;4) vng góc với đường thẳng d': ïí ïïỵ y = 4+ 5t A x- y + = - B x + y- = - - C x + y- = - D x- y - = - - Lời giải: uuu r a) Đường thẳng ∆ qua hai điểm A B nên nhận AB= ( - 2;3) làm vectơ phương ìï x = 3- 2t x- y = ; phương trình tham số ïí ; phương trình tắc ïïỵ y = 3t - phương trình tổng quát 3( x- 3) =- 2y hay 3x + 2y - = b) D ^ d' nên VTCP d' VTPT D nên đường thẳng D nhận r r u( - 3;5) làm VTPT v( - 5;- 3) làm VTCP đó phương trình tổng quát http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ìï x = 3- 5t - 3( x- 3) + 5( y - 4) = hay 3x- 5y + 11= 0; phương trình tham số ïí ; ïïỵ y = 4- 3t phương trình tắc x- y - = - - Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A ( - 2;1) , B( 2;3) C ( 1;- 5) a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác ìï x = 2- 3t A ïí ïïỵ y = 3- 8t ìï x = 2- 4t B ïí ïïỵ y = 3- 8t ìï x = 2- t C ïí ïïỵ y = 3- 2t ìï x = 2- t D ïí ïïỵ y = 3- 8t b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM ìï ïï x =- 3+ t A í ïï ïỵ y = 1- 2t ìï ïï x =- 2- t B í ïï ïỵ y = 1+ 2t ìï ïï x =- 2+ t C í ïï ïỵ y =- 1- 2t ìï ïï x =- 2+ t D í ïï ïỵ y = 1- 2t c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm D, G với D chân đường phân giác góc A G trọng tâm D ABC ìï ïï x =ï A í ïï ïï y =ïỵ + 9t + 2t ìï x = 1+ 9t B ïí ïïỵ y =- 1+ 2t ìï ïï x =ï C í ïï ïï y =ïỵ + 19t + 2t ìï ïï x = + 19t ï D í ïï ïï y =- + 2t ïỵ Lời giải: uuu r a) Ta có BC ( - 1;- 8) suy đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình 24 æ3 ;b) M trung điểm ca BC nờn M ỗ ỗ ỗ ố2 uuuu rổ ;trung tuyn AM nhn AM ỗ ỗ ỗ ố2 1÷ ÷ ÷do đường thẳng chứa đường ø ìï ïï x =- 2+ t ÷ 2÷ ÷làm VTCP nên có phương trình íï ø ïï y = 1- 2t ỵ c) Gọi D(xD ; yD ) chân đường phân giác hạ từ A tam giác ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word uuu r AB uuur DC Ta có BD = AC Mà a2 = 9, b2 = a= 3, b= 6,c = a2 + b2 = 15 suy ìï ïï xD - = (1- xD ) ï Û í ïï ïï yD - = (- 5- yD ) ỵï trọng tâm tam giác ABC uuu r AB uuur uuur BD = DC = DC Û AC ìï ïï xD = 1ư ù ị D( ;- 1) Gổ ỗ ;- ữ ữ ỗ ữl ỗ3 3ứ ùù - 5 è ïï yD = ỵï uuur ỉ 19 2ử 12 ữ ;ữ Ta cú DGỗ suy ng thng DG nhn lm VTCP nờn ỗ y = ữ M ỗ 15 15ứ ố ổ 63 12 ữ ỗ ữ ; cú phng trỡnh l M ỗ ữ ỗ ữ ỗ 5ứ ữ ố ổ 63 12ử ổ 63 ữ ỗỗ ữ ç ; M ;Ví dụ 4: Cho tam giác M ỗ bit ữ 3ỗ ỗ ữ ỗ ỗ 5ứ ÷ è è 12 ö ÷ ÷ , AC : x- y + = ÷ ÷ 5ø ÷ trọng tâm G( 1;2) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC ìï x = A ïí ïïỵ y =- 1- 6t ìï x = B ïí ïïỵ y =- 1+ 6t ìï x = C ïí ïïỵ y =- 1+ 5t ìï x = D ïí ïïỵ y =- 1+ 6t Lời giải: é xM = 0(l) ê 15 x Û ê Ta có tọa độ điểm = 3+ êx = - 18 Þ y = ± 210 nghiệm hệ M M êM ê 15 ë ổ 18 ổ 18 210ử ữ ỗ ữ ỗ ỗM 1ỗ ; M ;ữ 2ỗ ỗ ữ ỗ 15 ứ ỗ 15 ữ ố ố Gi d1 : y = 210ư ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ 6 24 x; d2 : y =x trung điểm 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x - yM M Vì G trọng tâm nên 1+ Û ( *) Û Û ( 6xM - 3yM )( + x + yM M 1+ = 24 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = , 24 30 ( **) ) 6xM + 3yM = 54> suy 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = 24 30 12 xM = 5 ổ12 330ử ữ ỗ 330 ữ ỗ ; M ú ữ ị yM = 1ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ổ12 ỗ M2ỗ ;ỗ ỗ ố 330 ÷ ÷ C ( xC ; xC + 3) ÷ ÷ ø ÷ Mà M trung điểm x2 y2 = nên ta có A ( 3;2) , B( 0;1) x2 y2 Vậy C Ỵ ( H ) suy phương trình đường thẳng D ABC = 12  DẠNG Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau: • Điểm A thuộc đường thẳng 4x2 + 6y2 = 24 ( AB= 2) có dạng y2 = 2px • Điểm A thuộc đường thẳng M ( xM ; yM ) (ĐK: M Ỵ ( P) Û yM = 2pxM ) có dạng ỉ - bt - c ; tữ ữvi aạ xM , yM vi Oxy hoc A ỗ ỗ ỗ ữ ố a ứ Cỏc ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 4x- 3y + = a) Tìm tọa độ điểm A thuộc M ( xM ; yM ) Ỵ ( P) cách gốc tọa độ khoảng bốn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A A1 ( 4;0) æ - 28 - 96ử ữ ; ữ B A2 ỗ ỗ ỗ ÷ è 25 25 ø ỉ - 28 - 96ư ữ ; ữ C A1 ( 4;0) v A2 ỗ ç ç ÷ è 25 25 ø D A1 ( 0;- 3) b) Tìm điểm B thuộc yM2 = 8xM cách hai điểm E( 5;0) , F ( 3;- 2) A B( 4;0) ỉ - 28 - 96ư ữ ; ữ C Bỗ ỗ ỗ ữ ố 25 25 ø B B( 0;- 3) ỉ24 3ư ;- ÷ ữ D Bỗ ỗ ỗ ữ 7ứ ố7 c) Tỡm tọa độ hình chiếu điểm M ( 1;2) lên đường thẳng D A H ( 4;0) æ æ - 28 - 96ử 76 18ử ữ ữ ỗ ; H ;ữ ữ C H ỗ D ỗ ỗ ữ ữ ç 25 25 ø ç è è25 25ø B H ( 0;- 3) Lời giải: r a) Dễ thấy M ( 0;- 3) thuộc đường thẳng M 1;2 , M 1;- 2 u( 4;3) ( ) ( ) ïì x = 4t vectơ phương D nên có phương trình tham số ïí ïïỵ y =- 3+ 3t Điểm A thuộc D nên tọa độ điểm A có dạng A ( 4t;- 3+ 3t) suy OA = Û ét =1 ê ( 4t) +( - 3+ 3t) = Û 25t - 18t - = Û êê - t= ê ë 25 2 ỉ - 28 - 96÷ ; ÷ Vậy ta tìm hai điểm A1 ( 4;0) A2 ỗ ỗ ỗ ố 25 25 ữ ứ b) Vì BỴ D nên B( 4t;- 3+ 3t) Điểm B cách hai điểm E( 5;0) , F ( 3;- 2) suy 2 2 EB2 = FB2 Û ( 4t - 5) +( 3t - 3) = ( 4t - 3) +( 3t - 1) Û t = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ24 3ư ;- ÷ ÷ Suy Bỗ ỗ ỗ ữ 7ứ ố7 c) Gi H hình chiếu M lên D H Ỵ D nên H ( 4t;- 3+ 3t) r uuuu r Ta có u( 4;3) vectơ phương D vng góc với HM ( 4t - 1;3t - 5) nên uuuu rr 19 HM u = Û 4( 4t - 1) + 3( 3t - 5) = Û t = 25 ỉ 76 18ư ữ ;ữ Suy H ỗ ỗ ỗ ữ ố25 25ø ïì x =- 1- t Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng D : x- 2y + = D ' : ïí ïïỵ y = t a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A ( - 1;0) qua đường thẳng D A A '( - 2;4) B A '( - 3;5) C A '( - 2;5) D A '( - 3;4) b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với D ' qua D ìï x =- 1+ t A ïí ïïỵ y = 4- 7t ìï x =- 3+ 2t B ïí ïïỵ y = 4- 7t ìï x =- 3+ 5t C ïí ïïỵ y = 4- 7t ìï x =- 3+ t D ïí ïïỵ y = 4- 7t Lời giải: a) Gọi H hình chiếu A lên D H ( 2t - 6;t) r uuur Ta có u( 2;1) vectơ phương D vng góc với AH ( 2t - 5;t) nên uuur r AH u = Û 2( 2t - 5) + t = Û t = Þ H ( - 2;2) A' điểm đối xứng với A qua D suy H trung điểm AA' ìï xA ' = 2xH - xA ìï x =- ïí Û ïí A ' ïỵï yA ' = 2yH - yA ïïỵ yA ' = Vậy điểm cần tìm A '( - 3;4) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ìï x =- 1- t b) Thay ïí vào phương trình D ta - 1- t - 2t + = Û t = suy ïïỵ y = t ỉ 5ư - ; ÷ ÷ giao điểm D D ' l K ỗ ỗ ỗ ữ ố 3ứ Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D ' đường thẳng đối xứng với D ' uuuur ỉ1 7ư ;- ÷ ÷= ( 1;- 7) nên có qua D qua điểm A' điểm K ú nhn A ' K = ỗ ỗ ỗ ữ è3 3ø ìï x =- 3+ t phương trình ïí ïïỵ y = 4- 7t Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H A lên D ta làm cách khác r sau: ta có đường thẳng AH nhận u( 2;1) làm VTPT nên có phương trình ïì x- 2y + = 2x + y + = tọa độ H nghiệm hệ ïí Þ H ( - 2;2) ïïỵ 2x + y + = Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A Biết A ( - 1;4) , B( 1;- 4) , đường thẳng BC ỉ ÷ qua im K ỗ ữ ỗ ữ Tỡm to nh C ỗ3 ;2ứ ố A C ( - 2;4) B C ( 3;5) C C ( - 2;5) D C ( - 3;4) Lời giải: uuu r ỉ4 r ữ ;6 ữ u Ta cú BK ỗ suy ng thng BC nhn ỗ ( 2;9) lm VTCP nờn cú phng ữ ỗ ố3 ứ ỡù x = 1+ 2t trình ïí ïïỵ y =- 4+ 9t C Î BC Þ C ( 1+ 2t;- 4+ 9t) uuu r uuur uuu r uuur Tam giác ABC vuông A nên AB.AC = 0, AB( 2;- 8) , AC ( 2+ 2t;- 8+ 9t) suy 2( 2+ 2t) - 8( 9t - 8) = Û t = Vậy C ( 3;5) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ 4: Cho hình bình hành x- =0 Biết x- = trung điểm cạnh ỉ 3ư · 3; ÷ ÷và đường phân giác góc BAC CD, D ỗ cú phng trỡnh l D : x- y + 1= Xỏc ỗ ỗ ữ è 2ø định tọa độ đỉnh B A B( - 2;4) B B( 3;5) C B( - 2;5) D x2 y2 =1 Lời giải: ( Cách 1: Điểm I trung điểm CD nên F1 - Vì x+ 17 =0 nên tọa độ điểm A có dạng x+ ) 17;0 17 =0 uuur uuur Mặt khác F2 17;0 hình bình hành tương đương với DA , DC không uuu r uuur phương AB = DC ( uuu r uuur AB = DC Û ) ìï xB - a= 4- ïï Û í ïï yB - a- 1= - ùợ 2 ỡù xB = a+ ị B( a+ 1; a+ 3) íï ïïỵ yB = a+ ổ9 ữ Fỗ ;0ữkhụng cựng phng v ch x+ = ỗ ỗ ữ ố2 ứ r Đường thẳng F ( - 1;1) phân giác góc M ( 1;1) nhận vectơ u= ( 1;1) làm vec tơ phương nên uuu rr uuu r r uuur r ABu cos AB;u = cos AC;u Û uuu r r = AB u ( ) Có d( M ;D ) = ( ) 3+ 4- 32 + 42 = nên uuur r AC.u uuur r (*) AC u http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word MF = 5> d( M ;D ) Vậy tọa độ điểm Cách 2: Ta có x2 y2 =1 x2 y2 + = 10 Đường thẳng y2 = 8x qua C vng góc với F ( 1;1) nhận M ( 1;3) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình D : 3x- 4y - = hay F ( 1;2) Tọa độ giao điểm H M ( 0;1) D : x- y- 1= nghiệm hệ: D : x- y + 1= Gọi C' điểm đối xứng với C qua F ( 1;0) C' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB H trung điểm CC' F Suy đường thẳng chứa cạnh AB qua C' nhận D làm vectơ phương nên có phương trình e= Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng e= ta e= suy M ( x; y) ABCD hình bình hành nên Suy MF = ( 1- x) MF = eÛ MF = ed ( M ;D ) d( M ;D ) + y2 Chú ý: Bài tốn có liên quan đến đường phân giác ta thường sử dụng nhận xét " d( M ;D ) = x- y + đường phân giác góc tạo hai đường thẳng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cắt e= ( *) Û ( 1- x) + y2 = x- y + điểm đối xứng với điểm M Ỵ D qua 2x2 + y2 - 6xy + 10x- 6y + 1= thuộc e= Ví dụ 5: Cho đường thẳng ( *) Û ( 1- x) x- y + + y2 = điểm 2 Û 4( x2 - 2x + 1+ y2 ) = x2 + y2 + 1- 2xy + 2x- 2y B( 3;4) Tìm tọa độ điểm M Û 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + = uuur uuur d cho MA + 2MB nhỏ ỉ 1÷ 1;- ữ A M ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ B M ( 0;- 1) " C M ( 2;0) ổ 16 3ữ ; ữ D M ỗ ç ÷ ç è 5ø Lời giải: uuur uuur M ẻ d ị M ( 2t + 2;t) , MA ( - 2t - 2;1- t) , MB( 1- 2t;4- t) 2xy - 4x + 2y = ( ) Suy A 0; uuur uuur æ 16 3ö MA + 2MB nhỏ v ch t = ú M ỗ ; ữ ữ ỗ ữl im cn tỡm ỗ ố 5ø ... y + = C 3x- y + = D 3x- y + = b) D qua M vng góc với đường thẳng d A 2x + y + = B 2x + y + = C 2x + y + = D 2x + y + 1= c) D đối xứng với đường thẳng d qua M A x- 2y + = B x- 2y + = C 2x- 2y +. .. 2x2 + y2 - 6xy + 10x- 6y + 1= thuộc e= Ví dụ 5: Cho đường thẳng ( *) Û ( 1- x) x- y + + y2 = điểm 2 Û 4( x2 - 2x + 1+ y2 ) = x2 + y2 + 1- 2xy + 2x- 2y B( 3;4) Tìm tọa độ điểm M Û 3x2 + 3y2 +. .. + 9t + 2t ìï x = 1+ 9t B ïí ïïỵ y =- 1+ 2t ìï ïï x =ï C í ïï ïï y =ïỵ + 19t + 2t ìï ïï x = + 19t ï D í ïï ïï y =- + 2t ïỵ Lời giải: uuu r a) Ta có BC ( - 1;- 8) suy đường thẳng chứa cạnh BC có