(Đề thi Olympic truyền thống 30/4 lần 20, lớp 10, năm học 2014 – 2015) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm)  x + xy + y + x + xy + y = ( x + y ) Giải hệ phương trình sau:   x + y + + x + 12 y + = xy + y + Câu (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB, C điểm di động (O) không trùng với A B Các tiếp tuyến (O) B C cắt N, AN cắt (O) D khác A Tiếp tuyến (O) D cắt CN P Chứng minh P di động đường cố định C di động (O) Câu (3 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương tùy ý Chứng minh: a b c + + ≤1 7a + b + c a + 7b + c a + b + 7c Câu (3 điểm) Tìm tất số nguyên dương k cho phương trình: x + y + x + y = kxy có nghiệm nguyrn dương x,y Câu (1,0 điểm) Cho trước số nguyên dương n ≥ Trong giải đấu cờ vua có 2n động viên tham gia người người khác ván.Tại thời điểm giải, người ta thấy có n + ván đấu diễn Chứng minh chọn vận động viên cho hai người ba người chọn thi đấu với Câu (1,0 điểm) Cho hàm số f:N* → N* \ {1} (N* tập hợp số nguyên dương) thỏa mãn: f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) – 168 Tính f(2014) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đáp Án  x + xy + y + x + xy + y = ( x + y ) Câu Ta có:   x + y + + x + 12 y + = xy + y + Từ phương trình (1) ⇒ x + y ≥ x + xy + y + x + xy + y = ≥ ( 2x + y ) + ( x + 2y) ( 2x + y ) + ( x − y) + (1) (2) ( x + 2y) + ( x − y) = 2x + y + x + y ≥ 3( x + y ) Dấu “=” xảy ⇔ x = y ≥ Thế y = x vào (2), ta được: 3x + + 19 x + = x + x + Từ phương trình (3) ⇔ x + − ( x + 1) +  19 x + − ( x + )  = x − x −2 ( x3 + x − x ) − x2 + x ⇔ + = 2x2 − x 3 3x + + x + 19 x + + ( x + ) 19 x + + ( x + ) −2 ( x − x ) ( x + ) − x2 + x ⇔ + + ( x2 − x ) = 3 3x + + x + 19 x + + ( x + ) 19 x + + ( x + )  x2 − x =  ⇔ ( x + 7) +  x + + x + 19 x + + x + 19 x + + x + 2 + = (*) ( ) ( )  Vì x ≥ nên (*) vơ nghiệm Do (3) ⇔ x = hay x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) , ( 1;1) } Câu Xét hệ trục Oxy cho A(0;1), B(0;-1) Ta có: (O): x2 + y2 = 1; C ∈ (O) nên C(cost;sint) Vì C không trùng A B nên cost ≠0 CP tiếp tuyên (O) C ⇒ CP: cost.x + sint.y – = + sin t ; −1) N(xN;-1) ∈ CP ⇒ N ( cos t Đường thẳng AN có vecto phương uuur  + sin t  AN =  ; −2 ÷ = ( + sin t; −2 cos t )  cos t  cos t ⇒ AN : 2x cos t + ( + sin t ) ( y − 1) = ⇒ AN = 2x cos t + ( + sin t ) y = + sin t BD : ( + sin t ) x − cos t ( y + 1) = ⇒ BD : ( + sin t ) x − 2y cos t = cos t Ta có D = AN ∩ BD nên tọa độ D thỏa hệ: cos t 5sin t −  x cos t + ( + sin t ) y = + sin t ⇔x= ;y=  − 3sin t − 3sin t ( + sin t ) x − y cos t = cos t cos t 5sin t − x + y − = (Do DP tiếp tuyến cảu (O) D) DP: = − 3sin t − 3sin t ⇔ cos t.x + ( 5sin t − 3) y = − 3sin t Vì P = DP ∩ CP nên tọa độ P thỏa hệ: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  cos t.x + ( 5sin t − ) y = −3sin t + 4 x cos t + ( y − ) sin t = −3 y + ⇔  cos t.x + sin t y = 4 x cos t + y sin t = 3y +1 3( 1− y ) ⇒ cos t = Vì cost ≠ nên y ≠ y ≠ -1 y +3 x ( y + 3) ⇒ sin t = Ta có sin t + cos 2t = ⇒ x ( y + 1) + ( − y ) = x ( y + 3) 2 ⇒ 9x2 y2 + x2 y + x2 + ( − y2 ) − x2 y − 6x2 y − 9x2 = ⇒ x ( y − 1) + ( − y ) = ⇒ x + ( y − 1) = (vì − y ≠ 0) ⇒ x2 x2 + y2 = + y2 = P thuộc elip (E): 9 8 Câu Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có: (7a2 + b2 + c2) (7 + + 1) ≥ (7a + b + c)2 ⇒ ≤ ⇒ ≤ 2 2 2 7a + b + c 7a + b + c 7a + b + c ( 7a + b + c ) ⇒ a 7a + b2 + c ≤ 3a 7a + b + c Mà 1 3a a = ≤ ( + )⇒ ≤ ( + ) 7a + b + c 3a + 3a + a + b + c 3a a + b + c 7a + b + c 3 a + b + c a a ≤ ( + ) Do đó: 7a + b + c 3 a + b + c b b ≤ ( + ) Tương tự ta có: 2 3 a+b+c a + 7b + c c c ≤ ( + ) a + b + 7c 3 a + b + c a b c + + ≤1 Cộng vế theo vế ta được: 2 2 2 7a + b + c a + 7b + c a + b + 7c Câu Khơng tính tổng qt, giả sử x ≥ y Xét giá trị k nguyên dương cho phương trình cho có nghiệm ngun dương Trong nghiệm ta gọi (x0;y0) nghiệm cho x0≥y0≥1 x0+ y0 nhỏ 2 Ta có x0 − ( ky0 − 1) x0 + y0 − y0 = nên x0 nghiệm phương trình f ( x ) = x02 − ( ky0 − 1) x0 + y02 − y0 = Vì f(x) bậc nên f(x) có thêm nghiệm x1 + y0 ≥ x0+ y0 ⇒ x0≥y0≥1 Khi y0 nằm khoảng hai nghiệm tam thức bậc hai f(x) có hệ số bậc số dương Từ f(y0)≥0 Do f(y0) = y02 + y0 − ky02 nên ta có k ≤ + ≤ (vì y0 ≥ 1) Suy k ∈ {1;2;3;4} y0 y +) Với k = (1) ⇔ x2 + y2 + x + y = xy ⇔ (x − ) + y + x + y = (vơ lí) 2 +) Với k = (1) ⇔ x2 + y2 + x + y = 2xy ⇔ ( x − y ) + x + y = (vơ lí) +) Với k = (1) ⇔ x2 + y2 + x + y = 3xy có nghiệm (x;y) = (2;2) +) Với k = (1) ⇔ x2 + y2 + x + y = 4xy có nghiệm (x;y) = (1;1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Ta chứng minh quy nạp theo n +) Với n = 2; Giả sử bốn vận động viên tham gia A, B, C, D có ván đấu diễn Nếu hai ba người BCD đấu với ván ta có điều phải chứng minh Nếu có hai ba người BCD chưa đấu với giả sử B C chưa số trận tối đa C42 − = mà có ván diễn nên có B C chưa với ba người A B C D E C D thỏa mãn yêu cầu toán * +) Giả sử Toán với n = k ( k ∈ ¥ , k ≥ ) +) Ta Chứng minh toán với n = k +1 Giả sử E F vận động viên đấu với tổng số ván đấu 2k vận động viên lại lớn k2 + 1Thì theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh Nếu tổng số ván đấu 2k vận động viên lại nhỏ k2 mà thời điểm có (k + 1)2 + = k2 + 2k + ván đấu diễn nên tổng số ván mà E F đấu lớn 2k + ( kể ván đấu E F) Suy số ván đấu E, F với nhóm 2k vận động viên lớn 2k + (*) Nhận xét: Nếu khơng có người nhóm 2k vận động viên thi đấu với E F số phấn đấu tối đa 2k (mâu thuẩn với (*)) số 2k vận động viên lại, phải có người thi đấu với E F ( Giả sử G) ta có vận động viên E F G thỏa yêu cầu toán Vậy tốn chứng minh Câu 6: Ta có f(x) + f(x+1) = f(x+2).f(x+3) – 168 f(k+1) + f(x+2) = f(x+3).f(x+4) – 168 Do ∀k ∈ ¥ * f(x+2) – f(x) = f(x+3)  f ( k + ) − f ( k + )  Suy rằng: f(3) – f(1) = f(4).f(6) f(2k)  f ( 2k + 1) − f ( 2k − 1)  (1) f(4) – f(2) = f(5).f(7) f(2k+1)  f ( 2k + ) − f ( 2k )  (2) Do đó: f ( 3) − f ( 1) = f ( ) f ( ) f ( 2k ) f ( x + 1) − f ( 2k − 1) với k ∈ ¥ * , k ≥ Nếu f(3) ≠ f(1) f(2k+1) ≠ f(2k-1) Vì f ( 2x + 1) − f ( 2k − 1) số nguyên dương nên f ( 2x + 1) − f ( 2k − 1) ≥ f(n) ≥ 2, ∀x ∈ ¥ * k −1 Do f ( 3) − f ( 1) ≥ , với k ∈ ¥ * , k ≥ Điều xảy Vậy f(3) = f(1) suy f(2x+1) = f(2x-1) = a Tương tự f(2k+2) = f(2k) = b với a, b ∈ ¥ * , a, b ≥ Giả thuyết : a + b = ab – 168 ⇔ ab – a – b + = 169 = 132 ⇔ (a – 1)(b – 1)=132 b = 14  a − = 169 a − =  ⇔ a – = b – = 13  ⇔ b =  b − = b − = 169 b = 170  Vậy f(2014) = f(2014) = 14 hoăc f(2014) = 170 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... + b = ab – 168 ⇔ ab – a – b + = 169 = 132 ⇔ (a – 1)(b – 1)=132 b = 14  a − = 169 a − =  ⇔ a – = b – = 13  ⇔ b =  b − = b − = 169 b = 170  Vậy f (2014) = f (2014) = 14 hoăc f (2014) = 170... (2;2) +) Với k = (1) ⇔ x2 + y2 + x + y = 4xy có nghiệm (x;y) = (1;1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Ta chứng minh quy nạp theo n +) Với n = 2; Giả sử bốn... f(x+2).f(x+3) – 168 f(k+1) + f(x+2) = f(x+3).f(x+4) – 168 Do ∀k ∈ ¥ * f(x+2) – f(x) = f(x+3)  f ( k + ) − f ( k + )  Suy rằng: f(3) – f(1) = f(4).f(6) f(2k)  f ( 2k + 1) − f ( 2k − 1)  (1) f(4) –