KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC LỚP: 10 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 15/4/2017 (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Bài ( 4,0 điểm) Giải phương trình x + 2 x + = − x + 5( x ∈ ¡ ) Bài ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( O ) Các đường cao AD, BE CF cắt H Gọi M trung điểm cạnh BC Đường tròn ( J ) ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai K ( K ≠ A) Đường thẳng AM cắt đường tròn ( J ) điểm thứ hai Q (Q ≠ A) EF cắt AD P Đoạn PM cắt đường tròn ( J ) N a) Chứng minh đường thẳng KF , EQ , BC đồng quy song song ba điểm K, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc Bài ( 4,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên (a, b, c) cho số (a − b)(b − c )(c − a ) + lũy thừa 20162017 (Một lũy thừa 20162017 số có dạng 20162017 n với n số nguyên không âm) Bài ( 4,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn b+c c+a a +b 1   + + =  + + ÷ a b c  ab bc ca  Chứng minh rằng: a + b + c + ≥ 2( ab + bc + ca ) Bài ( 4,0 điểm) Cho bảng vng kích thước 10 × 10 , điền số nguyên dương từ đến 100 vào vng theo trình tự hình a Ở bước biến đổi, người ta chọn tùy ý ba ô vuông liên hàng theo cột theo đường chéo hình vng kích thước × (xem hình b) thực hiện: Hoặc giảm số ô nằm đơn vị đồng thời tăng số hai ô liền kề lên đơn vị, tăng số ô nằm lên đơn vị đồng thời giảm số hai ô liền kề đơn vị Giả sử sau hữu hạn bước biến đổi, tập hợp tất số ghi bảng ô vuông tập {1; 2; 3; …; 100} Chứng minh số ghi bảng theo vị trí trước biến đổi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word … 10 11 12 13 … 19 20 21 22 23 … 29 30 … … … … … … 91 92 93 … 99 100 Hình a – Bảng vng ban đầu Hình b- Ba ô vuông liên tiếp HẾT (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ………………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP: 10 (Đáp án gồm 07 trang) ĐÁP ÁN Bài 1: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất trường THPT chun Trần Phú- Hải Phòng Giải phương trình x + 2 x + = − x + Ý Cách ĐÁP ÁN Điều kiện − ĐIỂM 4,0 đ ≤x≤ 2 Phương trình ban đầu tương đương với phương trình (6−2 ) ( ) x + + − 2x − = x2 −1 0,5đ ⇔ − 4x − 4x + = x2 −1 + 2x + − 2x +1 x = ⇔ 4  + = − x − ( 1) − 2x +1  + x + 4     − 1÷+  − 1÷ = − x − Phương trình (1) ⇔   + 2x +   − 2x +1  0,5đ 0,5đ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ ( 3+ −2 x − )( 2x + 1+ 2x + 2x + + ) ( )( −2 x + +  x = −3  −2 ⇔ +  + 2x + 1+ 2x +  ( )( )( −2 x + + Phương trình (2) vơ nghiệm VT > ( 3+ Lại có: )( 2x + 1+ 2x + ) ) ) ( −2 −2 x + + ( 3+ ≥− −2 x + + = −x − 0,5đ ) −2 )( = −1 ( ) 2x + 1+ 2x + 0,5 đ ) > VP 0,5đ Vậy phương trình có nghiệm x = x = −3 Điều kiện − ≤ x ≤ 2 Với điều kiện ta có: x + + 2 x + ≥ −2 −2 x + + x − ≤ −