Chương V: GĨC LƯỢNG GIÁC, CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CĐ4: ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TAM GIÁC Cho tam giác ABC vng A, sin B bẳng: A sin A B sin C C cos C D cos B Cho tam giác ABC vuông C, hệ thức sau sai: A sin A   cos B B cos A  sin B C tan A  cot B D cot A  tan B �  30o Khẳng định sau sai? Tam giác ABC vng A có B 1 A cos B  B sin C  C cosC  D sin B  2 Cho tam giác ABC có BC  a,CA  b, AB  c Mệnh đề sau đúng? A Nếu b2  c2  a2  góc A nhọn B Nếu b2  c2  a2  góc A tù C Nếu b2  c2  a2  góc A nhọn D Nếu b2  c2  a2  góc A vuông Cho tam giác ABC đẳng thức sau sai: A SinA   Sin  A  B  C  C cosC  sin A  B  3C B SinA  cos 3A  B  C D sin C  Sin  A  B  2C  HDG: chọn D Ta có sin  A  B  2C   sin(  C  2C )  sin(  C )   sin C Cho tam giác ABC đẳng thức sau đúng: A SinA   Sin  B  C  B SinA  Sin  B  C  C SinA  cos  B  C  D cos A  Sin  B  C  Cho tam giác ABC đẳng thức sau sai: A B C  Sin A cos B cos(A+B+2C) =  cosC 2 C Sin( A  C )   sin B D cos A   cos  B  C  Cho tam giác ABC đẳng thức sau đúng: A cosA  cos  B  C  B cosA  cos  B  C  C cosA  sin  B  C  HDG: Ta có A  B  C  1800 � B  C  1800  A D sin A  cos  B  C  sin( B  C )  sin(1800  A)  sinA ; cos( B  C )  cos(1800  A)   cos A � cosA  cos  B  C  Cho tam giác ABC đẳng thức sau sai: AC B AC B  cos  Sin A Sin B cos 2 2 C Sin C  sin  B  A  D cos( A  B )  cos C 10 Cho tam giác ABC đẳng thức sau đúng: A B C A B C  tan   tan A tan B tan 2 2 A B C A B C  cot   cot C tan D tan 2 2 11 Cho tam giác ABC đẳng thức sau đúng: A B C A B C  sin  cos A sin B sin 2 2 A B C A B C  tan   cot C tan D cot 2 2 12 Cho tam giác ABC đẳng thức sau đúng: A B C A B C  sin   sin A sin B sin 2 2 CB A A B C  cos   cos C sin D sin 2 2 13 Cho tam giác ABC đẳng thức sau đúng: A B C A B C  cos   cos A cos B cos 2 2 CB A A B C   tan  cot C tan D tan 2 2 14 Cho tam giác ABC mệnh đề: (I) cos (II) tan B C A  sin 2 A B C tan  2 (III) cos ( A  B  C )  cos 2C  Mệnh đề là: A.I B.II III C.I II D III HDG: A B C  BC A   suy cos  sin nên (I) Ta có 2 2 A B C A B C C C  cot nên tan tan  tan cot  nên (II) Và tan 2 2 2 15 Cho tam giác ABC đẳng thức sau sai: A  B  3C  cosC B cos( A  B  C )   cos 2C A  B  2C 3C A  B  2C C  cot  tan C tan D cot 2 2 HDG: ta có A  B  2C A B C C  C C cot  cot(  )  cot(  )   tan 2 2 2 A Sin 16 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? � �  A sin BAH B cos BAH  �  C sin ABC 17 AHC  D sin � Cho tam giác ABC có AB  cm, AC  18 cm có diện tích 64 cm2 Góc A tam giác có giá trị sin A là: A 18 B C D Cho tam giác ABC có AB  3, AC  4, BC  Tính cosB ? A B 4 Hướng dẫn giải: C  Ta có BC  AB2  AC � góc A vng nên cosB  19 D AB  BC � góc Cho ABC có � A  600 , AC  cm, AB  cm Góc B A Nhọn B.Tù C.Vng HDG: Ta có BC  AB  AC  AB AC cosA D 600 = 52  82  2.5.8.cos600  79 � BC  79 � BC  AC � Aˆ  Bˆ � Bˆ  600 20 Tam giác ABC có cosA = 16 65 HDG: A  cosA= B cosB = Lúc cosC bằng: 13 56 65 nên suy sin A  5 C 16 65 D 36 65 cosB = 12 nên suy sin B  13 13 cosC  cos(1800  ( A  B))  cos(A+B)  (cosA cosB - sinA.sinB) 12 16 = (  ) 13 13 65 21 Cho tam giác ABC có AB  cm, BC  cm, CA  cm Giá trị cos A là: 2 A B C  D 3 22 Với tam giác ABC ta ln có sin A  sin B  sin C bằng: A B C A B C A cos cos cos B  4cos cos cos 2 2 2 C 4sin A B C sin sin 2 D  sin A B C sin sin 2 HDG: Ta có: sin A  sin B  sin C A B A B C C  2sin cos  2sin cos 2 2 C AB C C  2.cos cos  2sin cos 2 2 C A B C  2.cos (cos  sin ) 2 C A B A B  2.cos (cos  cos ) 2 C A B  4cos cos cos 2 23 Với tam giác ABC ta ln có sin A  sin B  sin 2C bằng: A cos A.cos B.cos C B  4cosA.cosB cosC C 4sin A.sin B.sinC D  4sin A.sin B.sin C HDG: sin A  sin B  sin 2C  2sin( A  B ).cos(A-B)+2sinC cosC =2sinC.cos(A-B)+2sinC cosC  2sin C.(cos(A-B)  cos(A+B)) = =2sinC.2sinA sinB=4sinAsinBsinC 24 Với tam giác ABC ta ln có cos2A  cos2B  cos2C  bằng: A cos A.cos B.cos C B 4cosA.cosB cosc cosA.cosB.cosC HDG: Ta có: cos2A  cos2B  cos2C  C D 4cosA.cosB.cosC  cos( A  B).cos(A-B)  2.cos 2C    2.cos C.cos(A-B)  2.cos 2C =  2.cosC.(cos(A-B)  cosC)  2.cosC(cos( A  B)  cos( A  B))  4 cos C cos A cos B 25 Cho tam giác ABC có tan A  cm, tan B  cm cm Giá trị tan C là: A B C  D Không xác định HDG: tan A  tan B 3 Ta có: tan C   tan( A  B)    tan A.tan B 26 Cho ABC thoả mãn sin C  cos A Khi tam giác ABC có tính chất ? sin B B Đều C Vng D Khơng có tính chất A Cân Hướng dẫn ABC cân sin C  cos A � sin C  2sin B cos A sin B � sin C  sin( B  A)  sin( B  A) � sin C  sin C  sin( B  A) � sin( B  A)  � A  B (vì A-B   ) � ABC cân C NX: Từ (1) thay góc C góc B ta tốn: sin B  cos A sin C cho ABC cân B sin B  cos C sin A � góc � Tương tự thay góc C A ta tốn: sin A  cos C cho  ABC cân A sin B sin A  cos B sin C Như toán chứng minh ABC cân, ta hốn đổi vị trí góc ta thu  ABC cân vị trí khác 27 Cho tam giác ABC có góc nhọn Tìm khẳng định khẳng định sau: A B B A B C  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 A B B A B C B cot  cot  cot   cot cot cot 2 2 2 A cot A B B  cot  cot  cot A cot B cotC 2 A B B D cot  cot  cot   cot A cot B cotC 2 HDG: chọn A C cot A B B A B C  cot  cot  (cot  cot )  cot 2 2 2 A B C A B A B sin(  ) cos cos(  )  sin sin C 2   cos 2 2  A B C C A B sin sin sin sin sin sin 2 2 2 C A B cos cos cos 2  cot A cot B cot C  C A B 2 sin sin sin 2 cot 28 Cho tam giác ABC Tìm khẳng định khẳng định sau: A B C A cos A  cosB  cosC  1 4sin sin sin 2 A B C B cos A  cosB  cosC  1 4sin sin sin 2 A B C C cos A  cosB  cosC  1 4cos cos cos 2 A B C D cos A  cosB  cosC  1 4cos cos cos 2 HDG:chọn B B C BC cos A  cosB  cosC  cos A  2cos cos 2  A BC  cos A  2cos cos 2 A A B C  1 2sin2  2sin cos 2 Ta có: A A BC  1 2sin ( sin  cos ) 2 A B C BC  1 2sin ( cos  cos ) 2 A B C  1 4sin sin sin 2 29 Cho tam giác ABC Tìm câu sai: A cosB cosC  sinB sinC  cos A  B C C C A B sin cos  sin cos  cos 2 2 B C B C A C cos cos  sin sin  sin 2 2 D cos2 A  cos2 B  cos2 C  2cos A cosB cosC  HDG: cos(A  B)   cosC � cos A cosB  cosC  sin AsinB nên cos2 A.cos2 B  2cos A cosB cosC  cos2 C  sin2 A.sin2B  (1 cos2 A)(1 cos2 B)  1 cos2 A  cos2 B  cos2 A.cos2 B � cos2 A  cos2 B  cos2 C  2cos A.cosB.cosC  30 Cho tam giác ABC Tìm câu sai: B C B C A A cos cos  sin sin  sin 2 2 B tan A  tan B  tanC  tan A tanB tanC C cot A  cot B  cotC  cot A cot B cotC A B B C A C D tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 HDG: Ta có B C  A BC  A B C B C A   nên cos  cos(  ) � cos cos  sin sin  sin 2 2 2 2 2 Vậy A B ta có A B  C � tan( A  B)  tan(  C ) tan A  tan B ( B đúng) �   tan C  tan A.tan B � tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C  cot A  cot B  cotC  cot A cot B cotC sai Vậy C sai B C  tan BC  A 2  cot A tan  tan (  ) � B C B C  A 2 2  tan tan   nên D 2 2 A B B C A C � tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 tan Vậy D 31 Cho tam giác ABC Tìm câu sai: A cot B cot A  cot B cotC  cot A cotC  B cos2 A  cos2 B  cos2 C  1 2cos A cosB cosC B C A  A  B  C C cos  cos  cos  4cos cos cos 2 4 cos A.cosC  cos(A  B).cos(B  C )  cotC D cos A.sinC  sin( A  B).cos(B  C ) HDG: Ta có: A  B  C   � A  B    C cot( A  B)   cot C cot A.cot B    cot C cot A  cot B � cot A.cot B  cot A.cot C  cot C.cot B  Do : � Suy A 2 B cos A  cos B  cos C  1 cos2A  1 2B  1 cos2C  1 cos( A  B).cos(A  B)  cos2 C  1 cosC(cosC  cos(A  B))  1 cosC(cos( A  B)  cos(A  B))  1 2cos A cosB cosC Nên B sai B C A A B A B A B C cos  cos  cos  2cos cos  sin 2 4  C A B A B A B  2cos cos  2sin cos 4 4   C � A B  A B �  2cos cos  cos(  ) � 4 � � �  C  B  A  2cos cos cos 4 cos A.cosC  cos(A  B).cos(B  C ) cosC(cos A  cos(B  C ))   cotC D cos A.sinC  sin( A  B).cos(B  C ) sinC(cos A  cos(B  C )) 32 Cho tam giác ABC thỏa mãn A Tam giác B Tam giác C Tam giác D Tam giác 33 ABC ABC ABC ABC tan B sin2 B :  tanC sin2 C cân vuông vuông cân Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A  A Tam giác B Tam giác C Tam giác D Tam giác HDG: ABC ABC ABC ABC cosB+cosC : sin B  sinC cân vuông vuông cân A A Vì sin A  2sin cos 2 BC BC  A A 2cos cos cos(  ) sin cosB+cosC 2  2   B C BC  A A sin B  sinC 2sin cos sin(  ) cos 2 2 cosB+cosC A Nên sin A  � 2cos2  1� cos A  sin B  sinC Vậy góc A góc vng 34 Cho tam giác ABC thỏa mãn A Tam giác ABC cân B Tam giác ABC vuông C Tam giác ABC sin A cosB+cosC :  sin B cosC  cosA D Tam giác ABC vuông cân HDG: sin A cosB+cosC  � sin A.cosA-sin B.cosB  cosC.(sin B  sin A) sin B cosC  cosA � (sin2A  sin2B)  cosC.(sin B  sin A) A B B A � cos( A  B).sin( A  B)  2cosC.cos sin 2 A B A B A B A B cos   cosC.sin cos 2 2 A B A B A B � cosC.sin (cos  cos ) 2 A B A B � cosC.sin sin sin 0 2 � cosC  � C  900 � � A B �� sin 0 � � A B � �  cosC.sin 35 2 Nếu hai góc B C tam giác ABC thoả mãn: tan B sin C  tan C sin B tam giác này: A.Vuông A B.Cân A C.Vuông B D.Cân C HDG Câu 19 20 sinC sin B sin B sinC  � sinC.cosC  sin B.cosB Thay tan B  ta đẳng thức cosB cosC ; tanC  cosB cosC � sin2C  sin2B Suy góc B góc C  cos B 2a  c  Khi tam giác ABC có tính chất gì? sin B 4a  c A Vuông B Đều C Cân D Khơng có tính chất  ABC Hướng dẫn: cân Ta thấy (1) chứa yếu tố góc cạnh Đối với tốn ta CM  ABC cân theo cách: A  B a  b Tuỳ vào biểu thức tốn mà ta chọn biến đổi góc hay cạnh cho thuận lợi Cách 1: 36 Cho ABC có (1) �   cos B   2a  c     cos B  �  2a  c 2a  c sin B 4a  c  cos B Aùp dụng định lý hàm Sin ta được:  cos B 2sin A  sin C   cos B 2sin A  sin C � 2sin A  sin C  2sin A cos B  sínC cos B  sin A  sin C  2sin A cos B  sin C cos B � 4sin A cos B  2sin C �  sin( A  B )  sin( A  B)   2sin C 2 �  sin C  sin( A  B)   2sin C � ABC cân C Cách 2: 2 cos (1) � B  (2a  c) 4a  c B B cos 2 2a  c �  B 2a  c tg B 2a  c ( p  c )( p  a ) 2a  c � tg  �  2a  c p ( p  b) 2a  c 2sin b  (c  a ) 2 a  c b  (c  a ) 2a  c  � 1  1 2 2 (c  a )  b 2a  c (c  a )  b 2a  c 4ac 4a �  � c (2a  c)  (c  a )  b 2 (c  a )  b 2a  c � � 2ac  c  c  a  2ca  b � b  a � a = b �  ABC cân C 37 A B B A cos  sin cos3 2 2 B Đều C Cân C Cho ABC thoả sin A Vuông A Hướng dẫn Chứng minh tam giác ABC cân (1) Khi tam giác ABC có tính chất gì? D Cân B A B sin  � tg A (1  tg A )  tg B (1  tg B ) (*) (1) � A B 2 2 cos3 cos3 2 A B A B � (tg  tg )  tg  tg  2 2 A B A A B B � (tg  tg )(1  tg  tg tg  tg )  2 2 2 A B  A B Vì  ,  � tg , tg  2 2 sin A B A B  tg  �  2 2 � A  B � ABC cân C Nên tg 38 Cho ABC thỏa: sin( B  C )  sin(C  A)  cos( A  B )  chất gì? �  1200 A C Hướng dẫn B Đều (1) � sin A  sin B  cos C  � 2sin C vuông C 3 A B A B 3 cos  cos C  2 3 (1) Khi tam giác ABC có tính �  600 D C C A  B � C � 3 cos � cos  1� 2 � � C C A B � cos  cos cos   (*) 2 2 C C A  B A B A B � cos  cos cos  cos  sin 0 2 4 2 A B � A B � C �� cos  cos 0 � sin � � 2 A B � C cos  cos � C � � C  1200 cos  � 2 � � �� �� 2 �� A B �A  B  30 � � A B sin 0 � � � cos 39 Cho ABC thỏa mãn hệ thức atgB  btgA  (a  b)tg A B C �900 (1) Khi tam giác ABC có tính chất gì? �  600 A C B Đều C cân C Hướng dẫn :  ABC tam giác cân A B A B � a(tgB  tg )  b(tg  tgA) 2 BA B A sin sin 2 � R sin A  R sin B A B A B cos B.cos cos cos A 2 B A � sin (sin A cos A  sin B cos B)  B A � sin (sin A  sin B)  Có khả sau: B A  0� B  A 1) Nếu sin 2) Nếu sin2A – sin2B =0 � sin A  sin B (2) Do  C � 900 � A  B � 900 � A  B �1800   hiển nhiên  A  B  3600 , nên từ (2) suy A  B hay A  B Vậy hai trường hợp ta có  ABC cân C 40 �  500 D � A B Tam giác ABC có tính chất đặc biệt ta có: 2a.cosA  b.cosC  c.cosB    1 �  600 A � B Đều C vuông C D C A  600 Hướng dẫn  1  �  RsinA cosA  2RsinB.cosC  2RsinC.cosB      � sinAcosA  sinBcosC  cosBsinC �  2sinAcosA  sin  B  C     �  2sinAcosA  sinA � cosA 1 2  sinA �  � A  600 � tam giác ABC có góc A  60 ... Cho tam giác ABC thỏa mãn A Tam giác B Tam giác C Tam giác D Tam giác 33 ABC ABC ABC ABC tan B sin2 B :  tanC sin2 C cân vng vng cân Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A  A Tam giác B Tam giác C Tam. .. sin B  sinC Vậy góc A góc vng 34 Cho tam giác ABC thỏa mãn A Tam giác ABC cân B Tam giác ABC vuông C Tam giác ABC sin A cosB+cosC :  sin B cosC  cosA D Tam giác ABC vuông cân HDG: sin A cosB+cosC... 16 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? � �  A sin BAH B cos BAH  �  C sin ABC 17 AHC  D sin � Cho tam giác ABC có AB  cm, AC  18 cm có diện tích 64 cm2 Góc A tam giác