Chương 33 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH � � 2x  y  Câu Nghiệm hệ: � là: 3x  y  �   2; 2  3 C   2;3  2    2; D   2; A B   3 3 Lời giải Chọn C   Ta có : y   x � x   x  � x   � y   2 Câu Hệ phương trình sau có nghiệm A B 2x  3y  � x  y  10 �  x; y  : � C D Vơ số Lời giải Chọn A Ta có : x  y  10 � x  y  Vậy phương trình có vơ số nghiệm 3x  y  � Câu Tìm nghiệm của hệ phương trình: � �2 x  y  17 � �23 A � ;  � � 23 � � � 17 � � 17  ; � B � ; � C � � 23 23 � � 23 23 � Lời giải �17 � D � ; � �23 23 � Chọn A  3x  3x 17 7 � x  1 � x  �y 4 23 23 0,3 x  0, y  0,33  � Câu Tìm nghiệm  x; y  hệ : � 1, x  0, y  0,6  � Ta có : y  A  –0, 7;0,  B  0, 6; –0,  C  0, 7; –0,  D Vô nghiệm Lời giải Chọn C Ta có : y  0,3 x  0,33 0,3x  0,33 � 1, x  0,  0,  � x  0, � y  0, 0, 0, �x  y  Câu Hệ phương trình: � có nghiệm ? 3x  y  � A B C Lời giải Chọn D Ta có :   � Hệ phương trình có vơ số nghiệm D Vơ số nghiệm Trang 1/15 �2 x  y  � Câu Hệ phương trình : �x  z   2 có nghiệm là? � �y  z    A 1; 2; 2   B 2;0;     C 1;6;  D 1; 2; Lời giải Chọn D Ta có : Thế y   x vào phương trình y  z   ta 2 x  z  2  � �2 x  z  2  Giải hệ � ta x  1; z  � y  �x  z   2 �x  y  16 Câu Cho hệ phương trình � Để giải hệ phương trình ta dùng cách �x  y  sau ? A Thay y   x vào phương trình thứ B Đặt S  x  y , P  xy C Trừ vế theo vế D Một phương pháp khác Lời giải Chọn A Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai nên ta rút ẩn từ phương trình bậc vào phương trình bậc hai �x  y  Câu Hệ phương trình � có nghiệm : �x y  90 A  15;6  ,  6;15  B  –15; –6  ,  –6; –15  C  15;  ,  –6; –15  D  15;6  ,  6;15  ,  –15; –6  ,  –6; –15  Lời giải Chọn C Ta có : y  x  � x  x    90 � x  x  90  � x  15; x  6 x  15 � y  x  6 � y  15   � � 1 x  y  1 Câu Nghiệm hệ phương trình � là: 2x  1 y  2 � � � 1� � 1� 1;  � 1; � A � B � C  1;  � 2� � 2� Lời giải Chọn D Ta có : y      1 x � 2x      1 1  D  1; 2    1 x  2 � x  � y  2 Câu 10 Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: x  my  � � mx  y  m  � A m �3 hay m �3 B m �3 m �3 Trang 2/15 D m �3 C m �3 Lời giải Chọn B Ta có : D  m   m2 m m Phương trình có nghiệm D �۹� Câu 11 Với giá trị m hai đường  d1  :  m –1 x – y  2m   A m  2 giá trị m thẳng sau trùng  d  : x – y   B m  C m  hay m  2 D Khơng có Lời giải Chọn A Ta có : Hai đường thẳng d1 d trùng m  1 2m    1 m  �2 � m2   � �� �� � m  2 m  2 2m   � � �x  y  S Câu 12 Để hệ phương trình : � có nghiệm , điều kiện cần đủ : �x y  P A S – P  B S – P �0 C S – P  D S – P �0 Lời giải Chọn D Ta có : x, y nghiệm phương trình X  SX  P  Hệ phương trình có nghiệm   S  P �0 �x y  x  y  11 Câu 13 Hệ phương trình � 2 �x y  xy  30 A có nghiệm  2;3  1;5  B có nghiệm  2;1  3;5  C có nghiệm  5;6  D có nghiệm  2;3 ,  3;  ,  1;5  ,  5;1 Lời giải Chọn D Đặt S  x  y, P  xy S  P �0  �S  P  11 � S  11  S   30 �  S  11S  30  Hệ phương trình tương đương � SP  30 � � S  5; S  Khi S  P  suy hệ có nghiệm  2;3 ,  3;  Khi S  P  suy hệ có nghiệm  1;5  ,  5;1 �x  y  Câu 14 Hệ phương trình � có nghiệm : �y  x  m A m  B m   C m  m   D m tùy ý Lời giải Chọn C 2 Ta có : x   x  m   � x  2mx  m    * Trang 3/15 Hệ phương trình có nghiệm phương trình  * có nghiệm �  '  m2  m   � m  � �  x  y   3 x  y   � Câu 15 Hệ phương trình : � Có nghiệm  x  y  2 x  y  � �1 13 � A � ; � �2 � 13 � � 13 � � B � ;  � C � ; � �2 � �2 � Lời giải � 13 � D � ;  � � 2� Chọn B Đặt u  x  y, v  x  y 2u  3v  � �   2v   3v  � v  � u  7 Ta có hệ � u  2v  � �x  y  7 13 �� � x  x   7 � x   � y   2 �x  y  �x   y  Câu 16 Hệ phương trình: � có nghiệm ? �2 x  y  A x  3; y  B x  2; y  1 C x  4; y  3 Lời giải D x  4; y  Chọn B x 1   2x � � x  � y  1 Ta có : x   x   �  x �0 �� x   5  x � mx  y  2m  � Câu 17 Phương trình sau có nghiệm với giá trị m : � �x  (m  2) y  m  A m �1 B m �3 C m �1 m �3 D m �1 m �3 Lời giải Chọn D Ta có : D  m  m     m  2m  Phương trình có nghiệm D �0 � m �1 m �3 � �mx   m   y  Câu 18 Cho hệ phương trình : � Để hệ vơ nghiệm, điều kiện thích �m  x  y    y hợp cho tham số m : A m  B m  hay m  1 C m  1 hay m  D m   hay 2 m  Lời giải Chọn A � mx   m   y  � � D  m  m  1  m  m    3m Ta có : Hệ trở thành � mx   m  1 y  � Hệ vô nghiệm � D  � m  Thử lại thấy m  thoả điều kiện Trang 4/15 �x  y  x  y  Câu 19 Cho hệ phương trình � Từ hệ phương trình ta thu �x  y  phương trình sau ? A x  10 x  24  B x  16 x  20  C x  x –  D Một kết khác Lời giải Chọn D Ta có : y   x � x    x   x    x   � 20 x  48  �x  3xy  y  x  y   Câu 20 Hệ phương trình � có nghiệm : 2x  y  � A  2;1 B  3;3 C  2;1 ,  3;3 D Vô nghiệm Lời giải Chọn C Ta có : y  x  � x  3x  x     x    x   x  3   �  x  x   � x  2; x  x  � y 1 x  � y  �x  y  Câu 21 Hệ phương trình � có nghiệm ? �x  y  A B C D Lời giải Chọn B Ta có : y   x � x    x   � x  x   � x  1; x  Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm �2 �x  y  13 � Câu 22 Hệ phương trình � có nghiệm là: �3   12 � �x y 1 A x  ; y   Chọn B �2 �x  � Ta có : � �3  � �x 1 1 B x  ; y  C x   ; y  3 Lời giải D Hệ vô nghiệm �1  13 2 � y 1 �x �� � x ,y 2 �1   12 � y �y �x  y  10 Câu 23 Hệ phương trình � có nghiệm là: �x  y  58 �x  �x  �x  �x  A � B � C � , � �y  �y  �y  �y  khác Lời giải D Một đáp số Trang 5/15 Chọn C Đặt S  x  y , P  xy  S  P �0  �S  10 � P  21 (nhận) Ta có : � �S  P  58 Khi : x, y nghiệm phương trình X  10 X  21  � X  7; X  Vậy nghiệm hệ  7;3 ,  3;7  � ax  y  a Câu 24 Tìm a để hệ phương trình � vơ nghiệm: �x  ay  A a  Khơng có a B a  a  1 C a  1 D Lời giải Chọn C Ta có : D  a  , Dx  a  , Dy  a  a Hệ phương trình vơ nghiệm � D  � a  �1 a  � Dx  Dy  � Hệ phương trình vơ số nghiệm a  1 � Dx  2 � Hệ phương trình vơ nghiệm �x  y  z  � �1 1 Câu 25 Nghiệm hệ phương trình : �    �x y z � �xy  yz  zx  27 A  1;1;1 B  1; 2;1 C  2; 2;1 D  3;3;3 Lời giải Chọn D 1 Ta có :    � xy  yz  zx  xyz � xyz  27 x y z � x, y, z nghiệm phương trình X  X  27 X  27  � X  Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;3;3 �x  y  xy  Câu 26 Hệ phương trình � có nghiệm : �x  y  A  2;1 B  1;  C  2;1 ,  1;  D Vô nghiệm Lời giải Chọn C Đặt S  x  y , P  xy  S  P �0  �S  P  � S    S   � S  2S  15  � S  5; S  Ta có : � �S  P  S  5 � P  10 (loại) S  � P  (nhận) Khi : x, y nghiệm phương trình X  X   � X  1; X  Vậy hệ có nghiệm  2;1 ,  1;  Trang 6/15 � x  y  xy  � � Câu 27 Hệ phương trình � có nghiệm : �x y  xy  � A  3;  ;  2;1 B  0;1 ,  1;0  C  0;  ,  2;0  � ��1 � 2; � ;� ; 2� D � � ��2 � Lời giải Chọn D Đặt S  x  y , P  xy  S  P �0  � SP � � � S, P Ta có : � nghiệm phương trình �SP  � 5 X   � X  1; X  2 Khi S  1; P  (loại) Khi S  ; P  x, y nghiệm phương trình X2  X2  X   � X  2; X  2 � ��1 � 2; � ;� ; 2� Vậy hệ phương trình có nghiệm � � ��2 � �x  y  xy  Câu 28 Hệ phương trình � có nghiệm : �x  y  xy  A  2;3  3;  B  1;   2;1 C  2; 3  3; 2  D  1; 2   2; 1 Lời giải Chọn B Đặt S  x  y , P  xy  S  P �0  �S  P  � S    S   � S  S  12  � S  3; S  4 Ta có : � �S  P  Khi S  � P  x, y nghiệm phương trình X  X   � X  1; X  Khi S  � P  (loại) Vậy hệ có nghiệm  1;   2;1 �x  y  xy  11 Câu 29 Hệ phương trình � có nghiệm : �x  y  3( x  y )  28 A  3;  ,  2;3  B  3; 7  ,  7; 3 C  3;  ;  3; 7  D  3;  ,  2;3 ,  3; 7  ,  7; 3  Lời giải Chọn D Trang 7/15 Đặt S  x  y , P  xy  S  P �0  �S  P  11 � S   11  S   3S  28 � S  5S  50  � S  5; S  10 Ta có : � �S  P  3S  28 Khi S  � P  x, y nghiệm phương trình X  X   � X  2; X  Khi S  10 � P  21 x, y nghiệm phương trình X  10 X  21  � X  3; X  7 Vậy hệ có nghiệm  3;  ,  2;3  ,  3; 7  ,  7; 3  �x  x  y Câu 30 Hệ phương trình � có nghiệm  x; y  với x �0 y �0 : �y  y  x  C    A  11;  11 ;    D  11; 11  11;0  B 0; 11 ; 11;0  11;0 Lời giải Chọn A �x  x  y � x  y  5 x  y �  x  y   x  xy  y    Ta có : � �y  y  x x y � � �2 x  xy  y   � Khi x  y x  11x  � x  0; x  � 11 � � Khi x  xy  y   � �x  y � y   (phương trình vơ nghiệm) � �   Vậy hệ có nghiệm  11;  11 ;  11; 11 �x  x  y Câu 31 Hãy cặp nghiệm khác hệ phương trình: � �y  y  x A  3;3 B  2;  ;  3;1 ;  3;6  C  1;1 ,  2;  ,  3;3  D  2; 2  ,  1; 2  ,  6;3 Lời giải Chọn A �x  x  y � x2  y  x  y �  x  y   x  y    Ta có : � �y  y  x Khi x  y x  x  � x  0; x  Khi y   x x  x  14  (phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;3 �x  y  Câu 32 Hệ phương trình � có nghiệm ? �y  x  A B C Lời giải Chọn C D Trang 8/15 � �x  y  � x  y  y  x  �  x  y   x  y  1  Ta có : � y  x  � Khi x  y x  x   � x  3; x  Khi y   x x  x   (phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  3; 3  2;  �x  3x  y Câu 33 Hệ phương trình � có cặp nghiệm  x; y  ? �y  y  x A B C D Lời giải Chọn B �x  3x  y � x  y  x  yX �  x  y   x  y  1  Ta có : � �y  y  x Khi x  y x  x  � x  0; x  Khi y   x x  x   � x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  0;0  ,  2;  �x  y  Câu 34 Cho hệ phương trình � Khẳng định sau ? 2 �x  y  m A Hệ phương trình có nghiệm với m B Hệ phương trình có nghiệm ۳ m C Hệ phương trình có nghiệm ۳ m D Hệ phương trình ln vơ nghiệm Lời giải Chọn B �x  y  16  m 2 Ta có : � � P  �  P  m 2 �x  y  m � S  P  16   16  m   2m  16 �0 ۳ m x  xy  y  17 � Câu 35 Cho hệ phương trình : � Hệ thức biểu diễn x theo y rút �y  x  16 từ hệ phương trình ? y2 y2 A x  hay x  2 y 1 y 1 C x  hay x  2 y 3 y3 hay x  2 D x  y hay x  y 13 B x  Lời giải Chọn � x  xy  y  17 �   x  xy  y   17  y  x  � 65 x  64 xy  15 y  Ta có : � 2 �y  x  16 �  13x  y   x  y   � x  y hay x  y 13 Trang 9/15 �mx  y  Câu 36 Cho hệ phương trình : � Các giá trị thích hợp tham số m để �x  my  2m  hệ phương trình có nghiệm ngun : A m  0, m  –2 B m  1, m  2, m  C m  0, m  D m  1, m  –3, m  Lời giải Chọn A Ta có : D  m  , Dx  m  , Dy  2m  m  D Dx 2m   ,y y  D m 1 D m 1 Hệ phương trình có nghiệm nguyên m  0; m  2 Hệ phương trình có nghiệm x  �x  y  Câu 37 Các cặp nghiệm  x; y  hệ phương trình : � : 7x  y  � �11 23 � A  1;1 hay � ; � 19 19 � � B  1; 1 hay � 11 23 � � ; � � 19 19 � � 11 23 � C  1; 1 hay � ; � � 19 19 � �11 23 � D  1;1 hay � ; � 19 19 � � Lời giải Chọn C �x  y  11 19 � x   ;y  Khi x, y �0 hệ trở thành � (loại) 7x  y  9 � x  y  � 19 23 � x ,y Khi x, y  hệ trở thành � (loại) 7x  y  9 � �x  y  � x  1; y  1 (nhận) Khi x �0, y  hệ trở thành � 7x  5y  � � x  y  11 23 � x ;y Khi x  0, y �0 hệ trở thành � (nhận) 7x  5y  19 19 � �xy  x  y  Câu 38 Nghiệm hệ phương trình : � là: �x y  y x  A  1;  ,  2;1 B  0;1 ,  1;  C  0;  ,  2;0  � ��1 � 2; � ,� ;2� D � � ��2 � Lời giải Chọn A Đặt S  x  y , P  xy  S  P �0  �P  S  Ta có : � �PS  � S , P nghiệm phương trình X  X   � X  2; X  Khi S  2, P  (loại) Khi S  3, P  x, y nghiệm phương trình X  X   � X  1; X  Trang 10/15 Vậy nghiệm hệ  1;  ,  2;1 � x  y  3xy  12 Câu 39 Cho hệ phương trình : � Các cặp nghiệm dương hệ 2( x  y )  y  14 � phương trình là: A  1;  ,   2; B  2;1 ,   3; � �2 �� � �1 �� , 3, ,� ; 3� C � ;3 �� D � ;1� � � � 3� �3 �� �2 ��3 � Lời giải Chọn A � � x  y  3xy  12 x  y  xy  12 � � �� � xy  � y  Ta có : � 2 x 2( x  y )  y  14 x  y  xy  14 � � � x2  4 � � x    12 � x  x   � x  �1; x  � �2 x x 2 � Vậy cặp nghiệm dương hệ phương trình  1;  ,   2; �x  x  y  y Câu 40 Hệ phương trình �6 có nghiệm ? �x  y  27 A B C Lời giải Chọn 3 2 Ta có : x  x  y  y �  x  y   x  xy  y    x  y   D x y � �  x  y   x  xy  y  3  � �2 x  xy  y   � � 27 27 � 6 � ; � Khi x  y hệ có nghiệm � � � 2 � � � Khi x  xy  y   � x  y   xy , ta có x  y  27 �  x  y   x  x y  y   27 �   xy  �  27 �  xy   27 xy    xy   3x y � � � xy  � �� (vơ lí)  xy   9 � Vậy hệ phương trình cho có nghiệm � 2x  y 1  � Câu 41 Hệ phương trình � có cặp nghiệm  x; y  ? y  x 1  � A B Vô nghiệm C Lời giải D Chọn A Điều kiện : x, y �1 � 2x  y 1  � � 2x  y  y 1  x 1  �  x  y   Ta có : � y  x 1  � � �  x  y � 2 � � yx y 1  x 1  � � y 1  x 1 � � Trang 11/15 � � �x �2 �x � x  y �� � x0 Khi x  x   � x    x � � �x     x  � x  5x  � � 1 x  y   � x  y  (vơ nghiệm x, y �1 ) 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  0;0  Khi y 1  x 1  �x  y  m  Câu 42 Cho hệ phương trình � mệnh đề : 2 �x y  y x  2m  m  (I) Hệ có vơ số nghiệm m  1 (II) Hệ có nghiệm m  (III) Hệ có nghiệm với m Các mệnh đề ? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Chỉ (I) (III) Lời giải Chọn D �x  y  � hệ có vơ số nghiệm � ( I ) Khi m  1 hệ trở thành � 2 �x y  y x  �x  y  m  � xy  m  1  2m  m  � xy  2m  Ta có: � 2 �x y  y x  2m  m  � S  P   m  1   2m  3  m2  6m  13  0, m � xy  y  x  y   � Câu 43 Hệ phương trình � có nghiệm : �xy  y  x  14 y  16  A x bất kỳ, y  ; x  , y  B x  3, y  2; x  3, y  –1; x  2, y  – C x  5, y  2; x  1, y  3; x  , y  2 D x  4, y  2; x  3, y  1; x  2, y  Lời giải Chọn A � � xy  y  x  y   xy  y  x  y   � � � � y  25 y  30  Ta có : � � 2 xy  y  x  28 y  32  �xy  y  x  14 y  16  � � y  3; y  Khi y  x  Khi y  x tuỳ ý �x  y  2a  Câu 44 Cho hệ phương trình � Giá trị thích hợp tham số a 2 �x  y  a  2a  cho hệ có nghiệm  x; y  tích x y nhỏ : A a  B a  1 C a  D a  2 Lời giải Chọn B Trang 12/15 Đặt S  x  y , P  xy  S  P �0  �S  2a  3a  6a  �P Ta có : � 2 �S  P  a  2a  Hệ phương trình có nghiệm S  P �0 �  2a  1   3a  6a   �0 � 5a  8a  �0 �2 1� 3� P � a  2a  � �  a  1  � �� 2� 2� 2� 2� Đẳng thức xảy a  1 (nhận) �  a  b x   a  b y  � Câu 45 Cho hệ phương trình : � 3  a  b  x   a  b3  y   a  b  ) � Với a ��b , a.b �0 , hệ có nghiệm : 1 ,y ab a b a b ,y D x  a b a b A x  a  b, y  a – b C x  B x  a b ,y ab ab Lời giải Chọn B 3 3 2 Ta có : D   a  b   a  b    a  b   a  b   2ab  a  b  Dx   a  b3    a  b   a  b   2ab  a  b  Dy   a  b   a  b2    a3  b3   2ab  a  b  D Dx 1  ;y y  D ab D a b 2x  y   a � Câu 46 Cho hệ phương trình : � Các giá trị thích hợp tham số a để �x  y  a  Hệ có nghiệm x  tổng bình phương hai nghiệm hệ phương trình đạt giá trị nhỏ : 1 A a  B a  1 C a  D a   2 Lời giải Chọn C � 5a x � 2x  y   a x  y   2a � � � �� �� Ta có : � �x  y  a  �x  y  a  �y  3a � 2 10a  10a  25 1� � 9� � �5  a � 9a �x  y �    2a  2a    � � � 2a  � ��10 25 5� � 2� � � 25 � � � Đẳng thức xảy a  2 Trang 13/15 mx  (m  1) y  3m � � Câu 47 Cho hệ phương trình : �x  2my  m  Để hệ phương trình có nghiệm, giá �x  y  � trị thích hợp tham số m 5 A m  B m   C m  2 Lời giải Chọn C Ta có : D  2m  m  , Dx  5m  3m  , Dy  m  m m 1; m Hệ phương trình có nghiệm D �۹� D m   D Dx 5m  m  ;y y  D 2 m  D 2m  5m  2m  4 �m Thế vào phương trình x  y  ta 2m  2m  mx  (m  2) y  � Câu 48 Cho hệ phương trình : � Để hệ phương trình có nghiệm âm, �x  my  2m  giá trị cần tìm tham số m : 5 A m  hay m  B  m  2 5 C m   hay m  2 D   m  1 2 Lời giải Chọn D Ta có : D  m  m  , Dx  2m  2m  , Dy  2m  3m  Nghiệm hệ x  �m Hệ phương trình có nghiệm D �۹ Hệ có nghiệm x  1; m 2 m  m  2m  3m  , y  m2  m  m2  m  2 � m  1 � �m  m   �� �  m  Hệ phương trình có nghiệm âm � m2 �2m  3m   � �  m  1 2 x  xy  y  � Câu 49 Cho hệ phương trình : � Các cặp nghiệm �x  xy  y  x  y   cho x, y số nguyên : A  2; 2  ,  3; 3 B  2;  ,  3;3 C  1; 1 ,  3; 3  x; y  D  1;1 ,  4;  Lời giải Chọn C x  y � Phương trình  1 �  x  y   x  y   � � 2x  y � x 1 � Trường hợp 1: x   y thay vào   ta x  x   � � Suy hệ x3 � phương trình có hai nghiệm  1; 1 ,  3; 3 Trang 14/15 Trường hợp 2: 2x  y thay vào   ta 5 x  17 x   phương trình khơng có nghiệm nguyên Vậy cặp nghiệm  x; y  cho x, y số nguyên  1; 1  3; 3 Câu 50 Nếu  x; y  �x  xy  y  nghiệm hệ phương trình: � Thì xy bao �y  xy  nhiêu ? A C B 4 D Không tồn giá trị xy Lời giải Chọn D �  x  y    xy � Ta có :  1 � x  xy  y  � � x  y   xy   � � 2   � y  3xy  �  x  y    x  y   xy   2 2 1� � 1� � �  x  y    x  y    x  y    x  y    � �x  y  � �x  y  �  không 2� � 2� � có giá trị x , y thỏa nên không tồn xy Trang 15/15 ... Vậy hệ phương trình có nghiệm  0;0  ,  2;  �x  y  Câu 34 Cho hệ phương trình � Khẳng định sau ? 2 �x  y  m A Hệ phương trình có nghiệm với m B Hệ phương trình có nghiệm ۳ m C Hệ phương. .. – P �0 Lời giải Chọn D Ta có : x, y nghiệm phương trình X  SX  P  Hệ phương trình có nghiệm   S  P �0 �x y  x  y  11 Câu 13 Hệ phương trình � 2 �x y  xy  30 A có nghiệm  2 ;3  1;5...  30  Hệ phương trình tương đương � SP  30 � � S  5; S  Khi S  P  suy hệ có nghiệm  2 ;3 ,  3;  Khi S  P  suy hệ có nghiệm  1;5  ,  5;1 �x  y  Câu 14 Hệ phương trình � có nghiệm