VẤN ĐỀ Các yếu tố tam giác 1) Câu hỏi nhận biết Câu Cho tam giác ABC có A ( 1;1) , B (0; −2), C ( 4; ) Phương trình đường trung tuyến tam giác ABC kẻ từ C A x − y − = Câu B x + y − 14 = C x + y − 26 = D x − y − = Hướng dẫn giải 1 1 Gọi M trung điểm AB ⇒ M  ; − ÷ 2 2 x−4 y−2 CM : = ⇒ CM : x − y − = 1 Phương trình đường thẳng  Chọn A 4− 2+ 2 Cho tam giác ABC có A ( 1; ) , B ( 3; ) , C ( 7;3 ) Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A A x + y − = uuur Ta có BC = ( 4;1) Câu uuur Ta có BC = ( −7; −3) uuur Ta có AC = ( −5;3) D x + y + 13 = B x + y − 20 = C x + y − 37 = Hướng dẫn giải D x − y − 13 = Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ B là: −5 ( x − ) + ( y − ) = ⇔ −5 x + y + =  Chọn A Cho tam giác ABC có A(2; −1), B ( 4;5 ) , C ( −3; 2) Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ C A x + y − = uuur Ta có AB = ( 2;6 ) Câu B −3x + y + 13 = C x + y + = Hướng dẫn giải Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là: ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + y − 11 =  Chọn A Cho tam giác ABC có A(2; −1), B ( 4;5 ) , C (−3; 2) Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ B A x − y − = Câu D x + y − = Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là: ( x − 1) + y − = ⇔ x + y − =  Chọn C Cho tam giác ABC có A(2; −1), B ( 4;5 ) , C (−3; 2) Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A A x + y − 11 = Câu B x + y − = C x + y − = Hướng dẫn giải B x + y − = C x + y + 11 = Hướng dẫn giải D x − y + 11 = Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ C là: ( x + 3) + ( y − ) = ⇔ x + y − = ⇔ x + 3y − =  Chọn A Cho tam giác ABC có A ( 2;0 ) , B ( 0;3) , C ( –3;1) Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình : A x – y + = B x + y – = C x + y –15 = D x –15 y + 15 = Hướng dẫn giải Trang 1/13 - uuur r Đường thẳng d qua điểm B ( 0;3) có vtcp AC = ( −5;1) , vtpt n = ( 1;5 ) Vậy phương trình tổng quát đường thẳng d : x + y –15 = Câu Câu Câu Chọn C Tam giác ABC có A(−1; −3) đường cao BB′ : x + y − 15 = Tọa độ đỉnh C là:  128 36  A C  128 ; 36 ÷ B C  − 128 ; − 36 ÷ C C  128 ; − 36 ÷ D C− ; ÷ 17  17   17 17   17  17  17 17  Hướng dẫn giải Vì tam giác ABC nên A C đối xứng qua BB′ Gọi d đường thẳng qua A d ⊥ BB′ ⇒ d : x − y − 12 = 5 x + y − 15 =  128 15  ⇒H ;− ÷ H = d ∩ BB′ ⇒ tọa độ điểm H nghiệm hệ:   34 34  3 x − y − 12 = 128 36 ; ) Suy C ( 17 17 Chọn A Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh A(1; 2) , B (3;1) , C (5; 4) Phương trình sau phương trình đường cao tam giác vẽ từ A ? A x + y − = B x − y − = C x − y + = D x − y + = Hướng dẫn giải Chọn A Cho tam giác ABC có A ( 1; ) , B ( 3; ) , C ( 7;3 ) Lập phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A A x + y − = uuur Ta có BC = ( 4;1) B x + y − = C x + y − = Hướng dẫn giải D x + y − = Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là: ( x − 1) + y − = ⇔ x + y − = Vậy đáp án C Câu 10 Cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh A(−1;1) , B (4;7) , C (3; − 2) M trung điểm đoạn thẳng AB Phương trình tham số đường trung tuyến CM x = + t x = + t x = − t  x = + 3t A  B  C  D   y = −2 + 4t  y = −2 − 4t  y = + 2t  y = −2 + 4t Hướng dẫn giải Chọn B 2) Câu hỏi thông hiểu Câu 1: Cho tam giác ABC có A(2; 0), B (0;3), C ( −3; −1) Đường thẳng qua B song song với AC có phương trình? A x − y + = B x + y − = C x + y − 15 = D x − y + 15 = Hướng dẫn giải Chọn B Câu 2: Cho đường thẳng qua điểm A ( 1; ) , B ( 4; ) , tọa độ điểm M thuộc Oy ( M ≠ O ) cho diện tích ∆MAB Đường thẳng AM có phương trình A x − y + = B x + y − = C x + y − = D −2 x − y + = Hướng dẫn giải uuur AB = ( 3; ) ⇒ AB = 5; M ( 0; yM ) Trang 2/13 - ( AB ) : x − y + = AB.d ( M , ( AB ) ) = 2 ⇒ d ( M , ( AB ) ) =  yM = | 4.0 − yM + |  4 ⇔ = ⇔ Do M ≠ O nên M  0; ÷ y M =  3 42 + 32  Phương trình đường thẳng AM x − y + = Chọn A S ∆MAB = Câu 3: Trong mặt Oxy , cho tam giác OAB với A(2;0) , B (0; 2) Gọi C điểm đối xứng A qua O Phương trình tổng quát đường thẳng BC A x − y + = B x + y − = C x − y + = D − x + y − = Hướng dẫn giải Ta có: C điểm đối xứng A qua O nên C (−2;0) Đường thẳng BC : x − y + = Vậy chọn A Câu 4: Trong mặt Oxy , cho tam giác OAB với A(2;0) , B (0; 2) Gọi C điểm đối xứng A qua trục Ox Phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AC A x + y = B x − y = C x − y = D −2 x = y − = Hướng dẫn giải Ta có: C điểm đối xứng A qua trục Ox nên C (0; − 2) Đường trung trực đoạn AC có phương trình x + y = Vậy chọn A Câu 5: Trong mặt Oxy , cho tam giác OAB với A(2;0) , B (0; 2) Gọi C điểm đối xứng A qua trực Oy Phương trình tổng quát đường thẳng BC A x − y + = B x + y − = C x − y + = D − x + y − = Hướng dẫn giải Ta có: C điểm đối xứng A qua trục Oy nên C ( −2;0) Đường thẳng BC : x − y + = Vậy chọn A Câu 6: Trong mặt Oxy , cho đường thẳng d :2 x + y − 13 = điểm A(1;1) Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc A lên d Viết phương trình đường thẳng OH A −3 x + y = B −3x − y = C x + y = D x − y = Hướng dẫn giải Ta có: H (5;3) Nên đường thẳng OH có phương trình −3 x + y = Vậy chọn A Câu 7: Trong mặt Oxy , cho đường thẳng d :2 x + y − 13 = điểm A(1;1) Điểm A ' đối xứng điểm A qua đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng OA ' A −3 x + y = B −3x − y = C x + y = D x − y = Hướng dẫn giải Ta có : A '(9;5) Nên đường thẳng OA ' có phương trình −5 x + y = Trang 3/13 - Vậy chọn A Câu 8: Cho tam giác ABC biết A ( 2; −2 ) , B ( 10; −6 ) , C trục Oy trọng tâm G nằm trục Ox Phương trình tổng quát đường thẳng CG A x + y − = B −2 x + y − = C x − y − = D x + y + = Hướng dẫn giải Gọi C (0; c ) ∈ Oy G (a; 0) ∈ Ox , áp dụng công thức trọng tâm, giải hệ ta có: C ( 0;8 ) , G ( 4;0 ) nên đường thẳng CG có phương trình x + y − = Chọn A Câu 9: Cho tam giác ABC biết điểm M (1;0) , N (2; 2) , P (−1;3) trung điểm cạnh BC , CA , AB Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB A B C D uuur uuuu r Ta có: AN = PM nên A(0;5) Hướng dẫn giải Do P trung điểm AB ta có B (−2;1) Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB Đs: A(0;5) , B (−2;1) , C (4; −1) Câu 10: Cho tam giác ABC biết điểm M (1;0) , N (2; 2) , P (−1;3) trung điểm cạnh BC , CA , AB Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC A −3 x + y − = B x + y − = C x + y − 10 = D −3x + y − 10 = uuur uuuu r Ta có: AN = PM nên A(0;5) Hướng dẫn giải uuur Đường cao kẻ từ đỉnh A nhận VTPT NP = (−3;1) nên có phương trình −3 x + y − = Vậy chọn A 3) Câu hỏi vận dụng thấp Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A(3; 2), B (1;1), C (−1; 4) Phương trình tổng quát đường phân giác góc A A x − = B y − = C x + y − = D x + y − = Hướng dẫn giải uuur AB uuur DC Gọi D( x; y ) tọa độ chân đường phân giác góc A ta có : DB = − AC  x = Do y A = yD = ⇒ AD : y = Mà AB = 5, AC = , suy :   y = Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x − 7y + 17 = , d2 : x + y − = Phương trình đường thẳng d có hệ số góc dương qua điểm M (0;1) , tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 A 3x − y + 1= B x + 3y − = C 3x + y + = Hướng dẫn giải D x − 3y + = Trang 4/13 - Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x − 7y + 17 x + y −  x + 3y − 13 = (∆1) = ⇔ 3x − y − = (∆2) 12 + (−7)2 12 + 12 Đường thẳng cần tìm qua M (0;1) song song với ∆1 ∆2 KL: x + 3y − = 3x − y + 1= (d) có hệ số góc dương nên có phương trình 3x − y + 1= Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + = 0, d2 :3x + 6y – = Tìm phương trình đường thẳng d có hệ số góc âm, qua điểm P(2; –1), cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1 d A d :3x + y − = B d : x − 3y − = C d : x − 3y − = D d : x − 3y − = Hướng dẫn giải r r d1 VTCP a1 = (2; −1) ; d VTCP a2 = (3;6) uu r uu r Ta có: a1.a2 = 2.3− 1.6 = nên d1 ⊥ d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P (2; − 1) có phương trình: d : A(x − 2) + B(y + 1) = ⇔ Ax + By − 2A + B = d cắt d1 , d tạo tam giác cân có đỉnh I ⇔ d tạo với d1 ( d ) góc 450 2A − B  A = 3B = cos450 ⇔ 3A2 − 8AB − 3B2 = ⇔   B = −3A A2 + B2 22 + (−1)2 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d :3x + y − = * Nếu A = −3B ta có đường thẳng d : x − 3y − = Vậy đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d :3x + y − = ; Chọn A ⇔ Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , Cho ba điểm A(2; 2) , B(1;1) C (5;1) Đường thẳng d qua A cắt đoạn BC M cho diện tích tam giác ABM diện tích tam giác AMC Khi đó, phương trình đường thẳng d A x + y − = B x − y − = C x − y + = D x − y − = Hướng dẫn giải Diện tích tam giác ABM diện tích tam giác AMC nên M trung điểm BC M (3;1) Phương trình đường thẳng d x + y − = Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy , Cho ba điểm A(2; 2) , B(1;1) C (5;1) Đường thẳng d qua A cắt đoạn BC M cho diện tích tam giác ABM lần diện tích tam giác AMC Khi đó, phương trình đường thẳng d A x + y − = B x − y − = C x − y + = D x − y − = Hướng dẫn giải uuuu r uuuu r Diện tích tam giác ABM lần diện tích tam giác AMC nên BM = 3MC Do ta có M (4;1) Phương trình đường thẳng d x + y − = Chọn A Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy , Cho ba điểm A(2; 2) , B(1;1) C (5;1) Đường thẳng d qua A cắt đoạn BC M cho diện tích tam giác ABM lần diện tích tam giác AMC Khi đó, phương trình đường thẳng d A x + y − = B x − = C x − y + = D x − y − = Hướng dẫn giải Trang 5/13 - Diện tích tam giác ABM uuuu r uuuu r lần diện tích tam giác AMC nên BM = MC 3 Do ta có M (2;1) Phương trình đường thẳng d x − = Chọn B Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A(2; 2) , B (1;1) C (5;1) Đường thẳng d có hệ số góc dương, qua B tạo với đường thẳng BC góc 450 có phương trình A x − y − = B x − y = C x − y + = D x − y − = Hướng dẫn giải Ta có: BC : y = Đường thẳng d qua B tạo với đường thẳng BC góc 450 d : y = x d : x+ y−2=0 Do d có hệ số góc dương nên d : y = x Chọn B Câu 8: Cho tam giác ABC với A(4;1), B(1;7), C ( −1;0) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm C chia tam giác thành hai phần, phần chứa điểm A có diện tích gấp đơi phần chứa điểm B A x − y + = B x − y + = C x − y − = D − x + y − = Hướng giải uuur dẫnuu ur Đường thẳng cần tìm qua điểm D cho DA = −2 DB ⇔ D = (2;5) ⇒ d :5 x − y + = Vậy chọn A Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M ( 2;5 ) Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt tia Ox, Oy A B cho diện tích ∆OAB nhỏ A 10 x + y − 40 = B x + y − 16 = C −3 x + y − = = D x − y + = Hướng dẫn giải x y Gọi A( a;0), B(0; b) ( a, b > 0) d qua A, B nên pt có dạng : + = a b d qua M ⇔ + = S ABO = ab (có thể dùng Cosi được) a b 2 40  5 5 40 ⇒ ab ≥ 40 ⇒ SOAB ≥ 20 − −2 ≥ ⇒1≥ Do = + =  nên ≥ ÷ ÷ ab a b  a b a b a b ab x y Đẳng thức xảy = = ⇔ a = 4, b = 10 Vậy d : + = SOAB đạt GTNN 20 a b 10 Chọn A Câu 10: Viết phương trình đường thẳng d qua M ( 1; ) cắt tia Ox , tia Oy A B cho diện tích tam giác OAB nhỏ A x + y − 16 = B x − y + = C −3x + y − = D x + y − = Hướng dẫn giải x y Gọi A( a;0), B(0; b) ( a, b > 0) d qua A, B nên pt có dạng : + = a b + =1 Ta có : d qua M nên a b 4 Áp dụng bđt Cosi ta có : = + ≥ ⇒ ab ≥ 16 ⇒ SOAB = ab ≥ a b a b Trang 6/13 - = = a b Do a = 2, b = Vậy d : x + y − 16 = Chọn A S ⇔ 4) Câu hỏi vân dụng cao Câu ( ) Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A ( 0; ) , B − 3; −1 Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB A H 3; − I − 3; −1 ( C H ( ) ) 3;1 I ( ( ) ) 3;1 ( D H ( ) ( ) B H − 3; − I − 3;1 ) ( ) 3; − I − 3;1 Hướng dẫn giải  qua O uuu r ⇒ d : 3x + y = Đường cao d :  d ⊥ AB ⇒ BA 3;3   qua B uuu r ⇒ ∆ : y +1 = Đường cao ∆ :   ∆ ⊥ OA ⇒ OA ( 0; ) ( Giải hệ ta trực tâm H ( ) ) 3; −  dOA : y = ⇒ I − 3;1 tâm cần tìm Trung trực cạnh có phương trình   dOB : x + y + = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết ( Câu ) hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H ( −1; −1) , đường phân giác góc A có phương trình x – y + = đường cao kẻ từ B có phương trình x + y –1 = 3 3  10   10  10   10 A C  − ; ÷ B C  − ; − ÷ C C  ; ÷ D C  ; − ÷ 4 4  4   4  Hướng dẫn giải Kí hiệu d1 : x – y + = , d : x + y –1 = Gọi H ′ ( a; b ) điểm đối xứng H qua d1 Khi H ′ ∈ AC r uuuur r  a −1 b −1  ; u ( 1;1) VTCP d1 , HH ′ ( a + 1; b + 1) vng góc với u trung điểm I  ÷   1( a + 1) + 1( b + 1) =  ⇒ H ′ ( −3; 1) HH ′ thuộc d Do toạ độ H ′  a − b − − + =   ′ qua H 3x − y + 13 = AC :  ⇒ AC : x − y + 13 = Toạ độ A  ⇒ A ( 5; ) x − y + =  AC ⊥ d  3 x + y + = qua H ( −1; − 1)  10  CH :  uuur ⇒ CH : 3x + y + = Toạ độ C  ⇒ C  − ; ÷  4 3 x − y + 13 =   HA = ( 3; ) Trang 7/13 - Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ( 2;0 ) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao đỉnh A có phương trình x – y – = x – y – = Phương trình đường thẳng AC A AC : −3 x − y + = B AC : 3x − y + = C AC : x − y − = D AC : 3x + y + = Hướng dẫn giải 7 x – y – = ⇒ A ( 1; ) Điểm B đối xứng A qua M , suy B ( 3; − ) Toạ độ A :  6 x – y – = qua B BC :  ⇒ BC : x + y + =  BC ⊥ d : x − y − = 7 x − y − = 3  ⇒ N  0; − ÷ N trung điểm BC nghiệm hệ  2  x + y + = uuur uuuu r ⇒ AC = 2MN = ( −4; − ) ⇒ AC : x − y + = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có đỉnh A ( 6; ) , đường thẳng qua trung điểm I , J cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C , biết điểm E ( 1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho A B ( 0; ) , C ( –4;0 ) B ( –6; -2 ) , C ( 2;6 ) B B ( 0; –4 ) , C ( –4;0 ) B ( –6; - ) , C ( 2; –6 ) C B ( 0; –4 ) , C ( –4;0 ) B ( –6; ) , C ( 2; –6 ) D B ( 0; –4 ) , C ( 4;0 ) B ( –6; ) , C ( 2; –6 ) Hướng dẫn giải Gọi H chân đường cao hạ từ A ∆ABC Gọi D giao điểm AH đường thẳng x+ y –4=0 Đường thẳng AH qua A ( 6; ) nhận ( 1; –1) làm vector pháp tuyến ⇒ AH : x – y = x − y = ⇒ D ( 2; ) Tọa độ D nghiệm hệ phương trình  x + y − = H đối xứng với A qua D nên H ( –2; –2 ) Đường thẳng BC qua H song song với d nên có phương trình x + y + = B thuộc BC nên B ( t ; –t – ) C đối xứng với B qua H nên C ( –4 – t ; t ) E nằm đường cao hạ từ C ∆ABC nên CE vng góc với AB Trang 8/13 - uuur uuu r t = Hay AB.CE = ⇔ ( t – ) ( t + ) + ( t + 10 ) ( t + 3) = ⇔ 2t ² + 12t = ⇔  t = –6 Vậy B ( 0; –4 ) , C ( –4;0 ) B ( –6; ) , C ( 2; –6 ) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng A , có đỉnh C ( −4; 1) , phân giác góc A có phương trình x + y – = Phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương A BC : −3 x – y + 16 = B BC : 3x – y − 16 = C BC : 3x + y + 16 = D BC : x – y + 16 = Hướng dẫn giải D ( 2a; 2b –1) Gọi điểm đối xứng C qua đường phân giác Trung điểm CD có tọa độ I ( a – 2; b ) I thuộc đường thẳng d : x + y – = ⇔ b = – a ( 1) uuur r CD vng góc với d suy CD ( 2a + 4; 2b – ) phương với n ( 1; 1) ⇒ 2a + = 2b – 2   ( ) Thay ( 1) vào ( ) ta D ( 4; ) A thuộc d nên có dạng A ( t; – t ) với t > A có hồnh độ dương uuur uuur t = ⇒ A ( 4; 1) AC ⊥ AD ⇔ AC AD = ⇔ ( –4 – t ) ( – t ) + ( t – ) ( + t ) = ⇔  t = − L ( )  uuur r Đường thẳng AB qua A D , nhận AD ( 0; ) làm vector phương hay nhận n1 ( 1; ) làm vector pháp tuyến Phương trình đường thẳng AB : x – = Vì B thuộc AB nên B ( 4; m ) ⇒ AB = m – ; AC =  m = –5 AB.AC = m –1 = 24 ⇔ m –1 = ⇔  ⇒ B ( 4; –5 ) B ( 4;7 ) m = uuu r r uuu r uuur Vì AB AD hướng nên B ( 4;7 ) Khi CB ( 8;6 ) , đường thẳng BC nhận n2 ( 3; –4 ) làm vector pháp tuyến Đường thẳng BC : 3x – y + 16 = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B ( −4; 1) , trọng tâm G ( 1; 1) Suy S ABC = Câu đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A C A A ( 4; –3) C ( −3; ) B A ( 4; –3) C ( 3; -5 ) C A ( 4; –3) C ( 3; ) D A ( 4;3) C ( 3; ) Trang 9/13 - Hướng dẫn giải Gọi D trung điểm cạnh AC Gọi E điểm đối xứng với B qua đường thẳng d chứa phân giác góc A uuur uuur  15  7  G trọng tâm ∆ABC ⇒ BD = BG =  ; ÷⇒ D  ; 1÷   2  Đường thẳng BE vng góc với d : x – y –1 = , có phương trình BE : x + y + = t t Suy E ( t ; –3 – t ) Trung điểm BE I  – 2; –1 – ÷∈ d 2 2 t t ⇒ – + + – = ⇔ t = ⇒ E ( 2; – ) 2 uuur  –3 r  DE  ; –6 ÷, đường thẳng AC qua E ( 2; –5 ) nhận n ( 4; –1) làm vector pháp tuyến   Đường thẳng AC có phương trình ( x – ) – y – = hay x – y –13 = Tọa độ A thỏa mãn x – y –1 = x – y –13 = ⇔ x = y = –3 suy A ( 4; –3) Câu C đối xứng với A qua D suy C ( 3; ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A  17 –1  H  ; ÷ Chân đường phân giác góc A D ( 5; 3) trung điểm cạnh AB  5  M ( 0; 1) Tìm tọa độ đỉnh C A C ( −9; −11) B C ( −9;11) C C ( 9; −11) D C ( 9;11) Hướng dẫn giải uuur  16  HD =  ; ÷ = ( 1; ) 5  r Đường thẳng BC qua D ( 5; 3) , nhận n ( 2; –1) làm vector pháp tuyến, có phương trình ( x – ) – ( y – ) = ⇒ BC : x – y – = Trang 10/13 - r  17 –1  Đường thẳng AH qua H  ; ÷ nhận u ( 1; ) làm vector pháp tuyến, có phương trình  5  x + 2y – = A thuộc AH ⇒ A ( – 2t ; t ) , B đối xứng với A qua M ⇒ B ( 2t – 3; – t ) B thuộc BC ⇒ ( 2t – 3) – ( – t ) – = ⇒ 5t –15 = ⇔ t = ⇔ A ( –3;3 ) B ( 3; –1) uuur Đường thẳng AD , nhận AD ( 8;0 ) làm vector phương, nên có phương trình y – = Gọi N ( a, b ) điểm đối xứng với N qua AD Suy N thuộc cạnh AC a b 1 Trung điểm MN I  ; + ÷ thuộc AD MN vng góc với AD 2 2 ⇔ b + = a.8 = ⇔ b = a = ⇒ N ( 0;5 ) uuur Đường thẳng AC qua N ( 0; ) nhận AN ( 3; ) làm vector phương, nên có phương Câu trình x – y + 15 = Tọa độ C thỏa mãn x – y + 15 = x – y – = ⇔ x = y = 11 Vậy C ( 9;11) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Phương trình đường thẳng CD biết M ( 1; ) N ( 2; –1) A CD : 3x – y –15 = C CD : −3x + y + 15 = B CD : −3x – y –15 = D CD : 3x + y –15 = Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AC , BD Gọi a cạnh hình vng ABCD a AC 3a AM = ; MN = 10 ; AN = = 4 · MN ² = AM ² + AN ² – AM AN cos MAN a ² 9a ² 3a ² + – ⇒a=4 Gọi E ( a, b ) trung điểm CD IC AC ME = a = 4; EN = = = 2 Nên ta có: ( a – 1) ² + ( b – ) ² = 16 ( 1) Do 10 = ( a – ) ² + ( b + 1) ² = 2         ( ) Từ ( 1) ( ) ta có 2a – – ( 2b –1) = 14 ⇔ a = 3b + 7       ( ) Trang 11/13 - –6 Thay ( 3) vào ( ) ta ( 3b + ) ² + ( b + 1) ² = ⇔ 5b² + 16b + 12 = ⇔ b = –2 b = uuuu r Với b = –2, a = , đường thẳng CD qua điểm E ( 1; –2 ) nhận EM ( 0; ) làm vector pháp tuyến, có phương trình: y + = uuuu r –6 17  17 –6  , a = , đường thẳng CD qua điểm E  ; ÷ nhận EM ( 3; –4 ) làm Với b = 5  5  Câu 17  6   vector pháp tuyến, có phương trình:  x – ÷–  y + ÷ = hay CD : 3x – y –15 =   5  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với chân đường phân giác góc A D ( 1; –1) Đường thẳng AB có phương trình x + y – = ; tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + y – = Phương trình đường thẳng BC A − x – y – = B x – y + = C x – y – = D − x – y – = Hướng dẫn giải 3 x + y − = x = ⇔ ⇒ A ( 1; 3) Tọa độ A thỏa mãn hệ phương trình  x + y − = y = Gọi ∆ tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E giao điểm ∆ với BC uuur Đoạn AD có trung điểm I ( 1; 1) AD ( 0; ) · Giả sử E nằm gần đỉnh B C Khi ·ADB = DAC + ·ACB · · · · mà DAC ·ACB = EAB ( ·ACB góc nội tiếp; EAB góc tạo tiếp tuyến với dây = BAD cung) · · · Hay tam giác EAD cân E ⇒ ·ADB = EAB + BAD = EAD Đường trung trực ∆′ AD có phương trình y –1 = Vì E thuộc ∆ ′ nên E ( t ; 1) Mặt khác E thuộc ∆ ⇔ t + – = ⇔ t = Suy E ( 5;1) uuur đường thẳng BC qua D ( 1; –1) nhận DE ( 4; ) làm vector phương nên BC có phương trình: x – y – = Câu 10 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu A cạnh BC ; D điểm đối xứng B qua H ; K hình chiếu vng góc C đường thẳng AD Giả sử H ( −5; −5) , K ( 9; −3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng : x − y + 10 = Tìm tọa độ điểm A A A ( −15; ) B A ( −15; ) C A ( −15; ) D A ( −15; ) Hướng dẫn giải Trang 12/13 - Đường trung trực HK có phương trình y = −7 x + 10 cắt phương trình d : x – y + 10 = điểm M ( 0;10 ) Vì ∆ HAK cân H nên điểm A điểm đối xứng K qua MH : y = 3x + 10 , tọa độ điểm A ( −15; ) Trang 13/13 - ... tam giác cho A B ( 0; ) , C ( 4; 0 ) B ( –6; -2 ) , C ( 2;6 ) B B ( 0; 4 ) , C ( 4; 0 ) B ( –6; - ) , C ( 2; –6 ) C B ( 0; 4 ) , C ( 4; 0 ) B ( –6; ) , C ( 2; –6 ) D B ( 0; 4 ) , C ( 4; 0...  t = –6 Vậy B ( 0; 4 ) , C ( 4; 0 ) B ( –6; ) , C ( 2; –6 ) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A , có đỉnh C ( 4; 1) , phân giác góc A có phương trình x + y –... 3; 4 ) làm vector pháp tuyến Đường thẳng BC : 3x – y + 16 = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B ( 4; 1) , trọng tâm G ( 1; 1) Suy S ABC = Câu đường thẳng chứa phân giác