TRANG BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY V Ề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Giải biện luận phương trình dạng: ax = b • • • Khi a≠0 a=0 a=0 a≠0 x= : Phương trình có nghiệm và b≠0 b=0 b a : Phương trình vơ nghiệm : Phương trình nghiệm với phương trình ax + b = x∈¡ gọi phương trình bậc ẩn ? Giải biện luận phương trình sau theo ẩn m: m ( x − ) = x − *ÁP DỤNG: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: ( 2m + 1) x = x + 2009m − Tìm m để phương trình nghiệm ứng với m tìm m x − = x + 3m m ( mx − 1) = x + có nghiệm nhất, tìm Xác định giá trị m để phương trình sau vơ nghiệm: ( m − ) x − ( 3x − ) =0 Xác định giá trị m để phương trình sau vơ số nghiệm: TRANG a) m2 x + m ( x − ) = x + b) ; x2 − m = x + m TRANG ax + bx + c = Giải biện luận phương trình dạng: • • a=0 a≠0 : Trở giải biện luận phương trình dạng: bx + c = : Khi ta biện luận nghiệm dựa vào việc xét dấu biệt số ∆ > (∆ ' > 0) ∆ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ = b − 4ac x = (hoặc: x = ( −b − ∆ 2a −b − ∆ ' a ' ∆ = (∆ ' = 0) b x=− 2a ( −b + ∆ 2a x = x = −b' + ∆ ' a ) : Phương trình có nghiệm (kép) b' x=− a ) ∆ < (∆ < 0) ' :Phương trình vơ nghiệm 1) Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: mx − ( m − 1) x + m − = 2) Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: ( m − 1) x 3) Tìm m để phương trình 4) Tìm m để phương trình 5) Tìm k để phương trình + x + = −2 x + x + − m = x2 − 3x + − m = ( x − 1) ( x nhận x=2 làm nghiệm có hai nghiệm khác ) − x + 2k − = có ba nghiệm phân biệt TRANG Chú ý: Cho hai hàm số Khi đó: y = f ( x) y = g ( x) • Phương trình hồnh độ giao điểm x0 có đồ thị ( C1 ) ( C2 ) phương trình hoành độ giao điểm y = x3 − 3x − 6) Tìm k để đồ thị hàm số: điểm phân biệt ( C1 ) ; ( C2 ) cắt đường thẳng f ( x) = g ( x) ( C1 ) ( C2 ) Nghiệm d k : y = kx − ba 7) Tìm điều kiện a b cho phương trình: 2ax + bx = Có ba nghiệm phân biệt 8) (Đề thi ĐH-2006D) Cho hàm số thẳng qua điểm phân biệt M ( 3; 20 ) y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Gọi có hệ số góc m Tìm m để dm dm đường cắt (C) ba điểm Định lý Vi-ét ứng dụng định lý Vi-ét: Nội dung định lý: ax + bx + c = Nếu phương trình bậc hai x1 + x2 = − b a Ngược lại, có hai số u v có tổng nghiệm phương trình: ( a ≠ 0) x1 x2 = ; u+v=S x − S x + P = , có hai nghiệm x1 ; x2 thì: c a tích u.v = P u v TRANG Ứng dụng: 1) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai f ( x ) = ax + bx + c 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức nghiệm x1 ; x2 có hai f ( x ) = a ( x − x`1 ) ( x − x2 ) ta có: 3) Tìm hai số biết Tổng Tích: Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình: x − S x + P = 4) Tính giá trị biểu thức: x1 + x2 ; x1 x2 ; x12 + x22 ; x13 + x23 ; Mà khơng cần tìm x1 ; x2 1 + ; ( x1 − x2 ) ; x1 − x2 ; x1 x2 , cần biết x1 ; x2 nghiệm phương trình *ÁP DỤNG: x1 ; x2 1) Gọi hai nghiệm phương trình trình, tính: a) x12 + x22 ; b) x2 − x1 e) ; f) x13 + x23 1 + x1 x2 ; ; c) g) 3x − 5x + − m = x − 3x + = x14 + x24 x2 x + x1 x2 ; ; d) h) Không giải phương ( x1 − x2 ) x13 x2 + x1.x23 2) Cho phương trình Tìm m để phương trình nhận -1 làm nghiệm, tìm nghiệm lại ứng với m tìm TRANG 3) Cho phương trình: x + 2mx + = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để tổng bình phương 10 4) Tìm k để phương trình x − ( k + 1) x + 12 = a) Có hai nghiệm đối b) Có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: 5) (ĐH- 2010)Cho hàm số: Tìm m để đồ thị hàm số mãn điều kiện: ( x1 − x2 ) ( x2 − x1 ) = 10 y = x3 − x + ( − m ) x + m ( 1) , m ( 1) tham số thực cắt trục hoành ba điểm phân biệt x12 + x22 + x32 < 6) Cho phương trình: x2 − x + = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 2x1 − x2 ; x2 2x2 − x1 A = x1 − x2 + x2 − x1 c) Hãy tính giá trị biểu thức: 7) Cho a > b > phương trình a) Chứng minh phương trình ab x − ( a + b ) x + = ( 1) ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 thỏa TRANG b) Khơng giải phương trình, tính tỉ số tổng hai nghiệm hiệu nghiệm lớn nghiệm nhỏ phương trình ( 1) 4.Khảo sát dấu nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = *Phương pháp: *Phương trình có hai nghiệm âm  ∆ = b − 4ac ≥  b  ⇔ S = − < a  c   P = a > *Phương trình có hai nghiệm dương  ∆ = b − 4ac ≥  b  ⇔ S = − > a  c   P = a > ⇔P= *Phương trình có hai nghiệm trái dấu c − ( 1) có hai nghiệm trái dấu ( 1) ( 1) có hai nghiệm dương có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho x1 > − 3) Cho phương trình: ( m − 4) x2 a) Tìm giá trị m để b) Tìm giá trị m để ( 1) ( 1) − ( m − ) x + m − = ( 1) có nghiệm dương có hai nghiệm phân biệt nhỏ TRANG ÔN TẬP KIẾN THỨC I) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax + bx + c = ( a ≠ 0) A Trường hợp khuyết hệ số b hệ số c: Khuyết hệ số b (nghĩa b=0) Khuyết hệ số c (nghĩa c=0) ax + bx = ax + c = ⇔ ax = −c ⇔ x = ⇔ x=± −c a ⇔ x ( ax + b ) = −c a x = x = ⇔ ⇔  x = −b ax + b =  a   −c  ≥ 0÷   a  B Trường hợp có đầy đủ hệ số a, b, c ( nghĩa hệ số a, b, c khác 0) Trường hợp 1: a + b + c =0 Trường hợp 2: a −b + c =0 Trường hợp 3: Khơng xảy trường hợp Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = c a Phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = −1; x2 = Lập −c a ∆ = b − 4ac  −b ± ∆  ∆ > → x1;2 = 2a  −b  ∆ = b − 4ac  ∆ = → x1;2 = 2a  ∆ < → x ∈ ∅    II) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: ax + bx + c = ( a ≠ ) ( *) TRANG 10 Phương pháp giải: Chuyển phương trình phương trình bậc hai để giải cách đặt ẩn phụ Cụ thể thực sau: Đặt t = x2 ( t ≥ ) -Khi phương trình (*) trở thành: at + bt + c = ( 1) t≥0 Giải phương trình at + bt + c = ( 1) ( a ≠ 0) -Loại nghiệm t dựa vào điều kiện - Sau tìm nghiệm t ta tìm nghiệm x kết luận tập nghiệm ( a ≠ 0) Đây phương bậc hai theo ẩn t tìm x III) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN MẪU: Phương pháp giải chung: GỒM BƯỚC Bước Tìm điều kiện xác định phương trình (ĐKXĐ) Bước Khử mẫu cách quy đồng mẫu số Bước Giải phương trình (thường phương trình bậc hai) Bước Loại nghiệm dựa vào ĐKXĐ kết luận tập nghiệm Chú ý: Ở Bước ta cần vận dụng linh hoạt đẳng thức để tìm mẫu số chung Các đẳng thức thường dùng: 1) ( a ± b ) = a + b ± 2ab 2) a − b = ( a − b ) ( a + b ) ( = ( a − b ) ( a ) + ab + b ) 3) a + b3 = ( a + b ) a − ab + b 4) a − b3 2 5) ( a ± b ) = a ± 3a 2b + 3ab ± b3 IV) BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: TRANG 17 ta có: 3’) Phương trình có hai nghiệm dương  x1 + x2 > S > ⇔  P >  x1.x2 > ∆ >  S > P >  + Phương trình có hai nghiệm +Có hai nghiệm x1 ; x2 > ⇔∆≥0 Dựa vào Vi-ét  x1 + x2 > S > ⇔  P >  x1.x2 > ta có: + Phương trình có hai nghiệm phân biệt 4) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔∆>0 +Có hai nghiệm ta có: 4’) Phương trình có hai nghiệm âm x1 ; x2 < ⇔∆≥0 ta có: + Phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn số α + Hai nghiệm Khi đó, Đặt: trở thành:  x1 > α t = x − α > ⇔1   x2 > α t2 = x2 − α > t = x −α ( ) khi: ∆ ≥  S < P >  Phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn số Phương trình (*) a t + ( 2aα + b ) t + aα + bα + c = ( 1) ∆ >  S < P >  Phương trình có hai nghiệm âm Dựa vào Vi-ét  x1 + x2 < S < ⇔  P >  x1.x2 > 5) Phương ⇔∆>0 trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi: + Phương trình có hai nghiệm +Có hai nghiệm khi: ∆ ≥  S > P >  Dựa vào Vi-ét  x1 + x2 < S < ⇔  P >  x1.x2 > x1 ; x2 < Phương trình có hai nghiệm dương ∆ >  S ⇔  >α 2  a f ( α ) > t) +Với nghiệm x ta có nghiệm t Do YCBT trở Bài Tốn “phương trình (1) có hai nghiệm dương phân ,với f ( x ) = ax + bx + c (ẩn α TRANG 18 biệt” ∆ > ∆ >   ⇔ t1 + t2 > ⇔ ( x1 − α ) + ( x2 − α ) > t t >  1 ( x1 − α ) ( x2 − α ) > ∆ >  x + x ⇔  >α   a aα + bα + c >  ( ) + Phương trình có hai nghiệm phân biệt 6) Phương ⇔∆>0 trình có hai nghiệm phân  x1 < α t = x − α < ⇔1 biệt   x2 < α t2 = x2 − α < nhỏ số + Hai nghiệm α Khi đó, Đặt: trở thành: t = x −α Phương trình (*) ( ) a t + ( 2aα + b ) t + aα + bα + c = ( ) Phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ số ∆ >  S ⇔  α ,với f ( x ) = ax + bx + c (ẩn t) +Với nghiệm x ta có nghiệm t Do YCBT trở Bài Tốn “phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt” ∆ > ∆ >   ⇔ t1 + t2 < ⇔ ( x1 − α ) + ( x2 − α ) < t t >  1 ( x1 − α ) ( x2 − α ) > ∆ >  x + x ⇔   ( 7) Phương ) +TH1: Phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm nghiệm TRANG 19 trình có nghiệm nghiệm lớn α nghiệm lớn α α lớn Giải cụ thể theo ∆ =  ⇔ trường hợp kết b  x1 = x2 = − 2a > α luận tổng hợp kết trường +TH2: Phương trình có hai nghiệm phân hợp biệt thỏa: x1 < α < x2 ⇔ x1 − α < < x2 − α ( *) t = x −α ( *) ⇔ t1 < < t2 Đặt: Khi đó: Bài tốn trở thành “ Phương trình có nghiệm trái dấu” (ẩn t) +TH3: Phương trình có nghiệm x1 = α x2 > x1 8) Phương trình có nghiệm nghiệm nhỏ α +TH1: Phương trình có nghiệm nghiệm nhỏ α Phương trình có nghiệm nghiệm α nhỏ Giải cụ thể theo trường hợp kết luận tổng hợp +TH2: Phương trình có hai nghiệm phân kết trường biệt thỏa: hợp ∆ =  ⇔ b  x1 = x2 = − 2a < α x1 < α < x2 ⇔ x1 − α < < x2 − α ( *) t = x −α ( *) ⇔ t1 < < t2 Đặt: Khi đó: Bài tốn trở thành “ Phương trình có nghiệm trái dấu” (ẩn t) ∆ > ∆ > ⇔ ⇔ t1.t2 < a f ( α ) < +TH3: Phương trình có nghiệm x2 < x1 x1 = α TRANG 20 5.Ứng dụng thực tế: 1) Một công nhân nhà máy quạt phải ráp số quạt 18 ngày Vì vượt định mức ngày nên 16 ngày ráp xong số quạt giao ráp thêm 20 quạt Hỏi ngày ráp quạt? 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có hai kích thước 40 (m), 60 (m) Cần tạo lối xung quanh mảnh vườn có chiều rộng cho diện tích lại 1500 m2 Hỏi chiều rộng lối bao nhiêu? MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PH ƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI A PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = cx + d *Phương pháp: ax + b = cx + d  ax + b = cx + d ⇔  ax + b = − ( cx + d ) Vậy ta giải hai phương trình ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) lấy tất nghiệm thu *Áp dụng: 1) Giải phương trình sau: x−2 = x+3 a) x − 12 x + = x + ; Lưu ý: A b) = A 2) Giải biện luận phương trình: mx + x − = x a) x − = mx + ; b) B PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC 1) Giải phương trình: TRANG 21 a) 1 − =2 x −1 x−2 ; b) x −1 3x − =− x 2x − 2 2) Giải biện luận phương trình: a) 3mx + =1 x +1 + ( m + 2) x ; 2x − b) y= 3) (Đề ĐH-2003A) Cho hàm số thị hàm số dương ( 1) mx + x + m x −1 = −m + ( 1) , (m tham số) Tìm m để đồ cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ 4) (Đề ĐH-2003D) Cho hàm số d m : y = mx + − 2m cắt ( C) x2 − 2x + y= ( C ) x−2 Tìm m để đường thẳng hai điểm phân biệt ax + bx + c = C PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: *Phương pháp: Đặt: y = x2 ≥ Đưa phương trình bậc hai *Áp dụng: 1) Giải phương trình: a) x4 − x2 + = ; b) x − 5x − = y = x − mx + m − 2) (Dự bị ĐH- 2002A) Cho hàm số (m tham số).Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt TRANG 22 3) (Đề ĐH- 2009D- Phần chung) Cho hàm số ( Cm ) y = x − ( 3m + ) x + 3m y = −1 , m tham số Tìm m để đường thẳng phân biệt có hoành độ nhỏ cắt đồ thị ( Cm ) có đồ thị điểm D.Một số phương trình giải cách đặt ẩn phụ x − x − x + = x − 1) Giải phương trình: x+7 − x = 2) (ĐH Luật HN-1996) Giải phương trình: 3) (ĐH-2009A-Phần chung) Giải phương trình: 3 x − + − x − = (x∈¡ ) 4) Giải phương trình: x2 + x + x − x + + = a) ; b) + x2 2x − x −6 = BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN *Phương pháp: Xét hệ phương trình: ax + by = c   ' ' ' a x + b y = c  ( a + b ≠ 0) ( ( a ) + ( b ) ≠ 0) 2 ' ' Ngoài cách biết, ta làm sau:Tính định thức: TRANG 23 D = a a' b = ab ' − a 'b ' b Dy = a a' c = ac ' − a 'c Dx = ' c ; • Nếu • Khi D≠0 D=0 o Nếu o Nếu hệ có nghiệm , xét tiếp Dx = b = cb ' − c 'b ' b ; ( x; y ) Dx ≠ c c' Dx Dy Dy ≠ D D  = x; y÷  D D  hệ vơ nghiệm x ∈ ¡   ax + by = c Dy = hệ có vơ số nghiệm tính theo cơng thức: *ÁP DỤNG: 1) Giải hệ phương trình sau: a) c) x − 5y =  2 x + y = ; 3x − y =  −6 x + y = 2016 b) ; d)   x − y =  3x − y =  ; 2 x − y =  16 x − 40 y = TRANG 24 2) Giải hệ phương trình sau: a) 5 x − y =   2 + =  x y ; b) 3) Giải hệ phương trình:       + x −1 =5 y +1 − x −1 =4 y +1  x − y − y − x =  3 x − y + x − y = 10 4) Trên sân khấu có hai hàng người đứng hát đồng ca Nếu hàng có người chuyển sang hàng thứ hai hai hàng có số người Nếu hàng thứ hai có người chuyển sang hàng thứ số người hàng thứ gấp đơi số người hàng thứ hai Hỏi hàng có người? 5) Một canô chạy sông giờ, xi dòng 135km ngược dòng 63km Một lần khác, canô chạy sông giờ, xuôi dòng 108km ngược dòng 84km Tính vận tốc dòng nước chảy vận tốc canơ (biết vận tốc thật canơ vận tốc dòng nước chảy không đổi) B GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN *Phương pháp: Đã nêu phân *ÁP DỤNG: 1) Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số a: a)  ax + y =   x + ( a − 1) y = a ; b) ( a − ) x + ( a − ) y =  ( a + 1) x + ( 3a + ) y = − 2) Giải biện luận tham số m hệ phương trình sau: 2 x + y =  x − y =  x + y = m ( 1) ( 2) ( 3) TRANG 25 TRANG 26 3) Cho hệ phương trình: mx + y = m   x + my = m − a) Xác định m để hệ phương trình vơ nghiệm b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm tìm hệ thức liên hệ x y ( x; y ) không phụ thuộc vào m , trường hợp c) Xác định giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm số ngun 4) Cho hệ phương trình: ( x; y ) với x; y x + y =   kx + y = a) Tìm k để hệ vơ nghiệm b) Tìm k để hệ có nghiệm 5) Tìm b cho với ( x; y ) a∈¡ với x>0 y