PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 6 KHỐI TRÒN XOAY Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , AB = 1 , AC = 2 và · BAC = 60° Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A , B , C , M , N 4 2 3 A R = 2 B R = D R = 1 C R = 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D *Gọi K là trung điểm của AC suy *Lại · · · BAC = 60° ⇒ ·ABK = 60°; KBC = 30° ⇒ ABC = 90° ( 1) ra : AK = AB = KC = 1 có *Theo giả thiêt ·ANC = 90° ( 2 ) * Chứng minh ·AMC = 90° ( 3) Thật vậy, ta có: BC ⊥ SA; BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC Từ ( 1) ; ( 2 ) ; ( 3) suy ra các điểm A , B , C , M , N nội tiếp đường tròn tâm K , bán kính KA = KB = KC = KM = KN = 1 AC = 1 2 Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a Gọi H là hình chiếu của B lên tia , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng (2 + 2)π a 2 (3 + 3)π a 2 (1 + 3)π a 2 3 2π a 2 A B C D 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH Ta có AH = AB 2 − BH 2 = a 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất HK = AH BH a 3.a a 3 = = AB 2a 2 Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là S1 = π a 3 3a 2π a 3 = 2 2 Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh BH là S 2 = π a 3 3a 2π a = 2 2 Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là S = S1 + S2 = (3 + 3)a 2π 2 Câu 3: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huyền BC = 6 ( cm ) , các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 60° Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là A 48π cm 2 B 12π cm 2 C 16π cm 2 D 24cm 2 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) Gọi O là trung điểm của BC Tam giác ABC vuông tại A , O là trung điểm của cạnh huyền BC , suy ra OA = OB = OC (1) Xét các tam giác ∆SHA, ∆SHB, ∆SHC có:  SH chung · · ·  SHA = SHB = SHC = 90° ⇒ ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC ( g c.g ) ⇒ HA = HB = HC (2) · · ·  SAH = SBH = SCH = 60° Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra H trùng O Khi đó SH là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Trong ∆SAH dựng trung trực của SA cắt SH tại I Khi đó IA = IB = IC = IS Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 2 2 ∆SBC đều cạnh bằng 6 ( cm ) ⇒ SO = 3 3 ⇒ SI = SO = 3 3 = 2 3 3 3 ( Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: S = 4π 2 3 ) 2 = 48π ( cm 2 ) Câu 4: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn ( O ) và ( O′ ) , chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R Một mặt phẳng ( α ) đi qua trung điểm của OO′ và tạo với OO′ một góc 30° , ( α ) cắt đường tròn đáy theo một dây cung Tính độ dài dây cung đó theo R 4R 2R 2R 2R 2 A B C D 3 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Dựng OH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( OIH ) ⇒ ( OIH ) ⊥ ( IAB ) ⇒ IH là hình chiếu của OI lên ( IAB ) · Theo bài ta được OIH = 30° Xét tam giác vuông ⇒ OH = OI tan 30° = Xét tam OIH vuông tại O R 3 3 giác ⇒ AH = OA2 − OH 2 = OHA vuông tại H R 6 2R 6 ⇒ AB = 3 3 Câu 5: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối nón đỉnh O , trục OI Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích của hai phần là: 1 1 1 1 A B C D 2 8 4 7 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI 1 ⇒ V = π R 2 OI 3 Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại N Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán R OI kính r = , có chiều cao là 2 2 2 2 1  R   OI  π R OI Phần dưới là ⇒ V1 = π  ÷  ÷= 3 2  2  24 khối nón cụt có thể tích π R 2 OI π R 2 OI 7π R 2 OI V2 = V − V1 = − = 3 24 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất π R 2 OI V 1 24 = Vậy tỉ số thể tích là: 1 = 2 V2 7π R OI 7 24 Câu 6: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3 Mặt phẳng ( α ) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD lần lượt tại các điểm M , N , P Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP A V = 32π 3 B V = 64 2π 3 C V = 108π 3 D V = 125π 6 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: CB ⊥ ( SAD ) , AM ⊂ ( SAB ) ⇒ AM ⊥ CB ( 1) ( α ) ⊥ SC , AM ⊂ ( α ) ⇒ AM ⊥ SC ( 2 ) Từ ( 1) , ( 2 ) ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC ⇒ ·AMC = 90° Chứng minh tương tự ta có ·APC = 90° Có AN ⊥ SC ⇒ ·ANC = 90° · Ta có: ·AMC = APC = ·APC = 90° ⇒ khối cầu đường kính AC là khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP Bán kính cầu này là r = AC = 2 2 4 32π Thể tích cầu: V = π r 3 = 3 3 Câu 7: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo bán kính R sao cho diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất A h = R 2 B h = R C h = R 2 Hướng dẫn giải Chọn A D h = R 2 2 Ta có OO′ = h; IA = R, AO = r ⇒ r 2 = R 2 − h2 4 Diện tích xung quanh của hình trụ S = 2π rh = π h 4 R 2 − h 2 ≤ π (dùng BĐT ab ≤ h2 + 4R 2 − h2 , 2 a 2 + b2 ) 2 Vậy S max = 2π R 2 ⇔ h 2 = 4 R 2 − h 2 ⇔ h = R 2 Câu 8: (BẮC YÊN THÀNH) Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên của tam gác dưới) Tính theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay chúng xung quanh đường thẳng d 13 3π a 3 11 3π a 3 A B 96 96 3π a 3 11 3π a 3 C D 8 8 Chọn B Nếu ba hình tam giác không chồng lên nhau thì thể tích của khối tròn xoay là V1 = Thể tích phần bị chồng lên là V2 = ⇒ Thể tích cần tính là V = V1 − V2 = π 3a 3 8 π 3a 3 96 11 3π a 3 96 Hoặc làm như sau: Đặt V1 ;V2 ;V3 ;V4 lần lượt là thể tích: khối nón sinh bởi tam giác OAB quay quanh OB , khối tròn xoay sinh bởi hình BCFE ; GCHK , khối nón sinh bởi tam giác DEB khi quay quanh BC Khi đó: Thể tích khối cần tìm là: 1 a2 a 3 1 a 2 a 3 11 3π a3 V = V1 + V2 + V3 = 3V1 − 2V4 = 3 × ×π × × − 2 × ×π × × = 3 4 2 3 16 4 96 Câu 9: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1 , đáy lớn CD = 3 , cạnh bên AD = 2 quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành 4 7 5 A V = 3π B V = π C V = π D V = π 3 3 3 Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Chọn C Theo hình vẽ: AH = HD = 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích khối trụ có bán kính r = AH = 1 , chiều cao CD = 3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ) 1 2 7  2 2 Vậy V = π AH CD − 2 π AH HD = π  3 − ÷ = π 3 3 3  Câu 10: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120° Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A 2 B 3 C 1 D vô số Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r là bán kính đáy của hình nón · Vì góc ở đỉnh ·ASA′ = 120° ⇒ ASO = 60° r Suy ra SO = OA.cot ·ASO = 3 Gọi H là trung điểm của AM và đặt x = OH Ta có: SH = SO 2 + OH 2 = r2 + x 2 , AM = 2 AH = 2 OA2 − OH 2 = 2 r 2 − x 2 3 Diện tích tam giác ∆SAM bằng s = smax 1 r2 2 SH AM = + x2 r 2 − x2 ≤ r 2 2 3 3 r2 r2 r 2 2 2 2 2 2 = r đạt được khi +x =r −x ⇔ x = ⇔ x= Tức là OH = SO 3 3 3 3 Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu Câu 11: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón có thể tích lớn nhất A Đáp án khác B R = 4 2 C R = 2 D R = 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử chóp đỉnh A như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất ∆AKM vuông tại K Ta thấy IK = r là bán kính đáy của chóp, AI = h là chiều cao của chóp IK 2 = AI IM ⇒ r 2 = h ( 6 − h ) 1 1 V = π r 2h = π h2 ( 6 − h ) 3 3 ( 0 < h < 6) 1 Vmax ⇔ π h 2 ( 6 − h ) max ⇔ y = −h3 + 6h 2 max trên ( 0;6 ) 3 Câu 12: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 R và điểm C · thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt α = CAB và gọi H là hình chiếu vuông α góc của C lên AB Tìm sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất 1 A α = 60° B α = 45° C arctan D α = 30° 2 Hướng dẫn giải Đáp án: C AC = AB cos α = 2 R.cos α CH = AC sin α = 2 R.cos α sin α ; AH = AC cos α = 2 R.cos 2 α Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là V= 1 8 AH π CH 2 = R 3 cos 4 α sin 2 α 3 3 2 Đặt t = cos α ( 0 < t < 1) 8 ⇒ V = R 3t 2 ( 1 − t ) 3 3 = 8 3 8  t + t + 2 − 2t  R t.t ( 2 − 2t ) ≤ R 3  ÷ 6 6  3  Vậy V lớn nhất khi t = 1 2 khi α = arctan 3 2  Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f ( t ) = t 2 ( 1 − t ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Câu 13: (SỞ GD BẮC NINH) Cho một hình nón ( N ) có đáy là hình tròn tâm O Đường kính 2a và đường cao SO = a Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO Mặt phẳng ( P ) vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn ( C ) Khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn ( C ) có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 3 A 2π a 81 3 B 4π a 81 3 C 7π a 81 3 D 8π a 81 Hướng dẫn giải Gọi ( α ) là mặt phẳng qua trục của hình nón ( N ) cắt hình nón ( N ) theo thiết là tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn ( C ) theo thiết diện là tam giác SCD, gọi I là giao điểm của SO và CD.Ta có: AB = 2a ⇒ OA = a = SO Do đó tam giác SOA vuông cân tại S Suy ra tam giác SIC vuông cân tại I Đặt SI = AC = x (0 < x < a ) ⇒ OI = a − x Thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn ( C ) là: ( 1 1 1 V = π IC 2 OI = π x 2 ( a − x ) = π − x 3 + ax 2 3 3 3 ) ( 1 V ' ( x ) = π −3 x 2 + 2ax 3 ) x = 0 V '( x) = 0 ⇔  Bảng biến thiên:  x = 2a 3  Chọn đáp án B Câu 14: (SỞ GD BẮC NINH) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng · ( ABC ) , SA = a, AB = a , AC = 2a, BAC = 600 Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 5 20 2 πa A .π a 2 B 20π a 2 C D 5π a 2 3 3 Hướng dẫn giải Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , d là đường thẳng đi qua H và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , gọi (α) là mặt phẳng trung trực của SA , O là giao điểm của d và ( α ) Khi đó O là tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Theo định lí hàm số cosin ta có : · BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB.AC.cos BAC = a 2 + ( 2a ) − 2a.2a.cos 600 = a 3 2 Diện tích tam giác ABC : 1 a2 3 · S∆ABC = AB.AC.sin BAC = 2 2 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : AH = AB.BC AC a.2a.a 3 = =a 4.S ∆ABC a2 3 4 2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC : 2 2 R = OA = AH + OH = ( a) 2 2 a 5 a + ÷ = 2 2 Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 2 a 5 S = 4π R = 4π  = 5π a 2 ÷ ÷  2  2 Chọn đáp án D Câu 15: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 2a 2 là A Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng B Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng a 2 4 C Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng a 2 2 D Đường tròn có tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng Hướng dẫn giải Chọn B a 2 2 a 2 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi K là trung điểm IJ (Lúc này, K là trọng tâm tứ diện) Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác, ta có: 2  2 a2 2 2 AB = 2 MI 2 +  MA + MB = 2 MI +  2 2  2 2  2 2 2 CD 2 a MC + MD = 2 MJ + = 2 MJ +  2 2  IJ 2  2 ⇒ MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 2 MI 2 + MJ 2 + a 2 = 2  2MK 2 + ÷+ a  ÷ 2   ( ) 2 IC 2 + ID 2 CD 2 a2  a 3  a2 a2 Ta có: IJ = − = IC 2 − =  − = ÷ 2 4 4  2 ÷ 4 2  2 ⇒ MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4MK 2 + 3a 2 2 Do đó: MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 2a 2 ⇔ 4MK 2 + 3a 2 a 2 = 2a 2 ⇔ MK = 2 4 Vậy tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức đề bài là mặt cầu tâm K , bán kính bằng Câu 16: a 2 4 (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho S ABC chóp có 1 SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 2 , cos ·ACB = Tính diện 3 tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 97 πa 2 97 πa 2 97 πa 2 97 πa 2 S = A S = B C D S= S= 4 2 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A hình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y ( 0 < x ≤ R , 0 < y < 2 R ) Gọi SS ' là đường kính của mặt cầu ngoài tiếp hình nón thì ta có 1 1 π x 2 = y ( 2 R − y ) Gọi V1 là thể tích khối nón thì V1 = π x 2 y = π y y ( 2 R − y ) = ( 4 R − 2 y ) y y 3 3 6 3 π  4 R − 2 y + y + y  32π R 3 ≤  ÷ = 6 3 81  Vậy thể tích V1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4R 32π R 3 khi và chỉ khi 4 R − 2 y = y ⇔ y = , từ 3 81 4R  4 R  8R 2 2R 2 đó x = hay x = Chọn C  2R − ÷= 3  3  9 3 2 Câu 31: Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước có thể tích bằng: A 1 π r 3 B 8 π r 3 C 2 π r 3 D 4 π r 3 6 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB ( h.79b ) Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y ( x > 0, y > 2r ) thì ( AH + SA) r = ( 1 AB.SH 2 ) ⇔ x + x 2 + y 2 r = xy ⇔ x 2 = r2 y y − 2r \ Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là 1 2 1 2 y2 V2 = π x y = π r : 3 3 y − 2r y2 y 2 − 4r 2 + 4r 2 4r 2 = = y + 2 r + Ta có y − 2r y − 2r y − 2r 4r 2 = y − 2r + + 4r ≥ 2 y − 2r ( y − 2r ) 4r 2 + 4 r = 8r y − 2r 1 4r 2 ⇔ y = 4r từ Từ đó V2 ≥ π 8r 3 , tức là V2 đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi y − 2r = y − 2r 3 đó x = r 2 Câu 32: Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón Kí hiệu V1 ,V2 lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón V1 Khi r và h thay đổi, tìm giá trị bé nhất của tỉ số V2 A B 2 2 2 C 1 3 D 2 Hướng dẫn giải Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì ( P ) cắt hình nón Theo tam giác cân SAB , cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân Khi đó, bán kính r1 của hình cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công thức r1 = rh r + h2 + r 2 3   h2  1+ 2 +1 ÷ ÷ 1 1+ 1+ x r V1 1   = = 2 h V2 4 4 x 2 r ( Xét Vì (1+ f ( x) = ( ) 1+ x +1 1+ x ) 4x 3 ( , f '( x) = ) 3 , ở đó h2 =x>0 r2 ) ( x−2−2 1+ x +1 2 4.2 x 2 1+ x ) x +1 2 4.2 x 2 x + 1 nên khi xét dấu của >0 f ( x) , ta chỉ cần xét dấu của g ( x) = x − 2 − 2 1+ x Ta có g ' ( x ) = 1 − 1 Dễ thấy g ' ( x ) > 0 vì khi x > 0 thì x +1 g ( x) = 0 ⇔ x = 8 Vậy g ( x ) là hàm tăng trên miền x > 0 và g ( 8 ) = 0 nên Với 0 < x ≤ 8 thì g ( x ) ≤ 0; 1 < 1 , đồng thời x +1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Câu 33: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm , bán kính đáy r = 25 cm Một mặt phẳng (P) đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng: A 500 cm2 B 475 cm2 C 450 cm2 D 550 cm2 Hướng dẫn giải Gọi S là đỉnh của khối nón Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh bằng nhau là SA = SB nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có OI ⊥ AB Từ tâm O của đáy ta kẻ OH ⊥ SI tại H, ta có OH ⊥ ( SAB ) và do đó theo giả thiết ta có OH = 12 cm Xét tam giác vuông SOI ta có: 1 1 1 1 1 = − = 2− 2 2 2 2 OI OH OS 12 20 ⇒ OI = 15 ( cm ) Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có : OS OI = SI OH Do đó SI = OS OI 20.15 = = 25 ( cm ) OH 12 Gọi St là diện tích của thiết diện SAB Ta có: St = 1 AB.SI , trong đó AB = 2 AI 2 Vì AI 2 = OA2 − OI 2 = 252 − 152 = 202 nên AI = 20 cm và AB = 40 cm 1 2 Vậy thiết diện SAB có diện tích là: St = 40.25 = 500 cm Chọn A 2 ( ) Câu 34: Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng ( AB 'C ') tạo với mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A 'B 'C ' bằng: A 85a 108 B 3a 2 C 3a 4 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm B 'C ' , ta có · · , A ' M = AMA · 600 = ( AB 'C ') , ( A 'B 'C ') = AM ' Trong D AA 'M , có A 'M = a 3 ; 2 3a · AA ' = A 'M tan AMA '= 2 Gọi G ' là trọng tâm tam giác đều A ' B 'C ' , suy ra G ' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp D A 'B 'C ' D 31a 36 Vì lặng trụ đứng nên GG ' ^ ( A 'B 'C ') Do đó GG ' là trục của tam giác A 'B 'C ' Trong mặt phẳng ( GC 'G ') , kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC ' cắt GG ' tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A ' B 'C ' , bán kính R = GI Ta có D GPI ÿ D GG 'C ' Þ GP GG ' = GI GC ' Þ R = GI = GP GC ' GC '2 GG '2+ G 'C '2 31a Chọn D = = = GG ' 2GG ' 2GG ' 36 Câu 35: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300 Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng: A R C R 3 2 B R 3 D R 3 4 Hướng dẫn giải Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O ' B = R Gọi AA ' là đường sinh của hình trụ thì · O 'A ' = R, AA ' = R 3 và BAA ' = 300 Vì OO ' P ( ABA ') nên é é dé OO ', ( AB ) ù OO ',( ABA ') ù O ',( ABA ') ù ê ú= d ë ê ú= d ë ê ú ë û û û Gọi H là trung điểm A 'B , suy ra ïï O 'H ^ A 'B ü O ', ABA ') ù ý Þ O 'H ^ ( ABA ') nên d é ê ú= O 'H ë ( û O 'H ^ AA 'ïï þ Tam giác ABA ' vuông tại A ' nên BA ' = AA 'tan300 = R Suy ra tam giác A 'BO ' đều có cạnh bằng R nên O 'H = R 3 Chọn C 2 Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng ( SAB ) Đẳng thức nào sau đây sai? G, SAB ) ù A R = d é ê ú ë ( û B 3 13R = 2SH C R2 SD ABC = 4 3 39 D R = 13 a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Hướng dẫn giải · · , HA = SAH · Ta có 600 = SA , ( ABC ) = SA Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = a 3 2 3a · Trong tam giác vuông SHA , ta có SH = AH tan SAH = 2 G, SAB ) ù Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với ( SAB ) nên bán kính mặt cầu R = d é ê ú ë ( û 1 2 Ta có d é G,( SAB ) ù = dé C , ( SAB ) ù = dé H , SAB ) ù ê ú ê ú ú ë û 3 ë û 3 ê ë ( û Gọi M , E lần lượt là trung điểm AB và MB ìï CM ^ AB ìï HE ^ AB ïï ïï ïí Suy ra ïí và ïï CM = a 3 ïï HE = 1CM = a 3 ïïî ïïî 2 2 4 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK ^ SE ( 1) ìï HE ^ AB ï Þ AB ^ ( SHE ) Þ AB ^ HK ( 2) Ta có í ïï AB ^ SH î H , SAB ) ù = HK Từ ( 1) và ( 2) , suy ra HK ^ ( SAB ) nên d é ê ú ë ( û Trong tam giác vuông SHE , ta có HK = SH HE 2 SH + HE 2 = 3a 2 13 2 a Vậy R = HK = Chọn D 3 13 Câu 37: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 21 Gọi là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp h 6 R khối chóp Tỉ số bằng: h A 7 12 B 7 24 C 7 6 Hướng dẫn giải Gọi O là tâm DABC , suy ra SO ^ ( ABC ) và AO = a 3 3 D 1 2 a Trong SOA , ta có h = SO = SA 2 - AO 2 = 2 Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra ● I Î d nên IS = IA ● I Î SO nên IA = IB = IC Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Gọi M là tung điểm SA , ta có D SMI ÿ D SOA nên R 7 SM SA SA 2 7a = Chọn C R = SI = = = Vậy h 6 SO 2SO 12 Câu 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là: A 4pa3 3 3 B 2pa 6 9 3 C 8pa 6 9 3 D 8pa 6 27 Hướng dẫn giải Gọi O = AC Ç BD , suy ra SO ^ ( ABCD ) · · ,OB = SBO · Ta có 600=SB , ( ABCD ) = SB a 6 · Trong DSOB , ta có SO = OB tanSBO = 2 Ta có SO là trục của hình vuông ABCD Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB ïìï I Î SO ïì IA = IB = IC = ID Þ ïí Þ I A = I B = IC = I D = I S = R Gọi I = SO Ç d Þ í ïï I Î d ïï IS = IB î î ìï SB = SD ï Þ Xét DSBD có ïí · · ïï SBD = SBO = 60o ïî DSBD đều Do đó d cũng là đường trung tuyến của DSBD Suy ra I là trọng tâm DSBD 3 Bán kính mặt cầu R = SI = 2 SO = a 6 Suy ra V = 4 pR 3 = 8pa 6 Chọn D 3 3 3 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng: A ( ) a 1+ 3 2 B a ( ) 6- 2 4 C a ( ) 6+ 2 4 D a ( ) 3- 1 2 Hướng dẫn giải Gọi H là tâm của hình vuông ABCD Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân · giác trong của góc SMH (I Î SH ) Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r = IH Ta có SH = SA 2 - AH 2 = SM = a 2 ; 2 a 3 a ; MH = 2 2 Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: a IS MS SH MS + MH SH MH a = Þ = Þ IH = = = IH MH IH MH MS + MH 2+ 6 ( 64 ) Chọn B 2 Câu 40: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF A 10π a 3 9 B 10π a 3 7 C 5π a 3 2 D π a3 3 Hướng dẫn giải Chọn A a 3 3 Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích Ta có EF = AF tan β = a.tan 30° = 2 1 1 a 3 π a3 V1 = π EF 2 AF = π  a = ÷ 3 3  3 ÷ 9  Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích V2 = π DC 2 BC = π a 2 a = π a 3 Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là π a3 10 V = V1 + V2 = + π a3 = π a3 9 9 Câu 41: (NGÔ QUYỀN – HP) Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang ABCD quanh trục OO′ , biết OO′ = 80, O′D = 24, O′C = 12, OA = 12, OB = 6 A V = 43200π B V = 21600π C V = 20160π D V = 45000π Hướng dẫn giải Chọn C Công thức tính thể tích khối nón cụt 1 V = π h ( R12 + R22 + R1 R2 ) 3 Trong đó h là độ dài đường cao, R1 ; R2 lần lượt là bán kính hai đáy Gọi V1 là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang AOO′D quanh trục OO′ Gọi V2 là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang BOO′C quanh trục OO′ Khi đó V = V1 − V2 1 Ta có V1 = π OO′ ( O′D 2 + OA2 + O′D.OA ) = 26880π 3 1 và V2 = π OO′ ( O′C 2 + OB 2 + O′C.OB ) = 6720π 3 Vậy V = V1 − V2 = 26880π − 6720π = 20160π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Câu 42: (CHUYÊN BẮC GIANG) Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là R 17 và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ Tính thể tích phần khối trụ không giao với khối nón A 5 πR 3 12 B 1 3 πR 3 C 4 3 πR 3 D 5 3 πR 6 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có SI = SB 2 − IB 2 = 17 R 2 − R 2 = 4R ⇒ SE = 2 R , EF = Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI ) là VπR 1 = 1 3 R 2 2 4 RπR = 4 3 3 2 Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE ) là Vπ 2 = 1 R 1 =  R÷ 2 πR 3 2 6 3 Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là V3 = V1 − V2VπR 2 = Thể tích khối trụ là là VπR 4 = R2 2 πR =2 3 5 6 3 hình vẽ bên Tính thể tích của (CHUYÊN KHTN L4) Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay ( H ) cắt ( H ) theo ( H ) (đơn vị cm3 ) một mặt phẳng chứa trục của 3 Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là V = V4 − VπR 3 = Câu 43: 7 6 ( H) , một thiết diện như trong A V( H ) = 23π B V( H ) = 13π C V( H ) = 41π 3 D V( H ) = 17π Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 1 16π Thể tích khối trụ là Vtru = Bh = π 1.52.4 = 9π Thể tích khối nón là Vnon = π 22.4 = 3 3 1 2π 16π 2π 41π − = Thể tích phần giao là: V p giao = π 12.2 = Vậy V( H ) = 9π + 3 3 3 3 3 Câu 44: (CHUYÊN KHTN L4) Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A min V = 8 3 B min V = 4 3 C min V = 9 3 D min V = 16 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Hướng dẫn giải Gọi cạnh đáy của hình chóp là a Ta có ∆SIJ ~ ∆SMH SI IJ = ⇒ MH ( SH − IH ) = IJ SH 2 − HM 2 SM MH 2 ⇒ MH 2 ( SH − 1) = SH 2 − HM 2 ⇒ ⇒ ( a 2 − 12 ) SH 2 − 2a 2 SH = 0 2a 2 ( 2 ⇒ SH = 2 a ≠ 12 ) a − 12 1 3 2a 4 3 1 1 12 1 S = S ABC SH = = 2 3 6 a − 12 6 1 − 12 Ta có a 2 − a 4 ≤ 48 ⇒ S ≥ 8 3 a2 a4 Câu 45: (CHUYÊN KHTN L4) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối ( H ) như hình vẽ bên Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích của ( H ) A V( H ) = 192π B V( H ) = 275π C V( H ) = 704π D V( H ) = 176π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Hướng dẫn giải Chọn D Đường kính đáy của khối trụ là 102 − 62 = 8 Bán kính đáy của khối trụ là R = 4 Thể tích của khối trụ H 1 là V1 = π R 2 h1 = π 4 2.8 = 128π Thể tích của khối trụ H 2 là V2 = π R 2 h2 = π 42.6 = 96π 1 1 Thể tích của H là V = V1 + V2 = 128π + 96π = 176π 2 2 Câu 46: (CHUYÊN VINH – L2) Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB = AC = a, BC = 3a Cạnh bên AA′ = 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB′C ′C bằng A a B 2a C 5a D 3a Hướng dẫn giải: Chọn B Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB′C ′C cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng đã cho Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua O vuông góc với ( ABC ) cắt mặt phẳng trung trực của AA′ tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp AB 2 + AC 2 − BC 2 1 Mặt khác cos µA = = 2 AB AC 2 Ta có: RABC = BC a 3 = = a do đó R = IA = OI 2 + OA2 = a 2 + a 2 = a 2 0 2sinA 2sin120 Cho khối chóp S.ABC có SA ^ (ABC ) ; tam giác ABC cân tại A , AB = a ; · BAC = 120° Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm A, B,C , K , H A R = a 3 B R = a C R = 2a D Không tồn tại mặt cầu như vậy Câu 47: Hướng dẫn giải Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AD là một đường kính của đường tròn (I ) Tam giác ACD vuông tại C , suy ra: DC ^ AC mà DC ^ SA nên DC ^ (SAC ) ìï AK ^ K C ï Þ AK ^ K C Ta lại có: í ïï AK ^ DC (doDC ^ (K CD) î Suy ra tam giác AKD vuông tại K , suy ra: I A = I D = I K Tương tự như trên ta cũng có: IA = I D = I H Vậy thì IA = IB = IC = IK = IH , do đó 5 điểm A, B,C , K , H cùng nằm trên một mặt cầu(đpcm) Bán kính R của mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lý cos ta có: BC = AB 2 + AC 2 - 2AB AC cos120° = a 3 BC BC a 3 = 2R Þ R = = =a Áp dụng định lý sin ta có: sin A Chọn B 2sin A 3 2 2 Câu 48: Cho khối chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD ) ; đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a; AD = 2a ; SA = a Gọi E là trung điểm của AD Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD A R = a 7 2 B R = a 7 C R = a 11 2 D R = a 11 Hướng dẫn giải Gọi O là trung điểm của CD Kẻ tia Ox P SA thì Ox ^ (ABCD ) Ta có: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông CDE và Ox ^ (ABCD) , nên Ox là trục của đường tròn (CDE ) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, SC Ta có: SM = SA 2 + AM 2 = a 5 ; MC = MB 2 + BC 2 = a 5 nên suy ra SM = MC 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Do đó tam giác SMC cân tại M , suy ra MN ^ SC Dễ thấy (MNO ) / / (SAD ) và CE ^ (SAD) nên suy ra CE ^ (MNO ) và do đó CE ^ MN Vậy nên MN ^ (SEC ) , do đó MN là trục của đường tròn (SEC ) Gọi I là giao điểm của MN và SO thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD là R = IC = IO 2 + OC 2 SA 3a Trong đó OC = a 5 và IO = 3NP = 3 ( P là giao điểm của MO và AC ) = 2 2 2 2 2 æ ö æ a 5÷ 3a ö a 11 ç ÷ ç ÷ ç Vậy thì R = ç Chọn C ÷ +ç = ÷ ÷ ÷ ç ÷ ç 2 ç è 2 ÷ ø è2 ø Cho khối chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, biết AB = 1; AC = 3 Gọi M là trung điểm BC , biết SM ^ (ABC ) Tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SMAB vàb SMAC bằng 15π Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: Câu 49: A 21π 4 B 20π C 25π 4 D 4π Hướng dẫn giải Dễ kiểm tra được BC = 2a và tam giác MAB đều cạnh a Đặt SM = h Gọi R1 , R2 và R lần lượt là bán kính các mặt cầu ngoại tiếp của các hình SMAB , SMAC và S.ABC Gọi r1 , r2 và r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác MAB , MAC và ABC Ta có: r1 = 3 và r2 = 2 AC =1 2.sin120° Vì SA ⊥ ( MAB ) , SA ⊥ (MAC ) nên dễ kiểm tra được: 2 h2 3 h R12 =  ÷ + r12 = + 4 4 2 2 h2 h và R22 =  ÷ + r22 = + 1 4 2 Theo giả thiết tổng diện tích các mặt cầu thì: 4π ( R12 + R22 ) = 15π Suy ra: h2 3 h 2 15 + + +1 = 4 4 4 4 Từ đây tìm được h = 2 Dựng trung trực của SC , cắt SM tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của S.ABC Dễ kiểm tra SI SM = SN SC , suy ra R = SI = SN SC 5 = SM 4 2 25π 5 Vậy thì diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S = 4π  ÷ = Chọn C 4 4 Câu 50: Cho hình lập phương ABCD.A ¢B¢C ¢D ¢ cạnh a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A ¢B¢và BC Mặt phẳng (DMN ) chia hình lập phương thành 2 phần Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh A , V2 là thể tích của phần còn lại Tính tỉ số A V1 V2 2 3 B 55 89 C 37 48 D 1 2 Hướng dẫn giải Gọi H = AB ∩ DN ; MH cắt B ' B tại K , cắt A ' A tại S ; SD cắt A ' D ' tại E Thiết diện tương ứng là ngũ giác DNKME Phần đa diện chứa A có thể tích là: V1 = VS ADH − VS A ' EM − VK BNH Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: SA ' = B ' K = BA = BH ; 1 A' A 3 1 3 2 3 Đặt độ dài cạnh hình lập phương bằng 1 thì: SA ' = ; KB =   Ta có: VS ADH = SA.AD AH = 1 + ÷.1.2 = 6 6 3 9 1 1 1  VS A ' EM = 1 1 VS ADH = 64 144 4  1 8 ; VK BNH = VS ADH = 1 18 AH = 4 A ' M ; AD = 4 A ' E và http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất Vậy thì phần đa diện chứa A có thể tích là: 4 1 1 55 − − = 9 144 18 144 Suy ra phần đa diện không chứa A có thể tích là: 13 − 55 89 = 144 144 Chọn B ... tích khối nón lớn (có đường cao SI ) VπR = R 2 RπR = 3 Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE ) Vπ = R =  R÷ πR 2 Thể tích phần khối giao giữ khối nón khối trụ V3 = V1 − V2VπR = Thể tích khối. .. chuyên đề thi – tài liệu file word Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ 2R 4π R 3 ; Vmax = Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp... D V( H ) = 1 76? ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Hướng dẫn giải Chọn D Đường kính đáy khối trụ 102 − 62 = Bán kính đáy khối trụ R = Thể tích khối trụ H V1 =