Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 15 tọa độ KHÔNG GIAN lê hoành phò file word

30 27 0
  • Loading ...
1/30 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/05/2018, 14:24

CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Điểm vecto r r r Ba vecto đơn vị i, j, k trục Ox, Oy, Oz: r r r i = (1;0;0) , j = (0;1;0) , k = (0;0;1) Hai điểm A(x1 , y1, z1 ) B(x , y , z ) thì: uuur AB = (x − x1; y − y1; z − z1) AB = (x − x1 ) + (y − y1 ) + (z − z1) Điểm M chia đoạn thẳng Ab theo tỉ số k ≠ : x1 − kx  x = − k  uuuu r uuur y − ky  MA = kMB ⇔  y = 1− k  z1 − kz   z = 1− k  r r Hai vecto: u = (x, y, z) v = (x ', y ', z ') thì: r r r u ± v = (x ± x '; y ± y '; z ± z '); ku = (kx; ky; kz) rr r u.v = xx '+ yy '+ zz '; u = x + y + z uuur  u; v  =  y z ; z x x y     y ' z ' z ' z ' x ' y ' ÷   r r x.x '+ y.y '+ z.z ' cos u, v = x + y + z x '2 + y '2 + z ' ( ) - r r r r r r vecto a, b, c đồng phẳng: a, b  c = r r r r r r vecto a, b, c không đồng phẳng: a, b  c ≠ Diện tích thể tích uuur uuur  AB, AC    uuur uuur uuur  AB, AC  AD   uuur uuur uuuur Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V =  AB, AD  AA ' uuur uuur uuuur Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: V =  AB, AD  AA ' 2 Thể tích tứ diện ABCD: V = Diện tích tam giác ABC: S = Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Góc mặt phẳng: mặt phẳng (P) có vecto pháp r uu r tuyến n mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n ' r uur cos((P),(Q)) = cos(n, n ') Góc đường thẳng: r r d có VTCP u d’ có VTCP v r r cos(d, d ') = cos(u, v) Góc đường thẳng mặt phẳng: r r d có VTCP u (P) có VTPT n r r sin(d, (P)) = cos(u, n) Khoảng cách từ M (x , y , z ) đến mặt phẳng: −(Oxy) z ; (Oyz) x ; (Ozx) y0 −(P) : Ax + By + Cz + D = là: Ax + By0 + Cz + D d(M , P) = A + B2 + C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho M (x , y , z ) đường thẳng d qua A có uuuuur r  AM , u  r uuur   VTCP u = AB d(M , d) = r u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: uu r d1 qua M1 có VTCP u1; d qua M có VTCP u rr uu r uur uuuuuuuuu  u1 , u  M1 M   d(d1 , d ) = uu r uur  u1 , u    Phương trình tổng quát mặt phẳng: r Mặt phẳng qua M (x , y0 ) vecto pháp tuyến n = (A, B, C) Ax+By+Cz+D=0, A + B + C ≠ hay A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = Phương trình đường thẳng: qua M (x , y0 , z ) có vecto phương r u = (a, b,c), a + b + c ≠ Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  x = x + at  Phương trình tham số: d :  y = y + bt, t ∈ R z = z + ct  x − x y − y0 z − z = = Phương trình tắc a, b, c ≠ : a b c Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R: (x − a) + (y − b) + (z − c) = R hay: x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, A + B2 + C − D > Có tâm I( −A, −B, −C) bán kính R = A + B2 + C2 − D Vị trí tương đối mặt phẳng: (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A'x + B' y + C ' z + D ' = - Cắt nhau: A : B : C ≠ A ' : B ' : C ' A B C D A B C D = = = = = ≠ - Trùng nhau: ; Song song: A ' B' C ' D ' A' B' C' D' Vị trí tương đối đường thẳng: r Đi qua A(x A , y A , z A ) có vecto phương u(a, b, c) r Đi qua B(x B , y B , z B ) có vecto phương v(a ', b ',c ') r r uuu r -Chéo nhau: u, v  AB ≠ r r uuur -Cắt nhau: u, v  AB = a : b : c ≠ a ' : b ' : c ' -Trùng nhau: a : b : c = a ' : b ' : c ' = (x B − x A ) : (y B − y A ) : (z B − z A ) -Song song: a : b : c = a ' : b ' : c ' = (x B − x A ) : (y B − y A ) : (z B − z A ) *Hai điểm M1 (x1 , y1, z1 ) M (x , y , z ) nằm hai phía mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = khi: (Ax1 + By1 + Cz1 + D).(Ax + By + Cz1 + D) < Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: r Đường thẳng d qua A có vecto phương u mặt phẳng (P) qua M có vecto r pháp tuyến n rr - Cắt nhau: u.n ≠ rr Song song: u.n = A ∉ (P) rr - Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.n = A ∈ (P) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(I;R) Gọi IH = d khoảng cách từ tâm I đến (P) thù: a)Nếu dR: mp(P) điểm chung với mặ cầu Ứng dụng giải tốn khơng gian: Đưa tọa độ Oxyz vào tốn hình học khơng gian túy, cách chọn hệ trục thuận lợn để giải tốn CÁC BÀI TỐN Bài tốn 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A(−3; −2;0) , B(3; −3;1) , C(5;0; 2) uuur uuur Tìm tọa độ đỉnh D tính góc hai vecto AC BD Hướng dẫn giải uuur uuur Ta có BA = ( −6;1; −1), BC = (2;3;1) Vì tọa độ hai vecto khơng tỉ lệ nên ba điểm A,B,C không thẳng hàng Gọi D(x, y, z) Tứ giác ABCD hình bình hành x + =  x = −1 uuur uuu r   AD = BC ⇔  y + = ⇔  y = Vậy D(−1;1;1) z =  z =1   uuur uuur Ta có AC = (8; 2; 2), BD = ( −4; 4;0) , đó: uuur uuur uuur uuur −32 + cos(AC, BD) = = − Vậy (AC, BD) = 120o 72 32 Bài tốn 15.2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2; −1), B(2; −1;3), C( −4, 7,5) a) Tính diện tích độ dài đường cao h A b) Tính độ dài đường phân giác BD Hướng dẫn giải uuur uuur u uur a) Ta có AB = (1; −3; 4), AC = ( −5;5;6), BC = ( −6;8; 2) uuur uuur ⇒  AB, AC  = (−38; −26; −10) Vậy SABC = hA = uuur uuur  AB, AC  = 382 + 262 + 10 = 554   2 2SABC 554 277 = = BC 104 13 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải DA BA 26 = = = DC BC 104 uuur uuur Vì D nằm A, C nên DA = − DC 2 74  11  Từ tìm D  − ; ;1÷⇒ DB =  3  Bài tốn 15.3: Tính diện tích tứ giá ABCD có tọa độ A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) Hướng dẫn giải uuur uuur AB = (−1;1;7), AC = ( −6; −6;16) , hai vecto không phương tọa độ khơng tỉ lệ b) Gọi D(x; y; z) Ta có suy thẳng hàng có: uuur A, B, C không uuu r DC = (−2; 2;14) = 2AB ⇒ AB PCD Vậy ABCD hình thang nên SABCD = SABC + SADC uuur uuur uuur uuur =  AB, AC  +  AD, AC  = 1046 2 Bài toán 15.4: Cho tứ diện ABCD có: A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0) a) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD b) Tìm hình chiếu D lên mặt phẳng (ABC) uuur uuur uuurHướng dẫn giải a) Ta có AB = (1; −1;1), AC = (1;1;0), AD = (3; −1;0) uuur uuur uuur uuur Nên  AB, AC = (−1;1; 2) ⇒ SABC =  AB, AC  =     2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Và  AB, AC  AD = −4 ⇒ VABCD =  AB, AC  AD = b) Gọi H(x;y;z) hình chiếu D mặt phẳng (ABC) thì: uuur uuur AH = (x + 1; y − 2; z), DH = (x − 2; y − 1; z) Ta có: 18  x= uuur uuur   DH.AB = 11  x − 2y + z =   uuur uuur 15   ⇔ x + y = ⇔ y =  DH.AC = 11  uuur uuur uuur  x − y − 3z = −3     AB, AC AH = 12      z = 11   18 15 12  Vậy H  ; ; ÷  11 11 11  Bài tốn 15.5: Tìm khoảng cách hai đường thẳng sau: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải x = + t  a) d :  y = −1 − t z =   x = − 3t  d ' :  y = −2 + 3t z =  b) d : d': x y − z +1 = = −1 −2 x y−2 z = = −1 3 Hướng dẫnuu giải r a) d qua điểm M1 (1; −1;1) , có vecto phương u1 = (1; −1; 0) d’ qua điểm uur M (2; −2;3) có vecto phương u = ( −1;1;0) uu r uur uu r uur uuuuuur Vì u1 u phương u1 , u không phương với M1M = (1; −1; 2) nên hai đường thẳng song song uuuuuur uur  M1M , u    =2 Vậy d(d;d ') = d(M1, d ') = uur u2 r b) d qua M(0;4;-1) có VTCP u = (−1;1; −2) uu r d’ qua M’(0;2;0) có VTCP u ' = (−1;3;3) r uu r uuuuur r uu r Ta có  u, u ' = (9;5; −2), MM ' = (0; −2;1) nên  u, u ' ≠ nên chéo r uu r uuuuur  u, u ' MM ' −10 − 21 12   = = Do d(d, d ') = r uu r 81 + 25 + 110  u, u '   Bài tốn 15.6: Tìm điểm M mặt phẳng (Oxz) cách ba đểm A(1;1;1), B(-1;1;-0), C(3;1;-1) Hướng dẫn giải M thuộc (Oxz) M ( x;0; z ) Ta có: MA = MB = MC 2 2 2   AM = BM  (x − 1) + + (z − 1) = (x + 1) + + z ⇔ ⇔ 2 2 2 AM = CM   (x − 1) + + (z − 1) = (x − 3) + + (z + 1)  x=   4x − 2z =  ⇔ ⇔ 4x + 4z = z = −   7 5 Vậy M  ;0; − ÷ 6 6 Bài tốn 15.7: Cho hai điểm A(2;0;-1), B(0;-2;3) a) Tìm tọa độ điểm C ∈ Oy để tam giác ABC có diện tích 11 thỏa mãn OC < b) Tìm điểm D ∈ (Oxz) để ABCD hình thang có cạnh đáy AB Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải uuur uuur a) Gọi C(0; y;0) ⇒ AB = ( −2; −2; 4), AC = (−2; y;1) Ta có: SABC = 11 ⇔ uuur uuur  AB, AC  = 11 ⇔ (2 + 4y) + 36 + (2y + 4) = 11   2 ⇔ 20y + 32y + 12 = ⇔ y = −1 y = − (loại) Vậy C(0;-1;0) uuur b) Gọi D(x;0; z) ∈ (Oxz) ⇒ DC = ( −z; −1; − z) uuur uuur ABCD hình thang AB, DC hướng ⇔ − x −1 − z = = > ⇔ x = 1, z = −2 Vậy D(1; 0; −2) −2 −2 Bài tốn 15.8: Tìm tọa độ điểm H hình chếu a) A(−2;1;0) đường thẳng BC với B(0;3; −1), C( −1; 0; 2) b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1; 4), B(3;3;1), C(1;5;5) uuur uuu r Hướng dẫn giải a) H(x; y; z) thuộc BC nên BH = tBC Do x = − t, y − = −3t, z + = 3t ⇒ x = − t, y = − 3t, z = −1 + 3t uuur uuu r Ta có AH ⊥ BC nên AH.BC = 11 (− t + 2)( −1) + ( −3t + 2)( −3) + (z + 1)3 = ⇒ t =  11 24 14  Vậy hình chiếu H  − ; ; ÷  9 9 Cách khác: uuur lập mp(P)uqua uur A vng góc với BC tìm giao điểm H b) Ta có AB = ( −1; 2;3), AC = ( −3; 4;1) nên mp (ABC) có VTCP: r uuur uuur n =  AB, AC  = (14;10; 2) hay (7;5;1) (P) : 7(x − 4) + 5(y − 1) + 1(z − 4) = hay 7x + 5y + z − 37 = Đường thẳng d qua A, vng góc với (ABC) có phương trình tham số: x = +   y = + 5t Thế x,y,z vào (P) t = 25 z = + t  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  81 13 33  Vậy hình chiếu có tọa độ H  ; ; ÷  25 25  Bài tốn 15.9: a) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc trục Oy tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) VABCD = b) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(0;4;1), B(1:0:1), C(3;1;-2) Hướng dẫn giải a) Gọi D(0;y;0) thuộc trục Oy Ta có: uuur uuur uuur AB = (1; −1; 2), AD = ( −2; y − 1;1), AC = (0; −2; 4) uuur uuur uuur uuur uuur ⇒  AB, AC  = (0; −4; −2) ⇒  AB, AC  AD = −4y + Theo giả thiết VABCD = ⇔ uuur uuur uuur AB, AC  AD =   ⇔ −4y + = 30 ⇔ y = −7; y = Vậy có điểm D trục Oy: (0;-7;0) (0;8;0) uuur uuu r b) Ta có AC = (3; −3; −3), BC = (2;1; −3) nên lập phương trình mặt phẳng (ABC): 3xx+y+2z-6=0 Gọi H(x; y; z) trực tâm tam giác ABC uuur uuur ⇒ AH = (x; y − 4; z − 1), BH = (x − 1; y; z − 1) , ta có: 25  x= uuur uuu r  19  AH.BC =  2x + y − 3z − =   uuur uuur 11   ⇔ H : y =  BH.AC = ⇔  x − y − z = 19  H ∈ (ABC) 3x + y + 2z − =   14    z = 19  IA = IB  Gọi I(x;y;z) đường tròn ngoại tiếp: IA = IC I ∈ (ABC)   29 37  Từ giải tâm I  − ; ; ÷  13 13 26  Bài toán 15.10: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x − 8y + 7z − = a) Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) Tìm điểm C nằm mp (P) cho ABC tam giác uuur uur Hướng dẫn giải a) Gọi I ( x; y; z ) ⇒ AB = (2;0; 2), AI = (x; y; z + 13) uur uuur uur uuur Vì AI AB phương nên có số k cho AI = kAB hay  x = 2k y =  ⇒ y = z + = 2k  x − z − =  Mặt khác I ∈ (P) ⇒ 3x − 8y + 7z −1 = Vậy ta có hệ: 11  x=  y =   4   11 ⇔  y = ⇒ I  ;0; − ÷ x − z − = 5 5 3x − 8y + 7z − =   z = −  C(x; y; z) Ta có AB = 2 , gọi điểm CA = 2  x + y + (z + 3) =   Ta có CB = 2 ⇔  x + z + = C ∈ (P) 3x − 8y + 7z − =    2 1 Giải có hai điểm: C(2; −2; −3), C  − ; − ; − ÷  3 3 Bài toán 15.11: Cho tam giác ABC có C(3;2;3), đường cao AH nằm đường thẳng (d1 ) : x −2 y−3 z −3 = = , đường phân giác BM góc B nằm đường thẳng 1 (d ) : x −1 y − z − = = Tìm đỉnh A B −2 Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) qua C, ⊥ (d1 ) là: 1.(x − 3) + 1.(y − 2) − 2.(z − 3) = ⇔ x + y − 2z + = (P) ∩ (d ) = B(1; 4;3) Mặt phẳng (Q) qua C, ⊥ (d ) là: 1.(x − 3) − 2.(y − 2) + 1.(z − 3) = ⇔ x − 2y + z − = (P) ∩ (d ) = I(2; 2; 4) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải K đối xứng với C qua (d ) K nằm đường thẳng chứa cạnh AB Vì I trung điểm CK nên K(1;2;5) x =  Đường thẳng (∆) qua KB là:  y = + 2t z = − 2t  Do đó: (∆) cắt A(1;2;5) Bài tốn 15.12: Cho A(1;0;0) B(0;1;2) Tìm C ∈ Oz để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (α) : 2x − 2y − z + = góc 60o Hướng uuur uuurdẫn giải Gọi C(0; 0; m) ∈ Oz Ta có : AB = ( −1;1; 2), AC = ( −1;0; m) r uuur uuur ⇒ u =  AB, AC  = (m; m − 2;1) vecto pháp tuyến (ABC) r Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến n = (2; −2; −1) MP (ABC) (α) hợp góc 60o nên: r uu r 2m + − 2m − 1 2± cos 60o = cos(u, n) = = ⇔m= m + + (m − 2) 2 2+ 2− ), C '(0; 0; ) 2 Bài toán 15.13: Cho điểm A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) đường thẳng d giao tuyến Vậy có hai điểm C(0; 0; hai mặt phẳng có phương trình: x − y + = 0, x + y + z − = Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d cho thể tích khối tứ diện ABCD Hướng dẫn giải r uuur uuur uuur uuur Ta có AB = (1;3;0), AC = (0;3; 2) nên d có VTCP u =  AB, AC  = (6; −2;3) x =  Phương trình đường thẳng d là:  y = + t  z = − 2t  uuur Vì D ∈ d nên D(t;1 + t;3 − 2t) ⇒ AD = (t −1; t + 2; −2t + 4) uuur uuur uuur − t VABCD =  AB, AC  / AD = 2−t Do VABCD = ⇔ = ⇔ t = −1 t = Vậy có hai điểm D thỏa mãn toán D( −1; 0;5) D(5;6; −7) x −1 y −1 z − = = Bài toán 15.15: Cho hai đường thẳng: d1 : d giao tuyến hai 2 mặt phẳng có phương trình: 5x − 6y − 6z + 13 = 0, x − 6y + 6z − = Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Chứng minh thể tích V hình chóp S.OMAN khơng phụ thuộc vào m n b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từ suy mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định Hướng dẫn giải a) Hình chóp S.OMAN có chiều cao SO=1 khơng đổi, tứ giác đáy nằm mặt phẳng Oxy có diện tích: 1 1 S = SAOM + A AON = OM.AH + ON.AK = (m + n) = : không đổi 2 2 b) Phương trình mặt phẳng (SMN) x y z + + = ⇔ nx + my + mnz − mn = m n d(A, (SMN)) = n.1 + m.1 + − mn 2 n + m + m n = 1: không đổi Vậy (SMN) tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán knhs R=1 Bài tốn 15.25: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp S.ABCD có đáyABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết A(2;0; 0), B(0;1; 0),S(0; 0; 2) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Hướng dẫn giải a) C( −2;0;0), D(0; −1;0), M( −1; 0; 2) uuu r uuuu r SA = (2;0; −2 2), BM = ( −1; −1; 2) uuu r uuuu r cos(SA, BM) = cos(SA, BM) = ⇒ (SA, BM) = 30 o uuu r uuuu r uuur Ta có: SA.BM = (−2 2; 0; −2), AB = ( −2;1; 0) uuu r uuuu r uuur SA, BM  AB   = Nên d ( SA, BM ) = uuu r uuuu r SA, BM    Trang 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) MN PAB, CD nên N trung điểm SO, N(0; − ; 2) uuur uur uuu r SM = (−1; 0; − 2),SB = (0;1; −2 2),SN = (0; − ; − 2) uuu r uuur Và SA,SM  = (0; 2;0) Ta có: VS.ABM = uuu r uuur uur 2 SA,SM  SB = , VS.AMN =   uuu r uuur uuu r SA,SM  SN =   Vậy: VS.ABMN = VS.ABM + VS.AMN = Bài toán 15.26: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh đường thẳng qua G đỉnh tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh Gọi A’ trọng tâm tam giác BCD Chứng minnh GA =3 GA ' Hướng dẫn giải Ta giải phương pháp tọa độ Trong không gian tọa độ Oxyz, giả sử A(x1; y1; z1 ), B(x ; y ; z ), C(x ; y 3; z ), D(x ; y ; z ) trọng tâm A’ tam giác BCD, trọng tâm tứ diện G:  x + x + x y + y3 + y z + z + z  A ' ; ; ÷ 3    x + x + x + x y1 + y + y3 + y z1 + z + z3 + z  G ; ; ÷ 4   Do đó: uuur  3x − x − x − x 3y − y − y − y 3z − z − z − z  4 GA =  ; ; 4÷ 4   uuur  −3x + x + x + x 3y + y + y + y 3z + z + z + z  4 GA =  ; ; 4÷ 12 12 12   uuur uuuur GA =3 Suy ra: GA = −3GA ' ⇒ G, A, A ' thẳng hàng GA ' Tương tự có đpcm Bài toán 15.27: Cho tứ diện nội tiếp mặt cầu tâm O có AB=AC=AD Gọi G trọng tâm ∆ACD, E, F trung điểm BG, AE Chứng minh OF ⊥ BG ⇔ OD ⊥ AC Trang 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải AB=AC=AD OB=OC=OD ⇒ OA ⊥ (BCD) chân đường cao H với HB=HC=HD Chọn H làm gốc tọa độ, với hệ trục Hx, Hy, Hz cho HA trục Hz, HB trục Hy, HD trục Hx A(0;0;a), B(0; b;0), C(c1;c ;0)  c + d c + d2 a  D(d1;d ;0) O(0; 0; z) suy G  1 ; ; ÷ 3   c + d b c + d a   c + d b c + d 7a  E  1 ; + ; ÷; F  1 ; + ; ÷   12 12 12   uuu r  c + d b c + d 7a a  uuur  c + d c + d 2 ; − z ÷; BG =  1 ; − b; ÷ Và OF =  1 ; + 12 12 3  12   uuur uuur AC = (c1;c ; −a), OD(d1; d ; −z) Theo giả thiết OA = OB = OC = OD ⇒ OA = OB2 = OC = OD ⇔ (a − z) = b + z = c12 + c 22 + z = d12 + d 22 + z ⇔ a − 2az = b = c12 + c 22 = d12 + d 22 (1) uuu r uuur Ta có: OF.BG = ⇔ (c1 + d1 ) + (c + d ) − 9b + 7a − 12az = (2) Khải triển (2) thay (1) ta được: uuur uuur (2) ⇔ a + c1d1 + c 2d = ⇔ OD.AC = (dpcm) Bài tốn 15.28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Gọi I, J trung điểm A’D’ B’B a) Chứng minh IJ ⊥ AC ' Tính độ dài đoạn IJ b) Chứng minh D ' B ⊥ mp(A 'C ' D), mp(ACB') Tính góc hai đường thẳng IJ A’D Hướng dẫn giải Trang 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Chọn hệ tọa độ Oxyz cho A(0; 0;0), D(a; 0;0), B(0;a;0), A '(0;0;a) Ta có C '(a;a;a), B'(0;a;0), D '(a;0;a) nên: a a I( ;0; a); J(0;a; ) 2 ur a a a a Ta có: IJ = (0 − ;a − 0; − a) = ( − ;a; − ) 2 2 uuuu r AC ' = (a − 0;a − 0; a − 0) = (a;a;a) ur uuuu r a a 2 Nên IJ.AC ' = − a + a.a − a = −a + a = 2 2 a a a Vậy IJ ⊥ AC ' Đoạn IJ =  − ÷ + a +  − ÷ =  2  2 b) Để chứng minh D ' B ⊥ mp(A 'C ' D) , ta chứng minh uuuur uuuuu r uuuur uuuur uuuur uuuuu r uuuur uuuur D 'B ⊥ A 'C ', D ' B ⊥ A ' D ⇔ D ' B.A 'C ' = 0, D ' B.A ' D = uuuur uuuuur uuuur Ta có D ' B = ( −a;a; −a), A 'C ' = (a; a;0), A 'D = (a; 0; −a) uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuur Do D ' B.A 'C ' = 0, D 'B.A ' D = Tương twjj D ' B ⊥ mp(ACB') uuuur A 'D = (a; 0; −a) Gọi ϕ góc hai đường thẳng IJ A’D thì: ur uuuur a a ur uuuur IJ.A 'D − a + a.0 − ( −a) cos ϕ = cos(IJ, A ' D = = =0 IJ.A 'D a a 2 Vậy ϕ = 90o Bài tốn 15.29: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a, BC1 lấy điểm M uuuuu r uuuur uuuur cho D1M, DA1, AB1 đồng phẳng Tính diện tích S ∆MAB1 Hướng dẫn giải Chọn hệ Oxyz cho: B = 0, B1 (a;0;0), C1 (a;a;0), C(0;a;0), A(0;0;a), A1 (a;0;a), D1 (a;a;a), D(0;a;a) Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vì M ∈ BC1 nên gọi M(x;x;0) uuuuu r Ta có D1M = (x − a; x − a; −a) uuuur DA1 = (−a;a;0) uuuur AB1 = (a; 0; −a) uuuuu r uuuur uuuur Vì D1M, DA1, AB1 đồng phẳng nên uuuuu r uuuur uuuur 3a  3a 3a   D1M, DA1  AB1 = ⇒ x = ⇒ M  ; ;0÷    2  uuuu r  3a 3a  uuuur  a 3a  Nên MA =  − ; − ;a ÷; MB1 =  − ; − ; ÷     Vậy S = r uuur uuuuu a 19  MA1 , MB  =  2 Bài toán 15.30: Lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có chiều cao nửa cạnh đáy Điểm M thay đổi cạnh AB Tìm giá trị lớn góc A1MC1 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục hình vẽ (A1xyz) Đặt AM = x,0 ≤ x ≤ Ta có: M(x;0;a), A1 (0;0;0), C1(2; 2; 2) uuuur uuuur Nên MA ' = ( − x;0; −1), MC1' = (2 − x; 2; −1) uuuuu r uuuur · MC cos α = cos(MA , MC ) Đặt α = A 1 1 = x − 2x + 2 x + (2 − x) + = (x − 1) 2 x + (2 − x) + ≥0 · MC lớn x=1 tức M trung điểm AB Do α ≤ 90o Vậy góc α = A 1 Bài tốn 15.31: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=h, đáy tam giác ABC vuông uuu r uur C AC = b, BC = a Gọi M trung điểm AC N điểm cho SN = SB a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Tìm liên hệ a, b, h để MN vng góc với SB Hướng dẫn giải Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gôc O trùng với A, tia Ox trùng với tia AC, tia Oz trùng với tia AS cho điểm B nằm góc xOy Khi đó: b A(0; 0;0), C(b; 0;0), B(b; a; 0),S(0; 0; h), M( ;0;0) uur uuu r SB = (b;a; −h) Gọi N(x;y;z) SN = (x; y; z − h) uuu r uur Từ điều kiện SN = SB nên b a −h 2h  b a 2h  x = ;y = ,z −h = ⇒z= ⇒ N ; ; ÷ 3 3 3 3  uuuu r  b b a 2h   b a 2h  a) Ta có MN =  − ; ; ÷ =  − ; ; ÷ 3 3   3  2 Nên MN = b + a + 4h = b + 4a + 16h 36 9 uuuu r uur b) MN vng góc với SB MN.SB = ⇔ −b a −2h + + = ⇔ 4h = 2a − b 3 Bài tốn 15.32: Cho tứ diện S.ABC có SC = CA = AB = a 2,SC ⊥ (ABC) , tam giác ABC vuông A Các điểm M ∈ SA, N ∈ BC cho AM = CN = t(0 < t < 2a) a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA Hướng dẫn giải a) Ta chọn trục Oxyz cho gốc tọa độ O ≡ A Trục Ox chứa AC, trục Oy chứa AB trục Oz ⊥ (ABC) Khi cạnh SC song song với rục Oz ta có: A(0;0;0), B(0; a 2; 0), C(a 2;0;0),S(a 2;0; a 2) Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải t t 2  t t  M  ;0; ; N a − ; ;0 ÷ ÷  ÷  ÷ 2 2     ⇒ MN = 2(a − 2at + t ) + t2 t2 + = 3t − 4at + 2a 2 2 a  2a  2a = 3 t − ÷ + ≥  3  Vây MN ngắn 2a a t = 3 a a   2a a  ;0; b) Khi MN ngắn thì: M  ÷ ÷, N  ; ; ÷ ÷ 3     uuuu r a a a  ⇒ MN =  ; ;− ÷ 3 ÷   uuuu r uuu r  MN.SA = ⇒ dpcm r uuur Ta có  uuuu MN.BC = Bài tốn 15.33: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc α Tìm tan α để SA vng góc SC Hướng dẫn giải Chọn hệ trục Oxyz có O tâm đáy ABCD, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa S Ta có: a   a  A  ;0;0 ÷ ÷, B  0; ;0 ÷ ÷      a   a   a  C  − ;0;0 ÷ , D  0; − ;0 ÷ ,S  0;0; tan α ÷ ÷ ÷ 2       uuu r a  uur  a a  a ; 0; − tan α ÷ ,SB = 0; ; − tan α Nên SA =   ÷ ÷  ÷ 2     uur  a r   uuu  a a a SC =  − ; 0; − tan α ÷ ,SD = 0; − ; − tan α  ÷ ÷  ÷ 2 2     Ta có SA ⊥ SC Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải uuu r uur a2 a2 a2   ⇔ SA.SC = ⇔ − + tan α = ⇔  tan α − ÷ = 2  ⇔ tan α = ⇒ tan α = Bài toán 15.34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N,P điểm chia đoạn thẳng AB, D’D B’C’ theo tỉ số k ≠ 0,1 Chứng minh mp(MNP) luôn song song với mp(AB’D’) Hướng dẫn giải Đặt A 'B ' = a, A ' D ' = b, AA ' = c Ta dùng phương pháp tọa độbằng cách chọn hệ trục tọa độ với gốc là: A '(0;0;0) cho B '(a;0;0), D '(0; b;0), A(0;0;c) Ta có C '(a; b;0), B(a;0;c), D(0; b; c), C(a; b;c) Các điểm M,N,P chia đoạn thẳng AB, D’D, B’C’ theo tỉ số k nên: −kc   −kb   ka   M− ; 0;c ÷, N  0; b; ;0÷ ÷, P  a; 1− k   1− k   1− k   uuuu r  ka r   uuu −1 kc  ; b; − c ÷, NP =  a; b; Do MN =  ÷ c−k   1− k  a − k 1− k  uuuu r uuu r  −k + k − k + k − −k + k −  bc; ca; ab ÷ Ta có:  MN, NP  =  2 ÷ (1 − k) (1 − k) (1 − k)   r Nên mp(MNP) có vecto pháp tuyến n = (bc; ca; ab) Mặt phẳng (AB’D’) có phương trình r 1 1 x y z + + = có vecto pháp tuyến n =  ; ; ÷ a b c a b c bc ca ab = = = abc 1 Vì M, N, P ∈ (AB ' D ') k ≠ nên: mp(MNP) Pmp(AB' D ') a b c Bài toán 15.35: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI) Hướng dẫn giải Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ tâm O đáy, trục Ox chứa OA, trục Oy chứa OB, trục Oz chứa SO Khi đó: a   a   a  A  ;0; ÷ , B 0; ; , C − ; 0;  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷,S ( 0;0; h ) 2       h  Ta có giao điểm M SO AI trọng tâm tam giác SAC nên M  0; 0; ÷ Mặt phẳng 3  x qua A, B, MI mặt phẳng (ABM) nên có phương trình là: a 2 + y a 2 + z =1 h Do khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABM) là: d= 2ah = 2 4h + 9a + + a2 a2 h2 Bài toán 15.36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = a, AD = a 2,SA = a, SA vuông góc (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC, gọi I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) ⊥ (SBM) tính thể tích khối ANIB Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ S(0;0;a), A(0;0;0), B(a;0;0), C(a; a 2;0) Thì D(0;a 2; 0), M(0; Vì a a a a ;0), N( ; ; ) 2 2 IA IM AM = = = IC IB BC ⇒ IA = AC uuuu r uur a a a ⇒ I( ; ; 0), BM(−a; ;0), BS( −a; 0; a) 3 Mặt phẳng (SBM) có vecto pháp tuyến: Trang 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải uu r uuuu r uuur  a 2 a 2  n1 =  BM, BA  =  ;a ; ÷  2 ÷   Mặt phẳng (SBM) có vecto pháp tuyến: uur uuu r uuur n =  AS, AC  = −a 2; a ; uu r uur Vì n1.n = nên mặt phẳng (SAC), (SMB) vng góc ( ) uur uuur  a a  uuur ; ;0 ÷, AB = (a; 0; 0) Ta có:  AI, AN  =  − ÷   VANIB = uur uuur uuur a  AI, AN  AB = (dvtt)   36 Bài toán 15.37: Cho tứ diện (T) có đỉnh có tọa độ (x i ; yi ; zi ) với ≤ i ≤ , nội tiếp mặt cầu đơn vị Chứng minh: 4 i =1 i =1 i =1 4 i =1 i =1 i =1 ∑ xi2 = ∑ yi2 = ∑ zi2 = ∑ x i yi = ∑ yi zi = ∑ zi x i = Hướng dẫn giải Ta kiểm tra kết luận cho trường hợp tứ diện Ao Bo Co Do có đỉnh 2   1 1 1 A o (0;0;1), B o  ;0; − ÷ , C − ; ; − , D − ; − ;− ÷  ÷  o o ÷  3 ÷  3 3 3÷       Bây ta chứng minh khẳng dịnhđúng cho tứ diện ABCD có đỉnh (x i ; yi ; zi ) Đầu tiên, ta quay (T) quanh trục z đỉnh nằm mặt phẳng (Oyz) Tiếp theo, ta quay quanh trục Ox đỉnh trùng với điểm A o (0;0;1) Sau đó, lại quanh quanh trục Oz (T) trùng với tứ diện Ao Bo Co Do nói ⇒ dpcm Bài tốn 15.38: Cho hai điểm A(3;1;0), B(−9; 4;9), mp(α) : 2x − y + z + = Tìm tọa độ điểm M (α) cho MA − MB đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải Trang 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Đặt f (x; y; z) = 2x − y + z + f (x A , y A , z A ).f (x B , y B , z B ) < nên hai điểm A, B khác phía mặt phẳng (α) Gọi A’ điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng (α) Ta có: MA − MB = MA '− MB ≤ A 'B (Không đổi) A 'H : x = + 2t, y = − t, z = t nên H(3 + 2t;1 − t; t) thuộc (α) suy t = ⇒ H(1; 2; −1) Do A '(−1;3; −2)  x = −1 + 8t  Đường thẳng A’B có phương trình  y = − t z = −2 − 11t   x = −1 + 8t y = − t  ⇒ t = ⇒ M(7; 2; −13) Điểm M(x;y;z) thỏa mãn hệ:   z = −2 − 11t  2x − y + z + = Bài toán 15.39: Cho điểm A(1; 0;3), B( −3;1;3), C(1;5;1) M(x;y;0) Tìm giá trị nhỏ uuuu r uuuu r uuur T = MA + MA + MC Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm BC uuur uuur uuu r ⇒ I(−1;3; 2) ⇒ MB + MC = 2MI ⇒ T = 2(MA + MI) z A = > 0 và  z I = > ⇒ A I nằm phía mp(Oxy) M(x;y;0) thuộc mp(Oxy) nên lấy đối xứng I(-1;3;2) qua mp(Oxy) thành J(-1;3;-2) ⇒ MI = MJ ⇒ T = 2(MA + MJ) ≥ 2AJ = 38 Dấu = xảy M giao điểm đoạn MJ với mp(Oxy) thành J(-1;3;-2) ⇒ MI = MJ ⇒ T = 2(MA + MJ) ≥ 2AJ = 38   Dấu = xảy M giao điểm đoạn MJ với mp(Oxy) M  − ; ;0 ÷   Vậy T = 38 Bài toán 15.40: Cho A(2; −2;1), B(0; 2; −3) Tìm điểm M thuộc Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  x = + 2t  d :  y = − t cho MA + MB bé z = + t  Hướng dẫn giải Ta tìm hình chiếu A’B’ A, B lên d Ta có M thuộc d M(1 + 2t; − t;1 + t) AM = (2t − 1) + (4 − t) + t = 6t − 12t + 17 = 6(t − 1)2 + 11 ≥ 11 AM bé t=1, M hình chiếu A’(3;1;2) Tương tự BM = 6t + 12t + 17 = 6(t + 1) + 11 ≥ 11 BM BM bé t=1, M hình chiếu B’(-1;3;0) Trên mp(A,d) lấy điểm B1 cho B1 A khác phía d, B1B ' ⊥ d Với M thuộc d: MA + MB = MA + MB1 ≥ AB1 : khơng đổi, MA + MB bé M giao điểm AB1 với d Ta có AA ' PB1B' nên M chia đoạn A’B’ theo tỉ số: k=− AA ' 11 =− = −1 ⇒ M(1; 2;1) B1B' 11 Bài tốn 15.41: Tìm giá trị bé của: f (x; y) = (x − 1) + (y + 3) + + (x − 2) + (y + 4) + 25 Hướng dẫn giải Trong không gian Oxyz, xét M(x;y;0) điểm cố định A(1; −3;3), B(2; −4; −5) khác phía với mp(Oxy) Ta có: f (x; y) = MA + MB ≥ AB = 66 Giá trị bé f (x; y) = 66 M giao điểm đoạn AB với mặt phẳng Oxy Bài toán 15.42: Cho số thức a1; b1;c1;a ; b ;c ;a ; b3 ;c3 thỏa mãn: a1 + a + a = 3b1 + b + b3 = 4c1 + c2 + c3 = 12 Chứng minh bất đẳng thức: Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a12 + b12 + c12 + a 22 + b 22 + c 22 + a 32 + b32 + c32 ≥ 13 Hướng dẫn giải Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, chọn điểm: A(a1; b1;c1 ), B(a1 + a ; b1 + b ;c1 + c ), C(a1 + a + a ; b1 + b + b ;c1 + c + c3 ) hay C(3; 4;12) có: OA = a12 + b12 + c12 ; AB = a 22 + b 22 + c 22 ; BC = a 32 + b32 + c32 Nên ta có: a12 + b12 + c12 + a 22 + b 22 + c 22 + a 32 + b32 + c32 = OA + AB + BC ≥ OC = 13 3.BÀI LUYỆN TẬP r r ur r 2π Bài tập 15.1: Cho u = 2, v = , góc hai vecto u  v Tìm k để vecto r r r r r r p = ku + 17v vng góc với vecto q = 3u − v Hướng dẫn Điều kiện tích vô hướng Kết k = 40 Bài tập 15.2: Cho tam giác ABC có A(1;0; 0), B(0;0;1), C(2;1;1) Tính chu vi, diện tích độ dài đường cao H Hướng dẫn Dùng công thức Kết + + 5; 30 ; AH = Bài tập 15.3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có điểm A(1;0;1), B(2;1; 2), D(1; −1;1), C '(4;5; −5) Tìm điểm lại Hướng dẫn Vì hình hộp ABCD.A’B’C’D’ nên ABCD hình bình hành Kết C(2;0; 2), A '(3;5; −6), B'(4;6;5), D '(3; 4; −6) Bài tập 15.4: Cho tứ diện ABCD có A(1; 0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D( −2;1; −2) a) Tính góc đường thẳng chứa cạnh đối tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao AH tứ diện Hướng dẫn Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur 17 17 a) Kết cos(AB, CD) = ; cos(AB, CD) = 0; cos(AB, CD) = 14 14 3V = b) Kết V = (dvtt); AH = SBCD Bài tập 15.5: Cho điểm A(2; −4; 2), B(0; 2; −2), C(4;8;0), D(6; 2; 4) Chứng minh ABCD hình thoi, tính diện tích bán kính r đường tròn nội tiếp hình thoi Hướng dẫn Chứng minnh ABCD hình bình hành có cạnh liên tiếp Kết SABCD = 2736, r = 171 14 Bài tập 15.6: Chứng tỏ mặt phẳng (α), (β, ( γ ), (δ) sau mặt phẳng bốn mặt hình hộp chữ nhật: (α) : 7x + 4y − 4z + 30 = 0, (β) : 36x − 51y + 12z + 17 = ( γ ) : 7x + 4y − 4z − = 0, (δ) :12x − 17y + 4z − = Hướng dẫn Chứng minh: (α) P( γ ), (β) P(δ), (α) ⊥ (β) Bài tập 15.7: Chứng minh đường thẳng d k giao tuyến mặt phẳng: x + kz − k = 0, (1 − k)x − ky = 0, k ≠ nằm mặt phẳng cố định Hướng dẫn Khử tham số k hai phương trình mặt phẳng Kết (P) : x + y + z − = Bài tập 15.8: Tìm điểm M trục Oz trường hợp sau: a) M cách điểm A(2;3; 4) mặt phẳng 2x + 3y + z − 17 = b) M cách hai mặt phẳng x + y − z + = x − y + z + = Hướng dẫn a) Điểm M trục Oz nên M ( 0;0; z ) Kết M ( 0;0;3 ) b) Điểm M trục Oz nên M ( 0;0; z ) Kết M ( 0; 0; −2 ) Bài tập 15.9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh BB’, CD, AD’ lấy điểm M,N,P cho: B' M = CN = DP = ka(0 < k < 1) Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Tính diện tích tam giác MNR theo k a b) Xác định vị trí M BB’ để diện tích MNP có giá trị bé Hướng dẫn a) Chọn hệ trục tọa độ Axyz Kết SMNP = a2 (k − k + 1) b) Kết M trung điểm BB’ Bài tập 15.10: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M trung điểm AD, N tâm hình vng CC1D1D Tìm bán kính mặt cầu qua đểm B, C1 , M, N Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Axyz Kết R = a 35 Bài tập 15.11: a) Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) cho MA + MB nhỏ với A( −1;6;6), B(3; −6; −2) b) Tìm điểm H BC cho AH bé với A(4; 2;6), B(4; −4; 0), C(10; −2; 4) Hướng dẫn a) Điểm M thuộc mp(Oxy) nên M ( x; y;0 ) Kết M ( 2; −3;0 ) 55 19 18 b) Kết H( ; − ; ) 77 7 Bài tập 15.12: Cho A(1; 4;5), B(0;3;1), C(2; −1; 0) mặt phẳng (P) : 3x − 3y − 2z − 15 = Tìm điểm M thuộc (P) để: a) MA + MB2 + MC2 bé b) MA + 1975.MB + 2015.MC bé Hướng dẫn a) Dùng trọng tâm G tam giác ABC Kết M(4; −1;0) uur uur uur b) Dùng tâm tỉ cự I hệ điểm: IA + 1975IB + 2015IC = Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  81 13 33  Vậy hình chiếu có tọa độ H  ; ; ÷  25 25  Bài tốn 15. 9: a) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc trục Oy tứ diện ABCD... chung với mặ cầu Ứng dụng giải toán khơng gian: Đưa tọa độ Oxyz vào tốn hình học không gian túy, cách chọn hệ trục thuận lợn để giải tốn CÁC BÀI TỐN Bài tốn 15. 1: Cho hình bình hành ABCD với A(−3;... Hướng dẫn giải Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ tâm O đáy, trục Ox chứa OA, trục Oy chứa OB, trục Oz chứa
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 15 tọa độ KHÔNG GIAN lê hoành phò file word , Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 15 tọa độ KHÔNG GIAN lê hoành phò file word

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay