Bài 1: Tính tích phân sau 1) 2) I= I= π /3 cos x dx sin x − sin x + /6 ∫ π Đs: I = ln sin x dx + cos x Hd: Đặt t = cos x Đs: I = sin x dx sin x + cos x Hd: Đặt t = sin x + cos x Đs: I = ln Hd: Đặt t = x + Đs: I = ln 2 Hd: Đặt t = + x Đs: I = 141 10 Hd: Đặt t = ln x Đs: I = dx Hd: Đặt t = + e x Đs: I = ) Hd: Đặt t = − x Đs: I = 168 Đs: I = π Hd: Đặt t = + x Đs: I = 848 105 sin x cos x dx + cos x Hd: Đặt t = cos x Đs: I = 1 − ln 2 cos x dx − sin x + sin x Hd: Đặt t = sin x Đs: I = ln Hd: Đặt t = sin x Đs: I = Hd: Đặt t = + ln x Đs: I = 10 − 11 − sin x dx + sin x Hd: Đặt t = + sin x Đs: I = ln 2 sin x dx − cos x Hd: Đặt t = − cos x Đs: I = ln π /3 ∫ 3) I= π /6 ∫ 4) I= ∫x x2 +1 5) I= x3 ∫ 1+ x2 dx dx e 6) + ln x I=∫ dx x ln 7) I= ∫ + ex 8) ( ) 5( − ) 36− Hd: Đặt t = sin x ( I = ∫ x − x dx 5 + ln ln (2 − )( (2 + )( ) 2) 3+ 3− Hd: Đặt 9) I=∫ x dx x + x2 +1 t = x2 ;t + = tan u 2 10) I= ∫x + x dx 11) I= π /2 ∫ 12) I= π /6 ∫ 13) I= π /2 cos x ∫ + cos x 14) 15) I= I= e π /4 ∫ 16) I= 3− 2ln x ∫x π /4 ∫ 1+ 2ln x dx dx 10 π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ln 17) I= ex ∫ (e x 18) x 1+ x +1 e 20) I=∫ ln 21) e2x ex −1 ln 22) I= dx Hd: Đặt t = x + Đs: I = ln Hd: Đặt t = x + Đs: I = 11 − ln Hd: Đặt t = + ln x Đs: I = 116 135 Hd: Đặt t = e x − Đs: I = 20 Hd: Đặt t = x + Đs: I = 3 + ln Hd: Đặt t = + x Đs: I = 3−2 Hd: Đặt t = x + Đs: I = 2 −1 dx + ln x ln x dx x ∫ I= Đs: I = − x x +4 I=∫ Hd: Đặt t = e x + 19) dx ∫ I= ) +1 ∫1+ dx x3 x +1 dx 23) I = ∫ x 2 + x dx 24) I = ∫ x x + 1dx Bµi 2: TÝnh tích phân sau 1/ 1) x2 I= x dx Hd: Đặt x = sin t §s: I = π − Hd: Đặt x = sin t Đs: I = π + 24 Đs: I = π 2) I = ∫ x − x dx 2/ 3) ∫ I= 4) I= I= Hd: Đặt x = sin t ∫ Đs: I = − + ∫ 1+ x dx 1− x Hd: Đặt x = cos 2t Đs: I = − Hd: Đặt x = a cos 2t  π Đs: I = a1 −  4  Hd: Đặt x = tan t Đs: I = Hd: Đặt x = sin t Đs: I = π + 6) dx Hd: Đặt x = tan t −1 I = x x −1 + 3x dx x2 5) ∫ −a a+x dx a −x ( a > 0) 7) I = ∫ x x + 1dx 2+ ln 32− ( ) π 2 −1 3 8) I= ∫ − x dx −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 9) ∫ I= −3 2 10) I= ∫ 2 11) I=∫ (9 − x ) x x −9 dx Hd: Đặt x = cos t Hd: Đặt x = dx dx + x2 sin t Hd: Đặt x = tan t Đs: I = Đs: I = Đs: I = 3+ 27 π 36 π LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1: Tính tích phân sau 1) I= π /3 cos x dx / sin x − sin x + ∫ π LG Đặt sinx = t ⇒ cosxdx = dt Đổi cận: x π π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word t ∫t I= 2 dt = − 5t + Vậy I = ln 2) I= π /3 ∫  = ( ln t − − ln t − ) −3 = ln − ln −2  dt ∫ ( t − 2) ( t − 3) = ∫  t − − t − ÷ dt 2 t− = ln t− 2 −3 6− 3− = ln − ln = ln 3− 4− −2 ( ( ) ) ( ) 5( − ) 36− sin3 x dx = + cos x π /3 ∫ 1− cos2 x sin xdx + cos x LG: Đặt cos x = t ⇒ sin xdx = −dt Đổi cận: x t π 1 1 2 1− t2 −t2 +   (−dt) = ∫ dt = ∫  −t + − ÷dt + t t + t +   1 I =∫  t2  5    =  − + 2t − 3ln t + ÷ =  − + − 3ln3÷−  − + 1− 3ln ÷ 2    1  2 = 5 − 3ln3− + 3ln = + 3ln 8 5 Vậy I = + 3ln http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3) I= π /6 ∫ sin2x dx = 2sin x + cos2 x π /6 ∫ 2sin xcos x dx 2sin2 x + cos2 x LG: 2 Đặt 2sin x + cos x = t ⇒ ( 4sin xcos x − 2cos xsin x) dx = dt ⇔ 2sin xcos xdx = dt Đổi cận: π x t 5 dt 5 = ln t 14 = ln − ln1= ln t 4 I =∫ Vậy: I = ln 4) ∫x I= dx = x +1 ∫x x dx x2 + LG: Đặt x2 + = t ⇒ x2 = t2 − ⇒ xdx = tdt Đổi cận: x t I =∫ 3 ( 3 tdt dt  1  t −1 = = − dt = ln  ÷ ∫ ∫ t+1 t2 − t ( t − 1) ( t + 1) 2  t − t + 1 ) 1 1 =  ln − ln ÷ = ln 2 3 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy: I = ln 2 5) I= x3 ∫ 1+ x2 dx = ∫ x2 1+ x2 xdx LG Đặt 1+ x2 = t ⇒ x2 = t3 − 1, 2xdx = 3t2dt Đổi cận: x t 2 t − 13t2 3  t5 t2  I =∫ dt = ∫ t4 − t dt =  − ÷ = t 20 2  0 Vậy I = ( )  32  33 − 2÷ =   33 6) e + ln x dx x I=∫ LG Đặt lnx = t ⇒ dx = dt x Đổi cận: x t I =∫ ( e 1  t3  1+ t dt =  + t ÷ =  0 Vậy I = ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 7) ln ∫ I= + ex dx LG: + ex = t ⇒ + ex = t2 ⇒ dx = Đặt 2tdt t2 − Đổi cận: x t ln2 2 dt dt  1  = 2∫ = −  ÷dt ∫ t − 2 t − t +   t − t + 3 I = 2∫ I= = 8) ( ln ln (2 − )( (2 + )( t− ( ) 3+ 3− = t+ )( 2) 2) )  2− −   −  −  − ln ln  ln ÷= ÷ ÷ + ÷ ÷  + 3+ ÷ 2 +     ( ) I = ∫ x5 1− x3 dx = ∫ x3 1− x3 x2dx 0 LG: Đặt 1− x = t ⇒ x dx = dt , x = 1− t −3 Đổi cận: x t 1 1 1 1 t7 t8  I = ∫ (1− t)t6dt = ∫ (t6 − t7 )dt =  − ÷ 30 30 3  1 1  =  − ÷= 3 8 168 Vậy I = 168 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 9) x dx x + x2 +1 I=∫ LG Đặt x2 = t ⇒ 2xdx = dt Đổi cận: x t 0 1 dt dt = 2∫ 2 t + t + 1 0  t + 2÷ +   I = 2∫ Đặt t + 3 = tanu ⇒ dt = tanu 2 Đổi cận: t u π π ⇒ I = 2∫ π = I= ∫ π π 3 du 4 = du = ∫ cos u tan2 u + π π 6 ( )  π π  3π − =  ÷  Vậy I = 10) π 3π ( ) x5 1+ x2 dx = ∫ x2 1+ x2 xdx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word LG: Đặt 1+ x2 = t ⇒ 1+ x2 = t2, xdx = tdt Đổi cận: x t ( ) 2 I = ∫ t − t.tdt = ∫ (  t7 t5 t3  t − 2t + t dt =  − + ÷ 31 7 )  27 25 23   17 15 13  848 =  − + ÷−  − + ÷ = 3   105  Vậy I = 848 105 11) I= π /2 ∫ sin x.cos3 x dx = 1+ cos2 x π /2 ∫ cos2 x.sin xcos x dx 1+ cos2 x LG Đặt 1+ cos2 x = t ⇒ −2cos xsin x = dt Đổi cận: x t π 2 −1 ( t − 1) dt 2 t−1  1 ⇒I =∫ = ∫ dt = ∫  1− ÷dt = ( t − ln t ) t 21 t 1 t 2 = Vậy I = 12) I= π /6 ∫ 1 ( 2− ln2) − ( 1− ln1)  = [ 1− ln2] 2 1 − ln 2 cos x dx − sin x + sin x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word LG Đặt sin x = t ⇒ cos xdx = dt Đổi cận: π x t 2 1 2 dt dt   I =∫ =∫ = ∫ − ÷dt t − t + t − t − t − t − ( ) ( )   0 −3 t− −3 10 = ln = ln − ln = ln − ln = ln t− −2 2 −2 2 Vậy I = ln 13) I= π /2 10 cos x ∫ 7+ cos2x dx = π /2 ∫ cos x dx = 8− 2sin2 x π /2 ∫ cos x − sin2 x dx LG Đặt sin x = t ⇒ cos xdx = dt Đổi cận: x I= t 1 ∫ π dt − t2 Đặt t = 2sinu ⇒ dt = 2cosudu Đổi cận: t u 0 π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 π ∫ 2 I= 2cosudt 1− sin u = π 1 ∫ du = 2 π u = π π Vậy I = 14) e 3− 2ln x ∫x I= 1+ 2ln x dx LG: Đặt 1+ 2ln x = t ⇒ 1+ 2ln x = t ; dx = tdt x Đổi cận: t u I= ∫ e t2 − tdt = I = t 3− 2 ∫(  t3  − t dt =  4t − ÷ 31  )  2   10 − 11 =  − −  4− ÷ = ÷ ÷   3  Đs: I = 15) I= π /4 ∫ 10 − 11 1− 2sin2 x dx = 1+ sin2x π /4 cos2x ∫ 1+ sin2xdx LG Đặt 1+ sin2x = t ⇒ 2cos2xdx = dt Đổi cận: t u π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 11 2 dt ln2 I = ∫ = lnt = 21 t 2 Vậy: I = ln 2 16) I= π /4 ∫ sin x dx − cos x LG Đặt − cos2 x = t ⇒ 2cos xsin xdx = dt Đổi cận: x t π 7 dt 7 = ln t 32 = ln − ln3 = ln t I =∫ Vậy I = ln 17) ln I= ∫ ex (e x ) +1 dx LG ex + = t ⇒ ex + 1= t2; exdx = 2tdt Đặt Đổi cận: x t I= 2 3ln 2tdt dt −2 ∫ t3 = ∫ t2 = t 2 2 = −1+ Vậy I = − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 12 18) I= ∫ dx = x x2 + ∫ x dx x2 x2 + LG x2 + = t ⇒ x2 + = t2; xdx = tdt Đặt Đổi cận: t u 3 4 I =∫ tdt  1  t− = ∫ + dt = ln ÷ t+ t − t  t − t + 2 ( = ) 1 1 ln − ln ÷ = ln  4 5 Vậy I = ln 19) I=∫ x 1+ x +1 dx LG x + = t ⇒ x + 1= t2; dx = 2tdt Đặt Đổi cận: x t 3  t3 t2  t −1 I = 2∫ tdx = ∫ t2 − t dx = 2 − ÷ 1+ t  2 2 ( )  3  2  = 2 − ÷−  − 1÷ = − + −  ÷ 2  3    Vậy: I = −1+ − 20) e I=∫ + ln x ln x dx x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 13 LG Đặt 1+ 3ln x = t ⇒ 1+ 3ln x = t ; dx = tdt x Đổi cận: x t 1 e 2 t2 − 12 2  t5 t3  I = ∫ t tdt = ∫ t − t dt =  − ÷ 3 91 9  1 ( )  25 23   1  116 =  − ÷−  − ÷ =    3  135 116 135 Vậy I = 21) ln e2x ∫ I= ex −1 ln dx LG ex − = t ⇒ ex = t2 + 1; exdx = 2tdt Đặt Đổi cận: x t 2ln 5ln 2  23  t3    13   20 t +1 I = 2∫ tdt = 2∫ t2 + dt = 2 + t ÷ = 2 + 2÷−  + 1÷ = t  1    1  2 Vậy: I = 22) I= ( 20 ∫1+ ) x3 x4 +1 dx LG Đặt 3 x4 + = t ⇒ x4 + 1= t3; x3dt = t2dt Đổi cận: x t 2 2  t2dt    t2 I= ∫ = ∫  t − 1+ dt =  − t + ln t + ÷ ÷ 1+ t  1+ t  4 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 14 =   12    22  3 − + ln +  ÷−  − 1+ ln1+ ÷ =  ln3+ − ln2 = ln +  2   2   Vậy: I = 3 + ln 23) I = ∫ x 2 + x dx LG + x3 = t ⇒ + x3 = t2; x2dx = Đặt tdt Đổi cận: x t 2 I = ∫ t.tdt = t3 Vậy I = 24) 3 = ( 3− 2 ) 3−2 I = ∫ x x + 1dx LG x2 + = t ⇒ x2 + 1= t2; xdx = tdt Đặt Đổi cận: x t 1 2 t3 2 I = ∫ t dx = = − 31 3 Vậy I = 2 −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mi nht 15 Bài 2: Tính tích ph©n sau 1) 1/ x2 ∫ I= 1− x2 dx LG Đặt x = sint dx = costdt §ỉi cËn: x t π 2 π π π π sin t 1  costdt = ∫ sin2 tdt = ∫ (1− cos2x)dt =  t − sin2x÷ cost 20 2 0 0 I=∫ 1 π 1 =  − ÷ 2 2 1 π 1 VËy I =  − ÷ 2 2 2) I = ∫ x − x dx LG Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt Đổi cận: x t π π π π π 6  2 I = ∫ 4sin2 t.2cost.2costdt = 4∫ sin2 2tdt = 2 t − sin4t ÷  π π π  π π 3   π  = 2 − 0÷−  − = +  ÷   ÷      3  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 16 π 3 Vậy I = 2 +  3  3) 2/ ∫ I= x x2 −1 dx LG − cost − cot t ⇒ dx = dt = dt sint sin t sint Đặt x = Đổi cận: x t π π π π π sint − cot t dt = ∫ dt = t π2 cot t sint π I=∫ π = π π π − = Vậy I = I= ∫ π 9+ 3x2 dx = x2 ∫ 3+ x2 dx x2 LG 4) Đặt x = 3tant ⇒ dx = dt cos2 t Đổi cận: x t π π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 17 I= 3 3+ x2 dx x2 ∫ I= 5) ∫ −1 1+ x dx 1− x LG Đặt x = cos2t ⇒ dx = sin2tdt Đổi cận: x t -1 π − π I = −2 ∫ − π π π 1+ cos2t 1+ cost sin2tdt = −2 ∫ sin2tdt = 1− cos2t 1− cos2t π − 6) I = ∫ −a a+x dx a −x ( a > 0) LG Đặt x = acos2t ⇒ dx = −2asin2tdt Đổi cận: x t π I = −∫ π -a π π π π π a + acos2t 2cos t 2asin2tdt = −4a∫ sin t cos tdt = − a cos tdt = − a ∫ ∫π (1+ cos2t)dt a − acos2t 2sin2 t π π 2 2 π  π  2   π 1  π 1 aπ = 2a t + sin2t÷ = 2a  + 0÷−  + ÷ = 2a  −  = −a  π  2      http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 18 7) I = ∫ x x + 1dx 8) I= ∫ − x dx −1 LG Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt Đổi cận: x t I= π 3 π π ∫ − -1 π − π π − 4sin2 t.2costdt = ∫ 2cos2 tdt = ∫ ( 1+ cos2t) dt − π − π π  π π 3  π  3  3 = 2 t + sin2t ÷ = 2 + − − − = +  ÷  ÷   =π + ÷  ÷ 2   −π       ∫ I= ( 9− x ) −3 2 9) dx LG Đặt x = 3sint ⇒ dx = 3costdt Đổi cận: x t I= π ∫ − π π −3 2 π − 3costdt ( 9− 9sin t) = π ∫ − π 3costdt 3cos3 t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 19 = π ∫ − π π dt = tan t +1 π = − cos t 10) I= ∫ x x2 − dx 11) I=∫ dx + x2 LG Đặt x = 2tant ⇒ dx = 2(tan2 t + 1)dt Đổi cận: x t 0 π π 1 π4 π 2(tan t + ) dt = t = + 4tan2 t I=∫ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 20 ... liệu file word 9) ∫ I= −3 2 10) I= ∫ 2 11) I=∫ (9 − x ) x x −9 dx Hd: Đặt x = cos t Hd: Đặt x = dx dx + x2 sin t Hd: Đặt x = tan t Đs: I = Đs: I = Đs: I = 3+ 27 π 36 π LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1:... TIẾT Bài 1: Tính tích phân sau 1) I= π /3 cos x dx / sin x − sin x + ∫ π LG Đặt sinx = t ⇒ cosxdx = dt Đổi cận: x π π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word t ∫t I= 2... Đặt sin x = t ⇒ cos xdx = dt Đổi cận: x I= t 1 ∫ π dt − t2 Đặt t = 2sinu ⇒ dt = 2cosudu Đổi cận: t u 0 π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 π ∫ 2 I= 2cosudt 1−