 BÀi 03 Tích vectơ với số Định nghĩa r r r Cho số k �0 vectơ a �0 Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu r r r ka, hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài r k a Tính chất r r Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có r r r r k a + b = ka + kb ;  r r r  ( h + k) a = + ka ; r r h( ka) = ( hk) a ;  r r r r  1.a = a, ( - 1) a = - a ( ) Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác a) Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có uuur uuur uuu r MA + MB = MI b) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có uuu r uuu r uuu r uuuu r GA + GB +GC = 3MG Điều kiện để hai vectơ phương r r r r Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b b �0 phương có số k r r để a = kb Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k khác uuu r uuur để AB = k AC ( ) Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương r r r Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích r r cách theo hai vectơ a b, nghĩa có cặp số r r r h, k cho x = + kb CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uur uur Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA = a Tính 2OA - OB ( A a ) B 1+ a C a D 2a Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA = a Khẳng định sai ? uur uur uur uur A 3OA + 4OB = 5a B 2OA + 3OB = 5a uur uur uur uur C 7OA - 2OB = 5a D 11OA - 6OB = 5a Vấn đề PHÂN TÍCH VECTƠ Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, I trung điểm AM Khẳng định sau ? uur uur uur r uur uur uur r A IB + 2IC + IA = B IB + IC + 2IA = uur uur uur r uur uur uur r C 2IB + IC + IA = D IB + IC + IA = Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, I trung điểm AM Khẳng định sau ? uur uuu r uuur uur uuu r uuur A AI = AB + AC B AI = AB - AC 4 uur uuu r uuur uur uuu r uuur C AI = AB + AC D AI = AB - AC 4 Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau ? uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A AG = AB + AC B AG = AB + AC 3 uuur uuu r uuur uur uuu r uuur C AG = AB + AC D AI = AB + 3AC 3 Câu Cho tứ giác ABCD, cạnh AB, CD lấy điểm M , N uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuuu r cho AM = AB 3DN = DC Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r A MN = AD + BC B MN = AD - BC 3 3 uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r C MN = AD + BC D MN = AD + BC 3 3 Câu Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Gọi M N trung điểm AD BC Khẳng định sau sai ? uuuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur A MN = MD +CN + DC B MN = AB - MD + BN uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r C MN = AB + DC D MN = AD + BC 2 Câu Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm AB Khẳng định sau ? uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r A DM = CD + BC B DM = CD - BC 2 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r C DM = DC - BC D DM = DC + BC 2 Câu Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB cho 3AM = AB N uuuu r uuur uuu r trung điểm AC Tính MN theo AB AC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r A MN = AC + AB B MN = AC - AB 3 uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r C MN = AB + AC D MN = AC - AB 3 M , N ABC , Câu 10 Cho tam giác hai điểm chia cạnh BC theo ba phần uuur uuuu r uuu r BM = MN = NC Tính AM theo AB AC uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur A AM = AB + AC B AM = AB + AC 3 3 uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur C AM = AB - AC D AM = AB - AC 3 3 uuu r uuuu r Câu 11 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Tính AB theo AM uuu r BC uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r A AB = AM + BC B AB = BC + AM 2 uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r C AB = AM - BC D AB = BC - AM 2 Câu 12 Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN Khi đó: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A AK = AB + AC B AK = AB - AC 4 uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur C AK = AB + AC D AK = AB - AC 6 uuur uuu r uuu r Câu 13 Cho hình bình hành ABCD Tính AB theo AC BD uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r A AB = AC + BD B AB = AC - BD 2 2 uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r C AB = AM - BC D AB = AC - BD 2 r r uuur r uuu Câu 14 Cho tam giác ABC đặt a = BC, b = AC Cặp vectơ sau phương ? r r r r r r r r A 2a + b, a + 2b B 2a - b, a - 2b r r r r r r r r C 5a + b, - 10a - 2b D a + b, a - b uuur uuur uuur Câu 15 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA = MB + MC Khẳng định sau ? A Ba điểm C, M , B thẳng hàng � B AM phân giác góc BAC C A, M trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng uuuu r uuu r r D AM + BC = Vấn đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 16 Cho tam giác ABC có G trọng tâm I trung điểm BC Đẳng thức sau ? uur uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r uur A GA = 2GI B IG = - IA C GB + GC = 2GI D GB + GC = GA Câu 17 Cho tam giác ABC có G trọng tâm M trung điểm BC Khẳng định sau sai ? uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r A GA = AM B AB + AC = 3AG C GA = BG +CG D GB +GC = GM Câu 18 Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC Khẳng định sau ? uuuu r uuur uuur uuur uuur A AM = MB = MC B MB = MC uuu r uuur uuur uuuu r BC C MB = - MC D AM = Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Khẳng định sau sai ? uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuur uuur A AB = 2AM B AC = 2NC C BC = - 2MN D CN = - AC Câu 20 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề ? uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r A AB + AC = AG B BA + BC = 3BG uur uur uuu r uuu r uuur uuu r r C CA +CB = CG D AB + AC + BC = uur uur Câu 21 Cho tam giác ABC điểm I thỏa mãn IA = 2IB Mệnh đề sau ? uur uur uur uur uur CA - 2CB uur CA + 2CB A CI = B CI = 3 uur uur uur CA + 2CB uur uur uur C CI = - CA + 2CB D CI = - Câu 22 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Hãy chọn hệ thức đúng: uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r A 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC B 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC uuur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur uur uur C 2MA + MB - 3MC = 2CA +CB D 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA Câu 23 Cho hình vng ABCD có tâm O Mệnh đề sau sai ? uuur uuur uuu r uuur uuur uur A AB + AD = 2AO B AD + DO = - CA uur uur uur uuur uuu r uuu r C OA +OB = CB D AC + DB = AB Câu 24 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau ? uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r A AC + BD = 2BC B AC + BC = AB uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r C AC - BD = 2CD D AC - AD = CD Câu 25 Cho hình bình hành ABCD, có M giao điểm hai đường chéo Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur A AB + BC = AC B AB + AD = AC uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r C BA + BC = BM D MA + MB = MC + MD Vấn đề XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuur uuur uur Câu 26 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA Khẳng định sau ? A M trùng A B M trùng B C M trùng C D M trọng tâm tam giác ABC uuu r r uuu r r Câu 27 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt GA = a, GB = b Hãy tìm m, n uuu r r r để có BC = ma + nb A m= 1, n = B m= - 1, n = - C m= 2, n = D m= - 2, n = - Câu 28 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng điểm M thỏa mãn đẳng uuur uuur uuur thức vectơ MA = x MB + yMC Tính giá trị biểu thức P = x + y A P = B P = C P = - D P = Câu 29 Cho hình chữ nhật ABCD số thực k > Tìm tập hợp điểm M uuur uuur uuur uuuu r thỏa mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k A Một đoạn thẳng B Một đường thẳng C Một đường tròn D Một điểm Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD I giao điểm hai đường chéo Tìm uuur uuur uuur uuuu r tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD A Trung trực đoạn thẳng AB B Trung trực đoạn thẳng AD AC C Đường tròn tâm I , bán kính D Đường tròn tâm AB + BC I , bán kính Câu 31 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA - MB A Đường tròn tâm I , đường kính AB B Đường tròn đường kính AB C Đường trung trực đoạn thẳng AB D Đường trung trực đoạn thẳng IA Câu 32 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB A Đường trung trực đoạn thẳng AB B Đường tròn đường kính AB C Đường trung trực đoạn thẳng IA D Đường tròn tâm A, bán kính AB Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Tìm tập hợp điểm uuur uuur uuur uuur M thỏa mãn MA + MB = MA + MC A Đường trung trực đoạn BC B Đường tròn đường kính BC a C Đường tròn tâm G, bán kính D Đường trung trực đoạn thẳng AG Câu 34 Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa uuur uuur uuur uuur uuur mãn đẳng thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA đường tròn cố định có bán kính R Tính bán kính R theo a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a A r = a B r = a C r = a D r = uuur uuur uuur Câu 35 Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa MA + MB + MC = ? A B C D Vô số Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uur uur Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA = a Tính 2OA - OB A a ( ) B 1+ a C a D 2a Lời giải Gọi C điểm đối xứng O qua A � OC = 2a Tam giác OBC vng O, có BC = OB2 +OC = a uur uur uuu r uur uur uuu r uur uuu r Ta có 2OA - OB = OC - OB = BC suy 2OA - OB = BC = a Chọn C Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA = a Khẳng định sai ? uur uur uur uur A 3OA + 4OB = 5a B 2OA + 3OB = 5a uur uur uur uur C 7OA - 2OB = 5a D 11OA - 6OB = 5a Lời giải Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:  A đúng, gọi C nằm tia đối tia AO cho OC = 3OA uur uuu r � 3OA = OC uur uuu r Và D nằm tia đối tia BO cho OD = 4OB � 4OB = OD    uuu r uuu r uuu r Dựng hình chữ nhật OCED suy OC +OD = OE (quy tắc hình bình hành) uur uur uuu r uuu r uuu r 2 Ta có 3OA + 4OB = OC +OD = OE = OE = CD = OC +OD = 5a uur uur uur uur B đúng, 2OA + 3OB = OA + OB = 2a+ 3a = 5a C sai, xử lý tương tự ý đáp án A uur uur uur uur D đúng, 11OA - 6OB = 11OA - OB = 11a- 6a = 5a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chọn C Vấn đề PHÂN TÍCH VECTƠ Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, I trung điểm AM Khẳng định sau ? uur uur uur r uur uur uur r A IB + 2IC + IA = B IB + IC + 2IA = uur uur uur r uur uur uur r C 2IB + IC + IA = D IB + IC + IA = Lời giải uur uur uuu r Vì M trung điểm BC nên IB + IC = 2IM uur uuu r r Mặt khác I trung điểm AM nên IA + IM = uur uur uur uuu r uur uuu r uur r Suy IB + IC + 2IA = 2IM + 2IA = IM + IA = Chọn B ( ) Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, I trung điểm AM Khẳng định sau ? uur uuu r uuur uur uuu r uuur A AI = AB + AC B AI = AB - AC 4 uur uuu r uuur uur uuu r uuur C AI = AB + AC D AI = AB - AC 4 Lời giải ( ) ( ) uuu r uuur uuuu r Vì M trung điểm BC nên AB + AC = AM ( 1) uur uuuu r Mặt khác I trung điểm AM nên AI = AM ( 2) uuu r uuur uur uur uuu r uuur Từ ( 1) , ( 2) suy AB + AC = AI � AI = AB + AC Chọn A ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau ? uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A AG = AB + AC B AG = AB + AC 3 uuur uuu r uuur uur uuu r uuur C AG = AB + AC D AI = AB + 3AC 3 Lời giải ( ) ( ) uuur uuuu r Vì G trọng tâm tam giác ABC � AG = AM uuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r uuur Và M trung điểm BC � AB + AC = AM � AM = AB + AC uuur uuu r uuur r uuur uuu Do AG = AB + AC = AB + AC Chọn B 3 ABCD , Câu Cho tứ giác cạnh AB, CD lấy điểm M , N uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuuu r cho AM = AB 3DN = DC Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r A MN = AD + BC B MN = AD - BC 3 3 uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r C MN = AD + BC D MN = AD + BC 3 3 Lời giải ( ( ) ( ) ) uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuu r Ta có MN = MA + AD + DN MN = MB + BC +CN uuuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r Suy 3MN = MA + AD + DN + MB + BC +CN uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r = MA + 2MB + AD + 2BC + DN + 2CN uuur uuur r uuur uuu r r Theo ra, ta có MA + MB = DN + 2CN = uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r Vậy 3MN = AD + 2BC � MN = AD + BC Chọn C 3 Câu Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Gọi M N trung điểm AD BC Khẳng định sau sai ? ( ( ) ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r uuuu r uuu r uuur A MN = MD +CN + DC uuuu r uuu r uuur C MN = AB + DC Lời giải ( uuuu r uuu r uuuu r uuur B MN = AB - MD + BN uuuu r uuur uuu r D MN = AD + BC ) ( ) uuur uuuu r r �MA + MD = � Vì M , N trung điểm AD, BC � �uuu r uuur r � NB + NC = � � Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: uuuu r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuu r uuuu r �A đúng, MD +CN + DC = MN = MD + DC +CN = MC +CN = MN uuu r uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r �B đúng, AB - MD + BN = AB + BN - MD = AN - AM = MN uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuu r �C đúng, MN = MA + AD + DN MN = MD + DC +CN uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuu r Suy 2MN = MA + MD + AD + BC + DN +CN � MN = AD + BC �D sai, theo phân tích đáp án C Chọn D Câu Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm AB Khẳng định sau ? uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r A DM = CD + BC B DM = CD - BC 2 uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r C DM = DC - BC D DM = DC + BC 2 uuu r uuur uuur Lời giải Vì ABCD hình bình hành nên DB = DA + DC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuur Và M trung điểm AB nên DM = DA + DB � DM = DA + DC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuu r uuur � DM = - BC + DC suy DM = DC - BC Chọn C Câu Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB cho 3AM = AB N uuuu r uuur uuu r trung điểm AC Tính MN theo AB AC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r A MN = AC + AB B MN = AC - AB 3 uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r C MN = AB + AC D MN = AC - AB 3 uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải Vì N trung điểm AC nên MN = MA + MC = MA + MA + AC r uuur uuuu r r uuur uuuu r uuur uuur uuu uuu � 2MN = MA + AC = - AB + AC Suy MN = - AB + AC Chọn B 3 Câu 10 Cho tam giác ABC, hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần uuur uuuu r uuu r BM = MN = NC Tính AM theo AB AC uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur A AM = AB + AC B AM = AB + AC 3 3 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur C AM = AB - AC D AM = AB - AC 3 3 uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r r uuur uuu Lời giải Ta có AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC - AB = AB + AC 3 3 Chọn A uuu r uuuu r Câu 11 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Tính AB theo AM uuu r BC uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r A AB = AM + BC B AB = BC + AM 2 uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r C AB = AM - BC D AB = BC - AM 2 uuu r uuuu r uuur uuuu r uuu r Lời giải Ta có AB = AM + MB = AM - BC Chọn C Câu 12 Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN Khi đó: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A AK = AB + AC B AK = AB - AC 4 uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur C AK = AB + AC D AK = AB - AC 6 uuur uuuu r uuur uuu r uuur� uuu r uuur 1� AB + AC � = AB + AC Chọn C � Lời giải Ta có AK = AM + AN = � � � � � 2� uuur uuu r uuu r Câu 13 Cho hình bình hành ABCD Tính AB theo AC BD uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r A AB = AC + BD B AB = AC - BD 2 2 uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r C AB = AM - BC D AB = AC - BD 2 uur uuur r Lời giải Vì ABCD hình bình hành nên CB + AD = uuu r uuur uuu r uur uuur uuu r uuur uur uuu r uuur uuu r Ta có AB = AC +CB AB = AD + DB � 2AB = AC + DB + CB + AD uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r = AC + DB � AB = AC + DB Vậy AB = AC + BD Chọn A 2 2 r r uuur r uuu Câu 14 Cho tam giác ABC đặt a = BC, b = AC Cặp vectơ sau phương ? r r r r r r r r A 2a + b, a + 2b B 2a - b, a - 2b r r r r r r r r C 5a + b, - 10a - 2b D a + b, a - b r r r r r r r r Lời giải Dễ thấy - 10a- 2b = - 5a + b nên hai vectơ 5a + b, - 10a - 2b ( ( ) ) ( ( ) ) phương Chọn C uuur uuur uuur Câu 15 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA = MB + MC Khẳng định sau ? A Ba điểm C, M , B thẳng hàng � B AM phân giác góc BAC C A, M trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r uuu r r D AM + BC = Lời giải Gọi I , G trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuu r Vì I trung điểm BC nên MB + MC = MI uuur uuur uuur uuur uuu r Theo ra, ta có MA = MB + MC suy MA = 2MI � A, M , I thẳng hàng Mặt khác G trọng tâm tam giác ABC �G �AI Do đó, ba điểm A, M , G thẳng hàng Chọn C Vấn đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 16 Cho tam giác ABC có G trọng tâm I trung điểm BC Đẳng thức sau ? uur uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r uur A GA = 2GI B IG = - IA C GB + GC = 2GI D GB + GC = GA uur uur r Lời giải Vì I trung điểm BC suy IB + IC = uuu r uur uur � uuu r uuu r uur uur uur uur GB = GI + IB � + IC + 2GI = 2GI Chọn C Ta có �uuu r uur uur � GB +GC = IB 44 24 4 r � GC = GI + IC � � Câu 17 Cho tam giác ABC có G trọng tâm M trung điểm BC Khẳng định sau sai ? uuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r A GA = AM B AB + AC = 3AG C GA = BG +CG D GB +GC = GM uuur uuur r Lời giải Vì M trung điểm BC suy MB + MC = uuu r uuuu r uuur � uuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuuu r GB = GM + MB � MB + MC + 2GM = 2GM Chọn D Ta có �uuu r uuuu r uuur � GB +GC = 44 244 4 r � GC = GM + MC � � Câu 18 Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC Khẳng định sau ? uuuu r uuur uuur uuur uuur A AM = MB = MC B MB = MC uuu r uuur uuur uuuu r BC C MB = - MC D AM = uuur uuur r uuur uuur Lời giải Vì M trung điểm BC nên MB + MC = � MB = - MC Chọn C Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Khẳng định sau sai ? uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuur uuur A AB = 2AM B AC = 2NC C BC = - 2MN D CN = - AC M , N AB , AC Lời giải Vì trung điểm Suy MN đường trung bình tam giác ABC � MN = BC uuu r uuuu r uuu r uuuu r Mà BC, MN hai vectơ hướng nên BC = MN Chọn C Câu 20 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề ? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuu r uuur uuur A AB + AC = AG uur uur uuu r C CA +CB = CG uuu r uuu r uuu r B BA + BC = 3BG uuu r uuur uuu r r D AB + AC + BC = uuu r uuu r uuu r Lời giải Gọi E trung điểm AC � BA + BC = BE ( 1) uuu r uuu r Mà G trọng tâm tam giác ABC suy BE = BG ( 2) uuu r uuu r r uuu r uuu Từ ( 1) , ( 2) suy BA + BC = BG = 3BG Chọn B uur uur Câu 21 Cho tam giác ABC điểm I thỏa mãn IA = 2IB Mệnh đề sau ? uur uur uur uur uur CA - 2CB uur CA + 2CB A CI = B CI = 3 uur uur uur CA + 2CB uur uur uur CI = C CI = - CA + 2CB D - uur uuu r uur uuu r uur uur Lời giải Từ giả thiết IA = 2IB � B trung điểm IA � BI = AB; AI = 2AB uur uur uur � uur uur uur uur uur uur uur uuu r uuu r CI = CB + BI � Lại có �uur uur uur � 2CI = CB +CA + BI + AI = CA +CB + AB + 2AB � CI = CA + AI � � uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uuu r = CA +CB + 3AB � 2CI = CA +CB + CB - CA =- 2CA + 4CB � CI =- CA + 2CB ( ) Chọn C Câu 22 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Hãy chọn hệ thức đúng: uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r A 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC B 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC uuur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur uur uur C 2MA + MB - 3MC = 2CA +CB D 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uur Lời giải Ta có 2MA + MB - 3MC = 2MC + 2CA + MC +CB - 3MC = 2CA +CB Chọn C Câu 23 Cho hình vng ABCD có tâm O Mệnh đề sau sai ? uuur uuur uuu r uuur uuur uur A AB + AD = 2AO B AD + DO = - CA uur uur uur uuur uuu r uuu r C OA +OB = CB D AC + DB = AB uur uur uuu r uur uur uuu r uur uur uuu r r Lời giải Ta có OA +OB = - OC +OB = OB - OC = CB (vì OA +OC = ) Chọn C Câu 24 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau ? uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r A AC + BD = 2BC B AC + BC = AB uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r C AC - BD = 2CD D AC - AD = CD uuur uuu r uuu r � r uuu r uuu r uuu r uuu r �AC = AB + BC uuur uuu AB +CD = 2BC Chọn A Lời giải Ta có �uuu r uuu r uuu r � AC + BD = 2BC + 4 244 r � BD = BC +CD � � Câu 25 Cho hình bình hành ABCD, có M giao điểm hai đường chéo Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur A AB + BC = AC B AB + AD = AC uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r C BA + BC = BM D MA + MB = MC + MD uuur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuu r Lời giải Ta có MA + MB = MC + MD � MA - MD = MC - MB � DA = BC uuur uuu r Suy điều xảy DA = - BC Chọn D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vấn đề XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ uuur uuur uur Câu 26 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA Khẳng định sau ? A M trùng A B M trùng B C M trùng C D M trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur Lời giải Ta có 2MA + MB = CA � 2MA + MB = CM + MA uuur uuur uuur uuur uuur uuur r � MA + MB = - MC � MA + MB + MC = ( *) Vậy từ đẳng thức ( *) � M trọng tâm tam giác ABC Chọn D uuu r r uuu r r Câu 27 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt GA = a, GB = b Hãy tìm m, n uuu r r r để có BC = ma + nb A m= 1, n = B m= - 1, n = - C m= 2, n = D m= - 2, n = - uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Lời giải Ta có BC = BG +GC = BG - GA +GB = - GA - 2GB GA +GB +GC = ( ) ( ) Chọn B Câu 28 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng điểm M thỏa mãn đẳng uuur uuur uuur thức vectơ MA = x MB + yMC Tính giá trị biểu thức P = x + y A P = B P = C P = - D P = uuur uuu r Lời giải Do AB AC không phương nên tồn số thực x, y cho uuuu r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur AM = xAB + yAC, " M � AM = xAM + xMB + yAM + yMC uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur � ( 1- x - y) AM = xMB + yMC � ( x + y- 1) MA = xMB + yMC uuur uuur uuur Theo ra, ta có MA = xMB + yMC suy x + y- 1= � x + y = Chọn B Câu 29 Cho hình chữ nhật ABCD số thực k > Tìm tập hợp điểm M uuur uuur uuur uuuu r thỏa mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k A Một đoạn thẳng C Một đường tròn B Một đường thẳng D Một điểm uuu r uuur uuur � 2MI = MA + MC � Lời giải Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, ta có � uuu r uuur uuuu r, "M � MI = MB + MD � � uuur uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuu r uuu r k Do MA + MB + MC + MD = k � 2MI + 2MI = k � MI = k � MI = ( *) Vì I điểm cố định nên tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức ( *) đường k tròn tâm I , bán kính R = Chọn C Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD I giao điểm hai đường chéo Tìm uuur uuur uuur uuuu r tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD A Trung trực đoạn thẳng AB B Trung trực đoạn thẳng AD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C Đường tròn tâm I , bán kính AC D Đường tròn tâm AB + BC Lời giải Gọi E , F trung điểm uuur uuur uuur �MA + MB = 2ME � �uuur uuuu r uuur , " M � � �MC + MD = 2MF uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Do MA + MB = MC + MD � ME = MF � ME = MF I , bán kính AB, CD Khi ( *) Vì E , F hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( *) � tập hợp điểm M trung trực đoạn thằng EF trung trực đoạn thẳng AD Chọn B Câu 31 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA - MB A Đường tròn tâm I , đường kính AB B Đường tròn đường kính AB C Đường trung trực đoạn thẳng AB D Đường trung trực đoạn thẳng IA uuur uuur uuu r Lời giải Vì I trung điểm AB suy MA + MB = MI uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r AB Do MA + MB = MA - MB � MI = BA � MI = ( *) Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức ( *) đường tròn tâm I , bán kính R= AB Chọn A Câu 32 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB A Đường trung trực đoạn thẳng AB B Đường tròn đường kính AB C Đường trung trực đoạn thẳng IA D Đường tròn tâm A, bán kính AB uuu r uuu r r Lời giải Chọn điểm E thuộc đoạn AB cho EB = 2EA � 2EA + EB = uur uur r Chọn điểm F thuộc đoạn AB cho FA = 2FB � 2FB + FA = uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uur uuur uur Ta có 2MA + MB = MA + 2MB � 2ME + 2EA + ME + EB = 2MF + 2FB + MF + FA uuur uuu r uuu r uuur uur uur uuur uuur � 3ME + EA + EB = MF + FA + FB � ME = MF � ME = MF 14444244443 14444244443 r r ( *) Vì E , F hai điểm cố định nên từ đẳng thức ( *) suy tập hợp điểm M trung trực đoạn thẳng EF http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi I trung điểm AB suy I trung điểm EF uuur uuur uuur uuur Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn 2MA + MB = MA + 2MB đường trung trực đoạn thẳng AB Chọn A Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Tìm tập hợp điểm uuur uuur uuur uuur M thỏa mãn MA + MB = MA + MC A Đường trung trực đoạn BC B Đường tròn đường kính BC a C Đường tròn tâm G, bán kính D Đường trung trực đoạn thẳng AG uuur uuur uuu r �MA + MB = 2MI � Lời giải Gọi I , J trung điểm AB, AC Khi �uuur uuur uuur � MA + MC = MJ � � uuur uuur uuur uuur uuu r uuur Theo ra, ta có MA + MB = MA + MC � MI = MJ � MI = MJ uuur uuur uuur uuur Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB = MA + MC đường trung trực đoạn thẳng IJ , đường trung trực đoạn thẳng BC IJ đường trung bình tam giác ABC Chọn A Câu 34 Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa uuur uuur uuur uuur uuur mãn đẳng thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA đường tròn cố định có bán kính R Tính bán kính R theo a a a a a A r = B r = C r = D r = Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuur uuu r uur uuu r uur uuu r uur Ta có 2MA + 3MB + 4MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC uur uur uur uur uur r uur uur uur r Chọn điểm I cho 2IA + 3IB + 4IC = � IA + IB + IC + IC - IA = uur uur uur uur Mà G trọng tâm tam giác ABC � IA + IB + IC = 3IG uur uur uur r uur uur uur r uur uur Khi 9IG + IC - IA = � 9IG + AI + IC = � IG = CA ( *) uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uur uu r uur uuu r Do 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA � 9MI + 2IA + 3IB + 4IC = AB � 9MI = AB ( ) ( ) ( ( ) ) Vì I điểm cố định thỏa mãn ( *) nên tập hợp điểm M cần tìm đường tròn tâm I , bán kính r = AB a = Chọn B 9 uuur uuur uuur Câu 35 Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa MA + MB + MC = ? A B C D Vô số Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC nên G cố định uuu r uuu r uuu r r GA +GB +GC = uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r Ta có MA + MB + MC = � GA +GB +GC - 3GM = � GM = � GM = Vậy có vơ số điểm M thỏa mãn, với tập hợp M đường tròn tâm G bán kính Chọn D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Cho hình chữ nhật ABCD số thực k > Tìm tập hợp điểm M uuur uuur uuur uuuu r thỏa mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k A Một đoạn thẳng B Một đường thẳng C Một đường tròn D Một điểm Câu 30 Cho hình... chuyên đề thi – tài liệu file word a A r = a B r = a C r = a D r = uuur uuur uuur Câu 35 Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa MA + MB + MC = ? A B C D Vô số Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uur uur Câu Cho... MB + MC + MD = k A Một đoạn thẳng C Một đường tròn B Một đường thẳng D Một điểm uuu r uuur uuur � 2MI = MA + MC � Lời giải Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, ta có � uuu r uuur uuuu r, "M � MI = MB