KHOẢNG CÁCH – GĨC – HÌNH CHIẾU  Dạng 113 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2;3;1) đường thẳng ∆ : x+ y− z+ Tính khoảng cách d từ điểm M đến đường thẳng = = −2 ∆ A d = 10 B d = 10 C d = 10 D d = 10 Lời giải tham khảo r uuuuuuu r Đường thẳng ∆ qua M ( −2;1; −2) có VTCP a = ( 1;2; −2) ⇒ M 0M = ( 4;2;2) uuuuuuu r r Ta có:  M 0M 1; a = ( −8;10;6) r uuuuuuu r  a; M M  1 (−8)2 + 102 + 62 10  ⇒ d( M 1; ∆ ) = = = r a 12 + 22 + (−2)2 Câu ( d) : 2x = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng y+1 z−1 Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O ( 0;0;0) đến đường = −2 thẳng ( d) A d = B d = C d = D d = Lời giải tham khảo Lập PT mp qua O ( 0;0;0) vng góc ( d) cắt ( d) H http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khoảng cách từ O đến đường thẳng độ dài đoạn OH Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;0;0) , B ( 0;0;8) uuur điểm C cho AC = ( 0;6;0) Tính khoảng cách d từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA A d = B d = C d = D d = Lời giải tham khảo uuur Từ AB = ( 0;0;6) A ( 2;0;0) suy C ( 2;6;0) , I ( 3;1;4) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua I vng góc với OA là: x − = ⇒ Tọa độ giao điểm ( P ) với OA K = ( 1;0;0) ⇒ Khoảng cách từ I đến OA IK = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1;0;5) hai mặt ( P ) : 2x – y + 3z + = 0, (Q) : x + y – z + = giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) phẳng A d = 14 529 19 B d = Tính khoảng cách d từ M đến C d = 529 19 D d = 529 19 Lời giải tham khảo Gọi Giao tuyến đường thẳng ( t ) VTCP ( t ) tích có hướng hai vectơ pháp tuyến ( P ) ( Q ) Giao tuyến ( t ) qua A ( −2; −3;0) Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng ( t ) Tính d = MH = 529 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Dạng 114 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1;2; −3) mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 2z + = Tính khoảng cách d từ M đến ( P ) A d = B d = C d = D d = Lời giải tham khảo 1.1− 2.2 + 2.(−3) + • d = d( M ,(P )) = Câu 12 + (−2)2 + 22 Trong không gian = với hệ tọa độ Oxyz , ( P ) : 2x − 2y − z + = điểm A ( 1; −2;13) Tính khoảng cách A d = B d = C d = cho mặt phẳng d từ A đến ( P ) D d = Lời giải tham khảo • d = d( A ;(P )) = 2.1− 2( − 2) − 13 +3 + (−2) + (−1) 2 = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4y − = Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( P ) B d = A d = C d = D d = −1 Lời giải tham khảo • d = (O ,( P )) −5 + 16 = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −2; −4;3) mặt phẳng ( P ) có phương trình 2x – y + 2z −3 = Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A d = B d = C d = D d = 11 Lời giải tham khảo d( M ,(P )) = 2(−2) – ( –4) + 2.3 −3 + 1+ = = x+ y z− Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , ( d1 ) : = = , 3 ( d ) : −x2+ = = z 1− , ( P ) : 2x + 4y − 4z − = Gọi y A giao điểm ( d1 ) ( d2 ) Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( P ) A d= B d= C d= 13 D d= Lời giải tham khảo Giao điểm A ( d1 ) ( d2 ) x+ y z−  = =  7 ⇒ A  − ; ; ÷ ⇒ d( A ,( P ) ) = thỏa:   4  −x + = y = z −  1 Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E ( 2;4;5) , mặt phẳng x+ y− z− Tìm tọa độ điểm M = = −1 có hành độ nhỏ 2, nằm đường thẳng d có khoảng cách từ M tới mặt ( P ) : x − 2y + 2z + = đường thẳng d : phẳng ( P ) EM A M ( 1; −2;3) B M ( 1;2;3) C M ( 17;6;11) D M ( −17;6; −11) Lời giải tham khảo Đặt điểm M ( −1+ 2t;3 − t;2 + t ) Tìm t từ phương trình d( M ,(P)) = EM Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2x − y − 3z + = điểm A ( 1; −2; −3) Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) A d = 14 B d = C d = 14 D d = Lời giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Mặt phẳng ( P ) : 2x − y − 3z + = điểm A ( 1; −2; −3) Khoảng cách d từ A đến ( P ) : d = 2+ 2+ 9+ Câu với 12 Trong không gian 14 hệ = 14 tọa Oxyz , độ ( P ) : 2x − y + 5z + = điểm A ( 2; −1;3) Tính khoảng cách A d = 24 13 B d = 24 C d = 14 Khoảng cách d từ A đến ( P ) : d = 2+ 2+ 9+ 14 23 14 cho mặt phẳng d từ A đến ( P ) D d = 23 11 = 14 Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3 ; −1 ;2) mặt phẳng ( P ) : 4x − y + 3z + = Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) A d = 26 21 21 B d = 21 26 26 C d = 26 D d = 21 Lời giải tham khảo ( ) d A ,( P ) = 4.3 − ( −1) + 3.2 + 42 + ( −1) + 32 = 21 26 = 21 26 26  Dạng 115 Khoảng cách hai mặt phẳng Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng song song ( α ) : x + y – z + = 0  ( β ) : phẳng ( α ) ( β ) ? A d = 2x + 2y – 2z + = Tính khoảng cách d hai mặt B d = C d = 17 D d = 2 Lời giải tham khảo http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chọn M ( 0;0;5) ∈ mp( α ) Tính được: d( (α );(β )) = d( M ;(β )) Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 2x + 3y + 6z − 18 = 0, ( Q ) : 2x + 3y + 6z + 10 = Tính khoảng cách d hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) A d = B d = C d = D d = Lời giải tham khảo Lấy A ( 9;0;0) ∈ ( P ) d( (P );(Q)) = d( A ;(Q)) = 2.9 + 3.0 + 6.0 + 10 22 + 32 + 62 = Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) :2x + 2y − z − 11= ( Q ) : 2x + 2y − z + = Tính khoảng cách phẳng ( P ) ( Q ) A d = B d = C d = d hai mặt D d = Lấy A ( −2;0;0) ∈ ( Q ) d( (P );(Q)) = d( A ;(P)) = 2.(−2) + 3.0 + 6.0 − 11 22 + 22 + 12 = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Dạng 116 Bài tốn góc Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 1;0;0) , B ( 0;1;0) , C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −1) Tính góc hai đường thẳng AB CD A 450 B 600 C 900 D 1350 Lời giải tham khảo uuur uuur ABCD uuur uuur ⇒ ( AB,CD ) = 450 Vì cos ( AB,CD ) = cos AB,CD = uuur uuur = AB CD ( Câu 18 Trong ) không gian với hệ tọa A ( 3;2;6) , B ( 3; −1,0) , C ( 0, −7,0) , D ( −2,1; −1) Gọi Oxyz , độ ( d) cho bốn điểm đường thẳng qua hai điểm A , D ϕ góc ( d) ( ABC ) Tính sinϕ A sinϕ = B sinϕ = 10 C sinϕ = 10 D sinϕ = 10 Lời giải tham khảo uuur uuur BA = (0;3;6); BC = (−3; −6;3) r uuur uuur Vtpt, mp(ABC) : n =  BA , BC  = (5, −2,1)  9 r uuur Ta có a = AD = ( −5; −1; −7) vtcp đường thẳng AD Gọi ϕ góc đường thẳng AD mp ( ABC ) , 00 ≤ ϕ ≤ 900 rr an −25 + − 10 = Khi đó: sinϕ = r r = 75 30 an - Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ ( P ) : x + 2y − z + = đường thẳng ( d) : x +2 = Oxyz , cho mặt phẳng y+ z− = Tính góc α 1 đường thẳng ( d) mặt phẳng ( P ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A α = 45o B α = 30o C α = 60o D α = 120o Lời giải tham khảo r r Gọi vectơ pháp tuyến vectơ phương ( P ) ( d) n, u Góc rr nu ( d) ( P ) tính theo cơng thức cosα = r r n.u http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Dạng 117 Bài toán hình chiếu Câu 20 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1;1;1) đường thẳng  x = − 4t  d :  y = −2 − t Tìm tọa độ hình chiếu H điểm A lên đường thẳng d  z = −1+ 2t  A ( 2; −3; −1) B ( 2;3;1) C ( 2; −3;1) D ( −2;3;1) Lời giải tham khảo Gọi H hình chiếu A lên d H ( − 4t; −2 − t; −1+ 2t ) uuuu r uuur AH = ( − 4t; −3 − t; −2 + 2t ) ; ud = ( −4; −1;2) uuuu r uuuu r uu r AH ⊥ d ⇔ AH ud = ⇔ −4(5 − 4t) + −1(−3 − t) + 2(−2 + 2t) = ⇔ t = ⇒ H (2; −3;1) Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;5) đường thẳng  x = −8 + 4t ( d) :  y = − 2t Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H điểm A lên đường z = t  thẳng ( d) A ( 4; −1;3) B ( −4;1; −3) C ( 4; −1; −3) D ( −4; −1; −3) Lời giải tham khảo Giải hệ gồm PT đường thẳng ( d) PT mp ( P ) Ta tọa độ hình chiếu  x = 1+ t  Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :  y = z = 3− t  điểm A ( −1;2; −1) Tìm tọa độ hình chiếu I điểm A lên ∆ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A I ( 3;1;2) B I ( 2;2;2) C I ( 1;2;1) D I ( 4;2;1) Lời giải tham khảo uur r r Gọi I ( 1+ t;2;3 − t ) Tìm t từ phương trình AI u = , với u véc tơ phương ∆ Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; −2;0) ; B ( 4;1;1) Tính độ dài đường cao OH tam giác OAB A OH = 19 B OH = 86 19 C OH = 19 86 D OH = 19 Lời giải tham khảo  x = 1+ 3t uuur uuuur  Ta có: AB ( 3;3;1) PTĐT AB :  y = −2 + 3t ⇒ H ( 1+ 3t; −2 + 3t;t) ⇒ OH ( 1+ 3t; −2 + 3t;t) z = t  uuuur uuuu r Vì OH ⊥ AB ⇒ 3.( 1+ 3t ) + 3( −2 + 3t ) + t = ⇒ t = 19 uuuur  28   29    86 OH =  ÷ +  − ÷ +  ÷ = 19  19   19   19 2 Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 1,2, −1) , B ( 0,3,4) , C ( 2,1, −1) Tính độ dài đường cao h từ A đến BC A h = B h = 33 50 C h = D h = 50 33 Lời giải tham khảo  x = + 2t  Phương trình tham số BC :  y = 1− t Gọi M hình chiếu vng góc A lên  z = −1− 5t  uuuur uuur uuuur uuur d A ; BC = AM ; AM ⊥ BC ⇒ AM BC = BC Nên M ∈ BC ( ) Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2;7; −9) mặt phẳng ( P ) : x + 2y − 3z − = Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M ( P ) A H ( 2;2;1) B H ( 1;0;0) C H ( −1;1;0) D H ( 4;0;1) 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lời giải tham khảo Phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mặt phẳng ( P ) x = + t  d :  y = + 2t  z = −9 − 3t  Toạ độ hình chiếu vng góc M mặt phẳng ( P ) nghiệm hệ  x + 2y − 3z − =  x = −1  x = + t  ⇔  y = ⇒ H ( 4;0;1)   y = + 2t z =   z = −9 − 3t Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1;2; −3) mặt phẳng ( P ) : 2x + 2y − z + = Tìm tọa độ điểm A ’ đối xứng với A qua mặt phẳng ( P) A A ′ ( −7; −6;1) B A ′ ( −6; −7;1) C A ′ ( 7;6; −1) D A ′ ( 6; −7;1) Lời giải tham khảo Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên mặt phẳng ( P ) Điểm H trung điểm AA ′ Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2; −1; −1) mặt phẳng ( P ) : 16x − 12y − 15z − = Gọi H hình chiếu vng góc A ( 2; −1; −1) lên mặt phẳng ( P ) Tính độ dài đoạn AH A AH = 11 25 B AH = 11 C AH = 22 25 D AH = 22 Lời giải tham khảo AH = d( A ,(P )) = 16.2 + (−12)(−1) + (−15)(−1) − 162 + 122 + 152 = 11 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 2;3;1) , B ( 1;1; −1) , C ( 2;1;0) D ( 0;1;2) Tìm tọa độ chân đường cao H tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A A H ( 2;1;0) B H ( 1;2;1) C H ( 1;1;2) D H ( 2;1;1) Lời giải tham khảo Viết phương trình mặt phẳng ( BCD ) đường thẳng AH từ tìm giao điểm H Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + z + = hai điểm A ( −1;3;2) , B( −9;4;9) Tìm tọa độ điểm ( P ) cho ( MA + MB) đạt giá trị nhỏ A M ( −1;2; −3) B M ( 1; −2;3) C M ( −1;2; −3) M D M ( −1;2;3) Lời giải tham khảo Ta có A , B nằm phía mặt phẳng ( P ) Gọi A ’ điểm đối xứng A qua ( P ) , ta có: MA ’ = MA Do MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B ⇒ min(MA + MB) = A ' B M giao điểm A ’B ( P )  x = − 12t  + Tìm A ’ ( 3;1;0) Phương trình đường thẳng A ′B :  y = 1+ 3t  z = 9t  + M ( −1;2;3) Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x y z x+ y z− d2 : Tìm tọa độ điểm M ∈ d1 N ∈ d2 cho = = = = 1 −2 1 đoạn thẳng MN ngắn d1 :  3 6  69 −17 18  ; ÷ A M  ; ; ÷, N  ;  35 35 35   35 35 35   3 6  −69 −17 18  ; ; ÷ B M  ; ; ÷, N   35 35 35   35 35 35  12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  3 6  69 17 18  C M  ; ; ÷, N  ; ; ÷  35 35 35   35 35 35   3 6  69 −17 18  ; ÷ D M  ; ; ÷, N  ;  5 5  5 5 Lời giải tham khảo M ∈ d1 ⇔ M ( t; t;2t ) N ∈ d2 ⇔ N ( −1− 2t '; t ';1+ t ') MN ngắn ⇔ MN đoạn vng góc chung d1 d2  t =  t − 6t ' =   3 6  −69 −17 18  35 ⇒ ⇔ ; ; ÷ ⇒ M  ; ; ÷, N   35 35 35   35 35 35  6t − t ' = t ' = −17  35 ĐÁP ÁN KHOẢNG CÁCH – GĨC – HÌNH CHIẾU 1A 2A 3B 4B 5B 6B 7B 8C 9A 10B 11A 12B 13B 14A 15D 16B 17A 18C 19B 20C 21A 22B 23B 24D 25C 26A 27B 28D 29D 30B 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... đoạn thẳng MN ngắn d1 :  3 6  69 −17 18  ; ÷ A M  ; ; ÷, N  ;  35 35 35   35 35 35   3 6  −69 −17 18  ; ; ÷ B M  ; ; ÷, N   35 35 35   35 35 35  12 http://dethithpt.com –... đoạn vng góc chung d1 d2  t =  t − 6t ' =   3 6  −69 −17 18  35 ⇒ ⇔ ; ; ÷ ⇒ M  ; ; ÷, N   35 35 35   35 35 35  6t − t ' = t ' = −17  35 ĐÁP ÁN KHOẢNG CÁCH – GĨC – HÌNH CHI U... giải tham khảo  x = 1+ 3t uuur uuuur  Ta có: AB ( 3; 3;1) PTĐT AB :  y = −2 + 3t ⇒ H ( 1+ 3t; −2 + 3t;t) ⇒ OH ( 1+ 3t; −2 + 3t;t) z = t  uuuur uuuu r Vì OH ⊥ AB ⇒ 3. ( 1+ 3t ) + 3( −2 + 3t