HTTP://DETHITHPT.COM HTTP://DETHITHPT.COM TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP 221 BTTN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN TÀI LIỆU ƠN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH THƯỜNG Đường đến thành cơng khơng có bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Tính diện tích hình phẳng: a;b� Định lí Cho hàm số y  f  x liên tục, không âm � � � Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , trục hoành hai đường thẳng: x  a,x  b là: y y  f  x b y S � f  x dx O a y bf  x  a x a;b� Bài toán 1: Cho hàm số y  f  x liên tục � � � Khi diện tích S hình phẳng (D) giới hạn bởi: y  g x  a O b b f  x dx Đồ thị hàm số y  f  x ; trục Ox : ( y  ) hai đường thẳng x  a;x  b là: S  � Bài tốn Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị:  C1 : y  f  x ,  C  : y  g  x hai đường đường thẳng x  a,x  b Được xác a b định công thức: S  �f  x  g  x dx a Chú ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: * Giải phương trình: f  x  g  x tìm nghiệm x1,x2 , ,xn � a;b  x1  x2   xn  x x b f  x  g  x dx  � f  x  g  x dx   � f  x  g  x dx Tính: S  � a x x  n  f  x  g  x  dx � f  x  g  x  dx   � xn x1 a b Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối 2) Trong nhiều trường hợp, toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị  C1 : y  f  x ,  C2  : y  g  x Khi đó, ta có cơng thức tính sau: S  xn �f  x  g  x dx x1 Trong đó: x1,xn tương ứng nghiệm nhỏ nhất, lớn phương trình: f  x  g  x Tính thể tích khối tròn xoay: a Tính thể tích vật thể Đường đến thành cơng khơng có bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM Định lí Cắt vật thể C hai mặt phẳng  P x  a,x  b  a  b Một mặt phẳng vng góc với  Q  vng góc với trục Ox Ox điểm x  a �x �b cắt C theo thiết diện a;b� có diện tích S x Giả sử S x hàm liên tục � � � Khi thể tích vật thể C giới hạn hai mp  P b S x dx  Q  tính theo cơng thức: V  � a b Tính thể tích tròn xoay Bài tốn Tính thể tích vật thể tròn xoay quay miền D giới hạn đường y  f  x ;y  0;x  a;x  b quanh trục Ox Thiết diện khối tròn xoay cắt mặt phẳng vng góc x với Ox điểm có hồnh độ hình tròn có bán kính R  f  x nên diện tích thiết diện y S x  R  f  x Vậy thể tích khối cơng thức: b b a a O V� S x dx   � f  x dx Chú ý: Nếu hình phẳng D y  f  x a giới hạn đường tròn xoay tính theo bx y  f  x ,y  g  x , x  a, x  b (Với f  x g  x �0 x �� a;b� � �) thể tích khối tròn xoay sinh quay D quanh trục Ox tính cơng thức: b V  � f  x  g2  x dx a Bài tốn Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng D giới hạn đường b x  g  y  , y  a, y  b, Oy quanh trục Oy tính theo cơng thức: V  � g2  y  dy a Chú ý: Trong trường hợp ta khơng tìm x theo y ta giải tốn theo cách sau Chứng minh hàm số y  f(x) liên tục đơn điệu [c;d] với c  min g(a),g(b) ,d  max g(a),g(b) Khi phương trình y  f(x) có nghiệm x  g(y) d x2f'(x)dx Thực phép đổi biến x  g(y),dy  f '(x)dx ta có: V   � c PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HTTP://DETHITHPT.COM Dạng Diện tích hình phẳng giới hạn Phương pháp: a;b� Cho hàm số y  f  x liên tục � � � Khi diện tích S hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị b f  x dx hàm số y  f  x ; trục Ox : ( y  ) hai đường thẳng x  a;x  b là: S  � a b b a a f  x dx  � f  x dx � công thức f  x không đổi dấu khoảng  a;b � a ; b� �thì Nếu: f  x �0 , x � � a ; b� �thì Nếu f  x �0 , x � � � b b a a f  x dx  � f  x dx � b b a a f  x dx   � f  x dx � Chú ý: Nếu phương trình f  x  có k nghiệm phân biệt x1,x2 , ,xk  a;b khoảng  a;x1 , x1;x2   xk ;b biểu thức f  x không đổi dấu b f  x dx tính sau: Khi tích phân S  � a b x1 x2 a a x1 S � f  x dx  f  x dx  � f(x)dx   � b f  x dx � xk Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  f  x y  g  x hai đường thẳng x  a,x  b a  b : b S � f  x  g  x dx a Ví dụ 1.1.7 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đường: y  x3  4x,x  3,x  1,y  y  sin2 xcosx,x  0,x  ,y  Lời giải Ta có diện tích cần tính là: SD  �x  4x dx 3 Mà x3  4x  � x  0,x  �2 nên ta có bảng xét dấu x 3 2 3  x  4x x  4x  x  4x x3  4x Đường đến thành cơng khơng có bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM 2 ( x3  4x)dx  � (x3  4x)dx  � ( x3  4x)dx Do SD  � 3 2 2 0 � x4 � �x4 � � x4 � �   2x2 �  �  2x2 �  �  2x2 �  12 (đvdt) � � �4 � � � � �3 � �2 � �0 Diện tích cần tính là:   0  SD  � sin2 xcosx dx  � sin2 xcosxdx  � sin2 xcosxdx    1  sin3 x  sin3 x  (đvdt)  3 Ví dụ 2.1.7 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đường: e y  x(ex  1),x  1,x  trục Ox y  lnx,x  ,x  e trục Ox Lời giải Diện tích cần tính là: e e 1 e 1 e SD  � lnx dx  � lnxdx  � lnxdx Mà lnx  x(lnx)' x'lnx  (xlnx)' e 1 Nên SD  xlnx  xlnx  e  e (đvdt) e Diện tích cần tính là: SD  x �x(e  1) dx 1 1;2� Vì x(ex  1) �0, x �� � �nên ta có 2 � x � SD  � x(e  1)dx  � (xe  x)dx  � xe  ex  x2 � �1 � 1 1 x x � 1 1 �  2e2  e2   � e  e  � e   (đvdt) 2� e � Câu Diện tích hình phẳng màu vàng hình vẽ HTTP://DETHITHPT.COM A C b �f1 ( x ) - f ( x ) dx B a b �( f ( x ) a f ( x ) ) dx D a �f ( x ) b a f ( x ) dx �( f ( x ) b f ( x ) ) dx Câu Thể tích V phần vật thể hình ảnh tính cơng thức b A V = �S( x ) dx a b B V = �S( x ) dx a b C V = �S2 ( x ) dx a b D V = �S2 ( x ) dx a Đường đến thành cơng khơng có bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM Câu Thể tích V khối tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) b b A V = p�f ( x ) dx B V = p�f ( x ) dx a a b b C V = p2 �f ( x ) dx D V = �f ( x ) dx a a Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x +1, y = 2x +1 hai đường thẳng x = 1, x = A 11 12 B - 11 12 C 94 12 D 37 12 Câu Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = x +1, x = 0, x = 1, y = quay quanh trục Ox A 28p 15 B 28 15 C p D 3 Câu Để tìm diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y = x ; y = 0; x = -1; x = học sinh thực theo bước sau: Bước I S = �x dx - x4 Bước II S = Bước III S = - - 1 15 = 4 Cách làm sai từ bước nào? A Bước I B Bước II C Bước III D Khơng có bước sai HTTP://DETHITHPT.COM Câu Diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y = x ; y = 0; x =- 1; x = là: A 17 B C 15 D 19 4 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y = 3x - 4x + 5;Ox ; x =1; x = là: A 212 15 B 213 15 C 214 15 D 43 Câu Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục [ a; b ] thỏa mãn: < g ( x ) < f ( x ) , " x �[ a; b ] Gọi V thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh Ox hình phẳng ( H ) giới hạn đường: y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a ; x = b Khi V dược tính cơng thức sau đây? b b � f ( x) - g2 ( x) � dx B p� � � � f ( x) - g ( x) � A p� � �dx a a b � � � � � � p� f x g x dx C � ( ) ( ) � �� � � �a � b D �f ( x ) - g ( x ) dx a Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y =- x + 6x - 5; y = ; x = 0; x = là: A B C - D - Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y = sin x;Ox ; x = 0; x = p là: A B C D Câu 12 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường: y = sin x ;Ox ; x = 0; x = p Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: A p B p2 C p D p2 Đường đến thành cơng khơng có bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x - ; Ox ? A 32 B 16 C 12 D - 32 Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x - 4x ; Ox ; x =- x = ? A 119 B 44 C 36 201 D Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x ; y = x + ? A 15 B - C D - 15 Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x - 4x ; Ox ? A 128 B 1792 15 C 128 15 D - 128 15 Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + 4x; Ox; x =- ? A 24 B C D - Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = cos x; Ox; Oy; x = p ? A B C D Kết khác Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x - x; Ox ? A B C D - Câu 20 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = 2x - x ; Ox Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích ? A 16 15 B 4p C D 16p 15 HTTP://DETHITHPT.COM Câu 21 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = tan x; Ox; x = 0; x = p Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích ? A 1- p B p2 C p- p2 p2 - p D Câu 22 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = 1- x ; Ox Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích ? A 16 15 B 16p 15 C 4p D Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x ; y = x = là: A e - B e C e +1 D 1- e Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x ; x = ; Ox là: A 16 B 24 C 72 D 16 Câu 25 Cho hình (H) giới hạn đường y = x ; x = ; trục hồnh Quay hình (H) quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: A p B p C 2p D 2p D 33 Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y = 4x - x ;Ox là: A 31 B - 31 C 32 Câu 27 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường: y = 3x - x ;Ox Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích là: A 81 p 11 B 83 p 11 C 83 p 10 D 81 p 10 Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn ( C) : y = x + 2x ; y = x + là: Đường đến thành cơng khơng có bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM b b A S = �f ( x ) dx f ( x ) dx B S = � a a b f ( x ) dx + � f ( x ) dx C S = � a b f ( x ) dx D S = � a �f ( x ) dx Câu 149 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f1 ( x ) , y = f ( x ) liên tục hai đường thẳng x = a , x = b tính theo cơng thức: b b A S = �f1 ( x ) - f ( x ) dx B S = a �f ( x ) f ( x ) dx a b b � f1 ( x ) - f ( x ) � dx C S = � � � b f1 ( x ) dx D S = � a a �f ( x ) dx a Câu 150 Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) giới hạn đường sau: y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a , x = b xung quanh trục Ox là: b b f ( x ) dx A V = p� a b f ( x ) dx B V = � a f ( x ) dx C V = p� a b f ( x ) dx D V = 2p� a Câu 151 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành hai đường thẳng x =- 1, x = : A 28 ( dvdt ) B 28 ( dvdt ) C ( dvdt ) D Tất sai 31 Đường đến thành cơng khơng có bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM Câu 152 Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = x , trục Ox, x =- , x = vòng quanh trục Ox : A p B 2p C 6p D 2p Câu 153 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x - x + đường thẳng y = 2x +1 : A ( dvdt ) B - ( dvdt ) C ( dvdt ) D ( dvdt ) Câu 154 Thể tích khối tròn xoay giới hạn đường y = s inx , trục hoành hai đường thẳng x = , x = p : A p B p C p D p Câu 155 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + x - y = x + x - : A ( dvdt ) 15 B ( dvdt ) 15 C - ( dvdt ) 15 D ( dvdt ) 15 Câu 156 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 2x - x đường thẳng x + y = : A ( dvdt ) B ( dvdt ) C ( dvdt ) D ( dvdt ) 32 HTTP://DETHITHPT.COM Câu 157 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ln x , trục hoành hai đường thẳng x = , x = e : e A e + ( dvdt ) e B ( dvdt ) e C e + ( dvdt ) e Câu 158 Diện tích hình phẳng giới hạn đường D e - ( dvdt ) e y = x + 3x , y =- x đường thẳng x =- : A ( dvdt ) 99 B 99 ( dvdt ) C 99 ( dvdt ) D 87 ( dvdt ) Câu 159 Diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 0, x =- 1, x = có kết là: A 17 B C 15 D 14 Câu 160 Diện tích hình phẳng giới hạn y =- 1, y = x - 2x - có kết A B 28 C 16 15 D 27 Câu 161 Diện tích hình phẳng giới hạn y =- x, y = 2x - x có kết A B C.5 D Câu 162 Diện tích hình phẳng giới hạn y = x + 3, y = x - 4x + có kết : 33 Đường đến thành công bước chân kẻ lười biếng!!! HTTP://DETHITHPT.COM 52 A 53 B 54 C 53 - D Câu 163 Thể tích khối tròn xoay giới hạn y = 2x - x , y = quay quanh trục ox có kết là: A p B 16p 15 C 14p 15 D 13p 15 Câu 164 Diện tích hình phẳng giới hạn y =- x + x + 6, y = 0, x = 0, x = có kết là: A 58 B 56 C 55 D 52 Câu 165 Cho hình phẳng (H) giới hạn parabol (P) : y = x - 2x , trục Ox đường thẳng x = 1, x = Diện tích hình phẳng (H) : A B C.2 D Câu 166 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong y = x - x + đường thẳng y = 2x +1 Diện tích hình (H) là: A 23 B.4 C Câu 167 Thể tích khối tròn xoay giới hạn đường D y = ( 2x +1) , x = , y = , quay quanh trục Oy là: A 50p B 480p C 480p D 48p Câu 168 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ( e +1) x , y = ( + e x ) x là: 34 HTTP://DETHITHPT.COM A e - ( dvdt ) B e - 1( dvdt ) C e - 1( dvdt ) D e +1( dvdt ) Câu 169 Thể tích khối tròn xoay giới hạn đường y = x.cos x + sin x , y = 0, x = 0, y = p là: A p( 3p- 4) B p( 5p+ 4) C p( 3p+ 4) D p( 3p+ 4) Câu 170 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = sin 2x, y = cosx hai đường thẳng x = 0, x = p : A ( dvdt ) B ( dvdt ) C ( dvdt ) Câu 171 Diện tích hình phẳng giới hạn y = x, y = sin x + x A p B p D ( dvdt ) ( < x