HTTP://DETHITHPT.COM TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP 81 BTTN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN TÀI LIỆU ƠN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH THƯỜNG HTTP://DETHITHPT.COM HTTP://DETHITHPT.COM MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp: 1) Lập phương trình mặt cầu: · Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm I(a; b;c) bán kính R Khi phương trình mặt cầu có dạng: (x - a) + (y - b) + (z - c) = R (1) · Ngoài để lập phương trình mặt cầu ta tìm hệ số a, b, c, d phương trình : x + y + z - 2ax - 2by - 2cz + d = (2) Với tâm I(a; b;c) , bán kính R = a + b + c - d > · Một mặt cầu hoàn toàn xác đònh biết tâm bán kính biết đường kính 2) Vò trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R mặt phẳng (a ) , h = d ( I, (a )) , H hình chiếu I lên mặt phẳng (a ) · h > R (a ) mặt cầu (I) không giao · h = R (a ) mặt cầu (I) tiếp xúc H · h < R (a ) mặt cầu (I) cắt theo giao tuyến đường tròn tâm H , bán kính r = R - h 3) Vò trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R đường thẳng D , h = d ( I, D ) , H hình chiếu I lên mặt phẳng D · h > R D mặt cầu (I) không giao · h = R D mặt cầu (I) tiếp xúc H Hay D tiếp tuyến mặt cầu (I) · h < R D mặt cầu (I) cắt hai điểm phân biệt A, B AB2 + h2 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(0; 0; - 2) x + y - z +3 = = đường thẳng D : Tính khoảng cách từ A đến D Viết phương trình mặt cầu tâm A , cắt D hai điểm B C cho BC = H trung điểm dây cung AB , đó: R = Lời giải r Đường thẳng D qua M ( - 2; 2; - 3) có u = ( 2;3; 2) vtcp; uuur r éAM, u ù ê ú d ( A, D ) = ë r û= u Gọi H hình chiếu A lên D AH = H trung điểm BC nên BH = Vậy bán kính mặt cầu AB = AH + BH = HTTP://DETHITHPT.COM Nên phương trình mặt cầu x + y +( z + 2) = 25 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : x- y- z = = mặt phaúng (P) : 2x - y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) Đề thi ĐH Khối D – 2011 Cho đường thẳng D có phương trình: Lời giải Gọi (S) mặt cầu cần tìm, I tâm ìï x = + 2t ïï Phương trình tham số đường thẳng D : í y = + 4t ïï ïïỵ z = t Vì I ẻ D ị I ( + 2t;3 + 4t; t ) Ta có (P) tiếp xúc với (S) neân 2(1 + 2t) - (3 + 4t) + 2t d(I, (P)) = Û = Û t = 2, t =- · t = Þ I(5;11; 2) Þ phương trình mặt cầu (S) : (x - 5) + (y - 11) + (z - 2) = · t =- Þ I(- 1; - 1; - 1) , suy phương trình (S) : (x +1) + (y +1) + (z +1) = Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Đề vuông góc Oxyz cho I(1; 2; - 2) mặt phaúng ( P) : 2x + 2y + z + = Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I cho giao (S) với mp(P) đường tròn (C) có chu vi 8p ; Chứng minh mặt cầu (S) nói phần tiếp xúc với đường thẳng D : 2x - = y + = z ; Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng D tiếp xúc với (S) Lời giải Gọi R, r bán kính mặt cầu (S) đường tròn (C) Ta có: 2pr = 8p Þ r = d(I, (P)) = nên R = r + d (I, (P)) = Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x - 1) + (y - 2) + (z + 2) = 25 uur Đường thẳng D có u D = (1; 2; 2) VTCP qua A(1; - 3;0) uur uur [u D , AI] uur uur uur Suy AI = (0;5; - 2) Þ [u D , AI] = (- 14; 2;5) Þ d(I, D ) = uur = uD HTTP://DETHITHPT.COM Vậy đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu (S) Cách ïìï x = + t ï Phương trình tham số D : í y =- + 2t , thay vào phương trình mặt ïï ïïỵ z = 2t cầu (S) , ta được: t + (2t - 5) + (2t + 2) = 25 Û (3t - 2) = Û t = 5 Suy mặt cầu (S) D giao ñieåm M( ; - ; ) 3 Vậy đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu (S) M Vì mp(Q) chứa D tiếp xúc với mặt cầu (S) nên M tiếp điểm mp(Q) mặt cầu (S) uur ỉ2 11 10 ;; ÷ Do (Q) mặt phẳng qua M vaứ nhaọn IM ỗ ữlaứm ỗ ỗ3 ố ø 3÷ VTPT Vậy phương trình mặt phẳng (Q) : 2x - 11y +10z - 35 = Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm M(1; - 5; 2) qua đường tròn (C) giao mp (a ) : 2x + 2y - z + = mặt cầu (S') : x + y + z + 2x - 4y - 4z - 40 = ïìï x = t ï Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d : í y =- + t cho giao ïï ïïỵ z =- + 2t tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) : x + y + z + 2x - 2y + 2z - = đường tròn có bán kính r = Lời giải Cách Mặt cầu (S') có tâm I '(- 1; 2; 2), R ' = , d(I ', (a )) = - + - +9 22 + 22 + (- 1) =3