CHUYÊN ĐỀ: MẶT TRÒN XOAY Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện I- PHƯƠNG PHÁP Chứng minh mặt cầu S(O; R) ngoại tiếp đa diện: Thông thường ta chứng minh mặt cầu qua tất đỉnh đa diện thông qua số nhận xét quan trọng sau: + Điểm M thuộc S(O; R) ⇔ OM = R + Điểm M thuộc S(O; R) khi M nhìn đường kính mặt cầu góc vng Điều kiện cần đủ: + Để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp có đường tròn ngoại tiếp + Để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ phải hình lăng trụ đứng có đáy lăng trụ đa giác nội tiếp Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Cho đoạn thẳng AB Mặt phẳng (α) gọi mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mp(α) qua trung điểm I AB vng góc với AB Lưu ý: (α) tập hợp tất điểm M không gian cách B Dạng toán: A, CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU Chứng minh mặt cầu S(O; R) ngoại tiếp đa diện: Thông thường ta chứng minh mặt cầu qua tất đỉnh đa diện thông qua số nhận xét quan trọng sau: + Điểm M thuộc S(O; R) ⇔ OM = R + Điểm M thuộc S(O; R) khi M nhìn đường kính góc vng I- Thuật tốn 1: SỬ DỤNG MỘT TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Cho hình chóp S A1 A2 An (thỏa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) cạnh bên Lúc đó: + Tâm O mặt cầu: ∆ ∩ mp ( α ) = { O} + Bán kính: R = OA ( = OS ) Tùy vào trường hợp Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất: ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆ Các bước xác định trục: – Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy – Bước 2: Qua H dựng Δ vng góc với mặt phẳng đáy VD: Một số trường hợp đặc biệt Tam giác vng Tam giác Tam giác http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng ∆SMO đồng dạng với ∆SIA ⇒ SO SM MO = = SA SI IA Nhận xét quan trọng:  MA = MB = MC ∃M , S , ( M ≠ S ) :  ⇒ SM trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  SA = SB = SC Thuật toán 2: SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Cho hình chóp S A1 A2 An (thỏa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp mặt bên (dễ xác định) khối chóp Lúc đó: + Tâm I mặt cầu: ∆ ∩ d = { I } + Bán kính: R = IA ( = IS ) Tùy vào trường hợp II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Ví dụ 1: Cho điểm I nằm mặt cầu (O; R) Đường thẳng ∆1 qua I cắt mặt cầu hai điểm A, B; đường thẳng ∆ cắt mặt cầu hai điểm C, D Biết IA = ( cm ) , IB = ( cm ) , IC = ( cm ) Tính độ dài ID A ( cm ) B ( cm ) C ( cm ) D ( cm ) Lời giải Áp dụng tính chất: Do điểm A, B, C, D thuộc đường tròn nên IA.IB = IC.ID ⇒ ID = IA.IB = ( cm ) IC ⇒ Chọn đáp án C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAC cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R = a B R = a C R = a 2 D R = a 3 Lời giải Ta có: SO = ra: a Xét hai tam giác SMI SOC đồng dạng suy SI SM SM SC a = ⇔ SI = = SC SO SO ⇒ Chọn đáp án D Nhận xét: I trọng tâm ∆SAC ⇒ R = SI = 2 a a SO = = 3 · Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = 2a, ∆ABC cân A, BAC = 120°, AB = AC = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A R = a B R = a C R = a D R = 2a Lời giải · Ta có: BC = AB + AC − AB AC cos BAC = 3a ⇒ BC = a Xét ∆ABC : BC = R ' ⇔ R ' = a : bán kính · sin BAC đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Lúc đó: R = SA2 + ( R ') = a ⇒ Chọn đáp án B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 4: Tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, OA = OB = OC = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A B C D 2 Lời giải Gọi M trung điểm BC, qua M dựng d / / OA Gọi K trung điểm OA, qua K dựng ∆ / /OM ⇒ ∆ ∩ d = { I } : Tâm mặt cầu R = IO = OA2 + OM = ⇒ Chọn đáp án C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy, ∆ABC vng cân C, AC = 2 , góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 60° Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 112π B 224π C 160π D 40π Lời giải  BC ⊥ AC ⇔ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ SC Do   BC ⊥ SA · ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SCA · = Xét ∆SAC vuông A: tan SCA SA AC · ⇔ SA = AC.tan SCA = Do ∆SCB vuông C nên tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trung điểm SB Tính AB = 4; SB = 10 ⇒ R = 10 Vậy S = 4π R = 40π SB ⇒ R = ⇒ Chọn đáp án D Ví dụ 6: Cho hai đường tròn ( C1 ) tâm O1 , bán kính 1, ( C2 ) tâm O2 , bán kính nằm hai mặt phẳng ( P1 ) , ( P2 ) cho ( P1 ) / / ( P2 ) O1O2 ⊥ ( P1 ) ; O1O2 = Tính diện tích mặt cầu qua hai đường tròn đó, A 24π B 20π C 16π D 12π Lời giải Đặt IO1 = x ( < x < 3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  x = IB − O1 B = R − ⇔ R = + x ⇒ 2 2 2 ( − x ) = IA − O2 A = R − ⇔ R = + ( − x ) ⇒ + ( − x ) = + x ⇔ x = ⇒ R = IO12 + BO12 = Vậy S = 4π R = 20π ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ 7: (Đề minh họa Bộ GD ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A V = 15π 18 B V = 15π 54 C V = 3π 27 D V = 5π Lời giải Gọi H trung điểm cạnh AB, G, G ' trọng tâm tam giác ABC SAB ( IG ') Ta có: SI = + ( SG ') = HG + ( SG ' ) 2 2 15 1  2  =  HC ÷ +  SH ÷ = 3  3  4 15π Vậy thể tích khối cầu là: V = π R = π SI = 3 54 ⇒ Chọn đáp án B · Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, tam giác ABC có AB = 2; AC = BAC = 120° Biết góc ( SBC ) ( ABC ) α với tan α = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A B C D Lời giải Gọi M trung điểm cạnh BC  BC ⊥ AM ⇒ ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SM  BC ⊥ SA Suy · ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA Theo giả thiết: tan α = SA ⇔ SA = AM tan α AM · = AB.cos BAM tan α = · Ta có: BC = AB + AC − AB AC cos BAC = 12 ⇒ BC = a Xét ∆ABC : BC = R ' ⇔ R ' = : bán kính đường · sin BAC tròn ngoại tiếp ∆ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( R ') + Vậy bán kính mặt cầu R = SA2 = ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 9: (Đề thử nghiệm Bộ GD ĐT) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = 2a , AA ' = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB ' C ' A 3a B 3a C 3a D 2a Lời giải Ta chứng minh ·ABC ' = ·AB ' C ' = 90° ⇒ A, B, B ', C ' thuộc mặt cầu với đường kính AC ' Ta có: IA = ( AB ') Suy R = IA 3a = 2 + ( B ' C ' ) = 3a ⇒ Chọn đáp án C Ví dụ 10: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c Gọi ( T ) tứ diện có sáu cạnh sáu đường chéo sáu mặt bên hình hộp cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2 A S = 4π ( a + b + c ) 2 B S = π ( a + b + c ) 2 C S = 2π ( a + b + c ) D S = π ( a + b2 + c2 ) Lời giải Nhận xét mặt cầu ngoại tiếp tứ diện mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Vậy bán kính mặt cầu R = 2 2 a + b2 + c2 suy diện tích mặt cầu S = 4π R = π ( a + b + c ) ⇒ Chọn đáp án B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 11: Cho hình lập phương cạnh a Gọi R1 , R2 , R3 bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương Khẳng định sau đúng? A R2 = R1 R3 2 B R2 = R1 + R3 2 C R1 = R2 + R3 D R3 = R1.R2 Lời giải Ta có: R1 = B'D a AB a = ; R2 = = ; 2 R3 = IO + OM = a2 a2 a + = ⇒ R12 = R22 + R32 4 ⇒ Chọn đáp án C Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 1, chiều cao h = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A B C D Lời giải Xét hai tam giác SHI SOC đồng dạng: SH SI SH SC = ⇔ SI = = SO SC SO ⇒ R = SI = ⇒ Chọn đáp án A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 1, chiều cao h = Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD A B C D Lời giải Ta có ∆SPK cân có PK = 1, SO = ⇒ ∆SPK GH ⊥ ( SBC ) Gọi G trọng tâm ∆SPK ⇒  GO ⊥ ( ABCD ) a ⇒ R = GO = GH = GO = ⇒ Chọn đáp án D Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 1, chiều cao h = Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD 17 A 17 − B C 17 − D 17 − Lời giải Đặt GH = x = GO = R ( < x < ) (Sử dụng hình trên) Xét hai tam giác đồng dạng SHG SOK: HG SG x 2− x = ⇒ = ⇔ 17 x = − x OK SK 17 2 ⇔x= + 17 = −1 + 17 −1 + 17 ⇒R= 8 ⇒ Chọn đáp án B · Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD có hình thoi cạnh 1, BAD = 60° Biết hai mặt phẳng ( SDC ) ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc SC mặt đáy 45° Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD A 7π B 7π C 7π D Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 7π ( SDC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SD ⊥ ( ABCD ) Ta có:  ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) · ⇒ ( SC , ( ABCD ) ) = SCD · Mặt khác: ∆ABD cân A BAD = 60° ⇒ ∆ABD ⇒ ∆BCD Gọi G trọng tâm ∆BCD I giao điểm hai đường hình vẽ R = SI = SK + KI = 21 Vậy mặt cầu có diện tích S = 4π R = 7π ⇒ Chọn đáp án D · Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC với ∆ABC có AB = 1, AC = BAC = 60° , SA vng góc với đáy Gọi B1 , C1 hình chiếu vng góc A SB, SC Tính diện tích mặt cầu qua đỉnh A, B, C , B1 , C1 A 16π B 12π C 8π D 4π Lời giải · Ta có: BC = AB + AC − AB AC.cos BAC =3 ⇒ BC = Lúc AB + BC = AC ⇔ ∆ABC vuông B  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB1 Ta có:   BC ⊥ AB ⇒ AB1 ⊥ ( SBC ) ⇒ AB1 ⊥ B1C Do ·ABC = ·AB1C = ·AC1C = 90° ⇒ A, B, C , B1 , C1 thuộc mặt cầu có đường kính AC ⇒ R = AC = Vậy diện tích mặt cầu S = 4π R = 4π ⇒ Chọn đáp án D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 17: Ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc, C điểm cố định Oz, đặt OC = , A, B thay đổi Ox, Oy cho OA + OB = OC Tìm giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A B C D Lời giải Đặt OB = b, OA = a ⇒ a + b = 1; ( a, b ∈ ( 0;1) ) Gọi H, K trung điểm AB, OC ⇒ R = IH + OH ⇒ R = = b2 + c2 + 4 1 1 1 + ( b + c ) ≥ + ( a + b ) = + = 8 8 6 ⇒ Rmin = 4 ⇒R≥ ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 18: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ∆ABC tam giác vuông cân A, AB = , góc A ' C ( ABC ) 60° Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C ' ABB ' A ' A 5π B 5π C 5π D Lời giải Ta có: AA ' ⊥ ( ABC ) ⇒ ( A ' C , ( ABC ) ) = ·A ' CA Xét ∆A ' CA vuông A: tan ·A ' CA = AA ' ⇔ AA ' = AC.tan ·A ' CA = AC Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C ' ABB ' A ' mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi H, K trung điểm cạnh BC , B ' C ' Bán kính mặt cầu R = IC ' = IK + ( KC ') = 2 Vậy diện tích mặt cầu S = 4π R = 5π = 5π ⇒ Chọn đáp án B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 5π Ví dụ 19: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ∆ABC tam giác vng A, AB = 3, BC = , hình chiếu vng góc B ' ( ABC ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết góc hai mặt phẳng ( ABC ) A ( ABB ' A ') 60° Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B ' ABC 73 48 B 73 24 C 73 48 D 73 24 Lời giải · ' KH Gọi K trung điểm AB ⇒ ( ( ABB ' A ') , ( ABC ) ) = B · ' KH = Xét ∆B ' KH vuông H: B ' H = KH tan B Suy ra: B ' A = AH + B ' H = 73 Xét hai tam giác B ' PI B ' HA : B'I B'P B ' A.B ' P 73 = ⇒ IB ' = = B' A B'H B'H 48 ⇒ R = IB ' = 73 48 ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 20: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD ) vng góc với Biết tam giác ABC cạnh a, tam giác BCD vuông cân D Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A a B a C 2a 3 D Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, H trung điểm cạnh BC Do ( ABC ) ⊥ ( BCD ) tam giác BCD vuông cân D nên AH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Suy ra: G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bán kính mặt cầu là: R = AG = a AH = 3 ⇒ Chọn đáp án D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a 3 Ví dụ 21: Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình bát diện có cạnh a A r = a 6 B r = a C r = 2a D r = a Lời giải Gọi H trung điểm BC O tâm hình vng ABCD Dựng OK ⊥ EH ⇒ OK ⊥ ( SBC ) Dễ chứng minh tương tự với mặt khác khoảng cách từ O đến mặt bát diện OK ⇒ O tâm r = OK bán kính mặt cầu nội tiếp bát diện Xét ∆SOH : 1 a = + ⇒ OK = 2 OK OH OE ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 22: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình vng cạnh 2a Gọi H trung điểm AB SH = a độ dài đường cao hình chóp Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A R = a 21 B R = a 21 C R = a D R = a 3 Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD Qua O dựng ∆ ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆ / / SH  SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ OH ⊥ ( SAB ) Ta có:  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB Mặt khác: ∆SAB cân có AB = 2a SH = a suy ∆SAB cạnh 2a Gọi G trọng tâm ∆SAB , qua G dựng d ⊥ ( SAB ) ⇒ d ⊥ OI  IA = IB = IC = ID ⇔ IA = IB = IC = ID = IS hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình Lúc đó: d ∩ ∆ = { I } Ta có:   IA = IB = IS chóp S.ABCD có bán kính R = SI 2 a 21 Xét ∆SGI vng G, ta có: SI = SG + GI =  GH ÷ + IO = 3a + a = 3  ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SD ⊥ ( ABCD ) SD = a Gọi E trung điểm DC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE A R = a 11 B R = a 11 C R = a 11 D R = Lời giải · Vì AB = DE = AD = a DAB = 90° nên ABED hình vng Tam giác BCD có EB = ED = EC = a nên vuông B, BE ⊥ CD nên trung điểm M BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC + Qua M dựng ∆ ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆ / / SD + Dựng mặt phẳng trung trực cạnh SC, mặt phẳng cắt Δ I  IB = IE = IC ⇔ IB = IE = IC = IS Vậy I Ta có:   IC = IS tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC R = IC * Kẻ SN / / DM cắt MI N, ta có SDMN hình chữ nhật, với SD = a 2 DB + DC BC ( AB + AD ) + DC EC + EB 5a DM = − = − = 4 2 Ta có: SI = SN + NI = SN + ( NM − IM ) = Mặt khác: IC = IM + MC = IM + Suy ra: 5a 2 + ( a − IM ) a2 R = IC = SI 5a a2 3a a a 11 + ( a − IM ) = IM + ⇔ IM = ⇒ R = IC = IM + = 2 2 ⇒ Chọn đáp án B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2a 11 11 Ví dụ 24: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân AB = AC = a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) SA = SB = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết SC = x A R = a2 3a − x B R = a2 + 3a − x C R = a2 a2 − x2 a2 D R = 3a − x Lời giải Gọi K trung điểm AB, qua K dựng đường trung trực AB Tâm I mặt cầu giao điểm trục đường tròn Δ ∆SBC đường trung trực AB Lúc đó: R = IA Xét hai tam giác KAI OAB đồng dạng: AI KA = AB AO AB.KA AB a2 ⇔ AI = = = AO AC − OC 3a − x R = AI = a2 3a − x ⇒ Chọn đáp án D III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh Xét điểm MA2 + MB + MC + MD = Trong câu sau, tìm câu M khơng A M thuộc mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC có bán kính B M thuộc mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện ABCD có bán kính C M thuộc mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện ABCD có bán kính D M thuộc đường tròn cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC có bán kính Câu gian Trong hình đây, hình khơng có mặt cầu ngoại tiếp? A Hình B Hình C Hình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D Hình mà Câu Câu Ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc C điểm cố định Oz, C ≠ O ; A, B hai điểm thay đổi Ox, Oy cho OA2 + OB = k (k cho trước) Kí hiệu (S) tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Trong câu sau, tìm câu A ( S ) mặt trụ B ( S ) mặt phẳng C ( S ) đoạn thẳng D ( S ) cung tròn Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp B Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = a Hình chiếu S ( ABC ) trung điểm H BC Khẳng định sau đúng? A Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trung điểm SH B Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC H C Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trọng tâm tam giác ABC D Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trung điểm AH Câu Ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc C điểm cố định Oz, C ≠ O; A, B hai điểm thay đổi Ox, Oy cho OA + OB = OC Kí hiệu ( S ) tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Trong câu sau, tìm câu Câu A ( S ) mặt phẳng B ( S ) mặt trụ C ( S ) đoạn thẳng D ( S ) cung tròn Xét hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R Trong mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề đúng: tổng độ dài cạnh hình hộp lớn A Khi hình hộp có đáy hình vng B Khi hình hộp hình lập phương C Khi hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng với công sai khác D Khi hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân với công bội khác Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Khẳng định sau đúng? A Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD tâm đáy B Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm đoạn thẳng nối S với tâm mặt đáy C Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trọng tâm tam giác SAC D Tâm mặt cầu ngoai tiếp hình chóp S.ABCD S Câu Hình chóp D.ABC có DA vng góc với ( ABC ) , BC vng góc với DB, AB = c, BC = a, AD = h Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A a + b2 + c2 B a + b2 + c2 C a + b2 + c2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D a + b + c Câu 10 Mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện ABCD cạnh a có bán kính là: A a 2 B a C a D 2a Câu 11 Gọi O1 , O2 , O3 tâm mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tiếp xúc với cạnh hình lập phương Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề A O1 trùng với O2 khác O3 B O2 trùng với O3 khác O1 C Trong ba điểm O1 , O2 , O3 hai điểm trùng D O1 , O2 , O3 trùng Câu 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi B ', C ', D ' trung điểm cạnh AB, AC, AD Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C , D, B ', C ', D ' 11 A B 11 22 C 22 D Câu 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A a Câu 14 Cho hình B lăng trụ đứng a 2 ABC A ' B ' C ' C a có đáy ABC D tam giác a vuông C, AC = a, AB = 3a, AC ' = a Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu 15 8π a 3 B 4π a 3 C 16π a 3 Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 1, chiều cao h = D 32π a 3 Tính tỉ số thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp thể tích khối chóp cho A π B π C π D π Câu 16 Hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 1, chiều cao Tính tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp thể tích khối chóp cho A 27 π B 27 π C 27 π D 27 π 16 Câu 17 Hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , đáy ABC có AC = 1, BC = 2, ·ACB = 120° , cạnh bên Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho A 40π B 40π C 40π D 40π 27 Câu 18 Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 7π B 7π C 7π D 7π Câu 19 Cho tam giác ABC cạnh Gọi ( P ) mặt phẳng qua BC vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Trong ( P ) xét đường tròn ( T ) đường kính BC Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón có đáy ( T ) , đỉnh A A π B π C π D 2π · Câu 20 Hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh 1, BCD = 120° , SD vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc SB mặt đáy 60° Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp SBCD A 13 13 B C 13 D 13 Câu 21 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , lấy điểm S cho SC tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60° Tính theo a đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A a 10 B 5a C 10a D 10a Câu 22 Xét mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện cạnh Tính bán kính mặt cầu A 2 B C D 2 Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a Mặt bên SCD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A S = 50π a B S = 16π a C S = 32π a D S = 14π a Câu 24 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật mà AD = 3, AC = 5; SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc ( SCD ) mặt phẳng ( ABCD ) 45° Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 17π 34 B 17π 34 C 34π 34 D 17π 34 Câu 25 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B, AB = BC = 1; AD = ; mặt phẳng ( SAD ) vng góc với ( ABCD ) tam giác SAD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC A B C D Câu 26 Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vng cân A, AB = a Tam giác BCD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A V = Câu 27 6π a 27 B V = 6π a C V = 6π a 27 D V = 16 6π a 27 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, µA = 60°, SA = , tam giác SAB vuông S mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp SABD A Câu 28 4π 27 B 4π C 4π D Cho tứ diện ABCD có ABC BCD tam giác cạnh a, AD = 4π a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = a 11 B R = a 21 C R = a 15 D R = a 13 Câu 29 Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB = ; cạnh bên tạo với đáy góc 60° Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 8π B 8π C 8π D 8π Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , BC = AB = 2a, AC = a Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 9π a B 3π a C 5π a D 5π a · Câu 31 Hình chóp S.ABC có SA vng góc với ( ABC ) , AB = 1, AC = 2, BAC = α Gọi B1 , C1 hình chiếu A SB, SC Tính bán kính mặt cầu qua A, B, C , B1 , C1 A − cos α sin α B − cos α sin α C − cos α sin α D − cos α 2sin α · · Câu 32 Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu mà ·ADB = BDC = CDA = 90° Tìm đường kính mặt cầu A AB B BC C CA uuuur uuur D DD ' DD ' = 3DG với G trọng tâm tam giác ABC Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp A Câu 34 ( 2 1+ ) B ( 1+ ) C ( 1+ ) Hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC vng cân A, AB = , chiều cao ba điểm A, B, C Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp A ' ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D ( 1+ ) , điểm A ' cách A 8π B 4π C 16π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D 32π ... tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Trong câu sau, tìm câu A ( S ) mặt trụ B ( S ) mặt phẳng C ( S ) đoạn thẳng D ( S ) cung tròn Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hình chóp có đáy tứ giác có mặt. .. mặt phẳng ( SDC ) ( SAD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc SC mặt đáy 45° Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD A 7π B 7π C 7π D Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề. .. tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Trong câu sau, tìm câu Câu A ( S ) mặt phẳng B ( S ) mặt trụ C ( S ) đoạn thẳng D ( S ) cung tròn Xét hình hộp nội tiếp mặt cầu bán kính R Trong mệnh đề sau