GV TRẦN QUỐC NGHĨA Chủ đề 33 VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Vấn đề VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN I Vectơ khơng gian ① Vectơ, giá độ dài vectơ uuu r  Vectơ khơng gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, r r r a điểm cuối B Vectơ kí hiệu , b , c , …  Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Ngược lại, hai vectơ có giá cắt gọi hai vectơ khơng phương Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Độ dài vectơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối uuu r uuu r AB vectơ Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị Kí hiệu độ dài vectơ AB uuu r AB  AB  BA Như : r r r a ② Hai vectơ nhau, đối Cho hai vectơ , b ( ) r r  Hai vectơ a b gọi chúng có hướng độ dài r r � a cu� ng h� � � ng b r r � a  b � �r r r r | a |  | b | � Kí hiệu a  b r  Hai vectơ a gọi đối chúng ngược hướng độ dài r r � a cu� ng h� � � ng b r r � a  b � �r r r r |a |  |b | � a   b Kí hiệu ③ Vectơ – khơng Vectơ – không điểm cuối trùng rlà vectơ uuu r có uuurđiểm đầu r uuu r Kí hiệu: , AA  BB  CC   Vectơ – khơng có phương, hướng tùy ý, có độ dài không Vectơ – không phương, hướng với vectơ II Phép cộng phép trừ vectơ ① Định nghĩa uuu r r uuur r uuur r r a b AB  a BC  b  Cho Trong không gian lấy điểm A tùy ý, dựng , Vectơ AC u u u r u u u r u u u r r r r r gọi tổng hai vectơ a b kí hiệu AC  AB  BC  a  b rr r r r aar b  a   bb  B r ② Tínhr chất r r r r a b a b b a  A Tính rchấtr giao hoán: a b C   TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 r r r r r r a b c  a  b c r r r r rr a 0  0a  a a r r r r r a   a    a  a    Tính chất kết r hợp:  Cộng với :  Cộng với vectơ đối:    ③ Các qui tắc uuur uuur uuur C A B  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm , , ta có: AC  AB  BC Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín uuuur uuuur uuuuuur uuuur A1 A2  A2 A3  K  An 1 An  A1 An A , A , A , � , A , A n –1 n Cho n điểm Ta có: An-1 B A A A3 A2 A1 AA A5 10 n AC BQui tắc trừ (baCđiểm cho phép trừ): A9 A8 uuur uuur uuu r Với ba điểm A , B , C ta có: AC  BC  BA A  Qui tắc hìnhDbình hành: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur Với hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD DB  AB  AD D tắc hình hộp.C  Qui B C D với AB , AD , AA�là ba cạnh Cho hình hộp ABCD A���� A B có chung đỉnh A AC � đường chéo, ta có: uuuu r uuu r uuur uuur � ACD'  AB  AD  AAC'� III Phép nhân số với vectơ A' nghĩa B' ① Định r r r Cho k �0 vectơ a �0 Tích k a vectơ: r - Cùng hướng với a k  r - Ngược hướng với a k  r r a ② Tính chất Với , b bất kì; m, n �R , ta có: r r r r r r m a  b  ma  mb m  n  a  ma  na    r r r r r r  1 ar  ar r r m  na    mn  a 1.a  a a  k 0   ,  ; M kiện để hai vectơ phương ③ Điều r r r r r r r a b � k � a b a  kb Cho hai vectơ ( ), : phương  uuur uuur C AB  k AC A B Hệ quả: điều kiện để ba điểm , , thẳng hàng A I B ④ Một số tính chất  Tính chất trung điểm uur uur uuu r A uu r uur r uu r uur AI  IB  AB Cho đoạn thẳng AB có I trung điểm, ta có: IA  IB  ; IA   IB ; uuur uuur uuu r  MB  2MI ( M bất kì)  MAG B chất trọng C  Tính tâm uuu r uuur uuur r  ABC G GA  GB  GC  Cho , trọng tâm, ta có: uuur uuur uuuu r uuuu r B  MB  MCC 3MG ( M bất kì)  MA  Tính chất O hình bình hành  A  D GV TRẦN QUỐC NGHĨA Cho hình bình hành ABCD tâm O , ta có: uuu r uuu r uuur uuur r uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r  OA  OB  OC  OD   MA  MB  MC  MD  4MO IV Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng ① Khái niện đồng phẳng ba vectơ không gian uuu r r r r r r Cho ba vectơ a , b , c ( ) không gian Từ điểm O ta dựng OA  a , uuu r r uuur r OB  b , OC  c Khi xảy hai trường hợp:  Các đường thẳng OA , OB , OC không nằm mặt phẳng ta nói ba vectơ r r r a , b , c không đồng phẳng r r  Các đường thẳng OA , OB , OC nằm mặt phẳng ta nói ba vectơ a , b , r c đồng phẳng r ② Địnhanghĩa r Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song b r với c mặt phẳng r r r a , b , c song song với mặt Trên hình bên, giá vectơ B Ar r r phẳng () nên ba vectơ a , b , c đồng phẳng O C  đồng phẳng ③ Điều kiện để ba vectơ Định lí r r r r r Cho ba vectơ a , b , c a b không phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ r r r r r r a , b , c đồng phẳng có số m , n cho c  ma  nb r r A rb b r r c c r c r D m.a pc r r r ar a r d nb O B rO n.b ma ④ Phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng A Định lí D' r r r a Nếu ba vectơ , b , c không đồng phẳng với vectơ r d , ta tìm số m , n , p cho r r r r d  ma  nb  pc Dạng Tính tốn vectơ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI uuur uuur uuu r AB  AC  CB ① Quy tắc ba điểm: (quy tắc cộng) uuu r uuu r uuu r AB  CB  CA (quy tắc trừ) uuur uuur uuur ② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta ln có: AC  AB  AD uuuur uuu r uuur uuur B C D , ta được: AC '  AB  AD  AA ' ③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A���� uu r uur r ④ Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB , M điển bất kỳ: IA  IB  uuur uuur uuu r MA  MB  2MI TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 ⑤ Tính chất trọng tâm tam giác: G trọng tâm ABC , M ta có: uuu r uuur uuur r uuur uuur uuuu r uuuu r GA  GB  GC  MA  MB  MC  3MG ⑥ Tính chất trọng tâm tứ diện: G trọng tâm tứ diện ABCD: uuu r uuu r uuur uuur r uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r GA  GB  GC  GD  M ta có: MA  MB  MC  MD  4MG ⑦ Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r ⑧ Nếu ba vectơ a , b , c không đồng phẳng vectơ d viết dạng r r r r d  ma  nb  pc , với m , n , p  Chú ý:  Để biểu diễn vectơ hệ sở ta thường đưa gốc để tính, chẳng hạn uuuu r uuuu r uuur vectơ MN gốc O cho trước OM , ON theo hệ sở thuận lợi, từ ta có: uuuu r uuur uuuur MN  ON  OM uuur2 AB  AB hệ sở gồm AB  Để tính đoạn ta bình phương vơ hướng vectơ đồng phẳng rr u v r r r r r r r r � cos(u , v )  ur vr u v u v u  Để tính góc hai vectơ ta tính , v B BÀI TẬP MẪU uuu r r uuur r uuur r uuuu r ���� � � ABCD A B C D AB  a AD  b AA  c AC VD 3.1 Cho hình hộp Đặt , , Hãy phân tích vectơ , r uuuu r uuuur uuuu r uuuu uuuu r r r r BD� D , DB� , B�� , BC �và AD�theo ba vectơ a , b , c uuur r uuu r r uuur r B C Đặt AA '  a , AB  b , AC  c VD 3.2 Cho hình lăng trụ ABC A��� uuuu r uuuu r r r r C , BC �theo ba vectơ a , b , c a) Hãy phân tích vectơ B� uuuu r r r r � ��� �qua ba vectơ a , b , c G A B C AG b) Gọi trọng tâm tam giác Biểu thị vectơ GV TRẦN QUỐC NGHĨA A� B� VD 3.3 Cho hình tứ diệnuuABCD Gọi ,r C � , D� trọng tâm tam giác BCD , ur r u uur r , uuuu uuuur uuu r uuur uuur uuur r CDA , DAB , ABC Đặt AA�  a , BB�  b , CC �  c Hãy phân tích vectơ DD� , AB , BC , CD , DA r r r theo ba vectơ a , b , c ABCD có AB  c , CD  c� VD 3.4 Cho hình tứ , AC  b , BD  b� , BC  a , AD  a� Tính cosin uuudiện r uuur góc vectơ BC DA S ABC có cạnh BC  a cạnh lại a Tính cosin VD 3.5 Cho hình chóp tamuugiác u r uuu r góc vectơ AB SC TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 VD 3.6 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  SB  SC  b đơi hợp với góc 30 Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm G chúng VD 3.7 Cho hình tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M N trung điểm AB CD uuuu r uuur MN MN a) Tính độ dài b) Tính góc hai vectơ BC GV TRẦN QUỐC NGHĨA Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Sử dụng phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với số, tích vơ hướng ② Sử dụng quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, … uuur uuur uuuu r r B C có trọng tâm AA�  BB�  CC � 0  Chú ý: Hai tam giác ABC A��� B BÀI TẬP MẪU ABCD N trung điểm AB CD Chứng minh: M VD 3.8 Cho u tứ diện uuu r uuur uuur Gọi uuur uvà uur a) MN  AD  BC  AC  BD uuu r uuur uuur uuur r GA  GB  GC  GD  G ABCD b) Điểm trọng tâm tứ diện G trọng tâm VD 3.9 Cho tứ diện ABCD uuur với uuur uuur uuur a) Chứng minh AB  AC  AD  AG uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur B AA�  A� C AA�  A� D AA� 0 b) Gọi A�là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh: A� TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 B C D Gọi D1 , D2 , D3 điểm đối xứng điểm D�qua VD 3.10 Cho hình hộp ABCD A���� A, B� , C Chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D1 D2 D3 D� VD 3.11 Cho hình chóp S ABCD uur uuu r uur uuu r a) Chứng minh ABCD hình bình hành SB  SD  SA  SC O AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành b) Gọi uur uurlà giao uuu r điểm uuu r uuu r SA  SB  SC  SD  4SO Dạng Quan hệ đồng phẳng A PHƯƠNG PHÁP GIẢI r r r ① Để c/m ba vectơ a , b , c đồng phẳng, ta chứng minh tồn cặp số thực m, n cho: r r r c  ma  nb r r r ② Để chứng minh ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, ta chứng minh: r r r r ma  nb  pc  � m  n  p  uuu r uuur uuur A , B , C , D AB ③ Bốn điểm đồng phẳng vectơ , AC , AD đồng phẳng B BÀI TẬP MẪU VD 3.12 Chứng minh: r r r r r r r ma  nb  pc  m , n , p 3 a a) Nếu có số khác vectơ , b , c đồng phẳng r r r r r r r ma  nb  pc  m  n  p  a b c b) Nếu , , ba vectơ không đồng phẳng GV TRẦN QUỐC NGHĨA uuuu r uuuu r ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM  3MD cạnh BC lấy VD 3.13 Cho hìnhutứ diện uur uuur uuuu r uuu r uuur điểm N cho NB  3NC Chứng minh ba vectơ AB , DC MN đồng phẳng Dạng Cùng phương song song A PHƯƠNG PHÁP GIẢI uuur uuur ① Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai vectơ AB , AC uuur uuur phương, nghĩa AB  k.AC ; chọn điểm O để chứng minh uuur uuu r uuur OC  kOA  tOB , với t  k  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 10 ② Để chứng minh hai đường thẳng AB CD song song trùng nhau, ta cần chứng minh hai uuu r uuur uuu r uuur CD AB AB vectơ , phương Khi , CD phương có điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD ngược lại AB CD hai đường thẳng song song  P  ta chọn ③ Để chứng minh đường thẳng AB song song nằm mặt phẳng uuur uuur P   P  hai vectơ ar br C , D AB  k.CD điểm thuộc chứng minh ta lấy uuur r r khơng phương, sau chứng minh AB , a b đồng phẳng có điểm thuộc  P  đường thẳng AB song song với  P  đường thẳng AB mà không thuộc ④ Đường thẳng AB qua M A, M , B thẳng hàng Đường thẳng AB cắt CD I uu r uur uur uur IA  k.IB , IC  t.ID Đường thẳng AB cắt mp  MNP  I A, I , B thẳng hàng M , N , P , I đồng phẳng B BÀI TẬP MẪU O Chứng minh điều kiện cần đủ để VD 3.14 Cho hai điểm phân biệt A , B uuuu rđiểmuuu r uuu r điểm M nằm đường thẳng AB OM  kOA  tOB , k  t  Ngồi k t không phụ thuộc điểm O Với điều kiện k , t điểm M thuộc đoạn thẳng AB ? Điểm M trung điểm đoạn AB ? uuur uuur ABCD , M N điểm thuộc AB CD cho MA  2 MB , VD 3.15 Cho tứ diện uuur uuur uu r uur uuur uuu r ND  2 NC Các điểm I , J , K thuộc AD , MN , BC cho IA  k ID , JM  k JN , uuur uuur KB  k KC Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng GV TRẦN QUỐC NGHĨA 27  BCD  VD 3.30 Cho hình chóp A.BCD Gọi O hình chiếu A lên Chứng minh AB  AC  AD � OB  OC  OD 0 � � � VD 3.31 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  a , ASB  90 , BSC  60 , CSA  120 Gọi I SI   ABC  trung điểm cạnh AC Chứng minh B C có đáy tam giác ABC vuông cân A , BC  2CC � VD 3.32 Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� Gọi I , K trung điểm BC AI � �� � B C  ( A AI ) BC ) a) Chứng minh b) Chứng minh AK  ( A� C Chứng minh B , H , K thẳng hàng c) Gọi K hình chiếu vng góc A A� TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 28 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN  ABC   BCD  hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi 3.33 Cho tứ diện ABCD có hai mặt I trung điểm BC BC   ADI  a) Chứng minh AH   BCD  b) Gọi AH đường cao ADI , chứng minh 3.34 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng  ABC  góc điểm O mặt phẳng BC   OAH  CA   OBH  AB   OCH  a) Chứng minh , ,  ABC H b) Chứng minh trực tâm 1 1    OA2 OB OC c) Chứng minh OH 2 2 d) Chứng minh S ABC  S OAB  SOBC  SOCA e) Chứng minh góc ABC nhọn 3.35 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi có SA  SB  SC  SD Gọi O giao điểm AC BD SO   ABCD  a) Chứng minh IJ   SBD  b) Gọi I , J trung điểm AB , BC Chứng minh HG   ABCD  c) Gọi G trọng tâm ACD H cạnh SD cho HD  HS Cm 3.36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi có SA  SC SB  SD SO   ABCD  AC   SBD  BD   SAC  a) b) 3.37 Trên mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD , S điểm nằm mặt phẳng ( ) cho SA  SC , SB  SD Chứng minh rằng: a) SO  ( ) b) Nếu mặt phẳng  SAB  AB   SOH  kẻ SH  AB H  ABCD  Gọi 3.38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi có cạnh SA vng góc với SI SK  I K hai điểm lấy hai cạnh SB SD cho SB SD Chứng minh: IK   SAC  b) SA   ABC   SAB  kẻ 3.39 Cho tứ diện SABC có có ABC vng B Trong mặt phẳng SM SN  AM  SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SB SC Chứng minh rằng: a) BD  SC a) BC   SAB  AM   SBC  b) MN   SAB  , từ suy SB  AN GV TRẦN QUỐC NGHĨA 29 SA   ABC  3.40 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC khơng vng Gọi H K trục tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: SC   BHK  HK   SBC  a) AH , SK BC đồng qui b) c)  ABCD  Gọi 3.41 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , SA vng góc với H , I , K hình chiếu vng góc điểm A SB , SC SD BC   SAB  CD   SAD  a) Chứng minh ,  SAC  mặt trung trực đoạn BD b) Chứng minh c) Chứng minh AH , AK vng góc với SC Từ suy ba đường thẳng AH , AI , AK nằm mặt phẳng  SAC  mặt trung trực đoạn HK Từ suy HK  AI d) Chứng minh e) Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA  AB  a Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tìm góc đường thẳng a mặt phẳng  Cách 1: a Bước Tìm OA a �( )  ta thường dùng cách sau đây: a, ( )   ( a , a ')  � AOH Bước Lấy A �a dựng AH  ( ) H Khi  � Bước Tínhsố đo góc AOH a' 00 � H a, ( )  �900 Chú ý:O  Cách 2: Tính gián hai hướng sau:    tính Hướng 1: Chọn đường thẳng d // a mà góc d a�, ( )  d�, ( ) Từ ta có:    //    mà góc a    tính Hướng 2: Chọn mặt phẳng a� , ( )  a� , ( ) Từ ta có:         B BÀI TẬP MẪU  BCD  VD 3.33 Cho tứ diện ABCD Tính góc đường thẳng AB ĐS: 54044 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 30 SA   ABCD  VD 3.34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a  ABCD   SAC  Tính góc giữa: a) SC , SD với b) BD với ĐS: a) 450; 54044 b) 900 VD 3.35 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang cân đáy lớn AD  2a , AB  BC  CD  a  ABCD  trung điểm I AD Tam giác SAD tam giác hình chiếu vng góc S  ABCD  a) Tính góc SC  SAB  b) Gọi K trung điểm AB , tính góc KI mặt phẳng  SAB  c) Tính góc BD với MBD  arctan( 1/2 ) arcsin( 1/4 ) d) Tính góc SA  ĐS: a) 600 b) c) arctan d) GV TRẦN QUỐC NGHĨA 31 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN SA   ABCD  SA  a 3.42 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O ; , Tính góc giữa: ABCD  SAB  SAD  SAC  a) SO  b) SC  c) BD  d) SB  ĐS: a) arctan2 b) 300 c) 450 d) arcsin( /6 ) 3.43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AD  BC AB  BC  a SA vng góc với  ABCD  SA  a Tính góc giữa:  SAD   SAC   SAC   SCD  a) SC b) SD c) SB d) AC ĐS: a) 300 b) arctan( /2 ) c) arcsin( /6 ) d) 450 SA   ABCD  3.44 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a tâm O ; Gọi M , N hình chiếu A lên SB SD SC   AMN  a) Chứng minh MN //BD AMN  b) Gọi K giao điểm SC với mặt phẳng  Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc với  ABCD  góc  c) Nếu cho AB  a SA  a , tính góc  cạnh SC mặt phẳng  SBC  BD mặt phẳng ĐS: c)   600 ,   arcsin( 21 /7 ) 3.45 Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác vng cân A , BC  a , mp  ABC  a) Tính khoảng cách từ S tới mp  ABC  b) Tính góc SA SA  SB  SC  a a cos   ĐS: a) b) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 32 SA   ABCD  SA  a 3.46 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , , Tính góc giữa:  ABCD   SAB  a) SC với mặt phẳng b) SB với mặt phẳng  SAC  ĐS: a)  SBC  c) AC với mặt phẳng ĐS: b) arctan 60 ; arctan 7 14 21 arctan 14 c) SO   ABCD  M 3.47 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , O tâm đáy , N  ABCD  góc 600 trung điểm cạnh SA , CD Cho biết MN tạo với đáy a) Tính MN SO b) Tính góc MN mp  SBD  ĐS: a) MN  15 a arcsin ; SO  a 15 b) SO   ABCD  3.48 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , O tâm đáy, , SA SBC  hai góc H hình chiếu A  a HB  Tính SA a) Chứng minh SO  AH mp  ABCD  b) Tính tan góc SA với ĐS: a) a/2 b) /2 tạo với  ABCD   SBC  BCD 3.49 Cho hình lập phương ABCD A���� a) Tính góc AB�và BC � ; AC �và CD� B C D ) , I , K trung điểm BC , A�� D b) IK với ( A���� B C D cạnh a Tính góc giữa: 3.50 Cho hình lập phương ABCD A���� D D) b) BD ( B� AC ) D ( AA�� a) B� ĐS: a) ĐS: a) 60 ; 90 arctan( /2 ) b) 45 b) arctan Dạng Thiết diện qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  S  với mặt phẳng  P  ,  P  qua điểm M cho trước vuông Để tìm thiết diện khối đa diện góc với đường thẳng d cho trước, ta lựa chọn hai cách sau: Cách Dựng mặt phẳng  P sau:  Dựng hai đường thẳng cắt vng góc với d , có đường qua M  Mặt phẳng xác định hai đường thẳng ( )  Xác định thiết diện theo phương pháp học Cách Nếu có hai đường thẳng cắt hay chéo a , b vng góc với d thì: GV TRẦN QUỐC NGHĨA 33  P  //a hay  P chứa a  chuyển dạng qua điểm M song song với a  P  //b hay  P chứa b  chuyển dạng qua điểm M song song với b B BÀI TẬP MẪU VD 3.36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ( ABCD Hãy xác định thiết diện  P  qua trung điểm I AB vng góc với AC với tứ diện S ABD của: a) mặt phẳng  Q  qua A , vng góc với SC hình chóp S ABCD b) mặt phẳng VD 3.37 Cho tứ diện ABCD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng AB vng góc với AB  P qua trung điểm I SA   ABC  SA  a VD 3.38 Tứ diện SABC có ABC tam giác vuông cân đỉnh B , AB  a , , Gọi    mặt phẳng qua trung điểm M AB vng góc với SB  a) Xác định mặt phẳng   ĐS: b) S  5a /32 (đvdt)    cắt tứ diện SABC theo thiết diện hình ? tính diện tích thiết diện b) TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 34 B C có đáy tam giác vuông cân, AB  AC  a , AA� a VD 3.39 Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� Ba điểm I , K , M trung điểm BC , CC �và BI B� C   AKI  a) Chứng minh ĐS: b) S  5a /32 (đvdt)  P  qua M vng góc với B� C cắt hình lăng trụ b) Xác định thiết diện mặt phẳng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN SA   ABC   P  3.51 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC vuông B , SA  AB Gọi  P mặt phẳng qua điểm M thuộc cạnh AB vng góc với SB Hãy xác định thiết diện cắt hình chóp Thiết diện hình ? Thiết diện hình bình hành khơng ? SA   ABCD  3.52 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng đáy lớn AD , Mặt phẳng  qua M thuộc cạnh SC vng góc với AB Hãy xác định thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng    Thiết diện hình ? 3.53 Cho hình chóp S ABC có ABC tma giác cạnh a SA  SB  SC  b Gọi G trọng tâm ABC a) Chứng minh SG   ABC  Tính SG GV TRẦN QUỐC NGHĨA b) Xét mặt phẳng  P 35 qua A vuông góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức liên hệ a b để  P  cắt SC điểm C �nằm S C Khi đó, tính diện tích thiết diện hình  P chóp S ABC cắt 2 2 ĐS: a) SG  9b  3a /3 b) a  b ; S  a 3b  a /(4b) (đvdt)  ABCD  O , lấy 3.54 Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O Trên đường thẳng vng góc với a SO  Mặt phẳng    qua A vng góc với SC cắt SB , SC , điểm S cho SD B� , C� , D� a) Tính AC � Chứng minh C �là trung điểm SC ĐS: AC'=a /2 D song song với BD Từ suy cách dựng hai điểm B�và D� b) Chứng minh B�� Dạng Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Tập hợp điểm thường gặp:  Cho điểm A , B , C không thẳng hàng mặt phẳng P  Nếu M điểm thỏa mãn AM  BC điểm M nằm mặt phẳng   qua A vng góc với BC AM      P  qua A vuông  Nếu điểm M thỏa mãn : điểm M nằm mặp phẳng  góc với   P  Nếu điểm M thỏa mãn MA  MB M nằm mặt phẳng   qua trung điểm I AB vng góc với AB , mặt phẳng trung trực đoạn AB  Nếu OM thỏa mãn MA  MB  MC � MA  MB MA  MC M nằm giao tuyến  P  (mặt phẳng trung trực AB ) mặt phẳng  Q  (mặt phẳng trung hai mặt phẳng trực AC ), giao tuyến d trục tam giác ABC B tốn quỹ tích: A ② Hai  H Bài tốn 1: “Quĩ tích hình chiếu H điểm cố định O lên    quay quanh đường thẳng di động d mặt phẳng điểm cố định A ”  Gọi B hình chiếu O Ch OH  BH � �  �� BH  d � BHA Do OH  d � H �     Quĩ tích đường tròn đường kính BA      di động ln Bài tốn 2: “Quĩ tích hình chiếu H điểm cố định A mặt phẳng chứa đường P thẳng cố định d ” B A  P  qua A vng góc Bước Xác định mặt phẳng với d a  ( ) � P  a Tìm d  H E TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 36 Bước Gọi H hình chiếu vng góc A lên a , H hình chiếu vng góc A  P  P  Trong  P  , Bước Gọi E giao điểm d với � ta có AHE  90 nên quĩ tích đường tròn đường  P kính AE B BÀI TẬP MẪU VD 3.40 Tìm tập hợp điểm M cách mút đoạn thẳng AB VD 3.41 Tìm tập hợp điểm M cách ba đỉnh tma giác ABC VD 3.42 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm: a) M cho MA  BC b) N cho: NA  BC , NB  CA , NC  AB C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ax   ABCD  3.55 Cho hình thang ABCD vng A B , có AD  2a , AB  BC  a Trên tia lấy điểm S Gọi C � , D�lần lượt hình chiếu vng góc A SC SD Chứng minh rằng: � � a) SBC  SCD  90 GV TRẦN QUỐC NGHĨA 37 b) AD� , AC �và AB nằm mặt phẳng D luôn qua điểm cố định S di động Ax c) Đường thẳng C �� 3.56 Cho mặt phẳng     A điểm cố định thuộc    cho OA điểm O    , d đường thẳng di động    luôn qua A Gọi khơng vng góc với M hình chiếu vng góc O d a) Tìm tập hợp điểm M thỏa tính chất nêu b) Tìm vị trí d để độ dài OM lớn  ABCD  3.57 Cho hình vng ABCD tâm O , S điểm di động tia Ax vng góc với a) Tìm tập hợp hình chiếu vng góc O đường thẳng SB b) Tìm tập hợp chân đường cao vẽ từ đỉnh D SDC BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 3.58 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh bên SA  SB  SC  SD  b hợp với đáy góc 60 Gọi I trung điểm CD Tính góc hợp đường thẳng:  SBD  a) SC  SAB  b) SI ĐS: a) 300 b) 44024 3.59 Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đơi vng góc với AB  a , BC  b , CD  c a) Tính AD b) Chỉ điểm cách A , B , C , D (Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện)  BCD   ABC  c) Tính góc đường thẳng AD với mặt phẳng �  600 B C D có cạnh AB  a , AD  2a , AA�  3a BAD 3.60 Cho hình hộp đứng ABCD A���� D) a) Chứng minh AB  ( BD� b) Gọi H , K hình chiếu vng góc D BD�và BC � BC �   DHK  Chứng minh SA   ABCD  3.61 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , SA  a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng    qua A vng góc với cạnh SC cắt SB , SC , SD B� b) Mặt phẳng , C� , D� D // BD AB�  SB Chứng minh B�� 3.62 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA  SC , SB  SD Gọi O giao điểm AC BD SO   ABCD  a) Chứng minh: d   SAB  � SCD  d   SBC  � SAD  SO   d1 , d  b) Gọi , Chứng minh: SA   ABC  3.63 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B , BC   SAB  AH   SBC  a) Trong SAB kẻ đường cao AH Chứng minh , SC  AHK   b) Trong SAC kẻ đường cao AK Chứng minh BM //  AHK  c) Trong ABC kẻ đường cao BM Chứng minh TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 38 � 3.64 Cho ABC cân A có A  120 , cạnh BC  a Lấy điểm S mặt phẳng chứa ABC cho SA  a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp SBC a) Chứng minh: AO   SBC  b) Tính AO SBC vng S ĐS: a/2 SA   ABCD  3.65 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a , SA  a Gọi AH đường cao SAB SH a) Tính tỉ số SB độ dài AH b) Gọi     cắt hình chóp theo thiết diện hình mặt phẳng qua A vng góc với SB , gì? Tính diện tích thiết diện ĐS: a) SH / SB  / 3, AH  a / b) S  5a /18 (đvdt) 3.66 Cho tam giác ABC có đường cao AH  2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  O , lấy điểm S cho OS  2a Gọi I điểm OH , đặt AI  x , a  x  2a Gọi    mặt phẳng qua I vng góc với đường thẳng OH  a) Xác định mặt phẳng    với tứ diện SABC Thiết diện hình gì? ĐS: S  (3x  2a)(2a  x) / b) Dựng thiết diện c) Tính theo a x diện tích thiết diện Với x diện tích thiết diện lớn ? x  4a / � SA   ABCD  3.67 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , B  60 , SA  a Gọi M điểm cạnh SB a) Khi M trung điểm cạnh SB , tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với  ADM   ADM  b) Khi M di động cạnh SB , tìm tập hợp hình chiếu vng góc S mặt phẳng BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN3.21 Khẳng định sau sai ? A Nếu đường thẳng d  ( )  d vng góc với hai đường thẳng ( ) B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm ( ) d  ( ) C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm ( ) d vng góc với đường thẳng nằm ( ) D Nếu d  ( ) đường thẳng a //( ) d  a   TN3.22 Trong không gian cho đường thẳng  điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với  cho trước? A B C D Vô số TN3.23 Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước? A B C D Vơ số TN3.24 Mệnh đề sau sai ? A Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song GV TRẦN QUỐC NGHĨA 39 D Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song SA   ABC  TN3.25 Cho hình chóp S ABC có ABC vng B Gọi AH đường cao SAB Khẳng định sau sai ? A SA  BC B AH  BC C AH  AC D AH  SC   TN3.26 Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B là: A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB TN3.27 Cho tứ diện ABCD có AB  AC DB  DC Khẳng định sau đúng? AB   ABC  CD   ABD  A B AC  BD C D BC  AD   TN3.28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA  SC SB =SD Khẳng định sau đây khẳng định sai ? SO   ABCD  AC   SBD  BD   SAC  A B C D CD  AC SH   ABC  TN3.29 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC tam giác ABC vuông B Vẽ , H � ABC  Khẳng định sau khẳng định đúng? A  H trùng với trọng tâm tam giác ABC B  H trùng với trực tâm tam giác ABC C  H trùng với trung điểm AC D  H trùng với trung điểm BC SA   ABC  TN3.30 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai ? A CH  SA B CH  SB C CH  AK D AK  SB   TN3.31 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC Gọi O hình chiếu S lên mặt đáy ABC Khẳng định sau khẳng định đúng? A O trọng tâm tam giác ABC B O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C O trực tâm tam giác ABC D O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC   SA   ABC    TN3.32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi O tâm ABC I trung điểm SC Khẳng định sau khẳng định sai ?  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn BD A BC  SB B IO   ABCD  C D Tam giác  SCD vuông D SA   ABCD  TN3.33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Gọi I , J , K trung điểm AB, BC SB Khẳng định sau khẳng định sai ? A  IJK  //  SAC  C Góc SC BD có số đo 60 B D BD   IJK  BD   SAC  TN3.34 Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC , CD đơi vng góc Hãy điểm O cách bốn điểm A, B, C, D A O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C O trung điểm cạnh BD B O trọng tâm tam giác ACD D O trung điểm cạnh AD TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 40 SA   ABC  TN3.35 Cho hình chóp S ABC có AB  BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam  ABC  Khẳng định sau đúng? giác SBC H hình chiếu vng góc O lên A H trung điểm cạnh AB B H trung điểm cạnh AC C H trọng tâm tam giác ABC D H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AH   BCD  TN3.36 Cho tứ diện ABCD Vẽ Biết H trực tâm tam giác BCD Khẳng định sau khẳng định ? A AB  CD B AC  BD C AB  CD D CD  BD SA   ABCD  TN3.37 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng có tâm O , Gọi I trung điểm SC Khẳng định sau khẳng định sai ? A IO   ABCD  B C BD  SC TN3.38  SAC  mặt phẳng trung trực đoạn BD D SA  SB  SC Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC , BD vng góc với đơi Khẳng định sau khẳng định ?  BCD  góc �ACD B Góc AD  ABC  góc �ADB A Góc AC  ABD  góc �CAB D Góc CD  ABD  góc �CBD   C Góc AC TN3.39 Cho tam giác ABC vuông cân A BC  a Trên đường thẳng qua A vng góc với a SA  ( ABC ) lấy điểm  S cho Tính số đo đường thẳng SB  ABC  A 300 B 450 C 600 D 750 TN3.40 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với  ABCD   ABCD  có số đo 450 Tính độ dài SO lấy điểm S Biết góc SA A SO  a B SO  a C SO  a D SO  a 2  ABCD  TN3.41 Cho hình thoi ABCD có tâm O , BD  4a , AC  2a Lấy điểm S không thuộc SO   ABCD  cho A 30 Biết �  tan SBO B 45 Tính số đo góc SC  ABCD  0 C 60 D 75 SA   ABCD  TN3.42 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a Biết a Tính góc SC  ABCD  0 A 30 B 45 SA  C 60 D 75 TN3.43 Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên SA  SB  SC  SD Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau khẳng định sai ? A HA  HB  HC  HD B Tứ giác ABCD hình bình hành GV TRẦN QUỐC NGHĨA 41 C Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D Các cạnh SA, SB, SC , SD hợp với đáy ABCD góc TN3.44 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên  ABC  trùng với trung điểm H cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác đều.Tính số đo  ABC  góc SA 0 A 30 B 45 C 60 D 75 TN3.45 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cạnh huyền BC  a Hình chiếu vng  ABC  trùng với trung điểm BC Biết SB  a Tính số đo góc SA góc S lên  ABC  A 30 B 45 C 60 D 75 ... uuuur uuuur uuur r uuur r uuur r C1C  2C1 D D1D  2 D1 A , Đặt AB  i , AC  j , AD  k Hãy biểu diễn vectơ A1 B1 , A1C1 , uuuur r r r A1 D1 i theo ba vectơ , j , k Cho hình hộp ABCD.EFGH... ABCD A1 B1C1 D1 uuuu r uuur uuur AC1  A1C  AC a) Chứng minh rằng: 3 .12 Cho hình hộp TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 12 uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuuu r r OA  OB  OC  OD  OA1 ... trụ tam giác có , AC  c Hãy phân tích vectơ uuuu r uuuu r r r r B� C , BC �qua vectơ a , b , c uuur uuur uuur uuur A1 B1 C1 D1 A1 A  2 A1 B B1 B  2 B1C ABCD Cho tứ diện Gọi , , điểm thỏa: