TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT) ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Kiến thức giới hạn dãy số giới hạn hàm số sở hai phép tính đạo hàm tích phân phổ thơng trung học Kiến thức giới hạn khơng khó người học mà khó người dạy Trong tình hình để cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm Để giúp giảm bớt khó khăn nên tơi soạn đề tài Giải pháp thực máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số: Quy ước: máy tính khơng có biến n nên ta ghi x thay cho n • Gặp hàng số: C ×1010 , C ×1020 … đọc (dấu C) nhân vô cực với C số (chú ý lớn 10) Ví dụ −5 ×1010 (đọc âm vơ cực ghi −∞ ) • Gặp số C × 10−12 đọc (chú ý số mũ nhỏ −10 ) A Dãy có giới hạn −1 −1 10 Ví dụ 1: lim ( ) máy ghi: ( ) calc x ? Nhập 10 [ = ] n+5 x+5 −11 Kq: 9.99999995 ×10 ta đọc Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: (sau mở máy) n x Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Kq: 9.99999995 ×10−11 ta đọc −1 Vậy lim ( ) = n+5 n −1 Ví dụ 2: lim ( ) – cos n −1 cos x nhập ( )2 calc máy Math ERROR n +1 x +1 Vận dụng định lý Nếu un ≤ với n lim = lim un = – Ta cần ghi Vậy lim ( n x calc x? nhập 1010 [ = ] kết 1×10−20 đọc x +1 −1) cos n =0 n2 + n −1 Ví dụ 3: lim ( ) n máy ghi ( −1) x −31 calc x? 100 kq: 3.84430 26 ×10 đọc +1 +1 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: (sau mở máy) n x Màn hình xuất hiện: Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến q trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word −1 Vậy lim ( ) x =0 2x + BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Tìm giới hạn n − ( n + 1) sin n −1) ( lim lim n+5 n 2n − B Giới hạn hữu hạn: n  ( −1) n  −1) 10 ( lim +   Ví dụ 1: máy ghi: + calc x? nhập 10 [ = ] kq n +   n+2 Cách bấm máy: lim lim cos 2n n3 +  Nhập vào máy tính: Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: , hình xuất (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến q trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  ( −1) n  =2 Vậy lim  + n +   sin 3n 1  sin 3n   sin 3n  − 1÷ = −1 ≤ mà lim = lim ( −1) = −1 nên lim  − ÷ = −1 Ví dụ 2: lim  4n n n  4n   4n  n − 3n + 2n − Cách bấm máy:  Nhập máy tính: Ví dụ 3: lim Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến q trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: n − 3n + Vậy lim = 0.5 2n − Với cách bấm máy tương tự cho ví dụ sau: −2n − 4n + 3n + −2n3 − 4n + 3n + 15 máy ghi calc x? nhập 10 [ = ] kq −2 3 n − 5n + n − 5n + −2n − 4n + 3n + Vậy lim = −2 n3 − 5n + Ví dụ 4: lim http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 5: Máy ghi lim −1 X +1 − X + 11 calc x = 100 kq X +2 X +3 +2 −4 2n +1 − 3n + 11 −1 = 3n + + 2n +3 − 13.3n − 15 13 × X − 15 Ví dụ 6: lim n máy ghi calc X? nhập 100 [ 0] 3.19755 ×10−17 đọc n X X 3.2 + 4.5 × + 4.5 Vậy: lim 13.3n − 15 = (chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm) 3.2n + 4.5n C Giới hạn vô cực: Vậy lim −n3 − 3n + − n3 − 3n + 15 máy ghi calc x? nhập 10 [ = ] kq −5 × 1014 đọc âm vơ cực 2 2n + 11 2n + 11 −n3 − 3n + Vậy lim = −∞ 2n + 11 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: Ví dụ 1: lim Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: Vậy lim −n3 − 3n + = −∞ 2n + 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 15 Ví dụ 2: lim ( 5n − 3n + 1) máy ghi ( 5n − 3n + 1) calc x? nhập 10 [ = ] kq ×1030 (đọc dương vơ cực) Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến q trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: Vậy lim −n3 − 3n + = +∞ 2n + 11 Ví dụ 3: lim 3n + 5n + n − máy ghi: dương vô cực) 15 3n + 5n + n − calc x? nhập 10 [ =] kq: 1.73205 08 × 1030 (đọc Vậy: lim 3n + 5n + n − = +∞ (Nhập tương tự ví dụ 2) f ( n) * Nếu với f ( n ) , g ( n ) đa thức theo n Ta ý đến số hạng chứa mũ cao n g ( n) biểu thức f ( n ) , g ( n ) −2n3 + 3n − 2n 15 máy ghi calc x? nhập 10 [ = ] kq: −6.66666667 ×1014 (đọc âm vơ cực) 2 3n − 3n Cách bấm máy: Ví dụ 1: lim http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Nhập vào máy tính: Màn hình xuất hiện:  Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: −2n3 + 3n − = −∞ 3n − Tương tự cho ví dụ bên Vậy lim Ví dụ 2: lim Vậy lim n − n3 − 5n + máy ghi n + 12 15 n6 calc x? nhập 10 [ = ] kq 1×1030 (đọc dương vơ cực) n n − n3 − 5n + = +∞ n + 12 3n + 3x + 17 máy calc x? 100 [ = ] 4065611 ×10 đọc +∞ n x −1 −1 n * CHÚ Ý: Gặp a nhập n = 100 Ví dụ 3: lim 3n + = +∞ 2n − n + 4n − n2 15 Ví dụ 4: lim máy ghi calc x ? Nhập 10 [ = ] kq: 3n + n + 3n Vậy lim http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy: lim n + 4n − =0 3n3 + n + 15 2n + 3n − 2n máy ghi calc x? nhập 10 [ = ] kq: 2 2n − n + 2n Nếu gặp dạng tổng – hiệu hai cần ý lượng liên hợp rút gọn trước áp dụng dạng n +1 n n2 + n + − n = calc x? nhập Ví dụ 1: lim n + n + − n ta có máy ghi 2 n + n +1 + n n +n Ví dụ 5: lim 1015 [ = ] kq: Vậy lim ( ) n2 + n + − n = Ví dụ 2: lim ( ) ( ) ( ) ta có n + − n +1 = n + + n +1 ≈ n n + − n +1 Mà lim n = +∞ = +∞ Vậy: lim n + − n +1 1 calc x? nhập 1015 [ = ] kq: Ví dụ 3: lim máy ghi 3n + − 2n + 3n − 2n = (các hệ số trước n lệch không cần nhân lượng liên hợp) Vậy: lim 3n + − 2n + Ví dụ 4: lim n2 + − n + máy ghi: 3n + 15 n2 − n calc x? nhập 10 [ = ] kq: 3n Bài tập rèn luyện: Tìm giới hạn sau: 4n − n − 1 lim (KQ: 2) + 2n 2 lim   lim  n − ÷ (KQ: +∞ ) n +1  lim 2n − 3n3 + lim (KQ: −3 ) n3 + n 2 − 3n ) ( n + 1) lim ( ( 3n + + n (KQ: 0) − 2n ) n + n − n − (KQ: − 4n (KQ: − 4n + n + n − − 4n − (KQ: −1 ) lim (KQ: −1 ) 2.4n + 2n n+3 B GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM lim f ( x ) Nếu f ( x ) xác định x0 viết f ( x ) calc? x0 [ = ] f ( x0 ) x→x lim 2 n ( x3 + 5x2 + 10 x ) máy viết: ( x3 + x2 + 10 x ) calc X? 2[ =] 48 Ví dụ 1: lim x →2 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: Màn hình xuất hiện: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ) 27 )  Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến q trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: Vậy lim x →2 ( x + x + 10 x ) = 48 Tương tự cho ví dụ x2 − 5x + = − = f ( 1) x−2 CÁC DẠNG VƠ ĐỊNH: f ( x) 2.1 Dạng Khi tìm lim x → x0 mà f ( x0 ) = g ( x0 ) = g ( x) Ví dụ 2: lim x →1 Ví dụ 3: lim x →2 x2 − x2 − máy ghi calc X? nhập 2, 000001 (lớn tí ti) máy x − 3x + x − 3x + 3,999997 làm tròn đọc hay nhập x = 1,999999999 (nhỏ tí ti) [ = ] Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: Màn hình xuất hiện: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: Màn hình xuất hiện: x2 − Vậy lim x →2 =4 x − 3x + Tương tự cho ví dụ x3 − 3x + x3 − 3x + Ví dụ 4: lim x →1 máy ghi calc X? Nhập 0,9999999 [ = ] x − 4x + x − 4x + x3 − 3x + = x4 − 4x + x − x − 72 x − x − 72 Ví dụ 5: lim x →3 máy ghi calc X? nhập 3, 0000001 kq: 25,50000069 đọc 25,5 x − 2x − x − 2x − nhập 2,9999999 kq: 25, 49999993 đọc 25,5 Vậy lim x →1 x − x − 72 51 = x2 − 2x −   −1   − − Ví dụ 6: lim x →1  ÷ máy ghi  ÷ calc X? nhập 1, 000000001[ = ] KQ:  x −1 x −1   x −1 x −1      − − calc X? nhập 1, 000000001[ = ] − KQ: −1 Ví dụ 7: lim x →1  ÷ máy ghi  ÷  1− x 1− x  1− x 1− x  Vậy lim x →3 Ví dụ 8: lim x →a x4 − a4 x4 − a4 máy ghi calc x−a x−a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Chọn a = x → Chọn a = x → Chọn a = x → Chọn a = x → kq: kq: = × 13 kq: 32 = × 23 kq: 108 = × 33 x4 − a4 = 4a x−a Nhận xét thực phép chia giải tự luận nhẹ hơn! Bảng chia Hoocner Hệ số x 0 a a a2 Vậy lim x →a lim x →a ( x − a ) ( x3 + ax + a x + a ) x−a a3 −a = lim x→a ( x3 + ax + a x + a ) = 4a f ( x) ∞ thường gặp x → ±∞ dạng không chứa bậc chẵn tính giới hạn dãy g ( x) ∞ 2.2 DẠNG: Chỉ khác n thay x, x → −∞ nhập −1010 Ví dụ 1: lim x →+∞ Ví dụ 2: lim x →−∞ Ví dụ 3: lim x →+∞ Ví dụ 4: lim x →−∞ −3 3x3 − x + 3x3 − x + máy ghi calc X? 1020 KQ: 3 2 −2 x + x − −2 x + x − x − 3x + x − 3x + máy ghi calc X? -1010 KQ: +∞ − x3 + x − − x3 + x − x − 3x + x − 3x + máy ghi calc X? 1010 KQ: −1×1020 → −∞ (đọc trừ vơ cực) 3 − x + 2x − −x + 2x − x − 3x + x x − 3x + x máy ghi calc X? − 1020 KQ: 3x − 3x − x2 − 2x + + − x Ví dụ 5: lim X →±∞ TH1: lim X →+∞ TH2: lim X →−∞ x2 − 2x + + − x x − 3x + x x2 − 2x + + − x x − 3x + x Ví dụ 6: lim X →+∞ ( x + x +1 + x ( ( CALC X? − 1020 KQ: ) CALC X? 1020 KQ Ví dụ 7: lim X →−∞ CALC X? 1020 (trong căn) KQ: x + x + − x dạng ( ∞ − ∞ ) x +1 Máy ghi Máy ghi: x − 3x + x ) x + x + − x Khi khơng phải dạng ( ∞ − ∞ ) nên không cần nhân lượng liên hợp x2 + x + − x ) CALC − 1020 KQ × 1020 đọc +∞ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... tài liệu file word −1 Vậy lim ( ) x =0 2x + BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Tìm giới hạn n − ( n + 1) sin n −1) ( lim lim n+5 n 2n − B Giới hạn hữu hạn: n  ( −1) n  −1) 10 ( lim +   Ví dụ 1: máy ghi: +... C Giới hạn vô cực: Vậy lim −n3 − 3n + − n3 − 3n + 15 máy ghi calc x? nhập 10 [ = ] kq −5 × 1014 đọc âm vơ cực 2 2n + 11 2n + 11 −n3 − 3n + Vậy lim = −∞ 2n + 11 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: ... +1 +1 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính: (sau mở máy) n x Màn hình xuất hiện: Sau nhập: , hình xuất hiện: (có thể xuất số khác dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng đến q trình bấm máy)  Ta nhập tiếp: