HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian Cho hai đường thẳng a b không gian Có trường hợp sau xảy a b: Trường hợp 1: Có mặt phẳng chứa a b, theo kết tronh hình học phẳng ta có ba khả sau: - a b cắt điểm M , ta kí hiệu a∩ b = M - a b song song với nhau, ta kí hiệu aPb - a b trùng nhau, ta kí hiệu a ≡ b Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng chứa a b, ta nói a b hai đường thẳng chéo Các định lí tính chất • Trong khơng gian, qua điểm cho trước không nằm đường thẳng a có đường thẳng song song với a • Nếu ba mặt phẳng phân biệt đơi cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng qui đơi song song • Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng • Nếu hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng ( α ) ( β ) có điểm chung M chứa hai đường thẳng song song d d' giao tuyến ( α ) ( β ) đường thẳng qua M song song với d d' Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( SAB) ( SCD ) A đường thẳng qua S song song với AB, CD B đường thẳng qua S C điểm S D mặt phẳng (SAD) Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  AB ⊂ ( SAB)  CD ⊂ ( SCD ) Ta có   AB PCD S ∈ ( SAB) ∩ ( SCD )  ⇒ ( SAB) ∩ ( SCD ) = d P AB PCD ,S ∈ d Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I , J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( SAB) ( IJG) A.là đường thẳng song song với AB B.là đường thẳng song song vơi CD C.là đường thẳng song song với đường trung bình hình thang ABCD D.Cả A, B, C b) Tìm điều kiện AB CD để thiết diện ( IJG) hình chóp hình bình hành A AB = CD B AB = CD C AB = CD D AB = 3CD Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Ta có ABCD hình thang I , J trung điểm AD , BC nên IJ / / AB G ∈ ( SAB) ∩ ( IJG )   AB ⊂ ( SAB) Vậy   IJ ⊂ ( IJG )  AB PIJ  ⇒ ( SAB) ∩ ( IJG ) = MN PIJ P AB với M ∈ SA , N ∈ SB b) Dễ thấy thiết diện tứ giác MNJI Do G trọng tâm tam giác SAB MN P AB nên MN SG = = AB SE ( E trung điểm AB) ⇒ MN = AB ( AB + CD ) Vì MN PIJ nên MNIJ hình thang, MNIJ hình bình hành MN = IJ Lại có IJ = ⇔ AB = ( AB + CD ) ⇔ AB = 3CD Vậy thết diện hình bình hành AB = 3CD Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta làm theo cách sau: - Chứng minh chúng thuộc mặt phẳng dùng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song mặt phẳng - Chứng minh hai đường thẳng song song vơi đường thẳng thứ ba http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word - Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng - Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M , N trung điểm SA SB a) Khẳng định sau A MN song song với CD B MN chéo với CD C MN cắt với CD D MN trùng với CD b) Gọi P giao điểm SC ( ADN ) , I giao điểm AN DP Khẳng định sau đúng? A SI song song với CD B SI chéo với CD C SI cắt với CD D SI trùng với CD Lời giải: a) Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên MN P AB Lại có ABCD hình thang ⇒ AB / /CD  MN P AB ⇒ MN PCD Vậy  CD P AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Trong ( ABCD ) gọi E = AD ∩ BC , ( SCD ) gọi P = SC ∩ EN Ta có E ∈ AD ⊂ ( ADN ) ⇒ EN ⊂ ( AND ) ⇒ P ∈ ( ADN ) Vậy P = SC ∩ ( ADN )  I ∈ ( SAB)  I ∈ AN ⇒ ⇒ SI = ( SAB) ∩ ( SCD ) Do I = AN ∩ DP ⇒  I ∈ DP I ∈ SCD ( )    AB ⊂ ( SAB)  CD ⊂ ( SCD ) ⇒ SI PCD Ta có  AB P CD  ( SAB) ∩ ( SCD ) = SI  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết AD = a, BC = b Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng ( ADJ ) cắt SB,SC M , N Mặt phẳng ( BCI ) cắt SA ,SD P ,Q a) Khẳng định sau đúng? A MN song sonng với PQ B MN chéo với PQ C MN cắt với PQ D MN trùng với PQ b) Giải sử AM cắt BP E ; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ Tính EF theo a, b A EF = ( a+ b) B EF = ( a+ b) C EF = ( a+ b) D EF = Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( a+ b) a) Ta có I ∈ ( SAD ) ⇒ I ∈ ( SAD ) ∩ ( IBC )  AD ⊂ ( SAD )   BC ⊂ ( IBC ) Vậy   AD PBC ( SAD ) ∩ ( IBC ) = PQ  ⇒ PQ P AD PBC ( 1) Tương tự J ∈ ( SBC ) ⇒ J ∈ ( SBC ) ∩ ( ADJ )  AD ⊂ ( ADJ )   BC ⊂ ( SBC ) Vậy   AD PBC ( SBC ) ∩ ( ADJ ) = MN  ⇒ MN P AD PBC ( 2) Từ ( 1) ( 2) suy MN PPQ  E ∈ ( AMND )  F ∈ ( AMND ) b) Ta có E = AM ∩ BP ⇒  ; F = DN ∩ CQ ⇒   E ∈ ( PBCQ )  F ∈ ( PBCQ )  AD PBC ⇒ EF P AD PBC P MN PPQ Do EF = ( AMND ) ∩ ( PBCQ ) Mà   MN PPQ Tính EF : Gọi K = CP ∩ EF ⇒ EF = EK + KF Ta có EK PBC ⇒ Mà EK PE = BC PB ( 1) , PM P AB ⇒ PE PM = EB AB PM SP PE = = ⇒ = AB SA EB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word EK PE PE = = = Từ ( ) suy BC PB PE + EB Tương tự KF = 2 = ⇒ EK = BC = b EB 5 1+ PE 2 a Vậy EF = EK + KF = ( a+ b) 5 Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: Để chứng minh bốn điểm A , B,C , D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b qua hai bốn điểm chứng minh a, b song song cắt nhau, A , B,C , D thuôc mp( a,b) Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui cách chứng minh §1, ta chứng minh a, b, c giao tuyến hai ba mặt phẳng ( α ) , ( β ) ,( δ ) có hai giao tuyến cắt Khi theo tính chất giao tuyến ba mặt phẳng ta a, b, c đồng qui Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M , N , E, F trung điểm cạnh bên SA ,SB,SC SD a) Khẳng định sau đúng? A ME, NF ,SO đôi song song ( O giao điểm AC BD ) B ME, NF ,SO không đồng quy (O giao điểm AC BD ) C ME, NF ,SO đồng qui (O giao điểm AC BD ) D ME, NF ,SO đôi chéo (O giao điểm AC BD ) b) Khẳng định sau đúng? A Bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng B Bốn điểm M , N , E, F không đồng phẳng C MN, EF chéo D Cả A, B, C sai http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Trong ( SAC ) gọi I = ME ∩ SO , dễ thấy I trung điểm SO , suy FI đường trung bình tam giác SOD Vậy FI / /OD Tương tự ta có NI POB nên N , I , F thẳng hàng hay I ∈ NF Vậy minh ME, NF ,SO đồng qui b) Do ME ∩ NF = I nên ME NF xác định mặt phẳng Suy M , N , E, F đồng phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M , N , E, F trọng tâm tam giác SAB,SBC ,SCD SDA Chứng minh: a) Bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng b) Khẳng định sau đúng? A Bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng B Bốn điểm M , N , E, F không đồng phẳng C MN, EF chéo D Cả A, B, C sai b) Ba đường thẳng ME, NF ,SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) a) Khẳng định sau đúng? A ME, NF ,SO đôi song song ( O giao điểm AC BD ) B ME, NF ,SO không đồng quy ( O giao điểm AC BD ) C ME, NF ,SO đồng qui ( O giao điểm AC BD ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D ME, NF ,SO đôi chéo ( O giao điểm AC BD ) Lời giải: a) Gọi M ', N ', E ', F ' trung điểm cạnh AB, BC ,CD DA Ta có SM SN SM SN = , = ⇒ = SM ' SN ' SM ' SN ' ⇒ MN P M ' N ' Tương tự ( 1) SE SF = ⇒ EF PE ' F ' SE ' SF ' ( 2)  M ' N ' P AC ⇒ M ' N ' PE ' F ' ( 3) Lại có   E ' F ' P AC Từ ( 1) ,( 2) ( 3) suy MN PEF Vậy bốn điểm M , N , E, F đồng phẳng b) Dễ thấy M ' N ' E ' F ' hình bình hành O = M ' E '∩ N ' F ' Xét ba mặt phẳng ( M 'SE ') ,( N 'SF ') ( MNEF ) ta có : ( M 'SE ') ∩ ( N 'SF ') = SO ( M 'SE ') ∩ ( MNEF ) = ME ( N 'SF ') ∩ ( MNEF ) = NF ME ∩ NF = I Do theo định lí giao tuyến ba mặt phẳng ba đường thẳng ME, NF ,SO đồng qui CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 31  MN P AC ⇒ MN P( SAC ) a) Ta có   AC ⊂ ( SAC ) b) G1 ,G2 trọng tâm tam giác SAB SBC nên SG1 SG2 = = ⇒ G1G2 P MN mà SM SN MN P AC ⇒ G1G2 P AC G1G2 P AC ⇒ G1G2 P( SAC ) Vậy   AC ⊂ ( SAC )  B ∈ ( ABC ) ∩ ( BG1G2 )   NM ⊂ ( ABC ) c) Ta có  G1G2 ⊂ ( BG1G2 )  MN PG G  ⇒ ( ABC ) ∩ ( BG1G2 ) = d P MN PG1G2 , B ∈ d 32 a) Ta có SM SN = ⇒ MN P AB SA SB  MN P AB ⇒ MN P( ABCD ) Vậy   AB ⊂ ( ABCD ) b) Tương tự SM PD = ⇒ SD P MP SA AD mà MP ⊂ ( MNP ) ⇒ SD / ( MNP ) c) Kẻ NR PBC , R ∈ SC , kẻ RQ PSB,Q ∈ BC ta có http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word SN SR SR BQ = 1) = ( SB SC SC BC mặt khác SN PD = SB AD ( 2) , ( 3) Từ ( 1) ,( 2) ,( 3) ta có BQ PD = ⇒ BQ = PD BC AD Lại có NR = BQ ⇒ NR = PD  NR PBQ ⇒ NR PPD nên Thêm   PD PBQ PDRN hình bình hành, từ ta có  NP PDR ⇒ DR P( SCD )   DR ⊂ ( SCD ) 33 Gọi ( P ) mặt phẳng qua O song song với AB SC O ∈ ( P ) ∩ ( SAC )  Ta có SC ⊂ ( SAC )  SC P( P ) ⇒ ( SAC ) ∩ ( P ) = OM PSC ,O ∈ SA Tương tự  N ∈ ( SAB) ∩ ( P )   AB ⊂ ( SAB)   AB P( P ) ⇒ ( SAB) ∩ ( P ) = MN P AB, N ∈ SB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  N ∈ ( P ) ∩ ( SBC )  ⇒ ( SBC ) ∩ ( P ) = NP PSC , P ∈ BC SC ⊂ ( SBC )  SC P( P ) Trong ( ABCD ) gọi Q = PO ∩ AD thiết diện tứ giác MNPQ  M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD )  34 Ta có ( α ) PBD   BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ ( α ) ∩ ( ABCD ) = MN PBD , N ∈ AD Tương tự ( α ) ∩ ( SAD ) = NP PSA , P ∈ SD ( α ) ∩ ( SAB) = MR PSA , R ∈ SB Gọi E = MN ∩ AC ( α ) ∩ ( SAC ) = EQ PSA ,Q ∈ SC Thiết diện ngũ giác MNPQR http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  M ∈ ( α ) ∩ ( SBC )  35 Ta có SC ⊂ ( SBC )  SC P( α ) ⇒ ( α ) ∩ ( SBC ) = MP PSC , P ∈ BC Tương tự ( α ) ∩ ( SCD ) = NQ PSC ,Q ∈ SD Trong ( ABCD ) gọi I = AC ∩ PN ( α ) ∩ ( SAC ) = IT PSC ,T ∈ SA Thiết diện ngũ giác MPNQT 36 a) Gọi I = AO ∩ BC , J = AO '∩ BD ta có ( AOO ') ∩ ( BCD ) = IJ OO ' P( BCD ) ⇔ OO ' PIJ ⇔ OA O ' A = OI O' J ( 1) Mặt khác ta có O ' A AB = O'J BJ OA AB = OI BI ( 2) ( 3) Từ ( 1) ,( 2) ,( 3) suy BI = BJ Lại có IB AB IB AB = ⇒ = IC AC BC AB + AC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word JB AB JB AB = ⇒ = JD AD BD AB + AD nên IB = JB ⇔ ⇔ AB.BC AB.BD = AB + AC AB + AD BC AB + AC = BD AB + AD ( 1) b) Trường hợp OO ' P( BCD ) OO ' P( ACD ) ta có ( BCD ) ∩ ( ACD ) = CD  ⇒ OO ' PCD OO ' P( BCD )  OO ' P( ACD ) Vì OO ' CD đồng phẳng Xét ba mặt phẳng ( ABC ) ,( ABD ) ,( CDOO ') đôi cắt theo ba giao tuyến AB,CO , DO ' nên ba giao tuyến đồng quy.Gọi I điểm đồng quy I chân đường phân giác góc C , D tam giác CAB, DAB tương ứng.Theo tính chất đường phân giác ta có: IA DA IA CA = = IB DB IB CB suy DA CA BC AC = ⇒ = DB CB BD AD ( 2) Kết hợp với đẳng thức ( 1) ta có BC AB + AC AC AB + AC − AC AB = = = = =1 BD AB + AD AD AB + AD − AD AB ( Tính chất dãy tỉ số bàng nhau) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy BC = BD , AC = AD 37 a) Gọi O = AC ∩ BD , I = SO ∩ AM Ta có  BD P( α )  ⇒ ( α ) ∩ ( SBD ) = EF PBD , E ∈ SB, F ∈ SD , I ∈ EF  BD ⊂ ( SBD )   I ∈ ( α ) ∩ ( SBD ) Thiết diện tứ giác AEMF b) Do O , M trung điểm AC ,SC nên I trọng tâm tam giác SAC ⇒ IS , mặt khác EF PBD nên = IO SE SF SI = = = SB SD SO Từ ta có Và S∆SME SM SE = = = S∆SBC SC SB 3 S∆SMF SM SF = = S∆SCD SC SD c) Dễ thấy K , A , J điểm chung hai mặt phẳng ( ABCD ) ( α ) nên chúng thẳng hàng Gọi d = ( α ) ∩ ( ABCD )  BD P( α ) ⇒ d PBD , mà   BD ⊂ ( ABCD ) BD PEF ⇒ d PEF Vậy K , A , J thuộc đường thẳng d song song với EF http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 38 a) Ta có  M ∈ ( ABM ) ∩ ( SCD )  ⇒ ( ABM ) ∩ ( SCD ) = IJ P AB PCD ,  AB P( SCD )   AB ∩ ( ABM ) M ∈ IJ , I ∈ SD , J ∈ SC Gọi E = SN ∩ AB, F = SM ∩ CD ⇒ EF = ( SMN ) ∩ ( ABCD ) b) Do M , N trọng tâm tam giác SCD SAB nên SM SN SM SN = , = ⇒ = ⇒ MN PEF , SF SE SF SE EF ⊂ ( ABCD ) ⇒ MN P( ABCD ) c) Ta có IJ PCD ⇒ SI SM SN ⇒ IN PDE , = = SD SF SE DE ⊂ ( ABC ) ⇒ MN P( ABCD ) d) Gọi ∆ = ( SAB) ∩ ( SCD ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  P ∈ ∆ ⊂ ( SAB) P = CM ∩ ∆ ⇒   P ∈ CM ⇒ P = CM ∩ ( SAB) Tương tự gọi Q = AN ∩ ∆ Q = AN ∩ ( SCD ) Ta có S, P ,Q thuộc ∆ nên chúng thẳng hàng 39 a) Trong ( ABCD ) gọi d đường thẳng qua A song song với BD d cố định A ∈ ( α)  Ta có  A ∈ d ⇒ d ⊂ ( α ) Vậy ( α ) chứa d PBD  đường thẳng d cố định b) Gọi I = AM ∩ HK , SB SD 2SO + = SH SK SI SB SD SO = = nên SH SK SI ( 1) Gọi N trung điểm MC , ta có SC SN + NC SN NC = = + SN SO SM SM SM SM =2 − 1= − ( 2) SN SN − SM SM SI = + SM SM Từ ( 1) ,( 2) ta có SB SD SC SO  SO  + − =2 − − 1÷ = SH SK SM SI  SI  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Xét mặt phẳng ( α ) ,( SAB) ,( SCD ) ta thấy ( α ) ∩ ( SAB) = AH ,( α ) ∩ ( SCD ) = MK , ( SAB) ∩ ( SCD ) = d P AB PCD Do AH P MK ⇒ AH P MK Pd ⇒ AH P AH ( vơ lí) Tương tự , Nếu AK P MH dẫn đến vơ lí Vậy thiết diện khơng thể hình thang 40 Giả sử ( α ) căt cạnh AC ,CB, BD , DA theo thứ tự M , N , P ,Q MNPQ hình bình hành Ta có MN P AB PPQ MQ / /CD / / NP Do MN CN CN AB a = ⇒ MN = = CN AB CB CB b Tương tự NP BN CD.BN a = ⇒ NP = = BN CD BC BC b Để MNPQ hình thoi ta phải có MN = NP ⇒ CN = BN hay N trung điểm BC Từ dó ta suy M , P ,Q trung điểm cạnh AC , BD , AD ( ) 2 2 a2 + b2 − c2 BA + BC AC Ta có BM = − = 4 Tương tự DM = ( ) a2 + b2 − c2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ⇒ BM = DM ⇒ MP ⊥ DB , MP = BM − BP = 2 ( ) a2 + b2 − c2 Tương tự ta tính NQ = Vậy SMNPQ = MP.NQ = c2 a2 + b2 − c2 − = a2 + c2 − b2 ( a +b −c ) ( a +c −b ) 2 2 2 41 a) Ta có  M ∈ ( α ) ∩ ( ACD )  ⇒ ( α ) ∩ ( ACD ) = MN PCD , N ∈ AC CD ⊂ ( ACD )  CD P( α ) Tương tự ( α ) ∩ ( BCD ) = PQ PCD ,Q ∈ BD Thiết diện tứ giác MNPQ  MN PCD ⇒ MN PPQ nên MNPQ hình thang Vì  PQ P CD  Dễ thấy DQ = CP = x , DM = a− x , Áp dụng định lí sin cho tam giác DMQ ta có MQ = DM + DQ − 2DM DQ cos600 ⇒ MQ = x2 + ( a− x) − 2x( a− x) 2 = 3x2 − 3ax + a2 ⇒ MQ = 3x2 − 3ax + a2 Tương tự ta tính NP = 3x2 − 3ax + a2 ⇒ MP = NQ Vậy MNPQ hình thăng cân Dễ thấy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word MN = x, PQ = a− x , đường cao hình thang h= 8x2 − 8ax + 3a2 1 SMNPQ = [a+ (a− x)] 8x2 − 8ax + 3a2 = a 8x2 − 8ax + 3a2 2 b) Ta có SMNPQ 1  a a2 2 = a 8x − 8ax + 3a = a 8 x − ÷ + a ≥ 2 2  Vậy SMNPQ = a2 a ⇔ x= 2 42  AB PCD ⇒ AB P( SCD ) a) Ta có  CD ⊂ ( SCD )  AB P( SCD )  ⇒ MN P AB , Do  AB ⊂ ( α )  ( α ) ∩ ( SCD ) = MN hay ABMN hình thang b) Ta có  I ∈ AM ⊂ ( SAC ) I = AM ∩ BN ⇒   I ∈ BN ⊂ ( SBD ) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) , I ∈ SO cố định c) Lập luận tương tự câu b) ta K http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) Vì MN / / AB ⇒ AB BM = MN MK Tương tự SK PBC ⇒ BC MB = suy SK MK AB BC − = không đổi MN SK 43 a) Gọi J = AC '∩ A 'C IJ đường trung bình tam giác C ' B' A nên IJ P AB'  IJ ⊂ ( A ' IC ) ⇒ AB'/ / ( A ' IC ) Vậy   AB' PIJ  AB' P( A ' IC )  ⇒ PQ P A ' B b) Ta có  AB' ⊂ ( MA ' B)  ( MA ' B) ∩ ( A ' IC ) = PQ Đặt A 'M = x ( < x < 1) A 'C ' Ta có SA 'PQ SA 'IC = A ' P.A 'Q A 'C.A ' I A 'P A ' M = = x Gọi N trung A 'C AC điểm AC ' ta có Do A ' M P AC nên A 'Q A ' M A 'M = = = A 'I A ' N A 'C '− NC ' A 'M A 'C '− C ' M http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A 'M = A 'C '− ⇒ SA 'PQ SA 'IC ( A 'C '− A ' M ) 2A ' M = = A 'C '+ A ' M A 'M A 'C ' = 2x A ' M 1+ x 1+ A 'C ' 2x2 = 1+ x Do SA 'PQ SA 'IC = 2x2 1+ 37 ⇔ = ⇔ 9x2 − x − = ⇔ x = 1+ x 18 Vậy để S∆A 'PQ = S∆A 'CI M nằm A 'C ' cho A ' M = 1+ 37 A 'C ' 18 44 a) Gọi M trung điểm cạnh AC IM MG = = IB MC ' Do IM MG = ⇒ IG PBC ' IB MC ' Vậy IG PBC ' ⊂ ( ABC ') ⇒ IG P( ABC ') b) Dễ thấy C ,G, A ' thẳng hàng AC P A 'C ' ⇒ A ' G C 'G = =2 GC GM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Gọi N trung điểm B'C ' Ta có K trọng tâm ∆A ' B'C ' nên A 'K A 'G A ' K = 2⇒ = ⇒ GK PCN A 'N GC A ' N Vậy GK PCN ⊂ ( BCC ' B') ⇒ GK P( BCC ' B')  I ∈ ( IJM ) ∩ ( ABC )  45 a) Ta có  AB ⊂ ( ABC )   AB P( IJM ) ⇒ ( IJM ) ∩ ( ABC ) = IE P AB, E ∈ BC Tương tự ( IJM ) ∩ ( ABD ) = JF P AB, F ∈ BD Từ ta thấy EF = ( MIJ ) ∩ ( BCD ) mà M ∈ ( MIJ ) ∩ ( BCD ) ⇒ M ∈ EF Vậy tập hợp điểm M đoạn EF  IE P AB b) Do  nên thiết diện IEFJ  JF P AB hình thang Dễ thấy JF = a a , IE = Áp dụng định lí Cơsin ta có IJ = AI + AJ − 2AIAJ cos600 = a2 4a2 a 2a 13a2 + − = 36 13a2 , 36 IEFJ hình thang cân khơng khó khăn ta tính diện tích Tương tự ta có IE2 = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word thiết diện S = a2 51 144 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... ( β ) = d' • Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG... Chứng minh hai đường thẳng song song vơi đường thẳng thứ ba http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word - Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến... tam giác SAB a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( SAB) ( IJG) A.là đường thẳng song song với AB B.là đường thẳng song song vơi CD C.là đường thẳng song song với đường trung bình hình thang ABCD