PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TOÁN 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word MỤC LỤC PHẦN 1: ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: GIỚI HẠN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY (un) CĨ GIỚI HẠN HỮU HẠN P  n DẠNG 1: un phân thức hữu tỉ dạng un  Q n   (trong P  n  , Q  n  hai đa thức n) Phương pháp: Chia tử mẫu cho n k với n k lũy thừa số mũ lớn P  n  Q  n  (hoặc rút n k lũy thừa có số mũ lớn P  n  Q  n  làm nhân tử) sau áp dụng định lý giới hạn Ví dụ: Tìm giới hạn dãy  un  biết: a) un  2n  3n  5n  b) un  2n3  3n  n  4n  n c) un  2n  3n  n  2n  1   3n   2n2  1 LỜI GIẢI a) Ta thấy n lũy thừa cao tử mẫu, nên chia tử mẫu un cho n được: 2n  3n  2  2 2n  3n  n n n Ta có lim  0, lim  lim  nên un    2 5n  5n  n n2 n2  n2 n2 lim un  200  50 b) Dễ dàng thấy n lũy thừa cao tử mẫu, nên chia tử mẫu un cho n được: 2n3  3n  4   2 4 2n  3n  4 un   n  n n n Ta có lim  0, lim  0, lim  0, lim  n  4n  n n  3n  n n n n n 1  n n n lim 000  Do lim un   n 1  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2n  3n  n � � � �2n  � � � 4� n  n  n  n 2  � , 2n   n � c) Có � � n � � n �2  � n � n � � n� � � � n n �  3n � �1 2n  � � � � � 2�  3n  n �  n  n   n  � Từ � � n � � � �và n n � � n � �n � � � � � 1� � 1� n4 � 2  � n4 � 2  � 2  n n n n � � � � n n un    Vì 1 1 1 1 � �� �2 � � � � � � � � � � � � � 1� n�  �� n  3� n �  � n �2  �      � � � � � � � � � � � n ��n � � n � � n� �n � � n � � n� �n � � n � lim 200 1   0, lim  0, lim  lim  Nên lim un       3    n n n n P  n DẠNG 2: un phân thức hữu tỉ dạng un  Q n   (trong P  n  , Q  n  biểu thức chứa n) Ví dụ: Tìm giới hạn dãy  un  biết: 4n  n   n a) un  b) un  9n  3n 2n   n  4n  LỜI GIẢI a) lim un  4n  n   n 9n  3n  �4n  n  � n2 � � n � n � 1 n 4  n n n   9n  3n � 2� n 9 n � � n n � � 1   1 n n 9 n Vì có   1  , lim  Nên lim un   n n 90 �2n  � �n  � n� � n � � n   n  2n   n  � n � �n � n n    b) un  4n  5 �4n  � n  n� � n � n � Vì có lim 2  , lim  lim  n n n Từ có lim un    1 1  40 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  1 n n 4 n lim  0, n P  n DẠNG 3: un phân thức hữu tỉ dạng un  Q n (trong P  n  , Q  n  biểu thức   chứa hàm mũ an, bn, cn,… Chia tử mẫu cho an với a số lớn nhất) Ví dụ: Tìm giới hạn dãy  un  biết: a) un  2n  n 4n  3n b) un  3.2n  5n 5.4n  6.5n c) un  4n   6n 1 5n 1  2.6n  LỜI GIẢI n 2n  4n 2n 4n �2 �  n �� n n n n n  4n �4 � �2 � �3 � a) Ta có un  n n  n n  n 4n  Ta có lim  lim �� � � 3 4 3 � � � � �4 �  1 � � 4n n 4n �4 � Nên lim un  1 1 1 n �2 � 3.2n  5n 3.2n 5n � �  n n n n n n n 3.2  5� 2� 4� � � � 5    b) Ta có un  Ta có lim � � lim � � n 5.4n  6.5n 5.4n  6.5n 5.4n 6.5n � � �5 � �5 �  n � � n n 5 �5 � Do lim un  c) Ta có un  3.0  1  5.0  6 n2 n 1 6 5n 1  2.6n 3 4n.42  6n.6 4n.4 6n.6  n 4  6 6n 6n  n 1   n 1 n n 1 n 5  2.6 5 2.6n.63 5  2.6  6n 6n 6n n n n �4 � � � n n 6� 4� 5� � � �  Ta có lim � � lim � � n 5� �6 � �6 � 1 � � � 2.6 �6 � Do lim un  42.0   1  2.6 72 DẠNG 4: Nhân lượng liên hợp PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng công thức nhân lượng liên hợp sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  � a  b2 a  b  � ab a  b2   a  b   a  b  � � a  b2 � ab  � a b �  a b  a  b3 a  ab  b  ab  a  b3 a  ab  b   3 a b  a b       a b  b � � ab �  a   a b  b  a   a.b  b a  b �3 a � �  a b    a b  3 2 a  a a3b a  a 3 3 b 2  b b  b b 2 � � � 3 a  a b  � � � a  a b  3 3 3 3 2     a b   b   a   a b   b  a  b �3 a � �  b a3  b 3 a3  b     a b   b   a   a b   b  2 3 a  b �3 a � �   b b  b a  a  a  b � � � a3b 3 a  a  a  b � � �      a b  b � � ab �  a   a b  b  a   a.b  b  3 a  b �3 a � �  2 � � � � � �  b  a  a ab  a.3 b  ab  a.3 b   b  b 2 Ví dụ 1: Tìm giới hạn dãy  un  biết: a) un  n  3n   n b) un  9n2  3n   3n  c) un  n3  3n  n d) un  8n3  4n   2n  LỜI GIẢI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a) Ta có un   n  3n   n  n  3n   n  n  3n   n n  3n   n �3n  � � �  �và Và có 3n   n � � n � � n � � n�  3n  n  3n   n �n  3n  � n  3n   n � � n   2 n n � n � � 5� n� 3 � 3 5 � n�  n Do un  , lim  , lim  lim  Nên lim un  n n n 5 n 1   n 1  1 n n n n NHẬN XÉT: Tại phải nhân lượng liên hiệp? Quay lại ví dụ a) thơng thường ta đặt n k làm nhân tử chung lại phải nhân lượng liên hợp Bây ta thử làm lại câu a) theo phương pháp đặt n k thức thử xem sao, sau rút nhận xét Ta có � � �n  3n  � 5 un  n2  3n   n  n �    1� Vì lim  lim  nên � n  n    n � � � n n n n � n � � n n � � � lim � �  n  n2  1� � lim n  � lim un  �.0 (đây dạng vô định) Nên cách làm không � � không rồi, ta phải sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để khử vơ định sau cách làm hoàn toàn dạng Dấu hiệu nhận biết nhân lượng liên hợp: Để nhận biết tập có nhân lượng liên hợp hay khơng bạn ý tới n có mũ cao sau đưa ngồi dấu thức, chúng trừ ta phải nhân lượng liên hợp Cụ thể ta làm lại câu a) un  n  3n   n biểu thức thức có n cao ta quan tâm đến “nó”, thừa số sau bỏ hết có nghĩa xem un  n  n  n  n  (nên bạn phải nhân lượng liên hợp) Chúng ta xem có nhân lượng liên hợp hay khơng un  2n  3n   n quan tâm đến số hạng có chứa mũ có u n  2n  n  n  n  n    ta có 2n , có nghĩa un viết lại  �0 nên làm trực tiếp không cần nhân lượng liên hợp Cụ thể ta làm sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word � � �2n  3n  � 5 un  2n  3n   n  n �  n  n    n  n    lim  lim  � � � 2 � � n n n n n n � n � � � � �    nên lim � � � �  lim n  � lim un  � n n2 � �     � (cụ thể bạn xem phương pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vơ cực) b) un   9n  3n   3n   9n  3n   3n  9n  3n   3n 9n  3n   3n �3n  � � � 3n   n �  � � n � � n � � n�  2 3n  9n  3n   3n �9n  3n  � 9n  3n   n2 � � n   n n � n � � 2� n� 3 � 3 � n� 2 n un   , lim  0, lim  lim  Nên n n n 4 n    3n 9  3 n n n n lim un  30  900 3 c) un  n3  3n  n    un  n3  3n    � n3  3n  n �3 n3  3n �  n3  3n 3n 2  n n3  3n  n 3n 2 � 3� n �3  � n   n n � n� Ta có    �  n n3  3n  n � �  n n3  3n2  n �n3  3n � 3 n  3n  n � � n  Do n � n � 3 3 � 3� , ta có lim  Nên lim un  3 1 n � �   n � n� d) un  8n3  4n   2n    � 8n3  4n   2n �3 8n3  4n  �   �  n 8n  n   n � � 3 8n3  4n   2n 8n3  4n   4n  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Từ  Ta có suy   8n  4n  Ta có  4n  2  2n 8n  4n   4n 3 3 �8n3  4n  �3 8n  n   n � n   Do đó: � n n n � � � 2� n2 � 4 � n � � un   � � � 4 n �3   � 2n    4n �3   n n � n n n n � � lim 4 2 n2 � �    n n � Vì lim  , lim  n n  Nên lim un  n GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TĨM TẮT LÝ THUYẾT f  x   L lim g  x   M (với L, M ��) Khi đó: Định lí 1: Giả sử xlim � x0 x � x0 �f  x   g  x  � ● xlim � L  M �x0 � �f  x   g  x  � ● xlim � L  M � x0 � �f  x  g  x  � ● xlim � L.M � x0 � ● Nếu M �0 xlim �x f  x L  g  x M Hệ quả: c f  x  � � ● Nếu c số xlim � c.L � x0 �  a.x k   ax0k (a số k �� ) ● xlim � x0 f  x   L Khi đó: Định lí 2: Giả sử xlim � x0 f  x  L ● xlim �x ● xlim �x f  x  L ● Nếu f  x  �0 với x �J \  x0  , J khoảng chứa x0 , L �0 xlim �x Chú ý: Định lí định lí thay x � x0 x � � x � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word f  x  L f  x   � lim Định lí 3: Nếu xlim x � x0 � x0 0 f  x 4) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực: f  x   �� lim g  x   L (với L �0 ) lim � f  x  g  x  � Qui tắc 1: Nếu xlim �được cho bảng sau: � x0 x � x0 x � x0 � lim f  x  Dấu L �  � �  � �  � �  � x � x0 lim � �f  x  g  x  � � x � x0 f  x   L,  L �0  , lim g  x   g  x   g  x   với x � a; b  \  x0  Qui tắc 2: Nếu xlim � x0 x � x0 lim x � x0 f  x cho bảng sau: g  x f  x g  x Dấu L Dấu g  x    �   �   �   � lim x � x0 5) Các dạng vô định: Các dạng vô định thường gặp: � , , 0.�� ,  � � 6) Giới hạn bên: a) Giới hạn hữu hạn: * Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định khoảng  x0 ; b  ,  x0 �� Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thức L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số  xn  khoảng  x0 ; b  mà lim xn  x0 , ta có lim f  xn   L Khi ta viết: lim f  x   L f  x  � L x � x  x � x0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word * Giới hạn bên trái: Giả sử hàm số f xác định khoảng  a; x0  ,  x0 �� Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số  xn  khoảng  a; x0  mà lim xn  x0 , ta có lim f  xn   L Khi ta viết: lim f  x   L f  x  � L x � x  x � x0 f  x   L � lim f  x   lim f  x   L Định lí 5: xlim � x0 x � x0 x � x0 * Giới hạn vô cực: lim f  x   �, lim f  x   �, lim f  x   �, lim f  x   � phát biểu tương tự định nghĩa x � x0 x � x0 x � x0 x � x0 phần giới hạn hữu hạn Định lí với giới hạn vơ cực  Các định lí giới hạn hữu hạn quy tắc tìm giới hạn vơ cực trường hợp x � x0 hay x � x0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN CÁCH KHỬ DẠNG VƠ ĐỊNH 0 (Dạng thường gặp x � x0 ) P  n DẠNG 1: Hàm số f  x   Q n P  x  , Q  x  đa thức theo biến x   PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau rút gọn biểu thức làm tử mẫu Phân tích đa thức thành nhân tử có phương pháp sau:  Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ  Nếu tam thức bậc hai sử dụng ax  bx  c  a  x  x1   x  x2  ,  a �0  với x1 , x2 nghiệm phương trình ax  bx  c   Sử dụng phương pháp Hoocner Phép chia đa thức P  x   ax  bx  cx  dx  e cho  x  x0  theo sơ đồ Hoocner sau: x0 a b c d e a b1  ax0  b c1  ax02  bx0  c d1  ax03  bx02  cx0  d http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cách 3: Dựa vào tính chất trục tam giác: Cho ΔABC nằm  P , MA  MB  MC hình chiếu vng góc điểm M  P  tâm O đường trịn ngoại tiếp ΔABC Khi đó: MO   P  � d  M ,  P    MO KHOẢNG CÁCH DỰNG TRỰC TIẾP Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên  SAB  + Kẻ HI  AB,  I �AB  + Kẻ HK  SI ,  K �SI  Khi đó: d  H ,  SAB    HK  SH HI SH  HI Khoảng cách từ điểm mặt đáy tới mặt đứng (chứa đường cao) Bài tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt bên  SHB  + Kẻ AK  HB + �AK  HB � AK   SHB  � �AK  SH � d  A,  SHB    AK http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khối chóp có cạnh bên Cho hình chóp có đỉnh S có cạnh bên có độ dài nhau: SA  SB  SC  SD (đáy bốn đỉnh ba đỉnh) Khi O tâm đường tròn ngoại tiếp qua đỉnh nằm mặt đáy SO trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy hay nói cách khác: SO   ABCD  � d  S ,  ABCD    SO Chú ý: Nếu đáy là: + Tam giác đều, O trọng tâm + Tam giác vuông, O trung điểm cạnh huyền Hình vng, hình chữ nhật, O giao đường chéo đồng thời trung điểm đường TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP Giả sử ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng  P  mà không thực Đồng thời từ điểm B ta lại dựng trực tiếp khoảng cách tới  P  ta thực tính khoảng cách gián tiếp sau: Cách 1: (Đổi điểm): Tính thơng qua tỉ số khoảng cách   ��� � � d  A,  P    d  B,  P   AB � P     ����� � AB � P  I d  A,  P   d  B,  P    AI BI Cách 2: (Đổi đỉnh): Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách: Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nhiều trường hợp qui tốn thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách dựa vào cơng thức: + h 3V : V , S , h thể tích, diện tích đáy chiều cao hình chóp S http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word + h V : V, S, h thể tích, diện tích đáy chiều cao hình lăng trụ S Phương pháp áp dụng trường hợp sau: Giả sử qui tốn tìm khoảng cách tốn tìm chiều cao hình chóp (hoặc lăng trụ) Dĩ nhiên, chiều cao thường khơng tính trực tiếp cách sử dụng phương pháp thông thường định lí Pitago, cơng thức lượng giác… Tuy nhiên, khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích đáy Như vậy, chiều cao xác định cơng thức đơn giản Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD  2a; SA vng góc với đáy SA  a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  A 3a 2 B 2a 3 C 2a D 3a Lời giải Trong  SAD  , kẻ AH  SD,  H �SD  CD  AD � AH � SAD  � CD   SAD  ���� � CD  AH Vì � CD  SA � �AH  SD � AH   SCD  Vì � �AH  CD � d  A,  SCD    AH  � d  A,  SCD    SA AD SA2  AD  a.2a a  4a 2a � Chọn đáp án C Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 2a chiều cao a Khoảng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên A a B 2a 3 C a 10 D a Lời giải Vì O tâm đáy hình chóp tam giác S.ABC nên SO   ABC  � SO  a Gọi M trung điểm BC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �AM  BC � Vì ABC cạnh 2a � � 2a a �AM  � Khi OM  a AM  3 �BC  AM � BC   SAM  �  SBC    SAM  Vì � �BC  SO Trong  SAM  , kẻ OH  SM ,  H �SM  �  SAM    SBC  �  SAM  � SBC   SM � OH   SBC  � d  O,  SBC    OH Vì � �  SAM  �OH  SM � Xét SOM vng O có đường cao OH, ta có: d  O,  SBC    OH  OS OM OS  OM a   a 3 a 3 �a � � � �3 � a � Chọn đáp án C 10 Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Khoảng cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên A a B a C 2a D a Lời giải Vì O tâm đáy hình chóp tứ giác S.ABCD nên SO   ABCD  � SO  a OM  CD � � Gọi M trung điểm CD � � BC a OM   � � 2 Trong  SOM  , kẻ OH  SM ,  H �SM  � OH   SCD  � d  O,  SCD    OH  OS OM OS  OM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy d  O,  SCD    a  a  a 2 �a � � � �2 �  a � Chọn đáp án B Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD  2a, AB  a SAD tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SHB  A a B a C a 2 D a Lời giải Vì O tâm đáy hình chóp tứ giác S.ABCD nên SO   ABCD  � SO  a OM  CD � � Gọi M trung điểm CD � � BC a OM   � � 2 Trong  SOM  , kẻ OH  SM ,  H �SM  � OH   SCD  � d  O,  SCD    OH  Vậy d  O,  SCD    a  a 2 a 2 �a � � � �2 �  OS OM OS  OM a � Chọn đáp án B Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, � ABC  30�, tam giác SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  A a 39 26 B a 39 13 C a 13 13 D Lời giải Gọi H trung điểm BC �  SBC    ABC  �  SBC  � ABC   BC � SH   ABC  Vì � �  SBC  �SH  BC � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a 13 26 Vì CH � SAB   B � d  C ,  SAB   d  H ,  SAB    CB 2 HB � d  C ,  SAB    2d  H ,  SAB   Gọi E trung điểm AB � HE / / AC � HE  AB Trong  SHE  , kẻ HK  SE ,  K �SE  (1) �AB  HE HK � SHE  � AB   SHE  ���� � AB  HK (2) Vì � �AB  SH Từ (1) (2) � HK   SAB  � d  H ,  SAB    HK � a �SH  � Ta có: � AC BC.sin � ABC a � HE    � � 2 Xét SHE vng H có đường cao HK, ta có: HK  Vậy d  C ,  SAB    2d  H ,  SAB    HK  SH HE SH  HE  a 39 26 a 39 � Chọn đáp án B 13 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a ; cạnh bên SA  a vng góc với đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  bằng: A 2a 3 B 2a C 2a 5 D Lời giải Trong  ABCD  , kẻ AE  BD,  E �BD  Trong  ABCD  , kẻ AH  SE ,  H �SE  (1) �BD  SA � BD   SAE  � BD  AH (2) Vì � �BD  AE Từ (1) (2) � AH   SBD  � d  A,  SBD    AH Xét ABD vng A có đường cao AE, ta có: AE  AB AD AB  AD  a.2a a  4a  2a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a Xét SAE vng A có đường cao AH, ta có: AH  a SA AE SA  AE 2 Vậy d  A,  SBD    AH   2a �2a � a2  � � �5�  2a 2a � Chọn đáp án B Ví dụ [Trích Đề Minh Họa - 2017]: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAD cân S mặt bên  SAD  vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  A h  a B h  a C h  a D h  a Lời giải Gọi I trung điểm AD, SAD cân S nên SI  AD � SI   ABCD  � VS ABCD  SI S ABCD a 3VS ABCD � SI    2a S ABCD a   Trong  SAD  , dựng IH  SD,  H �SD  CD  AD � � CD   SAD  � CD  IH Vì � CD  SI � �IH  SD � IH   SCD  � d  I ,  SCD    IH Vì � �IH  CD AI � SCD   D AB / /  SCD  � d  B,  SCD    d  A,  SCD    AD d  I ,  SCD    IH HD Xét SID vng I có đường cao IH, ta có: IH  ID.IS ID  IS  a 2a ID.IS 2a   2 ID  IS a  4a 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy d  B,  SCD    IH  4a � Chọn đáp án B Bình luận: Thơng thường tính khoảng cách từ điểm đến mặt ta có hướng chính: Đổi điểm, đổi đỉnh đổi sang hình học tọa độ khơng gian (phương pháp tọa độ hóa) Nếu theo hướng giải đổi điểm đổi gián tiếp từ B sang A sang H (như lời giải trên) nhiều thời gian không đáp ứng yêu cầu tốc độ thi theo hình thức trắc nghiệm Đồng thời nhận đề cho thể tích V khối chóp S.ABCD cho trước bạn nên dùng phương pháp đổi đỉnh phù hợp Cụ thể: d  B,  SCD   VS ABCD a 3VS BCD 2     1 S SCD 2 SD.CD a SI  ID 2 4a 2 �a �  2a   � � �2 �  4a Ví dụ 8: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AA '  a, AB  a Gọi M trung điểm B ' C ' Khoảng cách từ A tới mặt phẳng  A ' BC  A 2a 21 B 2a 7 C a 21 D a 21 21 Lời giải �AI  BC � Gọi I trung điểm BC � � AB a  �AI  � 2 Trong  AA ' I  , kẻ AH  A ' I ,  H �A ' I  �BC  AI � BC   AA ' I  �  A ' BC    AA ' I  Vì � �BC  AA ' �  A ' BC    AA ' I  �  A ' BC  � AA ' I   A ' I � AH   A ' BC  Vì � �  AA ' I  �AH  A ' I � � d  A,  A ' BC    AH  AA ' AI AA '2  AI  a a 2 �a � a � � �2 �  a 21 � Chọn đáp án C �  60�đồng thời AA '  a Gọi Ví dụ 9: Hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD G trọng tâm tam giác BCD Khoảng cách từ G tới mặt phẳng  A ' BD  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 2a 21 B 2a 7 C a 21 D a 21 21 Lời giải �BD  AC � BD   AA ' O  �  A ' BD    AA ' O  Vì � �BD  AA ' Trong  AA ' O  , kẻ AH  A ' O,  H �A ' O  �  A ' BD    AA ' O  �  A ' BD  � AA ' O   A ' O � AH   A ' BD  Vì � �  AA ' O  �AH  A ' O � � d  A,  A ' BD    AH  AA ' AO AA '2  AO �  60�� ABD có cạnh a � AO  a Tam giác ABD cân có BAD Vậy d  G,  A ' BD    d  A,  A ' BD    AA ' AO AA '  AO 2  a a 2 �a � a2  � � �2 �  a 21 21 � Chọn đáp án D Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SD   ABCD  trùng với trung điểm H cạnh AB Khi đó, tỉ số A 2 B 2 C d  H ,  SDC   a 3a ; hình chiếu vng góc S D Lời giải Theo đề bài, ta có: SH   ABCD  �HI  a Gọi I trung điểm CD � � �HI  CD CD  HI � � CD   SHI  �  SCD    SHI  Vì � CD  SH � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3 Trong  SHI  , kẻ HK  SI ,  K �SI  �  SCD    SHI  �  SCD  � SHI   SI � HK   SCD  Vì � �  SHI  �HK  SI � Suy ra: d  H ,  SCD    HK  SH HI SH  HI 2 �a � 5a Ta có: HD  AH  AD  � � a  �2 � 2 2 �3a � 5a � SH  SD  HD  � � a �2 � 2 Do đó: d  H ,  SCD    HK  Vậy d  H ,  SDC    a SH HI SH  HI  a.a a2  a2  a a 2  � Chọn đáp án A a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp a) Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b vng góc với đường gọi đường vng góc chung a b Đoạn thẳng MN gọi đoạn vng góc chung a b b) Một số hướng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo TH1: Khi a, b chéo a  b + Bước 1: Dựng mặt phẳng  P  chứa b vng góc với a M + Bước 2: Trong  P  dựng MN  b N + Bước 3: Đoạn MN đoạn vng góc chung a b � d  a, b   MN TH2: Khi a, b chéo a  b Mục tiêu: Chuyển khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ đường đến mặt phẳng * Bước 1: Dựng mặt phẳng  P  chứa b song song với a a / / P * Bước 2: d  a, b   d  a,  P   b � P  M �a  d  M ,  P    Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách mặt phẳng song song: * Bước 1: Dựng hai mặt phẳng  P  ,  Q  cho a � P  / /  Q  �b * Bước 2: Khi d  a, b   d   P  ,  Q    d  M ,  Q   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Khoảng cách hai đường thẳng SB CD A a B a D 2a C a Lời giải Vì CD / /  SAB  � d  CD, SB   d  CD,  SAB    d  D,  SAB   �DA  AB � DA   SAB  � d  D,  SAB    DA  a Vì � �DA  SA Vậy d  CD, SB   d  D,  SAB    a � Chọn đáp án A Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD A a B a C a 2 D a 3 Lời giải Gọi M, N trung điểm AB CD Vì BCD ACD tam giác cạnh a nên AN  BN  a �AN  CD  * � �BN  CD MN � ABN  CD  MN  * � CD   ABN  ����� (1) Mặt khác, AN  BN � ABN cân N � MN  AB (2) Từ (1) (2) � MN đoạn vng góc chung AB CD 2 �a � �a � a Do đó: d  AB, CD   MN  AN  AM  � � � �  � � �2 � � � Vậy d  AB, CD   a � Chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu S  ABC  trùng với trung http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word điểm BC Biết SA hợp với đáy góc 30° Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a B a C a D 2a Lời giải Gọi H trung điểm BC � SH   ABC  � SH  BC (1) �AH  BC (2) � Vì ABC � � a �AH  � Từ (1) (2) � BC   SAH  Trong  SAH  , kẻ HK  SA,  K �SA  (3) � �BC   SAH  � BC  HK (4) Vì � HK � SAH   � Từ (3) (4) � HK đoạn vng góc chung SA BC � d  SA, BC   HK Vì SH   ABC  � HA hình chiếu SA  ABC  �  30� � � SA,  ABC    � SA, HA  SAH �  Xét AHK vuông K, ta có: sin HAK Vậy d  SA, BC   HK  HK � a � HK  AH sin HAK AH a � Chọn đáp án B Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD  AB  2a , cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  SB tạo với mặt phẳng đáy  ABCD  góc 60° Khoảng cách hai đường thẳng AB SC A a 21 B 2a 21 C a 21 14 D Lời giải Vì AB / /  SCD  � d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD   Trong  SAD  , kẻ AH  SD,  H �SD  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a 21 21 CD  AD � � CD   SAD  � CD  AH Vì � CD  SA � �AH  SD � AH   SCD  � d  A,  SCD    AH Vì � �AH  CD �  60� Ta có: � SB,  ABCD    � SB, AB   SBA SA �  a.tan 60� a � SA  AB.tan SBA AB �  Xét SAB vng A, ta có: tan SBA Vậy d  AB, SC   AH  SA AD SA  AD 2 2a.a  4a  3a 2  2a 21 � Chọn đáp án B Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông A với BC  2a , AB  a Khi đó, tỉ 3a  AA ', BC '  số a A B C D Lời giải Vì AA '/ /  BB ' C ' C  � d  AA ', BC '   d  AA ',  BB ' C ' C    d  A,  BB ' C ' C   Trong  ABC  , kẻ AH  BC ,  H �BC  �AH  BC � AH   BB ' C ' C  Vì � �AH  BB ' � d  A,  BB ' C ' C    AH  AB AC AB  AC Ta có: AC  BC  AB  4a  a  a � d  A,  BB ' C ' C    Vậy AB AC AB  AC  a.a a  3a  a a 3 3d  A,  BB ' C ' C   3d  AA ', BC '   � Chọn đáp án B   a a a Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a d  MN , A ' C  CD Khi đó, tỉ số VA A ' B ' C ' D ' A B 2 C D Lời giải Ta có: VA A ' B ' C ' D '  1 AA '.S A ' B 'C ' D '  a.a  a 3 Vì MN / /  A ' BC  � d  MN , A ' C   d  MN ,  A ' BC    d  M ,  A ' BC   Vì AM � A ' BC    B � � d  M ,  A ' BC    d  M ,  A ' BC   d  A,  A ' BC    MB  AB d  A,  A ' BC   � �BC   AA ' B ' B  � BC  AH Trong  AA ' B ' B  , kẻ AH  A ' B,  H �A ' B  Vì � �AH � AA ' B ' B  �AH  A ' B � AH   A ' BC  � d  A,  A ' BC    AH  AB  BH Vì � �AH  BC �a � a A' B a Ta có: BH   � AH  a  � �2 � � 2 � � Khi đó: d  MN , A ' C   d  M ,  A ' BC    1 a d  A,  A ' BC    AH  2 a a d  MN , A ' C  a   � Chọn đáp án C Vậy VA A ' B ' C ' D ' a Vậy a 3 3d  A,  BB ' C ' C   3d  AA ', BC '   � Chọn đáp án B   a a a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... 2x  x2  (*) �   2x  x2 2x  x2    /  2    / 2 x  x2   2x  x2   x  x2   x  x  x2   2x  x2     x2  � y''  2x  x2   2x  x2 / 1 2x  x2 1 2x  x2   1 x 2x... 8 1 x  1 x x   x2  x2  4x   2x  1 x � x  1 x  2 2x x   x2 1 x    x x   x2 1 x x   x2 1 x 1 x  x   x2   x   x2  2x x   x2 2  x  1 x2  http://dethithpt.com... x  11x  18   x    x   (với x1  ? ?2 x2  9 hai nghiệm phương trình x  11x  18  )  x  2? ??  x2  x  4 x3  x  x  12  lim  lim  x �? ?2 x  11x  18 x �? ?2 x �? ?2 x9  x  2? ?? 