ĐẠO hàm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến file word

36 64 0
  • Loading ...
1/36 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/05/2018, 13:07

http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM MỤC LỤC MỤC LỤC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 12 http://dethithpt.com http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến Phương pháp: • Giải phương trình f '(x) = k giải phương trình ta tìm nghiệm x1 , x2 , , xn Phương trình tiếp tuyến: y = f '(xi )(x − xi ) + f (xi ) (i = 1,2, ,n) Chú ý: Đới với tốn ta cần lưu ý mợt sớ vấn đề sau: • Số tiếp tuyến của đồ thị chính số nghiệm của phương trình : f '(x) = k • Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 d2 : y = k2x + b2 Khi đo i) tan α = k1 − k2 , đo α = (·d1 ,d2 ) 1+ k1.k2  k1 = k2 ii) d1 / / d2 ⇔  b1 ≠ b2 iii) d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 = −1 · =± Nếu đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A, B tan OAB · đo hệ số goc của d xác định y'( x) = tan OAB OB , OA 2x − co đồ thị (C) x− 1 Giải bất phương trình y' < −4; Ví dụ : Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B mà OA = 4OB Lời giải: Ta co y' = −1 (x − 1)2   1 −1 (x − 1) <  x− <  < x< < −4 ⇔  Bất phương trình y' < −4 ⇔ 4⇔  ⇔ 2 (x − 1)2  x ≠  x ≠  x ≠ Cách 1: OB 1 = nên hệ số goc của tiếp tuyến k = k = − OA 4 −1 < 0,∀x ≠ nên hệ số goc của tiếp tuyến k = − Nhưng y' = (x − 1) · = Ta co tan OAB http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Hồnh đợ tiếp điểm nghiệm phương trình −1 −1  x = = ⇔ (x − 1)2  x = −1 13 Từ đo ta xác định hai tiếp tuyến thỏa mãn: y = − x + ; y = − x + 4 4 Cách 2:  2x − 1 Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M  x0 ; ÷ (x0 ≠ 1) là: x0 −   y= 2x0 − 2x02 − 2x0 + −1 −x ( x − x ) + y = + hay x0 − (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 Ta xác định tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với trục tọa độ:  2x2 − 2x0 + 1 A(2x02 − 2x0 + 1;0), B 0; ÷ (x0 − 1)2 ÷   Từ giả thiết OA = 4OB , ta co: 2x0 − 2x0 + = x = 2x02 − 2x0 + ⇔ (x0 − 1)2 = ⇔  (x0 − 1)  x0 = −1 Cách 3: Giả sử A(a;0), B(0; b) với ab≠ b =± a x y b Đường thẳng qua hai điểm A, B co dạng ∆ : + = hay ∆ : y = − x + b a b a b Đường ∆ : y = − x + b tiếp xúc (C) điểm co hồnh đợ x0 hệ sau a  −1 b  (x − 1)2 = − a (*)  b b co nghiệm x0 :  (I) Từ (*) suy − < ⇒ = x − b a a  = − x0 + b (**)  x0 − a Với giả thiết OA = 4OB ⇒ a = b ⇔ a = ±4b ⇔   x0 =  −1  13   (x − 1)2 = − b =    x = −1 ⇔  ⇒ Hệ (I) trở thành  b =  2x0 − = − x + b b = 2x0 − + x  x0 −   4 x0 −  13 Do co hai tiếp tuyến thỏa mãn: y = − x + ; y = − x + 4 4 Ví dụ Gọi (C) đồ thị của hàm số y = khác − x2 − 2mx + m , m tham số khác x+ m http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 1.Chứng minh (C) cắt Ox điểm M co hoành đợ x0 hệ sớ goc của tiếp tuyến của (C) M : k = 2x0 − 2m x0 + m 2.Tìm m để (C) cắt Ox hai điểm hai tiếp tuyến của (C) hai điêm đo vuông goc với Lời giải: 3m + m x+ m Khi m ≠ m ≠ − đa thức tử khơng chia hết cho đa thức mẫu đo đồ thị hàm số không suy biến thành đường thẳng Hệ số goc của tiếp tuyến (d) của (C) M Ta co y = x − 3m+ k = y'(x0 ) = (2x0 − 2m)(x0 + m) − (x02 − 2mx0 + m) (x0 + m)2 Vì M tḥc Ox nên y(x0 ) = ⇒ k= x02 − 2mx0 + m = ⇒ x02 − 2mx0 + m= x0 + m (2x0 − 2m)(x0 + m) 2x0 − 2m = (đpcm) x0 + m (x0 + m)2 2.Phương trình hồnh đợ giao điểm của (C) Ox x2 − 2mx + m  x ≠ −m = 0⇔  x+ m  g(x) = x − 2mx + m= (1) (C) cắt Ox hai điểm phân biệt M,N ⇔ (1) co hai nghiệm x1, x2 khác – m  m< ∨ m > ∆ ' = m2 − m>  m< 0∨ m>  ⇔ ⇔ ⇔ (*) m ≠ −  g(−m) ≠ 3m + m≠  Khi đo hệ số goc của hai tiếp tuyến của (C) M, N k1 = 2x1 − 2m 2x − 2m , k2 = x1 + m x2 + m Hai tiếp tuyến vuông goc ⇔ k1.k2 = −1  2x − 2m 2x2 − 2m ⇔ ÷ ÷ = −1  x1 + m  x2 + m  ⇔ 4[x1x2 − m(x1 + x2 ) + m2 ] = − x1x2 − m(x1 + x2 ) − m2 (2) Lại co x1 + x2 = 2m , x1.x2 = m Do đo : (2) ⇔ −m2 + 5m= ⇔ m= 0∨ m= So với điều kiện (*) nhận m = http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM x co đồ thị (C) Tìm tọa đợ điểm M tḥc (C), x− biết tiếp tuyến của (C) M vuông goc với đường thẳng qua điểm M điểm I ( 1;1) Ví dụ : Cho hàm sớ y = Lời giải:  x  Với x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C)  M  x0 ; ÷co phương trình : x0 − 1  y= − x0 x02 1 ( x − x ) + ⇔ x + y − =0 x0 − (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 (x0 − 1)2 r   uuur   IM = x − 1; (d) co vec tơ phương u =  −1; ,  ÷ 2÷ x0 − 1 (x0 − 1) ÷    Để (d) vuông goc IM điều kiện : r uuur x = 1 u.IM = ⇔ −1.(x0 − 1) + = 0⇔  (x0 − 1) x0 −  x0 = Với x0 = , ta M ( 0;0) Với x0 = , ta M ( 2;2) Vậy, M ( 0;0) M ( 2;2) tọa đợ cần tìm Ví dụ : Cho hàm sớ y = x3 + 3x2 − 9x + co đồ thị (C) Trong tất tiếp tuyến của đồ thị (C), tìm tiếp tún co hệ sớ goc nhỏ nhất Lời giải: Hàm số cho xác định D = ¡ Ta co: y' = 3x2 + 6x − Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) ⇔ y0 = x03 + 3x02 − 9x0 + Tiếp tuyến điểm M co hệ số goc: k = y'(x0 ) = 3x02 + 6x0 − = 3(x0 + 1)2 − 12 ≥ −12 mink = −12, đạt được khi: x0 = −1⇒ y0 = 16 Vậy tất tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến M ( −1;16) co hệ số goc nhỏ nhất co phương trình là: y = −12x +4 Ví dụ Gọi (C) đồ thị của hàm số y = −2x3 + 6x2 − Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) điểm A tḥc (C) co hồnh đợ x = Tìm giao điểm khác A của (d) (C) Xác định tham số a để tồn ít một tiếp tuyến của (C) co hệ số goc a http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Chứng minh co một tiếp tuyến của (C) qua điểm co hồnh đợ thỏa mãn phương trình y'' = của (C) Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) điểm A: y = y'(3)(x − 3) + y(3) = −18x + 49 Phương trình hồnh đợ giao điểm của (d) (C): − 2x3 + 6x2 − = −18x + 49 ⇔ 2x3 − 6x2 − 18x + 54 = ⇔ x = ∨ x = −3 Suy giao điểm của (d) (C) khác A B( − 3;103) Tồn ít một tiếp tuyến của (C) co hệ số goc a ⇔ ∃x0 ∈ ¡ , y'(x0 ) = a ⇔ ∃x0 : −6x02 + 12x0 = a Bài tốn quy :Tìm a để phương trình - 6x2 +12x = a (1) co nghiệm (1) ⇔ 6x2 – 12x + a = (1) co nghiệm ⇔ ∆ ' = 36 − 6a ≥ ⇔ a ≤ Vậy a ≤ Từ giả thiết, suy hồnh đợ phương trình y'' = ⇔ x = 1⇒ I ( 1; − 1) Phương trình tiếp tuyến (D) của (C) qua I ( 1; − 1) co dạng : y = k ( x – 1) – −2x03 + 6x02 − = k(x0 − 1) − (1) (D) tiếp xúc (C) điểm co hồnh đợ x0 ⇔  co −6x0 + 12x0 = k (2) nghiệm x0 Thay (2) vào (1) ta − 2x03 + 6x02 − = (−6x02 + 12x0 )(x0 − 1) − ⇔ (x0 − 1)3 = ⇔ x0 = Suy phương trình ( d ) : y = 6x – Ví dụ : Cho hàm số y = − x3 + (m− 1)x2 + (3m− 2)x − co đồ thị (C) Tìm m để 3 ( C ) co hai điểm phân biệt M 1(x1 ; y1), M 2(x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > tiếp tuyến của (C) điểm đo vuông goc với đường thẳng d : x − 3y + = Lời giải: Hàm số cho xác định D = ¡ Ta co: y' = −2x2 + 2(m− 1)x + 3m− Hệ số goc của d : x − 3y + 1= kd = Tiếp tuyến điểm M 1(x1 ; y1), M 2(x2 ; y2 ) vng goc với d phải co: y' = −3 Trong đo x1 , x2 nghiệm của phương trình: −2x2 + 2(m− 1)x + 3m− = −3 (1) ⇔ 2x2 − 2(m− 1)x − 3m− = http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM u cầu tốn ⇔ phương trình (1) co hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 > ∆ ' = (m− 1)2 + 2(3m+ 1) >  m< −3  ⇔  −3m− ⇔  −1 < m < − >0    Vậy, m< −3 −1< m< − thỏa mãn tốn Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = x3 − 6x2 + 9x − điểm M , biết M điểm cực trị của ( C ) tạo thành tam giác co diện tích Lời giải: Hàm số cho co điểm cực trị A ( 1;2) , B( 3; −2) đường thẳng qua cực trị AB : 2x + y − = Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( C ) của hàm số tiếp tuyến ( d) cần tìm Khi đo y0 = x03 − 6x02 + 9x0 − Ta co: AB = , d( M ; AB) = 2x0 + y0 − Giả thiết SMAB = ⇔ AB.d( M ; AB) = ⇔ 2x0 + y0 − = ⇔ 2x0 + y0 = 10 2x0 + y0 = −2  2x0 + y0 = −2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 = x0 − 6x0 + 9x0 −  y0 = −2 − 2x0  y = −2 ⇔ ⇔ hay M ( 0; −2) x x − x + 11 = x = 0 0   Tiếp tuyến M là: y = 9x − ( )  2x0 + y0 = 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ:   y0 = x0 − 6x0 + 9x0 −  y0 = 10− 2x0  y0 = ⇔ ⇔ hay M ( 4;2)  ( x0 − 4) x0 − 6x0 + 11 =  x0 = Tiếp tuyến M là: y = 9x − 34 ( ) Vậy, co tiếp tuyến thỏa đề bài: y = 9x − y = 9x − 34 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM x− co đồ thị (C) Tìm điểm M (C) 2(x + 1) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ một tam giác co trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Ví dụ : Cho hàm sớ y = Lời giải: Hàm số cho xác định D = ¡ \ { −1} Gọi M( x0 ; x0 − ) ∈ (C) điểm cần tìm 2(x0 + 1) Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) M ta co phương trình ∆ : y = f ' (x0 )(x − x0 ) + x −1 x0 − ⇒ y= (x − x0 ) + 2(x0 + 1) 2(x0 + 1) ( x0 + 1)  x02 − 2x0 −   x02 − 2x0 − 1 B = ∆ ∩ Oy ⇒ B 0; ;0÷ Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A  − ÷,  2(x + 1)2 ÷ ÷      x02 − 2x0 − x02 − 2x0 − 1 ; ∆ OAB co trọng tâm là: G(  − ÷ 6(x0 + 1)2 ÷   Do G tḥc đường thẳng: 4x + y = ⇒ −4 ⇔ 4= (x + 1) x02 − 2x0 − x02 − 2x0 − + =0 6(x0 + 1)2    x0 + =  x0 = − ⇔ (vì A, B ≠ O nên x02 − 2x0 − ≠ ) ⇔   x + 1= −  x = −   Với x0 = −  3 ⇒ M  − ;− ÷  2 Với x0 = −  5 ⇒ M  − ; ÷  2 Ví dụ : Tìm mđể tiếp tuyến của đồ thị y = x3 − 3x2 + m điểm co hồnh đợ cắt trục Ox , Oy A B cho diện tích tam giác OAB co diện tích 1,5 2 Tìm giá trị dương của m để ( Cm ) : y = x − 3( m+ 1) x + 3m+ cắt trục hoành điểm phân biệt tiếp tuyến điểm co hồnh đợ lớn với trục tọa độ tạo thành tam giác co diện tích 24 Lời giải: x = 1⇒ y ( 1) = m− suy M ( 1; m− 2) Tiếp tuyến M d : y = −3x + m+ http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM  m+  ;0÷ d cắt Ox A nên A ( xA ;0) A ∈ d suy A    d cắt Oy B nên B( 0; yB ) B ∈ d suy B( 0; m+ 2) Diện tích tam giác OAB co diện tích 1,5 OA OB = hay 2 m+ 2 m+ = hay ( m+ 2) = phương trình co nghiệm m= −5 m= Vậy, m= −5 m= giá trị cần tìm OA OB = ⇔ Phương trình hồnh đợ giao điểm ( Cm ) trục hoành : ( ) x4 − 3( m+ 1) x2 + 3m+ = ⇔ x2 −  x2 − ( 3m+ 2)  = ( ∗) Với m> ( Cm ) cắt trục hoành giao điểm phân biệt x = 3m+ hồnh đợ lớn Gỉa sử A ( ) 3m+ 2;0 giao điểm co hồnh đợ lớn tiếp tuyến d A co phương trình: y = 2( 3m+ 1) 3m+ 2.x − 2( 3m+ 1) ( 3m+ 2) ( Gọi B giao điểm của d Oy suy B 0; −2( 3m+ 1) ( 3m+ 2) ) Theo giả thiết, tam giác OAB vuông O SOAB = 24 ⇔ OA.OB = 48 hay ( ) 3m+ 18m2 + 22m+ = 48 ( ∗) ( ) Xét f ( m) = 3m+ 18m + 22m+ − 48, m>  2 Ta co: f '( m) > với m> , suy f ( m) đồng biến với m> f  ÷ =  3 , đo phương trình ( ∗) co nghiệm m= Vậy, m= thỏa mãn đề Ví dụ 10 Tìm m∈ ¡ , để tiếp tuyến của đồ thị hàm số : y = x3 − mx + m− điểm co hồnh đợ cắt đường tròn ( x − 2) + ( y − 3) = dài nhỏ theo 1dây cung co độ Lời giải: y' = 3x2 − m⇒ y'( 1) = 3− m Với x = 1⇒ y ( 1) = ⇒ M ( 1;0) Phương trình tiếp tuyến M : y = y'( 1) ( x − 1) ⇔ ( 3− m) x − y − 3+ m= 0( d) http://dethithpt.com 10 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM y = (3x02 − 3)(x − x0 ) + x03 − 3x0 + Tiếp tuyến qua M ⇔ −3m+ = (3x02 − 3)(m− x0 ) + x03 − 3x0 + ⇔ x02(2x0 − 3m) = Yêu cầu toán ⇔ m= Vậy M (0;2) Bài 8: 2x + m ,m tham số khác – (d) x− một tiếp tuyến của (C) Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác co diện tích Câu Gọi (C) đồ thị của hàm số y =  m = −6 A   m = −5  m= B   m=  m = −3 C   m=  m = −3 D   m = −5 Lời giải: Hai đường tiệm cận đứng ngang của (C) co phương trình x = 2, y = ,suy giao điểm của chúng I(2;2) uur Tịnh tiến OI Hệ trục Oxy ⇒ Hệ trục IXY  x = X + xI = X + Công thức chuyển hệ tọa độ :   y = Y + yI = Y + Đối với hệ trục IXY Hai đường tiệm cận đứng ngang của (C) co phương trình X = , Y = 2(X + 2) + m 4+ m ⇒ Y = F(X ) = X + 2− X Gọi X0 hồnh đợ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) phương trình (d) (C) co phương trình Y + = Y =− m+ m+ m+ 2m+ (X − X ) + =− X+ 2 X0 X0 X0 X0  2m+  Gọi A giao điểm của (C) với đường tiệm cận đứng của no A  0; ÷ X0   Gọi B giao điểm của (C) với đường tiệm cận ngang của no B( 2X ; 0) Diện tích tam giác vuông IAB (d) tạo với hai đường tiệm cận S= 1 2m+ IA.IB = YA X B = 2X = 2m+ 2 X0  2m+ =  m = −3 S = ⇔ 2m+ = ⇔  ⇔  2m+ = −2  m= −5 http://dethithpt.com 22 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Câu Cho hàm số y = x3 + 1− m(x + 1) co đồ thị (Cm) Co giá trị m để tiếp tuyến của (Cm) giao điểm của no với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác co diện tích A B.2 C.3 D Lời giải: Ta co M (0;1− m) giao điểm của (Cm) với trục tung y' = 3x2 − m⇒ y'(0) = − m Phương trình tiếp tuyến với (Cm) điểm m y = −mx + 1− m Gọi A , B giao điểm của tiếp tuyến với trục hoanh trục tung,  1− m  ;0÷ B(0;1− m) ta co tọa đợ A   m  Nếu m= tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả Nếu m≠ ta co ( 1− m) = 16 ⇔  m= 9± 1 1− m SOAB = ⇔ OA.OB = ⇔ 1− m = ⇔ 2 m m  m= −7 ± Vậy co giá trị cần tìm Bài 9: x+ Tìm giá trị nhỏ của m cho tồn ít 2x − một điểm M ∈ (C) mà tiếp tuyến của (C) M tạo với hai trục toạ độ một tam giác co trọng tâm nằm đường thẳng d : y = 2m− Câu Cho hàm số y = A B 3 C D Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến M : y = −3 (x − x0 ) + y0 (2x0 − 1)2 Gọi A, B giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành trục tung ⇒yB = 2x02 + 4x0 − (2x0 − 1)2 Từ đo trọng tâm G của ∆OAB co: yG = 2x02 + 4x0 − 3(2x0 − 1)2 2x02 + 4x0 − = 2m− Vì G ∈d nên 3(2x0 − 1)2 http://dethithpt.com 23 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 2x02 + 4x0 − 6x02 − (2x0 − 1)2 6x02 = = − 1≥ −1 Mặt khác: (2x0 − 1)2 (2x0 − 1)2 (2x0 − 1)2 Do đo để tồn ít một điểm M thoả tốn 2m− 1≥ − Vậy GTNN của m 1 ⇔ m≥ 3 2mx + Gọi I giao điểm của hai tiệm cận của (C) Tìm x− m m để tiếp tuyến mợt diểm của (C) cắt hai tiệm cận A B cho ∆IAB co diện tích S = 22 A m= ±5 B m= ±6 C m= ±7 D m= ±4 Lời giải: (C) co tiệm cận đứng x = m, tiệm cận ngang y = 2m Câu Cho hàm số y =  2mx0 +  Giao điểm tiệm cận I (m;2m) M  x0 ; ÷∈ (C) x0 − m   Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) M: y = 2mx0 + 2m2 + (x − x0 ) + x0 − m (x0 − m)  2mx0 + 2m2 +  ∆ cắt TCĐ A  m; ÷, cắt TCN B(2x0 − m;2m) x0 − m   Ta co: IA = 4m2 + ; IB = x0 − m ⇒SIAB = IA.IB = 4m2 + = 22 ⇔m= ±4 x0 + m 2x − M cắt đường tiệm x− cận hai điểm phân biệt A , B Tìm tọa đợ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB co diện tích nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận Câu Gọi ( d) tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y =  5  5  5 A M ( 1;1) M  −1; ÷B M  4; ÷ M ( 3;3) C M ( 1;1) M  4; ÷ D M ( 1;1) M ( 3;3) 3   3  3 Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = 2x0 − y'0 = − x0 − ( x0 − 2) Phương trình tiếp tuyến ( d) của ( C ) M : y = (x −1 − 2) ( x− x ) + 2x0 − x0 − http://dethithpt.com 24 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ( d)  2x −  cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2; ÷, B( 2x0 − 2;2)  x0 −  Dễ thấy M trung điểm AB I ( 2;2) giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB co diện tích    2x0 −   2  S = πIM = π ( x0 − 2) +  − 2÷  = π ( x0 − 2) + ≥ 2π x0 −     x −   ( )     Dấu đẳng thức xảy ( x0 − 2) = (x − 2)  x = 1⇒ y0 = ⇔  x0 = ⇒ y0 = Vậy M ( 1;1) M ( 3;3) thỏa mãn tốn Bài tốn mở rộng : Tìm điểm ( C ) co hồnh đợ x > 2sao cho tiếp tuyến đo tạo với hai đường tiệm cận một tam giác co chu vi nhỏ  2x −  HD: theo ta co : A  2; ÷, B( 2x0 − 2;2) ⇒ IA , IB Chu vi tam giác AIB  x0 −  P = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB2 ≥ IA IB + 2.IA IB Đẳng thức xảy IA = IB Nếu trường hợp tam giác AIB khơng vng P = IA + IB + AB , để tính AB ta 2 · cần đến định lý hàm số cosin AB = IA + IB − 2IA.IB cos IA , IB ) ( ( ) · , IB P = IA + IB + AB2 ≥ IA.IB + IA + IB2 − 2IA.IB cos IA ( ) · , IB Đẳng thức xảy P ≥ IA.IB + 2IA.IB − 2IA.IB cos IA IA = IB 2x , co đồ thị ( C ) Co điểm M thuộc ( C ) x+ cho tiếp tuyến M của ( C ) cắt Ox, Oy A , B cho diện tích tam Bài 10: Cho hàm số y = giác OAB A 1 , O gốc tọa độ B.2 C.3 Lời giải: D 2x0 Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 = x + ⇒ y'0 = ( x0 + 1) Phương trình tiếp tuyến ( t ) của ( C ) M : y0 = (x + 1) x+ 2x02 (x + 1) http://dethithpt.com 25 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ( ) Tiếp tuyến ( t ) cắt hai trục tọa độ Ox,Oy hai điểm phân biệt A − x0 ;0 ,  2x02 ÷ B 0; cho diện tích tam giác AOB co diện tích đo  ( x + 1) ÷   2x02 1 1 OA.OB = ⇔ OA.OB = ⇔ x02 = ⇔ 4x02 − ( x0 + 1) = 2 ( x + 1)     2x02 + x0 + =  x0 = − ⇒ M  − ; −2÷ ⇔     2x0 − x0 − =  x = 1⇒ M 1;1 ( )  2x + co đồ thị (C) x− Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = −4x + Bài 12: Cho hàm số y = A ∆ : y = −4x + ; ∆ : y = −4x + B ∆ : y = −4x + ; ∆ : y = −4x + C ∆ : y = −4x + 6; ∆ : y = −4x + 14 D ∆ : y = −4x + ; ∆ : y = −4x + 14 Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ Ta co: y' = −4 (x − 1)2 Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang: y = ; tâm đối xứng I (1;2) Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến của (C): ∆ :y= 2x0 + −4 ( x − x ) + x0 − (x0 − 1)2 Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y = −4x + nên ta co: −4 y'(x0 ) = −4 ⇔ = −4 ⇔ x0 = 0, x0 = (x0 − 1)2 * x0 = ⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = −4x + * x0 = ⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = −4x + 14 Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân A ∆ : y = − x + ; ∆ : y = − x − B ∆ : y = −2x + ; ∆ : y = − x − 11 C ∆ : y = − x + 78; ∆ : y = − x − 11 D ∆ : y = − x + 9; ∆ : y = − x − Lời giải: http://dethithpt.com 26 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Hàm số xác định với x ≠ Ta co: y' = −4 (x − 1)2 Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang: y = ; tâm đối xứng I (1;2) Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến của (C): ∆ :y= 2x0 + −4 ( x − x ) + x0 − (x0 − 1)2 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số goc của tiếp tuyến ±1 −4 = ±1 ⇔ x0 = −1, x0 = (x0 − 1)2 * x0 = −1⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = − x − * x0 = ⇒ y0 = ⇒ ∆ : y = − x + Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác co chu vi nhỏ A ∆ : y = − x − 21 ∆ : y = − x + B ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + C ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + 17 D ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ Ta co: y' = −4 (x − 1)2 Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang: y = ; tâm đối xứng I (1;2) Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến của (C): ∆ :y= 2x + −4 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x =  2x +   A : 2x0 + ⇒ A  1; −4 ÷  x0 −   y = (x − 1)2 (1− x0 ) + x − 0  Tiếp tuyến cắt tiệm ngang y =  B: 2x0 + ⇒ B(2x0 − 1;2) −4  = (x − 1)2 (x − x0 ) + x − 0  Suy ra: IA = ; IB = x0 − ⇒ IA.IB = 16 x0 − http://dethithpt.com 27 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Chu vi tam giác IAB : P = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB2 Mà IA + IB ≥ IA.IB = 8; IA + IB2 ≥ 2IA IB = 32 Nên P ≥ + 32 = + Đẳng thức xảy ⇔ IA = IB ⇔ (x0 − 1)2 = ⇔ x0 = 3, x0 = −1 Vậy ta co hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán: ∆ : y = − x − ∆ : y = − x + 2x co đồ thị (C) x+ Câu Trên đồ thị (C) tồn điểm mà tiếp tuyến của (C) đo song song với đường thẳng y = 4x + Bài 13 Cho hàm số y = A B.2 C.3 Lời giải: D Hàm số xác định với x ≠ −2 Ta co: y' = (x + 2)2 Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Tiếp tuyến ∆ của (C) M co phương trình y= 2x0 2x02 4 ( x − x ) + = x + x0 + (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 Tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = 4x +   (x + 2)2 =  ⇔ x0 = −1; x0 = −3   2x0 ≠  (x0 + 2)2  Vậy (C) co hai điểm thỏa u cầu tốn Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác co diện tích 18 9 31 A ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + B ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + 9 9 4 C ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + D ∆ : y = x + ; ∆ : y = x + 9 9 Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ −2 Ta co: y' = (x + 2)2 http://dethithpt.com 28 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Tiếp tuyến ∆ của (C) M co phương trình y= 2x0 2x02 4 ( x − x ) + = x + x0 + (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 Gọi A, B giao điểm của tiếp tuyến ∆ với Ox, Oy y =    2x02 Suy A :   x = − x0 ⇒ A(− x0 ;0) 2  (x + 2)2 x + (x + 2)2 = ⇔  0   y = x =  2x02   B: 2x0 ⇒ B 0; 2÷ ÷  (x0 + 2)   y = (x + 2)2  Vì A , B ≠ O ⇒ x0 ≠ 1 x04 Tam giác AOB vuông O nên S∆AOB = OA.OB = 2 (x0 + 2)2 Suy S∆AOB = x04 ⇔ = ⇔ 9x04 = (x0 + 2)2 18 (x0 + 2)  3x02 + x0 + = (vn)  x0 = ⇔ ⇔ x = −  3x0 − x0 − = 0  4 , y'(x0 ) = Phương trình ∆ : y = x + 9 9 * x0 = − ⇒ y0 = −1, y'(x0 ) = 9 Phương trình ∆ : y = (x + ) − = x + 4 * x0 = 1⇒ y0 = Câu Giả sử tồn phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất., hồnh đợ tiếp điểm lúc là: A x0 = 0, x0 = −4 B x0 = 0, x0 = −3 C x0 = 1, x0 = −4 D x0 = 1, x0 = −3 Lời giải: Hàm số xác định với x ≠ −2 Ta co: y' = (x + 2)2 Gọi M (x0 ; y0 ) ∈ (C) Tiếp tuyến ∆ của (C) M co phương trình http://dethithpt.com 29 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM y= 2x0 2x02 4 ( x − x ) + = x + x0 + (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 Ta co tâm đối xứng I (−2;2) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến ∆ : d= Do x0 + (x0 + 2)4 + 16 =8 2x02 x − y + = 0: (x0 + 2)2 (x0 + 2)2 t , với t = (x0 + 2)2 ≥ t + 16 t t ≤ = ⇒ d≤ 2 16 t + 16 16t Đẳng thức xảy t2 = 16 ⇔ t = ⇔ (x0 + 2)2 = ⇔ x0 = 0, x0 = −4 Bài 14: Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c, c< co đồ thị (C) cắt Oy A co hai điểm chung với trục Ox M N Tiếp tuyển với đồ thị M qua A Tìm a; b;c để SAMN = A a = 4,b = 5,c = −2 B a = 4,b = 5, c = C a = −4, b = 6, c = −2 a = −4,b = 5,c = −2 D Lời giải: Giả sử (C) cắt Ox M (m;0) N (n;0) cắt Oy A(0; c) Tiếp tuyến M co phương trình: y = (3m2 + 2am+ b)(x − m) Tiếp tuyến qua A nên ta co: 3m3 + 2am2 + bm+ c = a (do m3 + am2 + bm+ c = ) Mà (C) cắt Ox hai điểm nên (C) tiếp xúc với Ox Nếu M tiếp điểm suy Ox qua A vô lí nên ta co (C) tiếp xúc ⇔ 2m3 + am2 = ⇔ m= − với Ox N Do đo: y = x3 + ax2 + bx + c = (x − n)2(x − m)  a a m= − ,n = −  m+ 2n = −a   Suy  2mn + n = b ⇔ a = 32c (1)  mn2 = −c 5a2 = 16b    Mặt khác S∆AMN = ⇔ −c n − m = ⇔ −c a =  a3 = 32c  • a> ta co:  ac = −8 vô nghiệm  5a2 = 16b  http://dethithpt.com 30 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM  a3 = 32c  • a< ta co:  ac = ⇔ a = −4,b = 5, c = −2  5a2 = 16b  2x − co đồ thị (C) x− Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến co hệ số goc 3 A : y = − x + y = − x + B : y = − x + y = − x + 4 4 4 1 13 C : y = − x + y = − x + D : y = − x + y = − x + 4 4 4 4 Lời giải: Bài 15: Cho hàm số y = : Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Hệ số goc của tiếp tuyến − − nên suy 1 = − ⇔ x0 = 3, x0 = −1 (x0 − 1) 13 Từ đo ta tìm tiếp tuyến là: y = − x + y = − x + 4 4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác co chu vi nhỏ A y = − x + y = − x + 4 4 13 C y = − x + y = − x + 4 1 B y = − x + y = − x + 4 13 D y = − x + y = − x + 4 4 Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Tiếp tuyến ∆ cắt tiệm cận đứng A(1; 2x0 ), cắt đường tiệm cận ngang x0 − B(2x0 − 1;2) Tâm đối xứng I (1;2) http://dethithpt.com 31 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Suy IA = , IB = x0 − ⇒ IA.IB = x0 − Chu vi tam giác IAB : p = AB + IA + IB = IA + IB2 + IA + IB Mặt khác: IA + IB2 ≥ 2IA.IB = 8; IA + IB ≥ IA.IB = Nên p≥ 2 + Đẳng thức xảy ⇔ IA = IB ⇔ (x0 − 1)2 = ⇔ x0 = 3, x0 = −1 13 Từ đo ta tìm tiếp tuyến là: y = − x + y = − x + 4 4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn A y = − x + y = − x + 4 4 13 C y = − x + y = − x + 4 4 1 B y = − x + y = − x + 4 13 D y = − x + y = − x + 4 4 Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Gọi H hình chiếu của I lên ∆ Ta co d(I , ∆) = IH Trong tam giác vuông IAB ta co: 1 = 2+ 2≥ = IA.IB IH IA IB Suy IH ≤ Đẳng thức xảy ⇔ IA = IB 13 Từ đo ta tìm tiếp tuyến là: y = − x + y = − x + 4 4 Câu Tìm điểm M tḥc (C) cho tiếp tuyến của (C) M vuông goc với IM A y = − x + 1, y = − x + B y = − x + 3, y = − x + C y = − x + 1, y = − x + D y = − x + 1, y = − x + Lời giải: Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ∆ M y= 2x − −1 (x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) r  −1  uuur IM = (x0 − 1; ) Đường thẳng ∆ co VTCP u =  1; , 2÷ ÷ x − ( x − 1) 0   http://dethithpt.com 32 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM IM ⊥ ∆ ⇔ x0 − 1− = ⇔ x0 = 0, x0 = (x0 − 1)3 Từ đo ta tìm tiếp tuyến: y = − x + 1, y = − x + Bài 16: Câu Gọi (C) đồ thị của hàm số y = x4 − (d) một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt hai trục tọa đợ A B Viết phương trình tiếp tuyến (d) tam giác OAB co diện tích nhỏ ( O gốc tọa độ ) A y = ± 4 15 x− B y = ± 4 12 x− C y = ± 4 x− D y = ± 4 125 x− Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) co dạng : y = 4x03(x − x0 ) + x04 − = 4x03x − 3x04 − đo x0 hồnh đợ tiếp điểm của (d) với (C)  3x04 +  ⇒ A ;0÷ A giao điểm của (d) với trục Ox  ÷ x   B giao điểm của (C) với trục Oy ⇒ B(0; −3x0 − 1) Diện tích của tam giác vuông OAB: 1 (3x04 + 1)2 (3x04 + 1)2 S = OA.OB = xA yB = = 2 x 4x03 Xét trường hợp x0 > ,khi đo (3x + 1) S = x03 (3x04 + 1)2 , x0 ∈ (0; +∞) Xét hàm số f (x0 ) = x03 f '(x0 ) = 2(3x04 + 1)12x03.x03 − (3x04 + 1)2.3x02 3(3x04 + 1)(5x04 − 1) = x06 x04 f '(x0 ) = ⇔ x04 = 1 ⇔ x0 = (do x0 > 0) 5 Bảng biến thiên của f (x0 ) x0 f'(x0) +∞ - + f(x0) http://dethithpt.com 33 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Từ bảng biến thiên suy f (x0 ) = Suy minS = 5 ⇔ x0 = 64 54 đạt x0 = Khi đo phương trình của (d) y = x− 125 Vì trục Oy trục đối xứng của (C) nên trường hợp x0 < 0, phương trình x− của (d) y = − 125 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = ± 4 125 x− Câu Gọi (Cm) đồ thị của hàm số y = x − 3( m + 1) x + 3m + , m tham sớ Tìm giá trị dương của tham sớ m để (Cm) cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt tiếp tuyến của (Cm) giao điểm co hồnh đợ lớn hợp với hai trục toạ độ một tam giác co diện tích 24 B m = A m = 1 C m = D m = Lời giải: Phương trình hồnh đợ giao điểm của (Cm) trục hoành x4 − 3( m + 1) x2 + 3m + = (1) Đặt t = x2 ,t ≥ Phương trình (1) trở thành : t − 3( m + 1) t + 3m + = (2) (Cm) cắt trục Ox bớn điểm phân biệtPhương trình (1) co nghiệm phân biệtPhương trình (2) co hai nghiệm dương phân biệt Vì (2) ln co hai nghiệm t = 1, t = 3m + với m m > (giả thiết) nên ta co 1< 3m + ,suy với tham số m > , (Cm) cắt Ox diểm phân biệt gọi A giao điểm co hồnh đợ lớn hồnh đợ A xA = 3m+ Gọi f(x) = x − 3( m + 1) x + 3m + , phương trình tiếp tuyến d của (Cm) A y = f '(xA )(x − xA ) + f (xA ) = [4xA3 − 6(m+ 1)xA ](x − xA ) ( f (xA ) = ) = [4(3m+ 2) 3m+ − 6(m+ 1) 3m+ 2](x − 3m+ 2) ( ) = ( 6m + 2) 3m+ x − 3m+ 2) http://dethithpt.com 34 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ( ) Gọi B giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy B ;( 6m + 2) ( 3m + 2) Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông OAB ( vuông tạiO) ,theo giả thiết ta co : SOAB = 24 ⇔ OA.OB = 48 ⇔ xA yB = 48 ⇔ 3m+ 2(6m+ 2)(3m+ 2) = 48 (3) Gọi f ( m) = 3m+ 2(6m+ 2)(3m+ 2) = 3m+ 2(18m + 22m+ 4) f '(m) = 3m+ (18m2 + 22m+ 4) + (36m+ 22) 3m+ > với m >0  2 Suy hàm sớ f(m) đồng biến (0;+ ∞) f  ÷ = 24 , đo phương trình  3 (3) co một nghiệm m = (0;+ ∞) Bài 18: 2x co đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của x+ đồ thị ( C ) , để khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến lớn A y = 2x y = x + B y = x y = x + C y = 3x y = x+ D y = x y = x + Câu Cho hàm số y = Lời giải: Tiếp tuyến ( d) của đồ thị ( C ) điểm M co hồnh đợ a≠ −2 tḥc ( C ) co phương trình: y = 2a (x − a) + ⇔ 4x − (a+ 2)2 y + 2a2 = a+ (a+ 2) Tâm đối xứng của ( C ) I ( −2;2) d(I ,d) = a+ 16 + (a+ 2)4 ≤ a+ 2.4.(a+ 2)2 = a+ 2 a+ =2 d(I ,d) lớn (a+ 2)2 = ⇔ a = −4 a= Từ đo suy co hai tiếp tuyến y = x y = x + 2x − co đồ thị ( C ) Tìm ( C ) điểm M x− cho tiếp tuyến M của ( C ) cắt hai tiệm cận của ( C ) A,B cho AB ngắn Câu Cho hàm số y = A M (3;3) M (−1; ) B M (−1; ) M (1;1) http://dethithpt.com 35 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 5 C M (4; ) M (−1; ) D M (3;3) M (1;1) Lời giải:   ∈ ( C ) Ta co: y′ (m) = − Lấy điểm M  m; + ÷ (m− 2)2 m−   Tiếp tuyến ( d) M co phương trình: y = − 1 (x − m) + 2+ m− (m− 2)   Giao điểm của ( d) với tiệm cận đứng là: A  2;2 + m− ÷   Giao điểm của ( d) với tiệm cận ngang là: B(2m– 2;2)   2 Ta co: AB = 4(m− 2) +  ≥ Đẳng thức xảy m= m= (m− 2)2   Vậy, điểm M cần tìm co tọa độ là: M (3;3) M (1;1) Bài 19 : Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị y = x3 − mx + m− điểm M co hồnh đợ x = −1 cắt đường tròn (C) co phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = theo một dây cung co độ dài nhỏ A m= B m= C m= D m= Lời giải: Ta co: y′ = 3x2 − m ⇒y′(−1) = 3− m; y(−1) = 2m− (C) co tâm I (2;3) , R = Phương trình đường thẳng d M (−1;2m− 2) : y = (3− m)x + m+ ⇔(3− m)x − y + m+ 1= d(I ,d) = 4− m (3− m)2 + = 1+ (3− m) (3− m)2 + ≤ (3− m)2 + (3− m)2 + = 2< R Dấu "=" xảy ⇔m= Do đo d(I ,d) đạt lớn ⇔m= Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B cho AB ngắn ⇔d(I ,d) đạt lớn ⇔ m= 2, suy d: y = x + http://dethithpt.com 36 ... phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến Phương pháp: • Giải phương trình f '(x) = k giải phương trình ta tìm nghiệm x1 , x2 , , xn • Phương trình tiếp tuyến: y = f '(xi )(x... = −2 tiếp tuyến cần tìm Bài Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1co đồ thị (C) http://dethithpt.com 19 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến. .. ± Khi đo phương trình tiếp tuyến (d): Y = −X + 2,Y = − X − 2 Suy phương trình (d) đới với hệ trục Oxy y = − x + 2± 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x − co đồ thị ( C ) Lập phương trình tiếp tuyến
- Xem thêm -

Xem thêm: ĐẠO hàm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến file word , ĐẠO hàm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến file word

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay