http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp điểm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 13 LỜI TÂM SỰ Ở tài liệu tiếp tuyến này, chia thành tập nhỏ, đảm bảo chất lượng bố cục, cơng tác trình bày, mong quý vị bạn đọc theo dõi cách thường xuyên để cập nhật tài liệu hay chất lượng Thân PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f (x) điểm x0 hệ http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M  x0 ; f (x0 ) Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  x0 ; f (x0 ) là: y y – y0  f � (x0 ).(x – x0 )  f (x0 )  Điều kiện cần đủ để hai đường  C1  : y  f (x)  C  : y  g(x) tiếp xúc �f (x0 )  g(x0 ) điểm có hồnh độ x0 hệ phương trình � có nghiệm x0 �f '(x0 )  g'(x0 ) Nghiệm hệ hoành độ tiếp điểm hai đường  Nếu (C1) : y  px  q   C  : y  ax  bx  c (C1)  C  iếp xúc  phương trình ax2  bx  c  px  q có nghiệm kép Các dạng tiếp tuyến đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  , hoành độ x0 , tung độ y0 - Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A  xA ; yA  cho trước Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp: Cho hàm số y  f  x có đồ thị  C  M  x0 ; y0  điểm  C  Tiếp tuyến với đồ thị  C  M  x0 ; y0  có: - Hệ số góc: k  f ' x0  - Phương trình: y  y0  k x  x0  , hay y  y0  f ' x0   x  x0  Vậy, để viết phương trình tiếp tuyến M  x0 ; y0  cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay x0 vào - Hệ số góc k  f ' x0  hàm số y0  f  x0  ) Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp điểm Phương pháp: Bài toán : http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Hai đường cong  C  : y  f  x  C ' : y  g x tiếp xúc M  x0 ; y0  Khi điểm M � C  � C ' tiếp tuyến M  C  trùng với tiếp tuyến M � �f  x0   g x0  C '   hệ phương trình sau: � có nghiệm x0 f ' x  g ' x     � 0 Lưu ý : Mệnh đề sau không cho trường hợp: �  C  : y  f  x � tiếp xúc � f  x  ax  b  có nghiệm kép � �d : y  ax  b  k1 Hàm f  x nhận x0 làm nghiệm bội k f  x0   f ' x0    f  x0   f k  x0  �0 Nghiệm bội lớn nghiệm kép Phép biến đổi tương đương phương trình nói chung khơng bảo tồn số bội nghiệm Ví dụ Đường cong y  x không tiếp xúc với trục hoành , tức phương x  không nhận làm nghiệm bội lớn Khi đồ thị  C  : y  x hàm số tiếp xúc với trục hồnh x  phương trình trình x3  nhận làm nghiệm bội Ví dụ Đồ thị  C  : y  sin x hàm số tiếp xúc với đường thẳng  d : y  x x  phương trình sin x  x  khơng thể có nghiệm kép Như vậy, biến đổi tương đương phương trình bảo tồn tập nghiệm, khơng bảo tồn số bội nghiệm Đây sai lầm dễ mắc phải giải toán tiếp tuyến Bài toán : * Đường cong  C  : y  f  x có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 hàm số y  f  x khả vi x0 Trong trường hợp  C  có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến có hệ số góc f ' x0   * Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  f  x điểm M x0 ; f  x0  dạng : y  f ' x0   x  x0   f  x0   có Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm M (x0 ; f (x0 )) Giải Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) M (x0 ; y0 ) là: y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x biết hoành độ tiếp điểm x  x0 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Giải: Tính y0  f (x0 ), y'(x0 ) � phương trình tiếp tuyến: y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x biết tung độ tiếp điểm y0 Giải Gọi M (x0 ; y0 ) tiếp điểm Giải phương trình f (x)  y0 ta tìm nghiệm x0 Tính y'(x0 ) thay vào phương trình (1) Các ví dụ Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) : Tại điểm M  1;3 ; Tại điểm có hồnh độ ; Tại điểm có tung độ ; Có hệ số góc ; Tại giao điểm (C) với trục tung ; Song song với đường thẳng (d ): 27x  3y   ; Vng góc với đường thẳng (d’ ) : x  9y  2013  Lời giải: Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  3x2  6x Phương trình tiếp tuyến  t M  1;3 có phương trình : y  y' 1  x  1  Ta có: y' 1  3, phương trình  t  là: y  3x  Chú ý:   Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm M x0 ; f  x0  Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x M  x0 ; y0  là: y  f ' x0   x  x0   y0 Thay x  vào đồ thị (C) ta y  21 Tương tự câu 1, phương trình  t  là: y  24x  27 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x biết hoành độ tiếp điểm x  x0 , y0  f  x0  , y' x0  � phương trình tiếp tuyến: y  f ' x0   x  x0   y0 Thay y  vào đồ thị (C) ta x  x  3  � x  x  3 Tương tự câu 1, phương trình  t  là: y  1, y  9x  28 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x biết tung độ tiếp điểm y0 Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Giải phương trình f  x  y0 ta tìm nghiệm x0 Tính y' x0  � phương trình tiếp tuyến: y  f ' x0   x  x0   y0 Trục tung Oy : x  � y  1.Tương tự câu 1, phương trình  t  là: y  Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến  t Ta có : y' x0   3x0  6x0 , theo giả thiết y' x0   , tức 3x02  6x0  � x0  3 x0  Tương tự câu Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến Theo toán:  t  P d : y  9x   t � y' x0   Tương tự câu Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) hàm số tiếp tuyến  t 2013 � y' x0   Tương tự câu Theo toán:  t    d' : y   x  9 Ví dụ Cho hàm số: y  x   m 1 x   3m 1 x  m Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A  2; 1 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y  x3  (2m 1)x2  (m 3)x  (d) tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) 17 Lời giải: Hàm số cho xác định với x �� Ta có: y'  3x  2 m 1 x  3m Với x  1� y 1  3m 1� y'  1  m Phương trình tiếp tuyến điểm có x  1: y   m 6  x  1  3m Tiếp tuyến qua A  2; 1 nên có: 1  m  3m � m  2 Vậy, m 2 giá trị cần tìm Hàm số cho xác định với x �� Ta có: y'  3x  2 2m  1 x  m  Phương trình tiếp tuyến (d) : y  y'(2)(x  2)  y(2) http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN y   11– 7m  x – 2  7– 6m   11– 7m x  8m – 15 � (11 7m)x  y  8m 15  d(0,(d))  8m 15 (11 7m)   17 � 17(8m 15)2  49[(11 7m)2  1] � 1313m2  3466m 2153  � m 1, m 2153 1313 Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y   x4  x2  6, biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  x  x  có đồ thị (C) Tìm đồ thị (C) điểm mà 3 tiếp tuyến đồ thị vng góc với đường thẳng y   x  3 Cho hàm số y  Lời giải: Hàm số cho xác định D  � Gọi  t  tiếp tuyến đồ thị  C  hàm số  t  vng góc với đường thẳng y  x  1, nên đường thẳng  t  có hệ số góc 6 Cách 1: Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến  t  đồ thị  C  hàm số Khi đó, ta có phương trình: y' x0   6 � 4x0  2x0  6   �  x0  1 2x02  2x0     Vì 2x02  2x0   0,x0 �� nên phương trình   � x0  1� y0  y  1  � M  1;4 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  6 x  1   6x  10 Cách 2: Phương trình  t  có dạng y  6x  m  t tiếp xúc  C  điểm M  x0 ; y0  hệ phương trình sau có nghiệm x0 �  x04  x02   6x0  m �x0  � có nghiệm x0 � � � m 10 4x0  2x0  6 � � Hàm số cho xác định D  � Ta có: y'  x2  Gọi M (x0 ; y0 ) �(C) � y0  x0  x0  , 3 Tiếp tuyến ∆ điểm M có hệ số góc: y'(x0 )  x02  http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Đường thẳng d: y   x  có hệ số góc k2   3 � x0  � y0  � 1� �   d � k1.k2  1� (x  1) �  � 1� x0  � � � 3� x0  2 � y0  � � 4� 2; �là tọa độ cần tìm Vậy, có điểm M  2;0 , � � 3� Ví dụ 3 x (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) x cách hai điểm A  1;  2 B 1;0 Cho hàm số y  Cho hàm số y  x3  6x2  9x  (1) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cách hai điểm A  2;7 B  2;7 Lời giải: Cách Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y  f '(x0 )(x  x0 )  f (x0 ) ( x0 hoành độ tiếp điểm (d) (C)) 3 x0 ( x02  6x0  6) 5 (x  x0 )   x = x0  (x0  2)2 (x0  2)2 (x0  2)2 � 5x  (x0  2)2 y  x02  6x0   d( A ,(d))  d(B,(d)) � 5 2(x0  2)2  x02  6x0  25 (x0  2)  5 x02  6x0  25 (x0  2)4 � x2  14x0  19  x02  6x0  � x02  14x0  19  x02  6x0  � �02 x0  14x0  19   x02  6x0  � � x  1 � �02 � x0  1 x0  4x0   � Vậy phương trình  d  : y   5x – Cách Tiếp tuyến (d) cách hai điểm A, B suy (d) song song với đường thẳng AB (d) qua trung điểm I(0; - 1) đoạn AB * Trường hợp 1: (d) //AB Hệ số góc đường thẳng AB: kAB  yA  yB  xA  xB  1(*) Phương trình (*) (x0  2)2 vơ nghiệm trường hợp không xảy (d) // AB suy hệ số góc (d) : f’ x0   1�  http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I đoạn AB Phương trình (d) có dạng y = kx – �3 x0  kx0  (2) � �x0  (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ x0 � � có nghiệm x0 �   k (3) � � (x0  2) Thay k   3 x0 5  1 vào (2) ta đươc (x0  2) x0  (x0  2)2 � �x �x �2 � �0 � � x0  1 � (3 x0 )(x0  2)  5 (x0  2)2 �x0  1 � Thay x0  1vào (2) ta k  5 Vậy phương trình  d  : y   5x – Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : y  (3x02  12x0  9)(x  x0 )  x03  6x02  9x0   (3x02  12x0  9)x  2x03  6x02  � (3x02  12x0  9)x  y  2x03  6x02   (*) d( A ,(D ))  d(B,(D)) � 2(3x02  12x0  9)   2x03  6x02  (3x02  12x0  9)2   2(3x02  12x0  9)   2x03  6x02  (3x02  12x0  9)2  � 2x03  12x02  24x0  10  2x03  24x0  26 � 2x03  12x02  24x0  10  2x03  24x0  26 (1) �� 2x0  12x02  24x0  10  2x03  24x0  26 (2) � � 12x2  48x0  36  � x0  �x0  � � 30 � � x0  1 �x0  4x0  12x02  16  � � Lần lượt thay x0  �x0  1�x0  1 �x0  vào (*) ta phương trình tiếp tuyến (D) y   0, y  3  0, y  24x  7, y   3x  Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  : y  x3  3x2  , biết d cắt trục Ox, Oy A , B thỏa mãn: OB  9OA Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  x3  6x2  9x  điểm M , biết M điểm cực trị  C  tạo thành tam giác có diện tích   Lời giải: Gọi M x0 ; y  x0  toạ độ tiếp điểm http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Theo tốn, đường thẳng d đường thẳng qua điểm phân biệt A ,B Gọi  góc tạo d Ox , d có hệ số góc k  �tan  OB 9 OA Nói khác đường thẳng d có hệ số góc �9, nghĩa ta ln có: �y' x0   � 3x2  6x0   � � 02 � � x02  2x0   � x0  1 x0  y ' x   x  x   � � �  0 Dễ thấy, tam giác AOB vuông O , suy tan   x02  2x0   0,x0 �� Với x0  1 suy phương trình tiếp tuyến y  9x  Với x0  suy phương trình tiếp tuyến y  9x  25 Vậy, có tiếp tuyến y  9x  , y  9x  25 thỏa đề Hàm số cho có điểm cực trị A  1;2 , B 3; 2 đường thẳng qua cực trị AB : 2x  y   Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm đồ thị  C  hàm số tiếp tuyến  d cần tìm Khi y0  x03  6x02  9x0  Ta có: AB  , d M ; AB  Giả thiết SMAB  � 2x0  y0  AB.d M ; AB  � 2x0  y0   � 2x0  y0  10 2x0  y0  2 �2x0  y0  2 � TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: � �y0  x0  6x0  9x0  � �y  2 �y0  2 2x0 �� � �0 hay M  0; 2 �x0 x0  6x0  11  �x0  Tiếp tuyến M là: y  9x    �2x0  y0  10 � TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: � �y0  x0  6x0  9x0  � �y  �y0  10  2x0 �� � �0 hay M  4;2 �x0  4 x0  6x0  11  �x0  Tiếp tuyến M là: y  9x  34   Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y  9x  y  9x  34 http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Xác định m để hai tiếp tuyến đồ thị y   x4  2mx2  2m A  1;0 15 B 1;0 hợp với góc  cho cos  17 15 17 A m 0, m 2, m , m B m 0, m 2, m , m 16 16 16 15 7 C m 0, m 2, m , m D m 0, m 2, m , m 16 16 6 Lời giải: Dễ thấy, A , B điểm thuộc đồ thị với m�� Tiếp tuyến d1 A :  4m 4 x  y  4m  Tiếp tuyến d2 B:  4m 4 x  y  4m  Đáp số: m 0, m 2, m 15 17 , m 16 16 2x  có đồ thị  C  x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) Câu a Tiếp tuyến có hệ số góc 1 A y  x  2, y   x  y   x  Bài 12 Cho hàm số: y  B y   x  5, C y   x  1, y   x  y  x  D y   x  1, Lời giải: Hàm số cho xác định với x �1 Ta có: y'  4  x  1 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : y x 4  1  x x   2x0  4 2x0  y' x0   với y0  x0  x0   x0  1 Tiếp tuyến có hệ số góc 1 4  1 � x0  3, x  1 Nên có: x     Với x0  1� y0  �  : y   x   Với x0  � y0  �  : y   x  Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y   x  1, y   x  http://dethithpt.com 30 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu b Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  A y  4x  3, y  4x  B y  4x  2, y  4x  44 C y  4x  2, y  4x  D y  4x  2, y  4x  14 Lời giải: Hàm số cho xác định với x �1 Ta có: y'  4  x  1 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : y x 4  1  x x   2x0  4 2x0  y' x0   với y0  x0  x0   x0  1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4x  Nên có: y' x0   4 � 4  x0  1  4 � x0  x   Với x0  � y0  �  : y  4x   Với x0  � y0  �  : y  4x  14 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  4x  2, y  4x  14 Câu c Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân A y   x  1, y   x  B y   x  y  x  C y   x  1, y   x  y  x  D y   x  1, Lời giải: Hàm số cho xác định với x �1 Ta có: y'  4  x  1 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : y x 4  1  x x   2x0  4 2x0  y' x0   với y0  x0  x0   x0  1 Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân nên hệ số góc tiếp tuyến �1 Mặt khác: y' x0   0, nên có: y' x0   1 Tức x 4  1  1 � x0  1 x   Với x0  1� y0  �  : y   x   Với x0  � y0  �  : y   x  http://dethithpt.com 31 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y   x  1, y   x  Câu d Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy A y   x  , y  4x  14 9 C y   x  , y  4x  9 B y   x  , y  4x  9 D y   x  , y  4x  14 9 Lời giải: Hàm số cho xác định với x �1 Ta có: y'  4  x  1 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến  C  : y x 4  1  x x   2x0  4 2x0  y' x0   với y0  x0  x0   x0  1 � 2� Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến trục Oy suy x0  �2 , hay M �2; �, � 3� M  2;6 � 2� Phương trình tiếp tuyến M �2; �là: y   x  9 � 3� Phương trình tiếp tuyến M  2;6 là: y  4x  14 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  , y  4x  14 9 Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y  2x , biết: x Câu a Hệ số góc tiếp tuyến 2 A y  2x  1, y  2x B y  2x  2, y  2x  C y  2x  9, y  2x Ta có: y'  2 x  1  2x  x  1 D y  2x  8, y  2x Lời giải:  2  x  1 Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y' x0   x 2 Theo giải thiết, ta có: y' x0   2 � x  1 2  1 2  2 http://dethithpt.com 32 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN � x  1 � x  � y0  �  x0  1  � �0 � �0 x0  1 1 � x0  � y0  � Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y  2x  8, y  2x Câu b Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d : x  2y  7 A y   x  , y   x  4 C y   x  , y   x  4 Ta có: y'  2 x  1  2x  x  1  27 ,y   x  B y   x  4 27 ,y   x  D y   x  4 Lời giải: 2  x  1 Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y' x0   x 2 Theo giải thiết, ta có: x 2  1   1 2 1 �  x0  1  27 ,y   x Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  4 Câu c Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng    :9x  2y   2 A y   x  , y   x  9 9 2 C y   x  , y   x  9 9 Ta có: y'  2 x  1  2x  x  1  2  x  1 2 32 B y   x  , y   x  9 9 32 D y   x  , y   x  9 9 Lời giải: Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y' x0   x 2 Theo giải thiết, ta có: x 2  1   1 2 �  x0  1  9 32 ,y   x Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề bài: y   x  9 9 http://dethithpt.com 33 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu d Tạo với đường thẳng  d' : 4x  3y  2012  góc 450 A y  2x  Ta có: y'  B y  2 x  1  2x  x  1  2  x  1 2 x C y  x  Lời giải: D Đáp án khác Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y' x0   x 2  1 Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  k x  x0   y  x0  với k  y' x0   0, có r ur vectơ pháp tuyến n   k; 1 ,  d' có vectơ pháp tuyến m  4;3 r ur n.m 4k  1 cos450  r ur �  � k   thỏa đề nm k  1.5 Câu e Tạo với chiều dương trục hoành góc  cho cos   A y  x Ta có: y'  B y  2 x  1  2x  x  1  2  x  1 13 x C y  x  5 Lời giải: D Đáp án khác Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y' x0   x 2  1 0;  � �để tan   Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hồnh ,khi tồn  �� � tan   x 2 x 2  1   1 Ta có: tan2   1  1 � tan    , nên có: cos  �  x0  1  Câu f Tại điểm M thuộc đồ thị vng góc với IM ( I giao điểm tiệm cận ) A y  x B y  x C y  13 x D Đáp án khác http://dethithpt.com 34 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Ta có: y'  2 x  1  2x  x  1 Lời giải:  2  x  1 Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y' x0   x 2 kIM  x  1  1 , theo tốn nên có: kIM y' x0   1 �  x0  1  2 x4 x2 Bài 14: Cho hàm số y    có đồ thị (C) Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng : y  2x  A y  2x  B y  2x  C y  2x  4 Lời giải: D y  2x  y'(x0 )  (trong x0 hồnh độ tiếp điểm (t) với (C)) � x03  x0  � x03  x0   � x0  Phương trình (t): y  y'(1)(x  1)  y(1)  2(x  1)  11  2x  4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) , y  2x  4 3 y  2x  , y  2x  14 3 C y  2x  , y  2x  4 3 y  2x  , y  2x  14 A y  2x  B D Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y  y'(x0 )(x  x0   y(x0 ) (trong x0 hồnh độ tiếp điểm (d) với (C)) http://dethithpt.com 35 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x04 x02    (x03  x0 )x  x04  x02  4 Phương trình (d): y  (x03  x0 )(x  x0 )  � (x03  x0 )x  y  x04  x02   d( A ;(d))  �  x04  x02  (x  x0 )   � 3x04  2x02   x02(x02  1)2  � 5(3x04  2x02  4)2  81[x02(x02  1)2  1] Đặt t  x02 , t �0 Phương trình (1) trở thành: 5(3t2  2t  4)2  81[t(t  1)2  1] � 5(9t4  4t2  16 12t3  24t2  16t)  81t3  162t2  81t  81 � 45t4  21t3  22t2  t   � (t  1)(45t3  24t2  2t  1)  � t  (do t �0 nên 45t3  24t2  2t   0) Với t  ,ta có x02  � x0  �1 Suy phương trình tiếp tuyến (d): y  2x  3 , y  2x  4 Bài 15: ax  b , có đồ thị  C  Tìm a,b biết tiếp tuyến đồ x thị  C  giao điểm  C  trục Ox có phương trình y   x  2 A a   1, b  B a   1, b  C a   1, b  D a   1, b  Câu Cho hàm số y  Lời giải: Giao điểm tiếp tuyến d : y   x  với trục Ox A  4;0 , hệ số góc 4a b d : k   A  4;0 , �(C) �  � 4a b  2 2a b 2a b � y 4  Ta có: y'  (x  2) Theo tốn thì: k   1 2a b � y'(4)   �   � 2a b  2 � 4a b  Giải hệ � ta a   1, b  2a b  � http://dethithpt.com 36 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Cho hàm số y  ax4  bx2  c (a �0) , có đồ thị  C  Tìm a,b,c biết  C  có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu  C  có tọa độ  0;3 tiếp tuyến d  C giao điểm  C  với trục Ox có phương trình y  8 3x  24 A a  1, b  2, c  C a  1, b  21, c  13 a  12, b  22, c  B a  1, b  21, c  D Lời giải:  C  có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu  C  Giao điểm tiếp tuyến d trục Ox B  � a  0,b  có tọa độ  0;3 � � c �  3;0 hệ số góc d 8 � 9a 3b c  � � 9a 3b c  �B�(C ) � �� �� �� y'  8 �4a  2b  8 � 6a b  4 � � �     � c � 9a 3b c  ta a  1, b  2, c  � y   x4  2x2  Giải hệ � � 6a b  4 � Bài 16: Cho hàm số y  2x4  4x2  có đồ thị (C) Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  48y   A  : y  48x  81 B  : y  48x  81 C  : y  48x  D  : y  48x  Lời giải: Ta có y'  8x3  8x Gọi M (x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phương trình: y  (8x03  8x0 )(x  x0 )  2x04  4x02  1.Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  48y   Nên ta có: y'(x0 )  1 � y'(x0)  48 48 x03  x0   � x0  2 � y0  15 Phương trình  : y  48(x  2)  15  48x  81 Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(1; 3) A  : y  3 hay  : y   64 x 27 81 B  : y  3 hay  : y   64 x 27 http://dethithpt.com 37 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN C  : y  3 hay  : y   64 51 x 27 D  : y  3 hay  : y   64 51 x 27 81 Lời giải: Ta có y'  8x3  8x Gọi M (x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phương trình: y  (8x03  8x0 )(x  x0 )  2x04  4x02  1.Vì tiếp tuyến  qua A(1; 3) nên ta có 3  (8x03  8x0 )(1 x0)  2x04  4x02  � 3x04  4x03  2x02  4x0   � (x0  1)2(x0  1)(3x0  1)  � x0  �1�  : y  3 � x0  64 51 �  : y   x 27 81 Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt A  : y  3 B  : y  C  : y  D  : y  4 Lời giải: Ta có y'  8x  8x Gọi M (x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phương trình: y  (8x03  8x0 )(x  x0 )  2x04  4x02  1.Giả sử  tiếp xúc với (C) điểm thứ hai N (n;2n4  4n2  1) Suy ra:  : y  (8n3  8n)(x  n)  2n4  4n2  2 � � 8x03  8x0  8n3  8n � �x0  nx0  n  1 � Nên ta có: � � 6x0  4x02  1 6n4  4n2  � (x0  n)(3x02  3n2  2)  � 2 2 � � �x0  x0n  n  1 �x0  x0n  n  1 �� (I) � � (II) 3x0  3n2   �x0  n  � �2 2 x n  � �x0  n �0 � (II) � Ta có (I) ; vô nghiệm Vậy  : y  3 � � n  �1 � �x n  �0 x3  x2  2x  Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y  2x  B y  22x  C y  2x  D y  2x  Bài 17: Gọi (C) đồ thị hàm số y  http://dethithpt.com 38 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng x y    A y = 5x + y = 5x – B y = 5x + y = 5x – 3 8 C y = 5x + y = 5x – D y = 5x + y = 5x – 3 Lời giải: x Cách Tiếp tuyến (d) (C) vng góc với đường thẳng y    ,suy phương trình (d) có dạng : y = 5x + m �x3 �  x  2x   5x  m (1) (d) tiếp xúc với (C) � �3 có nghiệm �x2  2x   (2) � Giải hệ trên, (2) � x = -1 � x = Thay x = vào (1) ta m = - Thay x = - vào (1) ta m = y = 5x – x Cách Tiếp tuyến (d) vng góc với đường thẳng y    suy hệ số góc (d) : k = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 5x + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm (d) với (C) ,ta có : k  f '(x0 ) �  x02  2x0  � x0  1, x0  � y  5(x  1)  f (1)  5x  � Suy phương trình (d): � y  5(x  3)  f (3)  5x  � Câu 3.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục hồnh , trục tung A, B cho tam giác OAB vuông cân (O gốc tọa độ ) 4 B y = x + C y = x + D y = x - 13 Lời giải: Vì tam giác OAB tam giác vng O nên vng cân O , góc tiếp tuyến (D) trục Ox 450 ,suy hệ số góc (D) A y = x + kD  �1 http://dethithpt.com 39 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Trường hợp k D  ,khi phương trình (D) : y = x + a (a �0) �x3 �  x  2x   x  a (3) (D) tiếp xúc (C) � �3 có nghiệm �x2  2x   (4) � (4) � x2  2x   � x  Thay x = v phương trình (3) ta a = Vậy trường hợp ,phương trình (D): y = x Trường hợp kD  1, phương trình (D): y = - x + a �x3 �  x  2x    x  a (5) (D) tiếp xúc với (C) � �3 có nghiệm �x2  2x   1 (6) � (6) � x2  2x   P/t vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm ,suy (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = x + Bài 18: Cho hàm số y  x3  2x2  (m 1)x  2m có đồ thị (Cm) Câu Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm có hồnh độ x  song song với đường thẳng y  3x  10 A m B m C m Lời giải: D.Không tồn m Ta có: y'  3x2  4x  m Tiếp tuyến (Cm) điểm có hồnh độ x  có phương trình y  (m 2)(x  1)  3m  (m 2)x  2m � m  Yêu cầu toán � � vô nghiệm 2m�10 � Vậy không tồn m thỏa u cầu tốn Câu Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị (Cm) vng góc với đường thẳng  : y  2x  A m B m C m 11 D m 11 Lời giải: http://dethithpt.com 40 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN � 4� � 2� Ta có: y'  3x  4x  m 1.Ta có: y'  3�x2  x  � m  3�x  � m 9� 3 � � 3�  y' m Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x  có hệ số góc nhỏ hệ số góc có giá trị : k  m  � 7� 11 m �  1 � m Yêu cầu toán � k.2  1� � � 3� Câu Tìm m để từ điểm M (1;2) vẽ đến (Cm) hai tiếp tuyến � m  3 � A 10 � m � 81 � m � B 100 � m � 81 � m � C 10 � m � 81 Lời giải: � m  3 � D 100 � m � 81 Ta có: y'  3x2  4x  m Gọi A(x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  A:   y  3x02  4x0  m (x  x0 )  x03  2x02  (m 1)x0  2m   M � �  3x02  4x0  m (1 x0 )  x03  2x02  (m 1)x0  2m � 2x03  5x02  4x0  3m  (*) u cầu tốn � (*) có hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: h(t)  2t3  5t2  4t, t �� Ta có: h'(t)  6t2  10t  � h'(t)  � t  ,t  2 Bảng biến thiên x � 2 � y' y  � �   12  19 27 http://dethithpt.com 41 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN � m 3 � 3 3m 12 � � Dựa vào bảng biến thiên, suy (1) � 19 � � 100 giá trị � m 3 3m  � � 81 27 cần tìm Bài 19: Tìm m để đồ thị : mx   m 1 x2   4 3m x  tồn điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  2y   Câu y  � � �1 � 0; ��� ; � A m�� � � �2 � � � �1 � 0; ��� ; � B m�� � � �2 � � � �1 � 0; ��� ; � C m�� � � �2 � � � �1 � 0; ��� ; � D m�� � � �2 � Lời giải: Hàm số cho xác định � Ta có: y'  mx  2 m 1 x   3m � 1�  � 1 có nghiệm dương Từ u cầu bái tốn dẫn đến phương trình y � � 2� � m � '  � phân biệt, tức mx  2 m 1 x   3m có dương phân biệt � � S � � �P  � m � � m� � � �1 � � �� 0; ��� ; � hay m��  m  � �2 � � � �  m � � x2  2mx  2m2  cắt trục hoành hai điểm phân biệt tiếp x tuyến với  Cm  hai điểm vng góc với Câu y  A m C m B m 1 , m  1 D m Lời giải: Hàm số cho xác định �\  1 http://dethithpt.com 42 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Xét phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  trục hoành: x2  2mx  2m2   � x2  2mx  2m2   0,  x �1 x  1 Để  Cm  cắt trục hồnh hai điểm phân biệt A , B phương trình  1 phải có �  '  m2  2m2   � hai nghiệm phân biệt khác Tức ta phải có: � hay 1 2m 2m2  �0 � �  1 m  1 m  � 1 m � tức �  2 � m�0 2m m 1 �0 � � Gọi x1; x2 hai nghiệm  1 Theo định lý Vi – ét , ta có: x1  x2  2m, x1.x2  2m2  Giả sử I  x0 ;0 giao điểm  Cm  trục hoành Tiếp tuyến  Cm  điểm I có hệ số góc y' x0    2x    2x  2m  2m  x0  1  x02  2mx0  2m2  x  1 Như vậy, tiếp tuyến A , B có hệ số góc y' x1   y' x2   x0  2x1  2m , x1  2x2  2m x2  Tiếp tuyến A , B vng góc y' x1  y' x2   1 hay �2x1  2m� �2x2  2m� � � � � 1 � 5x1.x2   4m 1  x1  x2   4m   tức 3m2  m  � x1  � � x2  � 2 � m 1 m Đối chiếu điều kiện có m thỏa mãn 3 2x  cho khoảng cách từ M đến x đường thẳng  : x  3y   đạt giá trị nhỏ Bài 20: Tìm điểm M đồ thị  C  : y  A M  2;1 B M  2;5 � 1� 1; � C M � � 2� Lời giải: � 7� D M �3; � � 2� � 2m 1� m; Gọi M � �là tọa độ điểm cần tìm  m�1 � m � http://dethithpt.com 43 http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Khoảng cách từ M đến đường thẳng  là: d d �2m 1� m 3� � �m � hay 12  32 m2  2m m 10 �m2  2m m � m2  2m �   m 1 � Xét hàm số: f  m  m �m  2m m � � m Ta có: f ' m  � m  2 thỏa m m thỏa m Lập bảng biến thiên suy d 10 m 2 tức M  2;1 1 Tiếp tuyến M y   x  , tiếp tuyến song song với  3 http://dethithpt.com 44 ...http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp điểm ... TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y  f (x) điểm x0 hệ http://dethithpt.com http://dethithpt.com CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN số góc tiếp tuyến. .. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x điểm M (x0 ; f (x0 )) Giải Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) M (x0 ; y0 ) là: y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến