HTTP://DETHITHPT.COM CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG (PHẦN 1) BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM PHÉP BIẾN HÌNH A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M ' mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Ta kí hiệu phép biến hình F viết F ( M ) = M ' hay M ' = F ( M ) , M ' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F { } Nếu H hình hình H ' = M '| M ' = F ( M ) , M ∈ H gọi ảnh hình H qua phép biến hình F , ta viết H ' = F ( H ) ( ) Vậy H ' = F ( H ) ⇔ ∀M ∈ H ⇔ M ' = F ( M ) ∈ H ' Phép biến hình biến điểm M mặt thành gọi phép đồng PHÉP TỊNH TIẾN A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa r Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm uuuuur r r M ' cho MM ' = v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v r Phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu Tvr r v uuuuur r Vậy Tvr ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v Nhận xét: T0r ( M ) = M M http://dethithpt.com M’ http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến r Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( x; y) v = ( a; b) uuuuur r  x'− x = a  x' = x + a r M ' x '; y ' = T M ⇔ Gọi ( ) v ( ) MM ' = v ⇔  y'− y = b ⇔  y' = y + b   ( *) Hệ ( *) gọi biểu thức tọa độ Tvr Tính chất phép tịnh tiến • Bảo tồn khoảng cách hai điểm • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng • Biến tam giác thành tam giác tam giác cho • Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Các ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC , dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến uuur theo vec tơ BC Lời giải: uur ( B) = C Ta có TuBC Để tìm ảnh điểm A ta dựng hình bình hành uuur uuur uur ( A ) = D , gọi E ABCD Do AD = BC nên TuBC uuu r uuur điểm đối xứng với B qua C , CE = BC uur ( C ) = E Vậy ảnh tam giác ABC tam giác DCE Suy TuBC http://dethithpt.com http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM r Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v = ( −2;3) Hãy tìm ảnh r điểm A ( 1; −1) , B( 4;3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v A A '( −1;2) , B( 2;6) B A '( −1; −2) , B( −2;6) C A '( −1;2) , B( 2; −6) D A '( −1;1) , B( 2;6) Lời giải:  x' = x + a Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến   y' = y + b  x' = 1+ (−2)  x' = −1 ⇔ ⇒ A '( −1;2) Gọi A '( x'; y') = Tvr ( A ) ⇒  y ' = − + y ' =   Tương tự ta có ảnh B điểm B'( 2;6) r Oxy v Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho = ( 1; −3) đường thẳng d có phương trình 2x − 3y + = Viết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép tịnh tiến Tvr A d': 2x − y − = B d': x − y − = C d': 2x − y + = D d': 2x − 3y − = Lời giải: Cách Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Lấy điểm M ( x; y) tùy ý thuộc d , ta có 2x − 3y + = ( *)  x' = x +  x = x'− ⇔ Gọi M '( x'; y') = Tvr ( M ) ⇒   y' = y −  y = y'+ http://dethithpt.com http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Thay vào (*) ta phương trình 2( x'− 1) − 3( y'+ 3) + = ⇔ 2x'− 3y'− = Vậy ảnh d đường thẳng d': 2x − 3y − = Cách Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Do d' = Tvr ( d) nên d' song song trùng với d , phương trình đường thẳng d' có dạng 2x − 3y + c = (**) Lấy điểm M ( −1;1) ∈ d Khi M ' = Tvr ( M ) = ( −1+ 1;1− 3) = ( 0; −2) Do M ' ∈ d' ⇒ 2.0 − 3.( −2) + c = ⇔ c = −6 Vậy ảnh d đường thẳng d': 2x − 3y − = Cách Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M , N thuộc d, tìm tọa độ ảnh M ', N ' tương ứng chúng qua Tvr Khi d' qua hai điểm M ' N ' Cụ thể: Lấy M ( −1;1) , N ( 2;3) thuộc d , tọa độ ảnh tương ứng M '( 0; −2) , N ' ( 3;0) Do d' qua hai điểm M ', N ' nên có phương trình x− y+ = ⇔ 2x − 3y − = Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình r x2 + y2 + 2x − 4y − = Tìm ảnh ( C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = ( 2; −3) 2 A ( C ') : x + y − x + 2y − = 2 B ( C ') : x + y − x + y − = 2 C ( C ') : x + y − 2x + 2y − = 2 D ( C ') : x + y − x + y − = Lời giải: Cách Sử dụng biểu thức tọa độ http://dethithpt.com http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 2 Lấy điểm M ( x; y) tùy ý thuộc đường tròn ( C ) , ta có x + y + 2x − 4y − = ( *)  x' = x +  x = x'− ⇔ Gọi M '( x'; y') = Tvr ( M ) ⇒   y' = y −  y = y'+ ( x'− 2) + ( y'+ 3) Thay vào phương trình (*) ta 2 + 2( x'− 2) − 4( y'+ 3) − = ⇔ x' + y' − 2x'+ 2y'− = 2 2 Vậy ảnh ( C ) đường tròn ( C ') : x + y − 2x + 2y − = Cách Sử dụng tính chất phép tịnh tiến ( Dễ thấy ( C ) có tâm I ( −1;2) bán kính r = Gọi ( C ') = Tvr ( C ) ) I '( x'; y') ; r ' tâm bán kính (C ')  x' = −1+ = ⇒ I '( 1; −1) r ' = r = nên phương trình đường tròn Ta có   y' = − = −1 ( C ') ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH Phương pháp: r r Xác định phép tịnh tiến tức tìm tọa độ v Để tìm tọa độ v ta có r thể giả sử v = ( a; b) , sử dụng kiện giả thiết toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn a, b giải hệ tìm a, b Các ví dụ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng d :3x + y − = Tìm r phép tịnh tiến theo vec tơ v có giá song song với Oy biến d thành d' qua điểm A ( 1;1) r A v = ( 0;5) r B v = ( 1; −5) r C v = ( 2; −3) r D v = ( 0; −5) http://dethithpt.com http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Lời giải: r r v có giá song song với Oy nên v = ( 0; k) ( k ≠ 0)  x' = x Lấy M ( x; y) ∈ d ⇒ 3x + y − = ( *) Gọi M '( x'; y') = Tvr ( M ) ⇒  thay vào  y' = y + k ( *) ⇒ 3x'+ y'− k − = Hay Tvr ( d) = d':3x + y − k − = , mà d qua A ( 1;1) ⇒ k = −5 r Vậy v = ( 0; −5) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d :2x − 3y + = r d' : 2x − 3y − = Tìm tọa độ v có phương vng góc với d để Tvr ( d) = d' r  4 A v =  − ; ÷  13 13  r  2 B v =  − ; ÷  13 13  r  16 24  r  16 24  C v =  − ; − ÷ D v =  − ; ÷  13 13   13 13  Lời giải: r Đặt v = ( a; b) , lấy điểm M ( x; y) tùy ý thuộc d , ta có d :2x − 3y + = ( *)  x' = x + a  x = x'− a ⇔ Gọi sử M '( x'; y') = Tvr ( M ) Ta có  , thay vào (*) ta  y' = y + b  y = y'− b phương trình 2x'− 3y'− 2a+ 3b+ = Từ giả thiết suy −2a+ 3b+ = −5 ⇔ 2a− 3b = −8 r r Vec tơ pháp tuyến đường thẳng d n = ( 2; −3) suy VTCP u = ( 3;2) r r rr Do v ⊥ u ⇒ vu = 3a+ 2b =  16 r  16 24   2a− 3b = −8  a = − 13 ⇔ v Ta có hệ phương trình  Vậy =  − ; ÷  a + b = 24  13 13   b =  13 http://dethithpt.com http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH Phương pháp: Để dựng điểm M ta tìm cách xem ảnh điểm biết qua phép tịnh tiến, xem M giao điểm hai đường đường cố định đường ảnh đường biết qua phép tịnh tiến Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu Tvr ( N ) = M N ∈ ( H ) M ∈ ( H ') ( ) ( H ') = Tvr ( H ) kết hợp với M thuộc hình ( K ) (trong giả thiết) suy M ∈ ( H ') ∩ ( K ) Các ví dụ Ví dụ Cho đường tròn tâm O , bán kính R hai điểm phân biệt C , D nằm ( O ) Hãy dựng dây cung AB đường tròn ( O ) cho ABCD hình bình hành Lời giải: Phân tích: Giả sử dựng dây cung ABthỏa mãn yêu cầu toán uuur uuur uuur ( A ) = B Do ABCD hình bình hành nên AB = DC ⇒ TCD ( ) uuu r ( O ) Vậy B vừa thuộc ( O ) Nhưng A ∈ ( O ) ⇒ B ∈ ( O ') = TuDC ( O ') nên B giao điểm ( O ) ( O ') Cách dựng: uuu r - Dựng đường tròn ( O ') ảnh đường tròn ( O ) qua TuDC - Dựng giao điểm B ( O ) ( O ') - Dựng đường thẳng qua B song song với CD cắt ( O ) A Dây cung AB dây cung thỏa yêu cầu toán http://dethithpt.com http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM uuur uuur uuu r ( A ) = B ⇒ AB = DC ⇒ ABCD hình bình Chứng minh: Từ cách dựng ta có TuDC hành Biện luận: - Nếu CD > 2R tốn vơ nghiệm Nếu CD = 2R có nghiệm Nếu CD < 2R có hai nghiệm Ví dụ Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh AB, AC M , N cho AM = CN Lời giải: Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng d thỏa mãn toán Từ M dựng đường thẳng song song với AC cắt BC P , MNCP hình bình hành nên CN = PM Lại có AM = CN suy MP = MA , từ ta có AP phân giác góc A Cách dựng: - Dựng phân giác AP góc A - Dựng đường thẳng qua P song song với AC cắt AB M uuur ( C ) - Dựng ảnh N = TuPM Đường thẳng MN đường thẳng thỏa yêu cầu tốn Chứng minh: Từ cách dựng ta có MNCP hình bình hành suy MN PBC CN = PM , ta · · · có MAP =CAP = APM ⇒ ∆MAP cân M ⇒ AM = MP Vậy AM = CN Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình http://dethithpt.com http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Ví dụ Cho hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) cắt A , B Dựng đường thẳng d qua A cắt đường tròn điểm thứ hai M , N cho MN = 2l cho trước Lời giải: Giả sử dựng đường thẳng d qua A cắt đường tròn ( O1 ) ,( O2 ) tương ứng điểm M , N cho MN = 2l Kẻ O1H ⊥ MN O2I ⊥ MN uuuur ( I ) = I ' ⇒ O I ' = HI = Xét TuHO 1 MN = l Do tam giác I 'O1O2 vuông I ' nên O2I ' = O1O22 − l Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp: Nếu Tvr ( M ) = M ' đểm M di động hình ( H ) điểm M ' thuộc hình ( H ') , ( H ') ảnh hình ( H ) qua Tvr Các ví dụ Ví dụ Cho hai điểm phân biệt B,C cố định đường tròn ( O ) tâm O Điểm A di động ( O ) Chứng minh A di động ( O ) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn Lời giải: Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm BC Tia BO cắt · đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Vì BCD = 900 , nên DC P AH Tương uuuu r uuur uuuur tự AD PCH , ADCH hình bình hành.Suy AH = DC = 2OM khơng đổi http://dethithpt.com 10 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM - uur uuur Dựng điểm I cho AI = AG Dựng đường thẳng d2 ' ảnh d2 qua ÐI - Gọi B = d1 ∩ d2 ' - - Dựng điểm C =ÐI ( B) Tam giác ABC tam giác phải dựng Chứng minh: uur uuur Dựa vào cách dựng ta có I trung điểm BC AI = AG nên G trọng tâm tam giác ABC Biện luận: Số nghiệm hình số giao điểm d1 d2 ' Ví dụ Cho hai đường tròn ( O ) ( O ') cắt hai điểm A , B vá số a> Dựng đường thẳng d qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài a Lời giải: Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng d cắt ( O ) ( O ') M , M ' cho AM − AM ' = a( giả sử AM > AM ' ) Xét phép đối xứng ÐA ( ) Gọi N = ÐA ( M ) ,( O1 ) =Ð A ( O ) , H , K trung điểm AN AM , HO1 ⊥ AM OK ⊥ AM Gọi I hình chiếu O O1H , ta có OI P= KH , mặt khác KH = KA − HA = AM − AN AM − AM ' a a = = nên OI = Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm O 2 2 bán kính r = a http://dethithpt.com 29 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Mặt khác I thuộc đường tròn đường kính OO1 nên I giao điểm đường tròn  a đường kính OO1 với đường tròn  O; ÷do  2 I xác định d đường thẳng qua A song song với OI Cách dựng: - Dựng ( O1 ) ảnh ( O ) qua ÐA - Dựng đường tròn đường kính OO1  a - Dựng đường tròn  O; ÷, dựng giao điểm I đường tròn đường kính  2  a OO1 với đường tròn  O; ÷  2 - Từ A dựng đường thẳng d POI cắt ( O ) M cắt ( O ') M ' d đường thẳng cần dựng Chứng minh: Gọi H , K trung điểm AN , AM ta có KH = OI = Mà KH = AK − AH = a AM AN AM − AM ' − = ⇒ AM − AM ' = a 2  a Biện luân : Số nghiệm hình số giao điểm đường tròn  O; ÷  2 đường tròn đường kính OO1 Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TẬP HỢP ĐIỂM Các ví dụ http://dethithpt.com 30 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Ví dụ Cho tam giác ABC đường tròn ( O ) Trên AB lấy điểm E cho BE = 2AE , F trung điểm AC I đỉnh thứ tư hình bình hành AEIF Với điểm P đường tròn ( O ) , ta dựng điểm Q cho uuur uuu r uuur uur PA + 2PB + 3PC = 6IQ Tìm tập hợp điểm Q P thay đổi ( O ) Lời giải: uuur uuu r uuur r Gọi K điểm xác định KA + 2KB + 3KC = Khi uuur uuur uuur KA + KA + AB uuur uuur r +3 KA + AC = uuur uuur uuur ⇔ AK = AB + AC ( ( ) ) Mặt khác AEIF hình bình hành nên uur uuur uuur uuur uuur AI = AE + AF = AB + AC nên K ≡ I uuur uuur uuu r uuur uur uuur uur uur uur Từ giả thiết suy 6PK + KA + 2KB + 3KC = 6IQ ⇔ PK = IQ , hay PI = IQ Vậy ( ) ÐI ( P ) = Q mà P di động đường tròn ( O ) nên Q di động đường tròn ( O ') , ảnh đường tròn ( O ) qua phép đối xứng tâm I Ví dụ Cho đường tròn ( O ) dây cung AB cố định, M điểm di động ( O ) , M không trùng với A , B Hai đường tròn ( O1 ) ,( O2 ) qua M tiếp xúc với AB A B Gọi N giao điểm thứ hai ( O1 ) ( O ) Tìm tập hợp điểm N M di động Lời giải: Gọi I = MN ∩ AB , ta có IA = IM IN ( 1) http://dethithpt.com 31 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Tương tự IB = IM IN ( 2) Từ ( 1) ( 2) suy IA = IB nên I trung điểm AB Gọi P giao điểm thứ hai MN với đường tròn ( O ) Dễ thấy PI / ( O) = − IM IP = − IA.IB = − IA Do − IM IN = − IM IP ⇒ IN = IP I trung điểm NP ÐI ( P ) = N , mà P di động đường tròn ( O ) nên N di động đường tròn ( O ') ảnh đường tròn ( O ) qua phép đối xứng tâm I Vậy tập hợp điểm N đường tròn ( O ') ảnh đường tròn ( O ) qua phép đối xứng tâm I CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP 21 Tìm ảnh đường thẳng d :3x − 4y + = qua phép đối xứng tâm I ( −1;2) A d': 3x − 4y + = B d': x − 4y + = C d': 3x − y + = D d': 3x − 4y + 17 = Lời giải: 21 d': 3x − 4y + 17 = 22 Cho hai đường thẳng d1 :3x − y − = d2 : x + y = Phép đối xứng tâm I biến d1 thành d1 ':3x − y + = biến d2 thành d2 ': x + y − =  11 A I  ; ÷ 4 2  21 11 B I  ; ÷  4  11 C I  ; ÷ 4 4  11 D I  ; ÷ 4 4 Lời giải:  11 22 I  ; ÷ 4 4 http://dethithpt.com 32 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 23 Cho đường cong ( C ) : y = điểm A ( −2;3) Viết phương trình đường x thẳng d qua gốc tọa độ cắt đường cong ( C ) hai điểm M , N cho AM + AN nhỏ A d : y = − x B d : y = x C d : y = x + D d : y = x PHÉP QUAY A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa: Cho điểm O góc lượng giác α Phép biến hình biến O thành biến điểm M khác O thành điểm M ' cho OM ' = OM góc lượng giác ( OM ;OM ') = α gọi phép quay tâm O , α gọi góc quay Phép quay tâm O góc quay α kí hiệu Q( O ;α ) Nhận xét • Khi α = ( 2k + 1) π, k∈ ¢ Q( O ;α ) phép đối xứng tâm O • Khi α = 2kπ, k∈ ¢ n! Q( O ;α ) phép đồng r !( n − r ) ! Biểu thức tọa độ phép quay: Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M ( x; y) M '( x'; y') = Q( O ,α ) ( M )  x' = x cosα − y sin α   y' = x sin α + y cosα http://dethithpt.com 33 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M ( x; y) , I ( a; b) M '( x'; y') = Q( I ,α ) ( M )  x' = a+ ( x − a) cosα − ( y − b) sin α   y' = b+ ( x − a) sin α + ( y − b) cosα Tính chất phép quay: • Bảo tồn khoảng cách hai điểm • Biến đường thẳng thành đường thẳng • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho • Biến tam giác thành tam giác tam giác cho • Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Lưu ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay α biến đường thẳng d thành đường thẳng d' , Nếu < α ≤ α π góc hai đường thẳng d d' π < α < π góc hai đường thẳng d d' π − α Nếu B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY Phương pháp: Sử dụng định nghĩa , biểu thức tọa độ tính chất phép quay Các ví dụ Ví dụ Cho M ( 3;4) Tìm ảnh điểm M qua phép quay tâm O góc quay 300 http://dethithpt.com 34 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 3 3  ; + 3÷ A M ' ÷  2  B M ' −2;2 3  ;2 ÷ C M ' ÷   3  − 2; + ÷ D M ' ÷   ( ) Lời giải:  x' = x cosα − y sin α Gọi M '( x'; y') = Q( O ;300 ) Áp dụng biểu thức tọa độ  ta có  y' = xsin α + y cosα  3 0 −2  x' = 3cos30 − 4sin30 = 3  ⇒ M ' − 2; + ÷   ÷  y' = 3sin300 + 4cos300 = +    Ví dụ Cho I ( 2;1) đường thẳng d :2x + 3y + = Tìm ảnh d qua Q I ;450 ( ) A d': − x + 5y − 3+ = B d': − x + 5y − = C d': − x + 5y − 10 = D d': − x + 5y − 3+ 10 = Lời giải: Lấy hai điểm M ( −2;0) ; N ( 1; −2) thuộc d Gọi M '( x1; y1 ) , N '( x2 ; y2 ) ảnh M , N qua Q( I ;450 ) http://dethithpt.com 35 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM   x1 = −  x1 = + ( −2− 2) cos450 − ( − 1) sin450  ⇔ Ta có  0  y1 = 1+ ( −2 − 2) sin45 + ( − 1) cos45  y = 1−   2 ⇒ M ' − ;1− ÷  ÷ 2   Tương tự  x2 = 2+ ( 1− 2) cos450 − ( −2 − 1) sin450  x2 = 2+ ⇔   0  y2 = 1− 2  y2 = 1+ ( 1− 2) sin45 + ( −2 − 1) cos45 ( ) ⇒ N ' + 2;1− 2 uuuuuur  2  ; = ÷ Ta có M ' N ' =  ( 5;1) ÷   r uuuuuur r Gọi d' = Q( I ;450 ) ( d) d' có VTCP u = M ' N ' = ( 5;1) ⇒ VTPT n = ( −1;5) Phương trình: ( ) ( ) d' : − x − − + y − 1+ 2 = ⇔ − x + 5y − 3+ 10 = Ví dụ Cho hình vng ABCD tâm O , M trung điểm AB, N trung điểm OA Tìm ảnh tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay 900 Lời giải: Phép quay Q( O ;900 ) biến A thành D , biến M thành M ' trung điểm AD , biến N thành http://dethithpt.com 36 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM N ' trung điểm OD Do biến tam giác AMN thành tam giác DM ' N ' Bài toán 02: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH Phương pháp: Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q( I ;α ) Các ví dụ Ví dụ Cho điểm A hai đường thẳng d1 ,d2 Dựng tam giác ABC vuông cân A cho B ∈ d1 ,C ∈ d2 Lời giải: Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu toán Ta giả sử ( AB, AC ) = 90 , Q A ;−900 ( C ) = B , mà C ∈ d nên B ∈ d ' với 2 ( ) d2 ' = Q A ;−900 ( d2 ) ( ) Lại có B ∈ d1 nên B = d1 ∩ d2 ' Cách dựng: - Dựng đường thẳng d2 ' ảnh d2 qua Q( A ;−900 ) - Dựng giao điểm B = d1 ∩ d2 ' http://dethithpt.com 37 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM - Dựng đường thẳng qua A vng góc với AB cắt d2 C Tam giác ABC tam giác cần dựng Chứng minh: · Từ cách dựng suy Q( A ;900 ) ( B) = C nên AB = AC BAC = 900 tam giác ABC vuông cân A Biện luân: - Nếu d1 ,d2 khơng vng góc có nghiệm hình - Nếu d1 ⊥ d2 A nằm đường phân giác góc tạo d1 ,d2 có vơ số nghiệm hình - Nếu d1 ⊥ d2 A không nằm đường phân giác góc tạo d1 ,d2 tốn vơ nghiệm hình ( ) 0 Ví dụ Cho tam giác ABC có ( AB, AC ) = α < α < 90 điểm M nằm cạnh AB Dựng đường thẳng CB,CA điểm N , P cho MN = MP đường tròn ( AMP ) tiếp xúc với MN Lời giải: Phân tích: Giả sử dựng điểm N , P cho N ∈ BC , P ∈ AC cho MN = MP đường tròn ( AMP ) tiếp xúc với MN Khi MN tiếp xúc với đường tròn ( AMP ) · µ = α Từ ta có ( MP ; MN ) = −α lại nên PMN =A có MP = MN nên Q( M ,−α ) ( P ) = N Giả sử O = Q( M ,−α ) ( A ) I = ON ∩ AC · · · ⇒ IN P AB Theo tính chất phép quay ta có NIC = (·ON , AP ) = α ⇒ NIC = BAC http://dethithpt.com 38 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Cách dựng : - Dựng điểm O = Q( M ,−α ) - Dưng đường thẳng qua O song song với AB cắt BC N · - Dựng tia MP cắt AC P cho NMP =α Như vây điểm N , P điểm cần dựng Chứng minh: · · · · Vì ON P AB nên AMO = MON = α ⇒ PMN = MAP = α suy đường tròn ( AMN ) tiếp xức với MN Ta có Q( M ;−α ) : MP → MN nên MP = MN Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp: Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q( I ;α ) Để tìm tập hợp điểm M ' ta tìm tập hợp điểm M mà Q( I ;α ) biến điểm M thành điểm M ' , M ∈ ( H ) M ' ∈ ( H ') = Q( I ;α ) (( H) ) Các ví dụ Ví dụ Cho đường thẳng d điểm G không nằm d Với điểm A nằm d ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích điểm B,C A di động d Lời giải: Do tam giác ABC có tâm G nên phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B C phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành B http://dethithpt.com 39 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM C Mà A ∈ d nên B,C thuộc đường thẳng ảnh d hai phép quay nói Vậy quỹ tích điểm B,C đường thẳng ảnh d hai phép quay tâm G góc quay 1200 2400 Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mằn tam giác ABC cho MA + MB2 = MC Lời giải: Xét phép quay Q( B;−600 ) A biến thành C , giả sử điểm M biến thành M ' , MA = M 'C , MB = MM ' nên MA + MB2 = MC ⇔ M 'C + MM '2 = MC tam · 'C = 1500 giác M ' MC vng M ' suy BM Lại có AM = CM ' , BM = BM ' AB = BC ⇒ ∆AMB = ∆CM ' B ( c − c − c) · · ' B = 1500 Vậy M thuộc cung chứa góc ⇒ AMB = CM 1500 với dây cung AB nằm tam giác ABC » = 1500 tam giác ABC , gọi Đảo lại lấy điểm M thuộc cung AB M ' = Q B;−600 ( M ) ( ) ¼ ¼ ¼ ' B = 1500 Mặt khác tam giác BMM ' nên Do Q( B;−600 ) : AMB → CM ' B nên CM · ' M = 600 ⇒ CM · ' M = 1500 − 600 = 900 ∆M ' MC vuông BM M ' ⇒ M ' B2 + M 'C = MC , mà MA = M 'C , MB = MM ' ⇒ MA + MB2 = MC » = 1500 tam giác Vậy tập hợp điểm M thỏa yêu cầu toán cung AB ABC nhận AB làm dây cung http://dethithpt.com 40 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM Bài tốn 04: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI TỐN Các ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC Vẽ tam giác ABB' ACC ' nằm phía ngồi tam giác ABC Gọi I , J trung điểm CB' BC ' Chứng minh điểm A , I , J trùng tạo thành tam giác Lời giải: Giả sử góc lượng giác ( AB, AC ) > ( hình vẽ) Khi , xét phép quay Q( A ;600 ) Ta có Q A ;600 : B' a B,C a C ' Q A ;600 : B'C a BC ' mà ( ) ( ) I , J trung điểm B'C BC ' nên Q( A ;600 ) ( I ) = J Vậy I , J khơng trùng A ∆AIJ · Khi BAC = 1200 I ≡ J ≡ A Ví dụ Cho hai đường ( O; R ) ( O '; R) cắt hai · điểm A , B cho OAO ' = 1200 Đường thẳng d qua B cắt hai đường tròn ( O) ( O ') theo thứ tự M , M ' cho M nằm ngồi ( O ') M ' nằm ngồi ( O ) Gọi S giao điểm tiếp tuyến với hai đường tròn M M ' Xác định vị trí M , M ' cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM ' lớn Lời giải: Giả sử góc lượng giác ( AO ', AO ) = 120 ( hình vẽ) Xét phép quay Q( A ;−1200 ) Gọi B' = Q( A ;−1200 ) ( B) http://dethithpt.com 41 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM · · · · BAB ' = 1200 Dễ thấy OAB = 600 suy OAB + BAB ' = 1800 nên O , A , B' thẳng hàng · · · · ' M ' = 1800 ⇒ MBA · · 'M ' Ta có MBA + ABM ' = 1800 , ABM ' + AB = AB Mà ( O; R ) ( O '; R ') nên AM = AM ' ( 1) ; từ ta có · · ' AM ' ∆OAM = ∆O ' AM ' ⇒ OAM =O · ' AM + O · ' AM = OAM · · ' AM = 1200 ⇒O +O · ' = 1200 ( 2) Từ ( 1) ;( 2) suy Q( A ;−1200 ) ( M ) = M ' Do phép hay MAM quay tiếp tuyến MS biến thành tiếp tuyến M 'S nên góc tù hai · đường thẳng MS M 'S 1200 MSM ' = 600 Áp dụng định lí sin cho MM ' MM ' = ⇒ R lớn MM ' lớn nhất.Gọi 2sin60 H , K hình chiếu O ,O ' MM ' ta có MM ' = 2HK ≤ 2OO ' Đẳng thức xảy MM ' POO ' tam giác SMM ' ta có R = Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM ' lớn M , M ' giao điểm thứ hai đường thẳng d qua B song song với OO ' với hai đường tròn CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP 28 Tìm ảnh đường thẳng d :5x − 3y + 15 = qua phép quay Q( O ;900 ) A d': x + y + 15 = B d': 3x + 5y + = C d': 3x + y + = D d': 3x + 5y + 15 = Lời giải: 28 d' ⊥ d nên phương trình có dạng 3x + 5y + c = Lấy M ( −3;0) ∈ d, ta có Q( 0;900 ) ( M ) = M '( 0; −3) , M ' ∈ d' ⇒ C = 15 , hay d' : 3x + 5y + 15 = http://dethithpt.com 42 http://dethithpt.com BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM 2 29 Tìm ảnh đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2) = qua phép quay Q( I ;900 ) với I ( 3;4) A ( C ') : ( x + 2) + ( y − 2) = B ( C ') : ( x − 3) + ( y + 2) = C ( C ') : ( x + 5) + ( y − 7) = D ( C ') : ( x + 3) + ( y − 2) = 2 2 2 2 Lời giải: 29 ( C ) có tâm J ( 1; −2) , R = 3, gọi J '( x'; y') = Q( I ;900 ) ( I ) ta có  π π  x' = 3+ ( 1− 3) cos − ( + 2) sin = −3   y' = + ( 1− 3) sin π + ( + 2) cos π =  2 ⇒ J '( −3;2) mà R ' = R = nên phương trình ( C ') : ( x + 3) + ( y − 2) = 2 30 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A ( 1;2) , B( 3;4) cos A = ,cos B = 10 A AC : x − y − = 0, BC : x − y + = C AC :3x − y − = 0, BC : x − 2y + = B AC :3x − y − = 0, BC : x − 2y + = D AC :3x − y − = 0, BC : x − 2y + = Lời giải: 30 Sử dụng tính chất: Phép quay tâm I ( a; b) ∈ d : Ax + By + C = góc quay α biến d thành d' có phương trình ( A − B tan ϕ ) ( x − a) + ( A tan ϕ + B) ( y − b) = Ta AC :3x − y − = 0, BC : x − 2y + = http://dethithpt.com 43 ... 2y + = B d': x − 2y + = C d': 3x − 2y + = d' : x − 2y + = D c) Tìm ảnh ( C ) qua phép đối xứng trục Ox A ( C ') : ( x + 2) + ( y + 2) = B ( C ') : ( x + 1) + ( y + 1) = C ( C ') : ( x + 3) +. .. phép biến hình F { } Nếu H hình hình H ' = M '| M ' = F ( M ) , M ∈ H gọi ảnh hình H qua phép biến hình F , ta viết H ' = F ( H ) ( ) Vậy H ' = F ( H ) ⇔ ∀M ∈ H ⇔ M ' = F ( M ) ∈ H ' Phép biến. .. 2) + ( y − 3) = 2 a) Tìm ảnh d qua phép đối xúng trục Ox A x + y − = B 2x + 3y − = C 2x + y − = D 2x + y − = b) Tìm ảnh ( C ) qua phép đối xúng trục Ox A ( x − 3) + ( y + 3) = ( x − 2) + (