Chuong DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho n0 số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên n �n0 Nếu (1) P(n0 ) (2) Nếu P(k) đúng, P(k 1) với số tự nhiên k �n0 ; mệnh đề P(n) với số tự nhiên n �n0 Khi ta bắt gặp toán: Chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n �n0 , n0 �� ta sử dụng phương pháp quy nạp sau Bước 1: Kiểm tra P(n0 ) có hay khơng Nếu bước ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với k �n0 , giả sử P(k) ta cần chứng minh P(k 1) Kết luận: P(n) với n �n0 Lưu ý: Bước gọi bước quy nạp, mệnh đề P(k) gọi giả thiết quy nạp Vấn đề Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức Bất đẳng thức Phương pháp Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P(n)  Q(n) ) với n �n0 , n0 �� ta thực bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q(n0 ) chứng minh P(n0 )  Q(n0 ) Bước 2: Giả sử P(k)  Q(k); k �, k n0 , ta cần chứng minh P(k  1)  Q(k  1) Các ví dụ Ví dụ Chứng với số tự nhiên n �1 ta ln có: 1  3  n  n(n  1) Lời giải: Đặt P(n)  1 2 3  n : tổng n số tự nhiên : Q(n)  Ta cần chứng minh P(n)  Q(n) n �,n 1(1 1) 1 Bước 1: Với n  ta có P(1)  1, Q(1)  � P(1)  Q(1) � (1) với n  Bước 2: Giả sử P(k)  Q(k) với k �, k tức là: n(n  1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word k(k  1) (1) Ta cần chứng minh P(k  1)  Q(k  1) , tức là: (k  1)(k  2) 1 2 3  k  (k  1)  (2) Thật vậy: VT (2)  (1  3  k)  (k  1) k(k  1)   (k  1) (Do đẳng thức (1)) k (k  1)(k  2)  (k  1)(  1)   VP(2) 2 Vậy đẳng thức cho với n �1 Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n �1 ta ln có: 1 3 5  2n  1 n2 Lời giải: �Với n  ta có VT  1, VP  12  Suy VT  VP � đẳng thức cho với n  �Giả sử đẳng thức cho với n  k với k �, k tức là: 1    2k   k2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức là: 1  3  k  1 3 5  (2k  1)  (2k  1)   k  1 (2) Thật vậy: VT (2)  (1 3 5  2k  1)  (2k  1) (Do đẳng thức (1))  k2  (2k  1)  (k  1)2  VP(1.2) Vậy đẳng thức cho với n �1 Ví dụ Chứng minh với n �1, ta có bất đẳng thức: 1.3.5  2n  1 2.4.6.2n  Lời giải: 1 �  * Với n  ta có đẳng thức cho trở thành :  � đẳng thức cho với n  * Giả sử đẳng thức cho với n  k �1, tức : 1.3.5  2k  1  (1) 2.4.6 2k 2k  Ta phải chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức : 1.3.5  2k  1  2k  1  (2) 2.4.6 2k 2k  2 2k  Thật vậy, ta có : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2n  VT (2)  1.3.5 (2k  1) 2k  1 2k  2k    2.4.6 2k 2k  2k  2k  2k  2k  1  � (2k  1)(2k  3)  (2k  2)2 2k  2k  �  (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho với số tự nhiên n �1 Ví dụ Chứng minh với n �1,x  ta có bất đẳng thức: Ta chứng minh: 2n xn (xn1  1) �x  1� �� � Đẳng thức xảy nào? xn  �2 � Lời giải: �Với n  ta cần chứng minh: x(x2  1) �x  1� �� � 8x(x2  1) �(x  1)4 � x �2 � Tức là: x4  4x3  6x2  4x  1�0 � (x  1)4 �0 (đúng) Đẳng thức xảy x  2k �Giả sử 2k xk(xk1  1) �x  1� xk1(xk  1) �x  1� , ta chứng minh � �� �2 � � xk  xk1  � � �2 � 2k �x  1� Thật vậy, ta có: � � �2 � 2k (*) �x  1��x  1� �x  1�xk(xk1  1) � �� � �� � k � �� � � � x 1 �x  1�xk(xk1  1) xk1(xk  1) Nên để chứng minh (*) ta cần chứng minh � � � k xk1  � � x 1 �x  1� k1 k k Hay � �(x  1) �x(x  1)(x  1) (**) � � Khai triển (**) , biến đổi rút gọn ta thu x2k 2(x  1)2  2xk1(x  1)2  (x  1)2 �0 � (x  1)2(xk1  1)2 �0 BĐT hiển nhiên Đẳng thức có � x  Vậy toán chứng minh Chú ý: Trong số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n ta chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) với n  n  2k Bước 2: Giả sử P(n) với n  k  1, ta chứng minh P(n) với n  k Cách chứng minh gọi quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh với số tự nhiên n �1, ta ln có n(n  1)(2n  1) 12  22   (n  1)2  n2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 n 2n    n   3 4.3n Lời giải: Bước 1: Với n  ta có: 1(1 1)(2.1 1) VT  12  1, VP   1� VT  VP � đẳng thức cho với n  Bước 2: Giả sử đẳng thức cho với n  k �1, tức là: k(k  1)(2k  1) 12  22   (k  1)2  k2  (1) Ta chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức cần chứng minh: (k  1)(k  1)(2k  3) 12  22   (k  1)2  k2  (k  1)2  (2) Thật vây: (1) 2 � (k  1)2  k(k  1)(2k  1)  (k  1)2 VT (2)  �    k � � � � (k  1)(2k2  7k  6) 2k  k  (k  1) �  k  1� � � (k  1)(k  2)(2k  3)  VP(2) � (2) � đẳng thức cho với n �1 * Với n  ta có VT   VP � đẳng thức cho với n  1 k 2k * Giả sử đẳng thức cho với n  k �1, tức là:    k   (1) 3 4.3k Ta chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức cần chứng minh k k  2k     k  k1   (2) 3 4.3k1 3 2k  k  2k   k1    VP(2) Thật vậy: VT (2)   4.3k 4.3k1 � (2) � đẳng thức cho  Bài Chứng minh đẳng thức sau n n  1  n  2 1.2  2.3  n(n  1)  với n �1 1 1 n      1.5 5.9 9.13  4n  3  4n  1 4n  � n n  1 �     n  � � � � 3 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � 1 2n � 4� � 4� � 4�� � �     � � � 9� � 25 � � 1 2n � 1� � � � � �  2n  1 � � 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  n(n2  1)(3n  2) , n �2 12 2n(n  1)(2n  1) 22  42   (2n)2  n(n  1)(n  2)(n  3) 1.2.3 2.3.4  n(n  1)(n  2)  Với n��* n(n2  1)(3n  2) 1.22  2.32  3.42   (n  1).n2  12 với n �2 1 n(n  3)     10 1.2.3 2.3.4 n(n  1)(n  2) 4(n  1)(n  2) Với n��* 1.22  2.32  3.42   (n  1).n2  Lời giải: 1.2  2.3  k(k  1)  (k  1)(k  2)  k(k  1)(k  2) (k  1)(k  2)(k  3)  (k  1)(k  2)  3 1 1       1.5 5.9 9.13  4k  3  4k  1 (4k  1)(4k  5)   k k   4k  (4k  1)(4k  5) 4k  2 �k(k  1) � � (k  1)(k  2) � �  (k  1)3  � � � � � � � � �1 2k (2k  3)(2k  1)(1 2k) 2k  1   � 2� (2k  1) (2k  1) (1 2k) � (2k  1) �1 2k 5,6,7 Bạn đọc tự làm k(k  1)(k  2)(k  3)  (k  1)(k  2)(k  3)  (k  1)(k  2)(k  3)(k  4)  k(k2  1)(3k  2) � (k  1)(3k  2) �  k(k  1)2  k(k  1) �  1� 12 12 � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  10  k(k  1)(3k2  k  10) (k  1)k(k  2)(3k  5)  12 12 k(k  3)   4(k  1)(k  2) (k  1)(k  2)(k  3) (k  1)(k  4) k(k  3)2  (k  1)2(k  4)   4(k  1)(k  2)(k  3) 4(k  1)(k  2)(k  3) 4(k  2)(k  3) Bài Chứng minh với số tự nhiên n �1 ta có:       2cos  2n1 (n dấu căn) Chứng minh đẳng thức sin x  sin2x  sin nx  x �k2 với n �1 sin nx (n  1)x sin 2 với x sin Lời giải:  * Với n  1� VT  2, VP  2cos  � VT  VP � đẳng thức cho với n  * Giả sử đẳng thức cho với n  k , tức là:  (k dấu căn) (1) 2k1 Ta chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức là:     2  2cos     2  2cos  2k ( k dấu căn) (2)  Thật vậy: VT (2)       2   2cos k1 4 44 4 43 k dau can    )  4cos2 k  2cos k  VP(2) k1 2 a (Ở ta sử đụng công thức 1 cos a  2cos2 ) � (2) � đẳng thức cho x sin sin x  sin x nên đẳng thức cho �Với n  ta có VT  sin x, VP  x sin với n   2(1 cos http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �Giả sử đẳng thức cho với n  k �1, tức là: sin x  sin2x  sin kx  sin Ta chứng minh (4) với n  k  1, tức sin x  sin2x  sin(k  1)x  sin kx (k  1)x sin 2 (1) x sin (k  1)x (k  2)x sin 2 (2) x sin kx (k  1)x sin 2  sin(k  1)x Thật vậy: VT (2)  x sin � kx (k  1)x x� sin  2cos sin � (k  1)x � 2  sin � � x � � sin � � (k  1)x (k  2)x sin sin 2   VP(2) x sin Nên (2) Suy đẳng thức cho với n �1 sin Bài Chứng minh với n �1 ta có bất đẳng thức: sin nx �n sin x x �� Lời giải: * Với n  ta có: VT  sin1.  sin   VP nên đẳng thức cho * Giả sử đẳng thức cho với n  k �1, tức : sin kx �k sin x (1) Ta phải chứng minh đẳng thức cho với n  k  1,tức : sin(k  1) � k  1 sin  (2) Thật vậy: sin  k  1   sin k cos   cos k sin  �sin k cos  cos k sin  �sin k  sin  �k sin   sin    k  1 sin  Vậy đẳng thức cho với n  k  1, nên đẳng thức cho với số nguyên dương n Bài http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n � 1� Chứng minh với số tự nhiên n �1, ta có : � 1 � � n� 3n  3n  với số tự nhiên n �2 ; 2.4.6.2n  2n  với số tự nhiên n �1; 1.3.5  2n  1 Lời giải: k � 1� n n Ta chứng minh � 1 �   ,1�k �n (1) phương pháp quy nạp � n� k k theo k Sau cho k  n ta có (7) 1 * Với k  1� VT (1)  1     VP(1) n n n � (1) với k  * Giải sử (1) với k  p, 1�p �n , tức là: p � � p2 p 1 �   � � n� n n Ta chứng minh (1) với k  p  1, tức (2) p1 � � (p  1)2 p 1 �    (3) � n n2 � n� p1 p � � � � � � �p2 p � � 1� 1 �  � 1 �.� 1 � �   1� 1 � Thật vậy: � � � n � � n � � n � �n n � � n� p2 p2  p p  p p2  p p     �   1 n n n3 n2 n2 n2 p2  2p  p  (p  1)2 p    1   � (3) � đpcm n n n2 n2  n � 1� Cách khác: Khi n  1�  (đúng) dễ thấy n  1� tiến dần � � 1 � n � n� n � 1� tiến gần 1.Vậy n �1ta ln có � 1 � � n� Với n  ta có: VT  32   VP  3.2   nên đẳng thức cho với n  �Giả sử đẳng thức cho với n  k �2 , tức là: 3k  3k  (1) Ta chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức : 3k1 �3(k  1)   3k  (2) Thật vậy: 3k1  3.3k  3(3k  1)  3k  4 (6k  1)  3k  nên (2) Vậy tóan chứng minh Với n  ta có: VT   2, VP  � đẳng thức cho với n  1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �Giả sử đẳng thức cho với n  k �1, tức là: 2.4.6.2k  2k  (1) 1.3.5  2k  1 Ta chứng minh đẳng thức cho với n  k  1, tức là: 2.4.6.2k(2k  2)  2k  (2) 1.3.5  2k  1 (2k  1) Thật vậy: 2.4.6.2k(2k  2) 2k  2k   2k   2k  1.3.5  2k  1 (2k  1) 2k  Nên ta chứng minh 2k   2k  �  2k  2  (2k  1)(2k  3) 2k  �  hiển nhiên Vậy toán chứng minh Bài Cho hàm số f xác định với x�� thoả mãn điều kiện : f (x  y) �f (x) f (y), x, y �� (*) Chứng minh với số thực x 2n � �x � � số tự nhiên n ta có : f  x ��f � n � � � �2 � � Lời giải: x Trong BĐT f (x  y) �f (x) f (y) thay x y , ta được: 2 �x x � �x � �x � � x� ff�  �� � � ff� �  x �f ( )� �2 � �2 � �2 � � 2� Vậy bất đẳng thức cho với n  Giả sử bất đẳng thức với n  k �1 Ta có 2k � �x � � (1) f  x ��f � k � � � �2 � � Ta chứng minh bất đẳng thức với n  k  1, tức : 2k ��x � � f  x ��f � k1 � � � �2 � � (2) � � x x � �� x �  ��f � � � � � � k k 1� � � k 1� � �2 � � �2 � � 2k 2k � 2� � �x � � �� x � �� � ff� � � � � �� � � � � k 1� � �� � � �� �2k � � � � � � � � � � �x � Thật ta có : ff� � �k � �2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2k � �x � � ff� � � � �k � � � � �2 � � 2k  �� x � � �� � � � �� � �2k  � � � 2k ��x � � Do tính chất bắc cầu ta có : f  x ��f � k1 � � � �2 � � Bất đẳng thức với n  k  nên với số tự nhiên n Bài Chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 n �2 1      n n 1   �2 n n  1 n  tan n  n tan  với    4 n  1 2n  2n  n �3 2n  2n  5, (n��* ) 3n1  n(n  2); (n �* ,n 4) 2n  3n  1; (n �* ,n 8)    ncos �1 với n �1 n n 2n  1  2n  3n  1  n ;(n �* , n 2) 10 1    n 1 Lời giải: 1 1  2 �  (hiển nhiên đúng)   k (k  1)2 k k k  k  � k(k  1)  k (hiển nhiên) k  k 1 k  k  � k(k  1)  2k  k � 4k(k  1)  (2k  1)2  4k(k  1)  (hiển nhiên) tan n  tan   (n  1)tan  tan(n  1)  1 tan n.tan  � tan n  tan   (n  1)tan   (n  1)tan2 .tan n (n  1)cos � tan n � 1 (n  1)tan2  � � � n tan  (đúng) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nên dãy (un ) dãy bị chặn CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Xét tính tăng giảm dãy số sau 3n2  2n  1 un  n A.Dãy số tăng B.Dãy số giảm C.Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai un  n  n2  A.Dãy số tăng C.Dãy số không tăng không giảm 3n  un  n A.Dãy số tăng C.Dãy số không tăng không giảm u  n n   1 B.Dãy số giảm D Cả A, B, C sai B.Dãy số giảm D Cả A, B, C sai n n2 A.Dãy số tăng B.Dãy số giảm C.Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai Lời giải: 5n  10n  0 (u ) Ta có: un1  un   n  1  n  2 nên dãy n dãy tăng Ta có: un1  un    n  1   n  1  n  n  0 Nên dãy (un ) giảm 3n   � dãy (un ) tăng 2n1 u2  u1 � � Dãy số không tăng khơng giảm Ta có: u1  0;u2  ;u3  � � u3  u2 � Ta có: un1  un  un  un  Bài Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết: 2n  13 un  3n  A.Dãy số tăng, bị chặn bị chặn C.Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn sai B.Dãy số giảm, D Cả A, B, C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n2  3n  n A.Dãy số tăng, bị chặn C.Dãy số giảm, bị chặn un  un  B.Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai 1 n  n2 A.Dãy số tăng, bị chặn C.Dãy số giảm, bị chặn sai 2n un  n! A.Dãy số tăng, bị chặn C.Dãy số giảm, bị chặn B.Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C B.Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai 1    2 n A.Dãy số tăng, bị chặn chặn C.Dãy số giảm, bị chặn un  1 B.Dãy số tăng, bị D Cả A, B, C sai Lời giải: 2n  11 2n  13 34    với n �1 Ta có: un1  un  3n  3n  (3n  1)(3n  2) Suy un1  un n �1� dãy (un ) dãy tăng 35 � 11�un  n �1 Mặt khác: un   3(3n  2) Vậy dãy (un ) dãy bị chặn Ta có: un1  un  (n  1)2  3(n  1)  n2  3n   n n 2 n  5n  n  3n    n n (n  5n  5)(n  1)  (n2  3n  1)(n  2)  (n  1)(n  2)  n2  3n   n �1 (n  1)(n  2) � un1  un n �1� dãy (un ) dãy số tăng n2  2n   n  1�2 � dãy (un ) bị chặn n Ta có: un  n �1 un  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word un1 n2  n  n2  n     n��* un n2  3n  (n  1)2  (n  1)  � un1  un  �1� dãy (un ) dãy số giảm Mặt khác:  un  1� dãy (un ) dãy bị chặn Ta có: un1 2n1 2n 2n1 n!  :  n  n �1 un (n  1)! n! (n  1)! n  Mà un  n � un1  un n �1� dãy (un ) dãy số giảm Vì  un �u1  n �1� dãy (un ) dãy bị chặn  � dãy (un ) dãy số tăng Ta có: un1  un  (n  1)2 1 1     2 Do un  1 1.2 2.3 (n  1)n n � 1 un  n �1� dãy (un ) dãy bị chặn Bài Xét tính bị chặn dãy số sau 2n  1 un  n A.Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn D Bị chặn un  (1)n A.Bị chặn un  3n  A.Bị chặn un  4 3n  n2 A.Bị chặn n2  n  n2  n  A.Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn D Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn D Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn D Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn D Bị chặn un  un  n n2  A.Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn Lời giải: Ta có  un  n nên dãy (un ) bị chặn D Bị chặn Ta có: 1�un �1� (un ) dãy bị chặn Ta có: un �2 n � (un ) bị chặn dưới; dãy (un ) không bị chặn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 25 25  (n  )2  � (un ) bị chặn trên; dãy (un ) không bị chặn 4 Ta có: 1 un  n � (un ) bị chặn Ta có: un  Ta có:  un  n � (un ) bị chặn Bài Xét tính bị chặn dãy số sau 1    un  1.3 2.4 n.(n  2) A.Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn un  D Bị chặn 1    1.3 3.5  2n  1  2n  1 A.Bị chặn B.Không bị chặn � u1  � � un1  un  , n �2 � u  � n1 C.Bị chặn D Bị chặn A.Bị chặn B.Không bị chặn C.Bị chặn Lời giải: 1 1     1 1 Ta có:  un  1.2 2.3 n.(n  1) n D Bị chặn Dãy (un ) bị chặn n �  un  1, dãy (un ) bị chặn Ta có: un  2n  Bằng quy nạp ta chứng minh 1 un  nên dãy (un ) bị chặn Bài Xét tính tăng giảm dãy số sau � u1  � � un1  un3  1, n �1 � A.Tăng B.Giảm C.Không tăng, không giảm D A, B, C sai � u1  � � un2  u  n �1 � �n1 A.Tăng B.Giảm C.Không tăng, không giảm D A, B, C sai Lời giải: Ta có: un1  un3  � un1  un3  un n � dãy số tăng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word un2  4un  Bằng quy nạp ta chứng minh   un  n Ta có: un1  un  � un1  un  Dãy (un ) giảm Bài dãy số (un ) xác định u  2010 2010  2010 (n dấu căn)Khẳng n định sau đúng? A.Tăng B.Giảm C.Không tăng, không giảm D A, B, C sai � u1  1,u2  � Cho dãy số (un ) : � Khẳng định sau đúng? un  un1  un ,n �3 � A.Tăng, bị chặn B.Giảm, bị chặn C.Không tăng, không giảm D A, B, C sai an  , n �1 Cho dãy số (un ) : un  2n  a) Khi a 4, tìm số hạng đầu dãy 10 14 18 22 ,u4  ,u5  A u1  2,u2  ,u3  B 10 14 18 22 u1  6,u2  ,u3  ,u4  ,u5  1 18 22 10 22 ,u5  C u1  6,u2  ,u3  ,u4  D u1  6,u2  ,u3  ,u4  ,u5  9 b) Tìm a để dãy số cho dãy số tăng A a B a 2 C a D a 4 � u1  Cho dãy số (un ) : � un  3un1  2, n  2,3 � a) Viết số hạng đầu dãy A u1  2,u2  5,u3  10,u4  28,u5  82,u6  244 B u1  2,u2  4,u3  10,u4  18,u5  82,u6  244 C u1  2,u2  4,u3  10,u4  28,u5  72,u6  244 D u1  2,u2  4,u3  10,u4  28,u5  82,u6  244 b) Chứng minh un  3n1  1, n  1,2, Cho dãy số un  5.2n1  3n  n  2, n  1,2, a) Viết số hạng đầu dãy A u1  1,u2  3,u3  12,u4  49,u5  170 B u1  1,u2  3,u3  12,u4  47,u5  170 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word C u1  1,u2  3,u3  24,u4  47,u5  170 D u1  1,u2  3,u3  12,u4  47,u5  178 b) Chứng minh rằng: un  2un1  3n1  n Lời giải: Ta có un1  2010  un � un1  un  un21  un1  2010 1 8041 n Suy un1  un  � dãy (un ) dãy tăng Bằng quy nạp ta chứng minh un  Chứng minh quy nạp : uk1  uk  uk  uk1  uk2  uk Ta chứng minh:  un  4n  a) Với a ta có: un  Ta có: số hạng đầu dãy 2n  10 14 18 22 u1  6,u2  ,u3  ,u4  , u5  b) Ta có dãy số (un ) tăng khi:  a un1  un   0, n��* � a  � a  4 (2n  1)(2n  1) a) Ta có: u1  2,u2  4,u3  10,u4  28,u5  82,u6  244 b) Chứng minh toán phương pháp quy nạp chứng minh cách sau Ta có: un   3(un1  1)  32(un  1)   3n1(u1  1) Suy ra: un   3n1 � un  3n1  a) Ta có: u1  1,u2  3,u3  12,u4  47,u5  170 b) Ta có: un1  5.2n  3n1  n    n n n1 n1 Nên 2un1   n  5.2   n    n  5.2n1  3n  n   un Bài Cho dãy số (un ) : un  (1 a)n  (1 a)n ,trong a�(0;1) n số ngun dương a)Viết cơng thức truy hồi dãy số � u1  � u1  � � n n n n A � B � � � � � u  u  a  a   a u  u  a  a   a         n  n n  n � � � � � � � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � u1  � n n C � � � u  u  a  a   a     n  n � � � � b)Xét tính đơn điệu dãy số A Dãy (un ) dãy số tăng � u1  � n n D � � � u  u  a  a   a     n  n � � � � B Dãy (un ) dãy số giảm C Dãy (un ) dãy số không tăng, không giảm D A, B, C sai � u1  � Cho dãy số (un ) xác định sau: � u  u   2, n � n n  � 2un1 � a) Viết số hạng đầu dãy chứng minh un  0, n 47 227 ,u3  ,u4  34 19 227 ,u4  C u1  1,u2  ,u3  34 17 227 ,u3  ,u4  34 17 2127 ,u4  D u1  1,u2  ,u3  34 A u1  1,u2  B u1  1,u2  b) Chứng minh dãy (un ) dãy tăng � u0  2011 � un2 Cho dãy số (un ) xác định : � un1  , n  1,2, � un  � a) Khẳng định sau A Dãy (un ) dãy giảm B Dãy (un ) dãy tăng C Dãy (un ) dãy không tăng, khơng giảm D.A, B, C sai b) Tìm phần nguyên un với �n �1006 un � A � � � 2014  n un � B � � � 2011 n un � C � � � 2013 n un � D � � � 2012  n � u1  2,u2  Cho dãy số (un ) xác định bởi: � un  un  2un1 , n  1,2, � a) Gọi a, b hai nghiệm phương trình x2  2x   Chứng minh rằng: un  an  bn b) Chứng minh rằng: un21  un 2un  (1)n1.8 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � u1  � n n a) Ta có: � � � u  u  a  a   a     n  n � � � � b) Dãy (un ) dãy số tăng 17 227 ,u4  a) Ta có: u1  1,u2  ,u3  34 Ta chứng minh un  0, n quy nạp Giả sử un  , đó: 2un  1 �2 2un 2 2un 2un � � 2un   2� un  Nên un1  un  � 2un � � b) Theo chứng minh ta có: un1  un , n nên dãy (un ) dãy tăng un  0, n nên dãy (un ) dãy giảm a) Ta có: un1  un  un  b) Ta có: un  un1  un1  u  1  u0  n un1  n1 Suy ra: un1  u0  (n  1)  2012  n Mặt khác: un   un  un1   (un1  un )   (u1  u0 )  u0 �u � u u  u0  �    n1 � un1  1� �u0  u1  � 1 �  u0  n  �    � un1  1� �u0  u1  Mà: 0 1 n n      1 u0  u1  un1  un1  2013 n Với n  2,1006 Suy un  u0  n   2012  n � un � Do đó: 2011 n  un  2012  n � � � 2011 n với n  2,1006 20112  2010,000497 2012 u0 � u1 � nên � � � 2011 0, � � � 2010  2011 Vì u0  2011 u1  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word un � Vậy � � � 2011 n, n  0,1006 a) Ta chứng minh toán quy nạp Với n  1� u1  a b  Giả sử un  an  bn , n �k   k k k1 k1 Khi đó: uk1  2uk  uk1  a  b  a  b    (a b) ak  bk  ak1  bk1  ak1  bk1  ab(ak1  bk1)  ak1  bk1  ak1  bk1  (ak1  bk1)  ak1  bk1  ak1  bk1 b) Ta có: un21  un 2un  un21   2un1  un  un  un1  un1  2un   un2  (un2  un1un1)     (1)n1 u22  u3u1  (1)n Bài Xét tính tăng giảm bị chặn dãy số sau n 1 (un ) : un  n A.Tăng, bị chặn B.Giảm, bị chặn C.Tăng, chặn chặn (un ) : un  n3  2n  A.Tăng, bị chặn B.Giảm, bị chặn C.Tăng, chặn � u 2 �1 chặn (un ) : � u 1 un1  n , n �2 � � A.Tăng, bị chặn B.Giảm, bị chặn C.Tăng, chặn chặn � u1  2,u2  � � un1  un  un1 , n �2 � A.Tăng, bị chặn B.Giảm, bị chặn C.Tăng, chặn chặn Lời giải: n  n  (n  2)  (n  3)(n  1)   Ta có un1  un  n n (n  2)(n  3)   0, n (n  2)(n  3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D.Giảm, D.Giảm, D.Giảm, D.Giảm, �  un  1, n n Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn Mặt khác: un  1 Ta có: un1  un  (n  1)3  2(n  1)  n3  2n  3n2  3n   0, n Mặt khác: un  1, n n lớn un lớn Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn Trước hết quy nạp ta chứng minh: 1 un �2, n Điều với n  1, giả sử 1 un  ta có: un   nên ta có đpcm 1 un Mà un1  un   0, n Vậy dãy (un ) dãy giảm bị chặn 1 un1  Trước hết ta chứng minh 1 un  4, n Điều hiển nhiên với n  Giả sử 1 un  , ta có: 1 un1  un  un1    Ta chứng minh (un ) dãy tăng Ta có: u1  u2 , giả sử un1  un , n �k � uk  uk1 � uk  uk1  uk1  uk � uk1  uk Khi đó: � uk1  uk2 � Vậy dãy (un ) dãy tăng bị chặn Bài �x0  � Cho dãy số (xn ) : � 2n n1 x  �n (n  1)2 �xi , n  2,3, i 1 � Xét dãy số yn  xn1  xn Khẳng định dãy (yn ) A.Tăng, bị chặn B.Giảm, bị chặn C.Tăng, chặn D.Giảm, � u0  1,u1  � � un21 � chặn Cho dãy số nguyên dương (un ) thỏa : � u   � �, n �0 �n �un � � Chứng minh rằng: un 2un  un21  2n với số tự nhiên n � u0  � Cho dãy số (un ) xác định bởi: � un1  5un  24un2  1, n  0,1, � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Chứng minh dãy số (un ) dãy số nguyên (2 5)n  (2  5)n � Cho dãy số (un ) xác định bởi: un  � � � Chứng minh u2n số tự nhiên chẵn u2n1 số tự nhiên lẻ Cho hai dãy số (xn );(yn ) xác định : �x  x  1 x2 n n1 n1 � � �x1  � yn1 � , n �2 � �y1  �yn  1 1 yn21 � Chứng minh  xn yn  3, n �2 � u0  � Cho dãy số số (un ) xác định bởi: � 1� � u  u  � � n  n � � 3un � � Chứng minh rằng: an  số phương 3un  Lời giải: n 2(n  1) 2(n  1) � n1 � x  x  �x � Ta có: xn1  � � n2 i 1 i n2 �n i 1 i �  2(n  1) � (n  1)2 � (n  1)(n2  1) xn � xn �x  2n n2 �n n3 � n2  n  xn n3 �Ta chứng minh dãy (yn ) tăng Do đó: yn  xn1  xn  Ta có: yn1  yn  (n  1)2  n  (n  1)(n2  1) n2  n  x  xn n (n  1)3 n3 n3   (n2  3n  3)(n2  1)  (n2  n  1)(n2  2n  1) xn n3(n  1)2 2xn  , n  1,2, n (n  1)2 �Ta chứng minh dãy (yn ) bị chặn Trước hết ta chứng minh: xn �4(n 1) (1) với n  2,3 * Với n  2, ta có: x2  4x1  nên (1) với n  * Giả sử (1) với n , tức là: xn �4(n 1) , ta có (n  1)(n2  1) 4(n4  1) x �  4n n n3 n3 Nên (1) với n Theo nguyên lí quy nạp ta suy (1) xn1  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n2  n  4(n  1)(n2  n  1) 4(n3  1) x �  4 n n3 n3 n3 Vậy toán chứng minh Từ cách cho dãy số, ta thấy dãy (un ) tồn Ta có: yn  � v0  1, v1  Xét dãy (vn ) : � vn  4vn1  2vn , n �0 � �Ta chứng minh: vn 2.vn  vn21  2n (1) Ta có: vn 2.vn  vn21  (4vn  2vn )vn  vn21  4vn1vn  vn21  2vn2  vn1  4vn  vn1   2vn     v v  v    vn1.2vn1  2vn2  vn1vn1  vn2 n 2 n  � (1) chứng minh �Ta chứng minh  2n (2) quy nạp Trước hết ta thấy dãy (vn ) dãy tăng Với n  ta thấy (2) n Giả sử  2n ta có: vn1  2vn  2  vn1   2vn  Do (2) �Dựa vào kết ta có: vn21 v2 2n  vn  � vn  1 n1  vn vn vn21 vn21  1 vn1  1 Hay vn � � vn21 � vn21 � Do đó: vn   � �� vn  1 � � �vn � �vn � Vì tính nên ta có: un  , n �0 Vậy toán chứng minh Ta có u0 ,u1 �� u n1  5un   24un2  � un21  10un1un  un2   (1) Ở (1) thay n n ta được: un2  10un un1  un21  1 � un21  10un1.un  un2   (2) Từ (1) (2) suy un1 ,un1 hai nghiệm phương trình t2  10tun  un2  1 Theo định lí Viet ta có: un1  un1  10un Hay un1  10un  un1 Từ ta có: un ��, n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � a b  4 Đặt a   5,b   � � Khi đó: ab  1 � 1 un  (an  bn )  � (a b)(an1  bn1)  ab(an  bn )� � 2� an1  bn1 an  bn    4un1  un2 2 Ta chứng minh toán phương pháp quy nạp �Với n  ta có: u1  số chẵn u2  số lẻ �Giả sử u2k số lẻ u2k1 số chẵn Khi đó: u2k1  4u2k  u2k1 số chẵn u2k  4u2k1  u2k số lẻ Từ ta có đpcm  cos        cot Ta có: x1   cot � x2  cot  1 cot  6 2.6 sin  Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn  cot n1  Tương tự, ta có: yn  tan n1  Đặt  n  n � xn  cot  n ; yn  tan2 n � xn.yn  tan2 n.cot  n 2t  Đặt t  tan  n � tan2 n cot  n  1 t t 1 t2   2  � t tan t2 Vì n �� n 6 3 � 2  �  xn yn  3, n �2 � đpcm 1 t2 � bn ,cn �� bn Vì un ��� un  với � cn (bn ,cn )  � bn1 �bn cn � 3bn2  cn2  �  Khi đó: � cn1 �cn 3bn � 6bncn   2 Bằng quy nạp ta chứng minh 3bn  cn ,6bncn  � bn1  3bn2  cn2 � Suy � cn1  2bncn � Bằng quy nạp ta chứng minh được: 3bn2  cn2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Do đó: an   cn2 3b (đpcm) 1 c n n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... số (un ) gọi dãy tăng un  un1 n��* ? ?Dãy số (un ) gọi dãy giảm un  un1 n��* Dãy số bị chặn ? ?Dãy số (un ) gọi dãy bị chặn có số thực M cho un  M n��* ? ?Dãy số (un ) gọi dãy bị chặn có số. .. hàm số u xác định dãy số �Cho công thức truy hồi, tức là: * Cho vài số hạng đầu dãy * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc vài số hạng) đứng trước Dãy số tăng, dãy số giảm ? ?Dãy. .. giảm dãy số sau 3n2  2n  1 un  n A .Dãy số tăng B .Dãy số giảm C .Dãy số không tăng không giảm D Cả A, B, C sai un  n  n2  A .Dãy số tăng C .Dãy số không tăng không giảm 3n  un  n A .Dãy số tăng