http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 TIẾP TUYẾN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số  C  : y  f  x  điểm M  x0 ; y0  � C  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M - Tính đạo hàm f '  x  Tìm hệ số góc tiếp tuyến f '  x0  - phương trình tiếp tuyến điểm M là: y  f '  x   x  x0   y0 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi    tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k - Giả sử M  x0 ; y0  tiếp điểm Khi x0 thỏa mãn: f '  x0   k (*) - Giải (*) tìm x0 Suy y0  f  x0  - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  k  x  x0   y0 Tiếp tuyến qua điểm Cho hàm số  C  : y  f  x  điểm A  a; b  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A - Gọi    đường thẳng qua A có hệ số góc k Khi    : y  k  x  a   b (*) � �f  x   k  x  a   b  1 - Để    tiếp tuyến (C) � � có nghiệm  2 �f '  x   k - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Hệ số góc tiếp tuyến với (C) điểm M  x0 ; y0  thuộc (C) là: k  f '  x0  Cho đường thẳng  d  : y  k d x  b +)    / /  d  � k  kd +)  , d    � tan   +)      d  � k k d  1 � k   k  kd  k kd kd +)  , Ox    � k   �tan  3 Cho hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d ,  a �0  +) Khi a  : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc nhỏ +) Khi a  : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc lớn B – BÀI TẬP DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Câu Cho hàm số y  f ( x ) , có đồ thị  C  điểm M  x0 ; f ( x0 )  �(C ) Phương trình tiếp tuyến  C M là: ( x)  x  x0   y0 A y  f � ( x0 )  x  x0  B y  f � Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 ( x0 )  x  x0  ( x0 ) x C y  y0  f � D y  y0  f � Hướng dẫn giải: Chọn C Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y   x  1  x –  điểm có hồnh độ x  A y  –8 x  B y  x  18 C y  –4 x  D y  x  18 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Ta có x0  � y0   2   x –   x3  3x  � y� 3x  � y� Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y   x    � y  x  18 Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  – x  điểm có hồnh độ y   x  1 A y  –3x  B y  –3x  Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Ta có x0  � y0  C y  x – x  D y  3x – y  x   x   x3  x  x � y�  3x  12 x  � y �    3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  3  x    � y  3x  Câu Cho đường cong  C  : y  x Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  –1;1 A y  –2 x  B y  x  C y  –2 x –1 D y  x –1 Hướng dẫn giải: Chọn C y  x � y�  2x y�  1  2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  2  x  1  � y  2 x  x2  x Phương trình tiếp tuyến A  1; –2  x2 A y  –4  x –1 – B y  –5  x –1  C y  –5  x –1 – Hướng dẫn giải: Chọn C x2  x x2  x  y � y�   1  5 , y� x2  x  2 Câu Cho hàm số y  D y  –3  x –1 – Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  5  x  1  � y  5 x  Câu Cho hàm số y  x – 3x  x  Phương trình tiếp tuyến A  0;  là: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A y  x  Hướng dẫn giải: Chọn A  x2  x  Ta có : y� B y  x  C y  7 x  Đạo hàm – ĐS> 11 D y  7 x   0  Hệ số góc tiếp tuyến y � Phương trình tiếp tuyến A  0;  : y   x  0   7x  Câu Gọi  P  đồ thị hàm số y  x  x  Phương trình tiếp tuyến với  P  điểm mà  P  cắt trục tung là: A y   x  B y   x  C y  x  D y  11x  Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có :  P  cắt trục tung điểm M  0;3 y�  4x 1    1 Hệ số góc tiếp tuyến : y� Phương trình tiếp tuyến đồ thị  P  M  0;3 y  1 x      x  3x  Câu Đồ thị  C  hàm số y  cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến  C  điểm A có x 1 phương trình là: A y  4 x  B y  x  C y  x  D y  5 x  Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có : điểm A  0; 1 4 y�     4 � hệ số góc tiếp tuyến y �  x  1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm A  0; 1 : y  4  x     4 x  Câu Cho hàm số y  hoành là: A y  x  Hướng dẫn giải: Chọn C 2x  có đồ thị (H) Phương trình tiếp tuyến giao điểm (H) với trục x3 B y  x  C y  2 x  D y  x 2 � y '(2)  2 ( x  3) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  2( x  2) hay y  2 x  Câu 10 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x   x  x  x điểm có hồnh độ x0  1 là: A y  10 x  B y  10 x  C y  x  D y  x  Giao điểm (H) với trục hoành A(2; 0) Ta có: y '  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Hướng dẫn giải: Chọn A Tập xác định: D  �  3x  x  Đạo hàm: y � y�  1  10; y  1  6 Phương trình tiếp tuyến cần tìm  d  : y  10  x  1   10 x  x 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị  H  giao điểm Câu 11 Gọi  H  đồ thị hàm số y  x  H  với hai trục toạ độ là: y  x 1 � A y  x  B � C y   x  D y  x  y  x 1 � Hướng dẫn giải: Chọn A Tập xác định: D  �\  0 x2  H  cắt trục hoành điểm có hồnh độ x  khơng cắt trục tung  Đạo hàm: y � y�  1  Phương trình tiếp tuyến cần tìm d : y  x  Câu 12 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị ( H ) : y  A y  ( x  1) B y  3x Hướng dẫn giải: Chọn A Tập xác định: D  �\  2  Đạo hàm: y �  x  2 x 1 giao điểm ( H ) trục hoành: x2 C y  x  D y  3( x  1) ( H ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ xo  � y�  1  ; y  1  Phương trình tiếp tuyến cần tìm d : y   x  1 Câu 13 Gọi  P  đồ thị hàm số y  x  x  Phương trình tiếp tuyến với  P  giao điểm  P  trục tung A y   x  B y   x  C y  x  D y  3 x  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Tập xác định: D  � Giao điểm  P  trục tung M  0;3 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11  x  � hệ số góc tiếp tuyến x  1 Đạo hàm: y � Phương trình tiếp tuyến M  0;3 y   x  Câu 14 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  điểm có hồnh độ x0  1 có phương trình là: x 1 A y   x  B y  x  C y  x  D y   x  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Tập xác định: D  �\  1  Đạo hàm: y�  x  1 M  1; 2  Tiếp tuyến có hệ số góc k  1 Phương trình tiếp tuyến y   x  Câu 15 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm có tung độ tiếp điểm là: A y  x  6, y  8 x  B y  x  6, y  8 x  C y  x  8, y  8 x  D y  40 x  57 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Tập xác định: D  �  4x3  4x Đạo hàm: y� x 1 � Tung độ tiếp điểm nên  x  x  � � x  1 � Tại M  1;  Phương trình tiếp tuyến y  x  Tại N  1;  Phương trình tiếp tuyến y  8 x  x2 Câu 16 Cho đồ thị ( H ) : y  điểm A �( H ) có tung độ y  Hãy lập phương trình tiếp tuyến x 1 ( H ) điểm A A y  x  B y  3x  11 C y  3x  11 D y  3 x  10 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Tập xác định: D  �\  1  Đạo hàm: y�  x  1 Tung độ tiếp tuyến y  nên  Tại M  2;  Phương trình tiếp tuyến y  3x  10 x2 � x2 x 1 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu 17 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  phương trình là: A y  x  Hướng dẫn giải: Chọn A x2  2x  y '  Ta có:  x  1 Đạo hàm – ĐS> 11 x  3x  giao điểm đồ thị hàm số với trục tung có 2x 1 C y  x B y  x  D y   x Giao điểm M đồ thị với trục tung : x0  � y0  1 Hệ số góc tiếp tuyến M : k  y '    Phương trình tiếp tuyến điểm M : y  k  x  x0   y0 � y  x  Câu 18 Cho đường cong (C ) : y  x2  x  điểm A �(C ) có hồnh độ x  Lập phương trình tiếp x 1 tuyến (C ) điểm A 5 A y  x  B y  3x  C y  x  4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A x2  x y '  Ta có: Tại điểm A �(C ) có hồnh độ: x0  � y0   x  1 Hệ số góc tiếp tuyến A : k  y '  3  D y  x 4 x 4 �1 � Câu 19 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  điểm A � ;1�có phương trình là: 2x �2 � A x  y  3 B x  y  1 C x  y  D x  y  Hướng dẫn giải: Chọn C �1 � Ta có: y '   Hệ số góc tiếp tuyến A : k  y ' � � 1 2x 2x �2 � Phương trình tiếp tuyến điểm A : y  k  x  x0   y0 � x  y  Phương trình tiếp tuyến điểm A : y  k  x  x0   y0 � y  Câu 20 Tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x   x  x  điểm có hồnh độ x0  2 có phương trình là: A y  x  B y  20 x  22 C y  20 x  22 D y  20 x  16 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: f '  x   x  x Tại điểm A có hoành độ x0  2 � y0  f  x0   18 Hệ số góc tiếp tuyến A : k  f '  2   20 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Phương trình tiếp tuyến điểm A : y  k  x  x0   y0 � y  20 x  22 Câu 21 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : y  x  x điểm có hồnh độ x0  là: A y  3x B y  C y  x  D y  12 x Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: y '   12 x Tại điểm A �(C ) có hồnh độ: x0  � y0  Hệ số góc tiếp tuyến A : k  y '    Phương trình tiếp tuyến điểm A : y  k  x  x0   y0 � y  3x Câu 22 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị hàm số  C  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y "  Hướng dẫn giải: Chọn A A y   x  B y   x  C y  x  D y  x �  2x   x  x y � Ta có y � � ( x0 )  � x   � x0  1 Theo giả thiết x0 nghiệm phương trình y� 4� � 1;  �là: y   x  Phương trình tiếp tuyến điểm A � 3� � 2x 1 Câu 23 Gọi M giao điểm đồ thị hàm số y  với trục tung Phương trình tiếp tuyến với đồ x2 thị hàm số điểm M là: x 2 Hướng dẫn giải: Chọn B A y  B y   x  C y  x D y   x  2 � 1� 0; � Vì M giao điểm đồ thị với trục Oy � M � � 2� y�  3 � � k  y (0)   ( x  2) Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M là: y   x  Câu 24 Cho hàm số y  x  3x  3x  có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục tung là: A y  3x  B y  8 x  C y  x  Trang D y  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A (0)  Giao điểm  C  với trục tung A(0;1) � y� x4 x2 Câu 25 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y    điểm có hoành độ x0  1 là: A – B C D Hướng dẫn giải: (1)  2 Ta có f � Chọn đáp án A x  x  3x  Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ nghiệm �  có phương trình: phương trình y � 11 1 11 A y  x  B y   x  C y  x  D y   x  3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D y�  x2  4x  � y�  2x   � x  � 5� 2; � Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm � M � � 3� 11 (2)  x    � y   x  Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  y � 3 Câu 27 Phương trình tiếp tuyến  C  : y  x điểm M (1;  1) là: A y  3x  B y  x  C y  x  D y  3x  Hướng dẫn giải: Chọn B  3x � y� (1)  + y� + PTTT (C ) điểm M (1;  1) y  3( x  1)  � y  x  Câu 26 Cho hàm số y  Câu 28 Phương trình tiếp tuyến  C  : y  x điểm có hồnh độ là: A y  3x  B y  x  C y  3x D y  3x  Hướng dẫn giải: Chọn B  3x � y� (1)  + y� + x0  � y0  y (1)  +PTTT đồ thị (C ) điểm có hồnh độ là: y  3( x  1)  � y  x  x 11 Câu 29 Cho hàm số y  f ( x)   , có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến  C  M có hồnh x   độ là: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 1 1 A y  ( x  2)  B y   ( x  2)  C y   ( x  2)  D y   ( x  2)  2 2 Hướng dẫn giải: Đáp án C  x0   x  x0  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 ; y0  có phương trình là: y  y0  f � x f� ( x)  � f � ( 2)   ; y0  Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y    x    x2  x 1 Câu 30 Phương trình tiếp tuyến đường cong f ( x)  điểm có hồnh độ x0  1 là: x 1 5 5 A y  x  B y  x  C y  x  D y  x  4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B  x0   x  x0  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 ; y0  có phương trình là: y  y0  f � � x2  x �x  x  � , f�  1  ; y  1  f� ( x)  � � � x  �  x  1 x 4 Câu 31 Cho hàm số y  f ( x)  x  x  , có đồ thị  C  Tại giao điểm  C  với trục Ox , tiếp Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x0  1 có dạng y  tuyến  C  có phương trình: A y  3x  y  3 x  12 C y  3 x  y  3x  12 Hướng dẫn giải: Đáp án A Xét phương trình hồnh độ giao điểm x  1 � x2  5x   � � x  4 � B y  x  y  3x  12 D y  x  y  2 x  12 f�  x   2x   1  PTTT có dạng : y  3x  TH1: x0  1; y0  0;f �  4   3 PTTT có dạng : y  3x  12 TH2: x0  4; y0  0;f �  � � Câu 32 Phương trình tiếp tuyến đường cong y  f  x   tan �  x �tại điểm có hồnh độ x0  �4 � là:    A y   x   B y   x   C y  6 x    D y   x   6 Hướng dẫn giải: Chọn C Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word f�  x  Đạo hàm – ĐS> 11 3 � �; cos �  x � �4 �  ; y0  1 ; f �  x0   6 Phương trình tiếp tuyến: y  6 x    x0  �3 � Câu 33 Cho hàm số y  2x  3x  có đồ thị  C  , tiếp tuyến với  C  nhận điểm M � ; y0 �làm tiếp �2 � điểm có phương trình là: 9 27 23 x 31  A y  x B y  x  C y  x  D y  2 4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Tập xác định: D  � Ta có x0  � y0   6x2  6x Đạo hàm hàm số y� �3 � Suy hệ số góc tiếp tuyến M � ; y0 �là k  �2 � 23 Phương trình tiếp tuyến y  x  Câu 34 Cho hàm số y  x  x  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm A y  3x  B y  x  C y  x  D y  3x  Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Ta có: y '  3x  x  Ta có: x0  � y0  1, y '(1)  Phương trình tiếp tuyến là: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  3( x  1)   x  Câu 35 Cho hàm số y  x3  x  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tung độ tiếp điểm y  x  81 y  x  81 �y  18 x  81 � �y  18 x  � �y  9 x � � � y  9x y  9 x A � B � C �y  9 x D � � � � � y  9x  y  9x  �y  18 x  27 � �y  x  � Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  C  : y  x  2mx  m �x  2mx  m   * 0�� xm �x � m Đạo hàm – ĐS> 11 x  2mx  m trục hoành: xm x  2mx  m cắt trục Ox hai điểm phân biệt � phương trình  * có hai nghiệm xm m  �m  � � �  m2  m  � � �� phân biệt khác m � � m � 3m  m �0 � � � Gọi M  x0 ; y0  giao điểm đồ thị  C  với trục hồnh y0  x0  2mx0  m  hệ số góc Đồ thị hàm số y  tiếp tuyến với  C  M là: k  y�  x0    x0  2m   x0  1   x02  2mx0  m   x0  m  Vậy hệ số góc hai tiếp tuyến với k2   C  x0  2m x0  m hai giao điểm với trục hoành k1  x1  2m , x1  m x2  2m x2  m �2 x  2m � �2 x2  2m � Hai tiếp tuyến vng góc � k1.k  1 � � � � � 1 x  m x  m � � � � 2 � 4� x1 x2  m  x1  x2   m � x1 x2  m  x1  x2   m � � �  � � � ** m0 �x1 x2  m � Ta lại có � ,  ** � m  5m  � � Nhận m  m5 � �x1  x2  2m x 1 (C) Có cặp điểm A, B thuộc  C  mà tiếp tuyến song Câu 67 Cho hàm số y  x 1 song với nhau: A B C D Vô số Hướng dẫn giải: Chọn D 2 Ta có: y '   x  1 x 1 có tâm đối xứng I  1;1 x 1 Lấy điểm tùy ý A  x0 ; y0  � C  Đồ thị hàm số y  Gọi B điểm đối xứng với A qua I suy B   x0 ;  y0  � C  Ta có: 2 Hệ số góc tiếp tuyến điểm A là: k A  y '  x0    x0  1 Trang 43 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Hệ số góc tiếp tuyến điểm B là: k B  y '   x0   Đạo hàm – ĐS> 11 2   x0  Ta thấy k A  k B nên có vơ số cặp điểm A, B thuộc  C  mà tiếp tuyến song song với Câu 68 Cho hàm số y  x  x  x có đồ thị (C) Gọi x1 , x2 hoành độ điểm M , N  C  , mà tiếp tuyến  C  vng góc với đường thẳng y   x  2017 Khi x1  x2 bằng: 4 A B C D 1 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: y '  3x  x  Tiếp tuyến M , N  C  vng góc với đường thẳng y   x  2017 Hoành độ x1 , x2 điểm M , N nghiệm phương trình x  x   Suy x1  x2  Câu 69 Số cặp điểm A, B đồ thị hàm số y  x3  x  3x  , mà tiếp tuyến A, B vng góc với A Hướng dẫn giải: B C D Vô số Chọn B  3x  x  Gọi A( x A ; y A ) B( xB ; yB ) Ta có y � Tiếp tuyến A, B với đồ thị hàm số là: d1 : y  (3x A2  x A  3)( x  x A )  y A d : y  (3xB2  xB  3)( x  xB )  yB Theo giả thiết d1  d � k1.k2  1 � (3 xA2  x A  3).(3 xB2  xB  3)  1 � 9( x A2  xA  1).( xB2  xB  1)  1 � 9( x A  1)2 ( xB  1)  1 ( vô lý) Suy không tồn hai điểm A, B Câu 70 Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Đường thẳng sau tiếp tuyến  C  có hệ số góc nhỏ nhất: A y  3x  Hướng dẫn giải: B y  C y  5 x  10 Chọn A Gọi M ( x0 ; x0  x0  2) tiếp điểm phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  Trang 44 D y  3 x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 y '  x02  x0 Phương trình tiếp tuyến M có dạng: y  k ( x  x0 )  y0 2 Mà k  y '( x0 )  3x0  x0  3( x0  x0  1)  � 3( x0  1)  �3 Hệ số góc nhỏ x0  � y0  y (1)  ; k  3 Vậy phương trình tiếp tuyến điểm  1;0  có hệ số góc nhỏ : y  3 x  Câu 71 Cho hai hàm f ( x )  giao điểm chúng là: A 90� Hướng dẫn giải: x f ( x)  B 30� x2 Góc hai tiếp tuyến đồ thị hàm số cho C 45� D 60� Chọn đáp án A x2 1 � �  �  x2 � x  � y  �M� 1; Phương trình hồnh độ giao điểm � x x 2 � 2� (1)   , g� (1)  � f� (1) g � (1)  1 Ta có f � 2 Câu 72 Cho hàm số y  x  3mx  (m  1) x  m Gọi A giao điểm đồ thị hàm số với Oy Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số A vng góc với đường thẳng y  x  3 A B C D  2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A (0)  m  Vì tiếp tuyến đồ thị hàm số A vng góc với đường thẳng Ta có A(0;  m) � f � y  x  nên 2.(m  1)  1 � m    3m  1 x  m2  m có đồ thị  C  , m �� m �0 Với giá trị m Câu 73 Cho hàm số y  m xm giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến đồ thị song song với đường thẳng x  y  10  1 1 A m  1 ; m   B m  ; m   C m  1 ; m  D m  ; m  5 5 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Trang 45 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hồnh nghiệm phương trình:  3m  1 x  m2  m  0, m �0 � �x �m, m �0 � xm  3m  1 x  m2  m  � 1 � � �m  m � 4m x �  m , m � 0, m �  m � 0, m �  � � � y '  m � � � � �� �� Mà y '  � �3m  � �m  m 2  x  m  m� � �x  m  m �x  m  m �m 3m  � � � 3m  � 3m  �m2  m � x  y  10  y ' Tiếp tuyến song song với đường thẳng nên � � � m  1 m   �3m  �  m  1 giao điểm A  1;  , tiếp tuyến y  x  �3 � giao điểm B � ;0 �, tiếp tuyến y  x  5 �5 � Câu 74 Tìm m �� để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ  Cm  : y  x  x   m  1 x  2m vng góc với đường thẳng y   x 10 10 A m  B m  C m  D m  3 13 Hướng dẫn giải:  m Chọn A 7 7 � 2� � y '  m  x  Theo toán ta y '  3x  x  m   �x  � m   �m   y ' m 3 3 � 3� 10 � 7� m �  1  1 � m  có: y '  1  1 � � � 3� Câu 75 Xác định m để hai tiếp tuyến đồ thị y   x  2mx  2m  A  1;  B  1;0  hợp với 15 góc  cho cos   17 15 17 A m  0, m  2, m  , m  B m  0, m  2, m  , m  16 16 16 15 7 C m  0, m  2, m  , m  D m  0, m  2, m  , m  16 16 6 Hướng dẫn giải: Dễ thấy, A, B điểm thuộc đồ thị với m �� Tiếp tuyến d1 A :  4m   x  y  4m   Tiếp tuyến d B :  4m   x  y  4m   15 17 Đáp số: m  0, m  2, m  , m  16 16 Trang 46 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Câu 76 Tìm m để đồ thị y  mx   m  1 x    3m  x  tồn điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  y   � � �1 � � � �1 � 0; ��� ; � 0; ��� ; � A m �� B m �� � � �2 � � � �2 � � � �1 � � � �1 � 0; ��� ; � 0; ��� ; � C m �� D m �� � � �2 � � � �2 � Hướng dẫn giải: Chọn D Hàm số cho xác định � Ta có: y '  mx   m  1 x   3m �1�  � 1 có nghiệm dương phân biệt, tức Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phương trình y � � 2� m �0 � � m �0 � � m� �  '  � � �� mx   m  1 x   3m  có dương phân biệt � � hay  m 1 �S  � � � �P  0m � � � � �1 � m �� 0; ��� ; � � � �2 � Trang 47 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM x2 , tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm  –6;5  x2 7 A y  – x –1 ; y  x  B y  – x –1 ; y   x  4 7 C y  – x  ; y   x  D y  – x  ; y   x  4 Hướng dẫn giải: Chọn B x2 4 y � y�  x2  x  2 Câu Cho hàm số y  x2 điểm M  x0 ;y0  � C  với x0 �2 là: x2 x 2 4 y  y�  x0   x  x0   y0 � y  x  2  x  x0   x0    Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  Vì tiếp tuyến qua điểm  –6;5  nên ta có  4  x0    6  x0   x0  x0  � � x02  24 x0  � � x0  x0  � x 3x  Câu Tiếp tuyến kẻ từ điểm  2;3 tới đồ thị hàm số y  x 1 A y  28 x  59 ; y  x  B y  –24 x  51 ; y  x  C y  28 x  59 D y  28 x  59 ; y  24 x  51 Hướng dẫn giải: Chọn C 3x  7 y � y�  x 1  x  1 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề là: y  – x –1 y  – 3x  điểm M  x0 ;y0  � C  với x0 �2 là: x 1 3x  7 y  y�  x0   x  x0   y0 � y  x   x  x0   x    Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  Vì tiếp tuyến qua điểm  2;3 nên ta có  7  x0  1   x0   Vậy có tiếp tuyến thỏa đề là: y  –28 x  59 Trang 48 3x0  � x0  x0  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu Cho hàm số y  là: Đạo hàm – ĐS> 11 x2  x  có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến  C  qua điểm A  1;  x 1 x Hướng dẫn giải: A y  B y   x  1 C y   x  1 D y  3x  Chọn B Gọi d phương trình tiếp tuyến  C  có hệ số góc k , Vì A  1;  �d suy d : y  k  x  1 �x  x   k ( x  1) (1) � � x 1 d tiếp xúc với  C  hệ � có nghiệm �x  x  k (2) � �( x  1) (1)  Thay   vào   1 ta x  � k  y �  x  1 Câu Qua điểm A  0;  kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  x  Vậy phương trình tiếp tuyến  C  qua điểm A  1;0  là: y  A Hướng dẫn giải: B C D Chọn B Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số cho Vì A(0; 2) �d nên phương trình d có dạng: y  kx  �x  x   kx  Vì d tiếp xúc với đồ thị (C ) nên hệ � 4x  4x  k � (1) (2) có nghiệm x0 � � Thay    1 ta suy � x� � � Chứng tỏ từ A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C  Câu Cho hàm số y   x  x có đồ thị  C  Xét hai mệnh đề: (I) Đường thẳng  : y  tiếp tuyến với  C  M (1;1) N (1; 1) Trang 49 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word (II) Trục hoành tiếp tuyến với  C  gốc toạ độ Mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) Hướng dẫn giải: C Cả hai sai Đạo hàm – ĐS> 11 D Cả hai Chọn đáp án D (1)  y � (1)  � (I) Ta có y � (0)  � (II) Ta có y � Câu Cho hàm số y  x3  x  x  có đồ thị  C  Từ điểm đường thẳng x  kẻ tiếp tuyến đến  C  : A B Hướng dẫn giải: C D Chọn đáp án B Xét đường thẳng kẻ từ điểm đường thẳng x  có dạng  : y  k ( x  2)  kx-2k �x  x  9x-1=kx  2k có nghiệm � x  12 x  24x-17=0 tiếp tuyến � � C   �  � 3x  12x   k 3x  12x   k � � Phương trình bậc ba có nghiệm tương ứng cho ta giá trị Vậy có tiếp tuyến k Dễ thấy kẻ từ điểm đường thẳng x  có dạng y  a song song với trục Ox kẻ tiếp tuyến Câu Đường thẳng y  3x  m tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  m A 1 B C 2 D 3 Hướng dẫn giải: Chọn B Đường thẳng y  3x  m đồ thị hàm số y  x3  tiếp xúc � m0 �m  x3  x  � �x   3x  m �� �� �� m4 3x  � � �x  �1 Câu Định m để đồ thị hàm số y  x  mx  tiếp xúc với đường thẳng d : y  ? A m  3 B m  C m  1 D m  Hướng dẫn giải: Chọn A Đường thẳng y  x  mx  đồ thị hàm số y  tiếp xúc �x  mx   (1) � �� có nghiệm 3x  2mx  (2) � x0 � � (2) � x(3x  2m)  � 2m � x � + Với x  thay vào (1) không thỏa mãn Trang 50 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 2m thay vào (1) ta có: m3  27 � m  3 Câu Phương trình tiếp tuyến  C  : y  x biết qua điểm M (2;0) là: A y  27 x �54 B y  27 x  �y  27 x  y  27 x � 27 C D y  �y  27 x  54 Hướng dẫn giải: Vậy chọn D + y '  3x + Gọi A( x0 ; y0 ) tiếp điểm PTTT (C ) A( x0 ; y0 ) là: + Với x  y  x02  x  x0   x03 (d ) + Vì tiếp tuyến (d ) đí qua M (2; 0) nên ta có phương trình: x0  � x02   x0   x03  � � x0  � + Với x0  thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  + Với x0  thay vào (d ) ta có tiếp tuyến y  27 x  54 Câu 10 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C  Khi đường thẳng y  3x  m tiếp xúc với  C  tiếp điểm có tọa độ là: A M  4;12  B M  4;12  C M  4;  12  D M  4;  12  Hướng dẫn giải: Đáp án D Đường thẳng d : y  x  m tiếp xúc với  C  � d tiếp tuyến với  C  M  x0 ; y0  y�  x  � y�  x0   � x0   � x0  ; y0  12 x2  x  , có đồ thị  C  Từ điểm M  2;  1 kẻ đến  C  hai tiếp tuyến phân biệt Hai tiếp tuyến có phương trình: A y   x  y  x  B y  x  y  2 x  C y   x  y   x  D y  x  y   x  Hướng dẫn giải: Chọn A x x2 Gọi N  x0 ; y0  tiếp điểm; y0   x0  ; f �  x0    x0 �x0 � y   x  x   x0  Phương trình tiếp tuyến N là:  0 � � �2 � x0 x0 �x �  x   x  �   x0  Mà tiếp tuyến qua M  2;  1 � 1  �  1�  0 4 �2 � � x0  0; y0  1; f �    1 �� x0  4; y0  1; f �  4  � Câu 11 Cho hàm số f  x   Trang 51 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Phương trình tiếp tuyến : y   x  y  x  Câu 12 Cho hàm số y  x3  x  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm N (0;1) 33 33 33 33 A y   x  11 B y   x  12 C y   x  D y   x  4 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Ta có: y '  3x  x  Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  (3x0  x0  6)( x  x0 )  x0  x0  x0  Vì tiếp tuyến qua N (0;1) nên ta có:  (3x02  x0  6)( x0 )  x03  3x02  x0  � x03  x02  � x0  0, x0   � x0  � y '( x0 )  6 Phương trình tiếp tuyến: y  6 x  107 33 � x0   � y0  , y '( x0 )   Phương trình tiếp tuyến 33 � � 107 33 y '   �x  �   x 1 � 2� 4 Câu 13 Cho hàm số y  x  x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua điểm M  1;3 A y  6 x  B y  6 x  C y  6 x  D y  6 x  Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: y '  x  x Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: y   x03  x0   x  x0   x04  x02  Vì tiếp tuyến qua M  1;3 nên ta có:   x03  x0   1  x0   x04  x02  � 3x04  x03  x02  x0   � ( x0  1) (3 x02  x0  2)  � x0  1 � y0  3, y '( x0 )  6 Phương trình tiếp tuyến: y  6 x  2x  Câu 14 Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm x 1 A(4;3) 1 � y   x � 9 A � 1 � y   x � 4 31 � y  x � 9 B � 31 � y  x � 4 1 � y  x � 9 C � 31 � y  x � 4 Trang 52 31 � y  x � 9 D � 1 � y  x � 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Hướng dẫn giải: Chọn D 4 ( x  1) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy phương trình tiếp tuyến (C): 2x  4  x0   Vì tiếp tuyến qua A(4;3) nên ta có:   ( x0  1) x0  Hàm số xác định với x �1 Ta có: y '  � 3( x0  1)  4( x0  4)  2( x02  1) � x02  10 x0  21  � x0  3, x0  � x0  � y0  , y '( x0 )   Phương trình tiếp tuyến 31 y    x  7    x  9 � x0  3 � y0  1, y '( x0 )   Phương trình tiếp tuyến 1 y    x  3    x  4 2x 1 Câu 15 Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A  7;5  x 1 3 29 3 A y   x  , y  x  B y   x  , y  x  4 16 16 16 16 3 3 29 C y   x  , y  x  D y   x  , y  x  4 16 16 4 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn D 3 Ta có y '  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Do tiếp tuyến qua A  7;5 nên ta có: ( x  1) x0  1 � 2x  3 7  x0   � x02  x0   � �  x0  ( x0  1) x0  � 3 29 Từ ta tìm tiếp tuyến là: y   x  , y  x  4 16 16 2x 1 Câu 16 Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị  C  : y  biết d cách điểm A  2;  x 1 B  4; 2  5 1 x  , y  x  , y  x 1 4 C y  x  , y  x  , y  x  4 Hướng dẫn giải: Chọn D A y  x , y  x5, y  x4 D y  x  , y  x  , y  x  4 B y  Trang 53 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Gọi M  x0 ; y  x0   , x0 �1 tọa độ tiếp điểm d  C  Khi d có hệ số góc y '  x0   có phương trình :  x0  1 y  x0  1  x  x0    x0  Vì d cách A, B nên d qua trung điểm I  1;1 AB phương với AB TH1: d qua trung điểm I  1;1 , ta ln có: 1 1 1  x0    x 1  x0  , phương trình có nghiệm  x0  1 Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x 4 TH2: d phương với AB , tức d AB có hệ số góc, y '  x0   k AB   x0  1 yB  y A  hay xB  x A  � x0  2 x0  Với x0  2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  Với x0  ta có phương trình tiếp tuyến d : y  x  Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  x  , y  x  , y  x  4 Câu 17 Tìm m �� để từ điểm M  1;  kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  Cm  : y  x3  x   m  1 x  2m 10 100 10 , m  3 ,m  B m  C m  , m  81 81 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi N  x0 ; y0  � C  Phương trình tiếp tuyến  d  A N là: A m  D m  100 , m  3 81 y   3x02  x0  m  1  x  x0   x03  x02   m  1 x0  2m M � d  � x03  x02  x0   3m   Dễ thấy   phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y   3m 2 Xét hàm số f  x0   x0  x0  x0 có f '  x0   x0  10 x0  f '  x0   � x0  2 x0  100 , m  3 Lập bảng biến thiên, suy m  81 Trang 54 f  x0   x0  x0  x0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Câu 18 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(1; 3) 64 64 A  : y  3 hay  : y   x  B  : y  3 hay  : y   x  27 81 27 64 51 64 51 C  : y  3 hay  : y   x  D  : y  3 hay  : y   x  27 27 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y '  x  x Gọi M ( x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phương trình: y  (8 x03  x0 )( x  x0 )  x04  x02  Vì tiếp tuyến  qua A(1; 3) nên ta có 3  (8 x03  x0 )(1  x0 )  x04  x02  � 3x04  x03  x02  x0   � ( x0  1) ( x0  1)(3x0  1)  � x0  �1 �  : y  3 64 51 � x0  �  : y   x 27 81 Câu 19 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt A  : y  3 B  : y  C  : y  D  : y  4 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y '  x  x Gọi M ( x0 ; y0 ) Tiếp tuyến  M có phương trình: y  (8 x03  x0 )( x  x0 )  x04  x02  Giả sử  tiếp xúc với (C) điểm thứ hai N (n; 2n  4n  1) Suy ra:  : y  (8n3  8n)( x  n)  2n  4n  2 � � x03  x0  8n3  8n � �x0  nx0  n   �� Nên ta có: � 6 x0  x02   6n  4n  ( x0  n)(3 x02  3n  2)  � � 2 � �x02  x0 n  n   �x0  x0 n  n   �� (I) � � (II) 3x0  3n2   �x0  n  � �2 x0  n2  � �x0  n � Ta có (I) � � ; (II) � � vô nghiệm Vậy  : y  3 n  �1 � �x n  �0 x3 Câu 20 Cho (C) đồ thị hàm số y   x  x  Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung A, B cho tam giác OAB vuông cân (O gốc tọa độ ) Trang 55 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 4 A y = x + B y = x + C y = x + D y = x - 3 13 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì tam giác OAB tam giác vng O nên vng cân O, góc tiếp tuyến (D) trục Ox 450 ,suy hệ số góc (D) k D  �1 Trường hợp k D  ,khi phương trình (D) : y = x + a (a �0) �x �  x  x   x  a (3) (D) tiếp xúc (C) � �3 có nghiệm �x  x   (4) � (4) � x  x   � x  Thay x = vaò phương trình (3) ta a = k   Trường hợp D , phương trình (D): y = - x + a Vậy trường hợp này,phương trình (D): y = x  �x �  x  x    x  a (5) � (D) tiếp xúc với (C) có nghiệm �3 �x  x   1 (6) � (6) � x  x   P/t vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm,suy (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = x + 3 Câu 21 Cho hàm số y  x  x  (m  1) x  2m có đồ thị (Cm ) Tìm m để từ điểm M (1; 2) vẽ đến (Cm ) hai tiếp tuyến m  3 m3 m3 m  3 � � � � � � � � A B C D 10 100 10 100 � � � � m m m m � 81 � 81 � 81 � 81 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y '  3x  x  m  Gọi A( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  A: y   x02  x0  m  1 ( x  x0 )  x03  x02  ( m  1) x0  2m M � �   3x02  x0  m  1 (1  x0 )  x03  x02  (m  1) x0  2m � x03  x02  x0  3m   (*) Yêu cầu toán � (*) có hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: h(t )  2t  5t  4t , t �� Trang 56 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Ta có: h '(t )  6t  10t  � h '(t )  � t  , t  2 Bảng biến thiên x � 2  y' y 12  �  � 19 27  3m  12 m  3 � � � � Dựa vào bảng biến thiên, suy (1) � 19 � � 100 giá trị cần tìm �  3m   m 27 � � 81 2x  Câu 22 Tìm điểm M đồ thị  C  : y  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  : x 1 x  y   đạt giá trị nhỏ � 1� � 7� 1; � 3; � A M  2;1 B M  2;5  C M � D M � � 2� � 2� Hướng dẫn giải: Chọn A � 2m  � m; Gọi M � �là tọa độ điểm cần tìm  m �1 � m 1 � �2m  � m  3� m  2m  � d  Khoảng cách từ M đến đường thẳng  là: �m  � hay d m 1 10 12  32 �m  2m  m  � m  2m  �   m  1 � Xét hàm số: f  m   m 1 �m  2m  m  � � m 1 �  Ta có: f '  m   � m  2 thỏa m  m  thỏa m  Lập bảng biến thiên suy d  m  2 tức M  2;1 10 1 Tiếp tuyến M y   x  , tiếp tuyến song song với  3 Trang 57 ... chuyên đề thi tài liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GĨC K CHO TRƯỚC Câu Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  hoành : A B  3x giao điểm đồ thị hàm số với trục x 1 C... liệu file word Đạo hàm – ĐS> 11 Xét tiếp tuyến với  C  điểm có hồnh độ x0  C  Khi hệ số góc tiếp tuyến y� ( x0 )   x02  x0    ( x0  2) �1 x  3 D k   Câu 40 Hệ số góc k tiếp tuyến. .. : y  4 x  14 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y  4 x  2, y  4 x  14 2x , biết hệ số góc tiếp tuyến 2 Câu 55 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y  x 1 A y  2 x 