Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa
CHUN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bình phương vế phương trình a) Phương pháp Thơng thường ta gặp phương trình dạng : A + B = C + D , ta thường bình phương vế ,( điều đơi lại gặp khó khăn xem ví dụ sau) A + B = C ⇒ A + B + 3 A.B A + B = C ( ) ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C b) Ví dụ Giải phương trình sau : x + + x + = x + x + Giải: Đk x ≥ Bình phương vế khơng âm phương trình ta được: + ( x + 3) ( x + 1) = x + x ( x + 1) , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : x + − x + = x − x + Bình phương hai vế ta có : x + x + = x + 12 x ⇔ x = Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Bài Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , ta biến đổi phương trình dạng : f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ Bài Giải phương trình sau : x3 + + x + = x2 − x + + x + x+3 Giải: Điều kiện : x ≥ −1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : (2) ⇔ x3 + x + = x − x + x + , từ nhận xét ta có lời giải sau : x+3 x3 + − x + = x2 − x + − x + x+3 x = 1− x3 + = x2 − x − ⇔ x2 − 2x − = ⇔ Bình phương vế ta được: x+3 x = + Thử lại : x = − 3, x = + l nghiệm Qua lời giải ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) ta biến đổi f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x) f ( x) − h ( x) = k ( x) − g ( x) Trục thức 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình ln đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vơ nghiệm b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC) : x + 12 + = x + x + 5 Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x2 − x2 − x + 12 − = x − + x + − ⇔ = 3( x − 2) + x + 12 + x2 + + x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Giải: Để phương trình có nghiệm : x+2 x +1 ⇔ ( x − 2) − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : x + 12 + x2 + + 2.2 Đưa “hệ tạm” a) Phương pháp Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A + B = C , mà : A − B = α C dây C hàng số ,có thể biểu thức x Ta giải sau : A + B = C A− B = C ⇒ A − B = α , ta có hệ: ⇒ A = C +α A− B A − B = α b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x + x + + x − x + = x + Giải: 2 Ta thấy : ( x + x + ) − ( x − x + 1) = ( x + ) x = −4 nghiệm Xét x ≠ −4 Trục thức ta có : 2x + 2x + x + − 2x − x + 2 = x + ⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = x = x + x + − x − x + = 2 ⇒ 2x + x + = x + ⇔ Vậy ta có hệ: 2 x = x + x + + x − x + = x + Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= Phương trình biến đổi tích Sử dụng đẳng thức u + v = + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = A2 = B Bài Giải phương trình : Giải: pt ⇔ ( )( x +1 −1 Bài Giải phương trình : Giải: x + + x + = + x + 3x + x = x + −1 = ⇔ x = −1 ) x + + x2 = x + x2 + x + x = , nghiệm + x ≠ , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: dk : x ≥ −1 x +1 x +1 + x = 1+ x +1 ⇔ − 1÷ x x ( ) x −1 = ⇔ x = x + + x x + = 2x + x2 + x + x = x +1 −1 = ⇔ x = 4x =4 x Bài Giải phương trình : x + + x+3 Giải: Đk: x ≥ pt ⇔ ( x + − 2x )( ) 4x 4x 4x =2 ⇔ 1 − Chia hai vế cho x + : + ÷ = ⇔ x =1 x+3 x+3 x + Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak = B k Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − Giải: ( Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : + + x ) x = x + + = 3x = 9x ⇔ ⇔ x = −5 − 97 x + + = −3 x 18 Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Giải : pttt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hồn tồn ” Nói chung phương trình mà đặt hoàn toàn t = f ( x ) thường phương trình dễ Bài Giải phương trình: Điều kiện: x ≥ Nhận xét x − x2 − + x + x2 − = x − x − x + x − = 1 Đặt t = x − x − phương trình có dạng: t + = ⇔ t = t Thay vào tìm x = Bài Giải phương trình: x − x − = x + Giải Điều kiện: x ≥ − t2 − Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 2 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận giá trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vàx = + Bài Giải phương trình sau: x + + x − = Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) phương trình trở thnh: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với y ≤ 5) ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = Từ ta tìm giá trị x = 11 − 17 ( + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 )( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x Giải: đk ≤ x ≤ Đặt y = − x pt ⇔ ( − y ) (y ) + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Bài Giải phương trình sau : x + x x − = 3x + x Giải: Điều kiện: −1 ≤ x < Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − 1 = 3+ x x , ta giải x Bài Giải phương trình : x + x − x = x + Đặt t = x − 1 Giải: x = nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: x − ÷+ x − = x x 1± Đặt t= x − , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Nhận xét : cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, đơi phương trình t lại q khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành : ÷ + α ÷+ β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : ( x + ) = x + Giải: Đặt u = x + 1, v = x − x + phương trình trở thành : ( u + v 2 ) u = 2v = 5uv ⇔ u = v ± 37 Bài 3: giải phương trình sau : x + x − = x3 − Giải: Đk: x ≥ Tìm được: x = Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) Đồng thứ ta ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔ v = u Ta : x = ± Bài Giải phương trình : x − 3x + ( x + 2) − 6x = Giải: Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt trở phương trình bậc x y : x = y x − 3x + y − x = ⇔ x3 − 3xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = 2−2 b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài giải phương trình : x + x − = x − x + Giải: u = x Ta đặt : phương trình trở thành : u + 3v = u − v 2 v = x − Bài 2.Giải phương trình sau : x + x + x − = x + x + Giải Đk x ≥ Bình phương vế ta có : (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) 1− u= v u = x + x 2 Ta đặt : ta có hệ : uv = u − v ⇔ v = x − 1+ v u = 1+ 1+ Do u , v ≥ u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 Bài giải phương trình : x − 14 x + − x − x − 20 = x + Giải: Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = (x − x − 20 ) ( x + 1) 2 Nhận xét : không tồn số α , β để : x − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) ta đặt u = x − x − 20 v = x + 2 Nhưng may mắn ta có : ( x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − x − ) Ta viết lại phương trình: ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải Các em tự sáng tạo cho phương trình vơ tỉ “đẹp “ theo cách Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn x +1 −1 x +1 − x + = , Từ phương trình tích ( )( ) ( 2x + − x )( ) 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau ( ) 2 Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: t = t − + x t − + x = ⇔ ( ) , ta có : t = x +2 t = x − Bài Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + Giải: Đặt : t = x − x + 3, t ≥ 2 Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t = x − Từ phương trình đơn giản : ( 1− x − 1+ x )( ) − x − + + x = , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x + − = x + − x + − x Giải: Nhận xét : đặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rt x = − t thay vo pt: 3t − + + x t + ( ) 1+ x −1 = ( Nhưng may mắn để giải phương trình theo t ∆ = + + x khơng có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : x = − ( − x ) + ( + x ) ( ) ( 1− x , 1+ x ) ) − 48 ( ) x +1 −1 thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải 2 Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 Ta đặt : t = ( − x ) ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = 2 Ta phải tách x = α ( − x ) + ( + 2α ) x − 8α cho ∆ t có dạng chình phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giài lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a + b3 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có a3 + b3 + c = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x u = − x ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu Giải : v = − x , ta có : 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = , giải hệ ta được: 5 − w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = w = − x 30 239 u= ⇔x= 60 120 Bài Giải phương trình sau : x − + x − x − = x + x + + x − x + a = x − b = x − 3x − Giải Ta đặt : , ta có : c = x + x + d = x − x + Đặt ẩn phụ đưa hệ: a + b = c + d ⇔ x = −2 2 2 a − b = c − d 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm hệ theo u,v ) ( 3 3 Bài Giải phương trình: x 25 − x x + 25 − x = 30 Đặt y = 35 − x3 ⇒ x3 + y = 35 xy ( x + y ) = 30 Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: , giải hệ ta tìm x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x ∈ {2;3} −1 − x + x = Bài Giải phương trình: Điều kiện: ≤ x ≤ − − − x = u ⇒0≤u≤ − 1,0 ≤ v ≤ − Đặt x = v u = −v u + v = ⇔ Ta đưa hệ phương trình sau: u + v = − − v + v = − ÷ Giải phương trình thứ 2: (v + 1) − v + ÷ = , từ tìm v thay vào tìm nghiệm phương 2 trình Bài Giải phương trình sau: x + + x − = Điều kiện: x ≥ 2 Đặt a = x − 1, b = + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 0) ta đưa hệ phương trình sau: a + b = → (a + b)(a − b + 1) = ⇒ a − b + = ⇒ a = b − b − a = 11 − 17 Vậy x − + = + x − ⇔ x − = − x ⇒ x = − 2x + 2x + = Bài Giải phương trình: 5− x 5+ x Giải Điều kiện: −5 < x < Đặt u = − x , v = − y < u , v < 10 Khi ta hệ phương trình: ( ) (u + v)2 = 10 + 2uv u + v = 10 4 2 8⇔ − − + 2(u + z ) = (u + v) 1 − ÷ = u v uv ... cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau ( ) 2 Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: t = t − + x t − + x = ⇔ ( ) , ta có : t = x +2 t = x − Bài Giải phương. .. ( x + ) Giải : pttt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t phương trình... đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, đơi phương trình t lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình