GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Nhận biết Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) nghịch biến đoạn [-1;3] f (1)  Khẳng định sau khẳng định đúng? A Giá trị lớn hàm số B Giá trị nhỏ hàm số C Hàm số khơng có giá trị lớn D Giá trị lớn hàm số f (3) Lời giải: Áp dụng tính chất: Nếu hàm số y  f ( x ) nghịch biến đoạn [a;b] max y  f (a); y  f (b)  a ;b   a ;b  Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định đoạn [-2;5] thỏa mãn điều kiện f  x �2 v� i x � 2;5 f  1  2 Khẳng định sau khẳng định đúng? A Giá trị lớn hàm số - B Giá trị nhỏ hàm số - C Hàm số khơng có giá trị lớn D Giá trị lớn hàm số f (5) �f  x  �M x �D Lời giải: Áp dụng định nghĩa: M  max f  x  � � � x�D x0 �D : f  x0   M � Câu 3: Cho hàm số y  f ( x ) xác định, liên tục [-2;2] có bảng biến thiên   x -2 y’ +  19 y  -1 Khẳng định sau khẳng định đúng? A max y  19 B m ax y   2;2  2;2 y  C max  2;2 y  2 D  2;2 Câu 4: Giả sử hàm số f xác định tập hợp D tập hợp tập hợp R Một điểm x0 �D cho f ( x) �f ( x0 ), x �D Khẳng định sau đúng? A max f ( x)  f(x ) B f ( x)  f(x ) D D f ( x )  f(x ) f ( x)  f(x ) C max D max D D Câu 5: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục � có bảng biến thiên : � � x f’(x) + f( x) 1 Khẳng định sau khẳng định ? A max f  x   f  x   1 B � f  x  C � f  x  D max � � Câu 6: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục � có bảng biến thiên : � x -3 f’ (x) 0 � f(x) -2 -3 Khẳng định sau khẳng định ? f  x   , Min f  x   3 f  x   , Min f  x   3 A Max B Max x�R x�R x�R x�R f  x   , Min f  x   3 C Max x�R x�R f  x   Min f  x   2 D Max x�R x�R Câu 7: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục � có bảng biến thiên: x �  y’ y 1 � 0  �  � -3 -4  -4 Khẳng định sau khẳng định SAI? A Hàm số đạt giá trị lớn -3 x=0 B Hàm số đạt giá trị nhỏ x  �1 C Trên đoạn  1;1 giá trị lớn hàm số -3 D Giá trị nhỏ hàm số -4 Thơng hiểu x3 x Câu 8: Tìm giá trị lớn hàm số y    x  đoạn [0;2] 13 ax y  1 A max y   B max y   C m 0;2 D max y   0;2 0;2 0;2       x  2 � 0;  � 13 , Giải: y ,  x  x  , y  � � , y    1, y  1   , y     �x  1� 0;  Phương án nhiễu B,C : nhầm lẫn so sánh Phương án nhiễu D : Không loại x=-2 � max y  y      0;2 Câu 9: Tìm giá trị nhỏ hàm số y   x  x  [0; 2] ? y  6 A Min  0;2 y  12 B Min  0;2 y  2 C Min  0;2 D Min y   0;2 � � x0 � �6� � , , Giải: y  4 x  x , y  � � x  , y    2, y � �2 � � , y    6 � � � � x  L � � � y  y    6  0;2 Phương án nhiễu D,C : nhầm lẫn so sánh , Phương án nhiễu A : Thay nhầm y    12 Câu 10: Tìm giá trị lớn hàm số y  x3  3x  x  35 đoạn  4; 4 A max y  40 ; B max y  15 ; C max y  41 ; D max y  [  4;4] [  4;4] [  4;4] [  4;4] Giải: x  1 � ; y (1)  40; y (3)  8; y (4)  41; y (15) => Cách 1: Ta có: y '  3x  x    � x3 � max y  40 (Đ.án:A) [  4;4] Cách 2: Sử dụng máy tính Sử dụng chức Mod 7, nhập hàm số f ( x)  x  3x  x  35, start ? 4, En d ? 4, step ? 0,5 Trên bảng cho kết lớn hàm số 40 đạt x = -1 Vậy Đáp án A * Thơng hiểu : Câu 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  x  x3  [-1; 2] ? A y  5 B y  23  1;2  1;2 y  15 C  1;2 D y  4  1;2 � x0 � Giải : y  x  20 x  15 x , y  � � x  1 , y    4, y  1  5, y    23 � x  3  L  � Phương án nhiễu B,D,C : nhầm lẫn tính tốn so sánh x 1 Câu 12: Cho hàm số y  Khẳng định sau khẳng định đúng? 2x  1 y0 y 1 A xmax B y   C xmin D max y  �[ 1;0] �[ 1;0] x�[ 1;0] x�[ 1;0] 2 Giải: Có thể hiểu yêu cầu tốn tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn  1;0 , , Cách 1: y '  3  2x  1  => hàm số nghịch biến đoạn  1; 0 => max y  y (1)  , [ 1;0] y  y (0)  1 [ 1;0] Vậy đáp án A Chú ý: Sử dụng máy tính hiệu cho Câu 13 Tìm giá trị lớn hàm số f ( x )   x  x  A Max f  x   B Max f  x   C Max f  x   D Max f  x   D D D D Hướng dẫn : + Hàm số xác định khi: 3 �x �1 x  + f ' x   ; f '  x   � x  1� 3;1  x  2.x  *f  3  ; f  1  ; f  1  f  x  Vậy Max D Câu 14: Tìmgiá trị nhỏ hàm số f  x   2.x  3x  12 x  10 đoạn  3;3 f  x   35 A  3;3 f  x   10 C f  x   B  3;3  3;3 f  x   3 D  3;3 Hướng dẫn + f '  x   6x  6x  12 � x  1� 3;3 f ' x   � � x  � 3;3 � f  3  35 ; f  3  ; f  1  17 ; f    10 f  x   35  3;3 Câu 15Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x   x y  2 A [min B y  2 C y  2  2;2] [  2;2] [  2;2] y2 D [min  2;2] Giải : TXĐ:  2; 2 Ta có: y   2x  x2 y  2 Vậy [min  2;2]   x2  x  x2   x  2, y  2   2; y    2; y( 2)  2 Chú ý : dùng máy tính cho câu hỏi với thời gian 20 giây Câu 16: Tìm giá trị lớn hàm số y   đoạn [1;3] x y  A max  1;3 m ax y   1;3 C max y   1;3 y  B m 1;3ax  D 16 y  f  1   0, x � 1;3 Suy max  1;3 x2 x Câu 17: Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x )  R  x2 1 y  1 y 1 y2 A y  B C D R R R R Giải : x2 �  x2   � , f (2)  1/ 4, f (2)  1/ 4, lim f(x)=0 y  1 Ta có f '( x)  x �� x   R � 4 x Lời giải: y '     Đáp án A   x   x2 y B y   C  1; �  1;1 Câu 18: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  y A  1;1 D � Lời giải: Tập xác định: D   1;1 y   � �x �0 ; y '  �  x2  x � � � x � 1;1 2  1 x   x 1 x2 � �2 � y  1   ; y �  ; y    � � 3 � � � Vậy y  y  1    1;1 Giải thích phương án nhiễu: 1.Học sinh khơng tìm tập xác định giải bước (1) thiếu điều kiện x �0 y' y'  x2  x  x2  x (1) ; y '  �  x2  x �   x2   x2 � x  � � 1;1  x2 Câu 19:Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x   x y  2 A [min B y  2 C y  2  2;2] [  2;2] [  2;2] y2 D [min  2;2] Giải : TXĐ:  2; 2 Ta có: y   2x  x2   x2  x  x2   x  2, y  2   2; y    2; y( 2)  2 y  2 Vậy [min  2;2] Chú ý : dùng máy tính cho câu hỏi với thời gian 20 giây Câu 20: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x   khoảng (0; �) x A f ( x )  3 B f ( x)  (0;  �) (0;  �) f ( x)  C (0;  �) f ( x)  7 D (0;min  �) Hướng dẫn 1 + y� x2   x2 x y�  � x2  X y’ Y � x  (do x  0) - � � + � -3 f ( x)  f (1)  3 (0;  �) x2  2x  đoạn  0;3 x2 12 B y   C y   0;3 0;3     Câu 21: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  A y   0;3   y   0;3   Lời giải :Ta có : y '  x2  x   x  2  Vậy : y  y (0)    0;3  0x � 0;3 Câu 22: Tìm giá trị lớn hàm số y   x   x  [ ; ] y  3 13 A Max  0;3 y  5 B Max  0;3 y 3 C Max  0;3 y2 D Max  0;3 Hướng dẫn + y '  x    x  6 x  2x2  6x  x2  x 1 � y '  � x2  6x   � � x2 � x2  D  y (1)  5  y(2)  8  y (0)  12  y (3)  3 13 Max y  3 13  0;3 Vận dụng thấp Câu 23: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  sin x  3sin x  đoạn [0;  ] y  1 A [0; ] B y  [0; ]  y 1 C [0; ] y2 D [0; ] Giải: Ngồi cách đặt ẩn phụ sau sử dụng đạo hàm ta dùng máy tính sau: Mod nhập f ( x)  x  3x  x  35, start ?0, En d ?  , step ?  /12 cột f(x) ta thu kết y  1, chọn đáp án A [0; ] �  �  ; Câu 24: Tìm giá trị lớn hàm số y  sin x  x đoạn � � 2� �    max y  max y    C max y   A � B �  �     � � � 2 6  ; �  ;  ; � � � � � 2 � � 3 max y  �  �  ; � � �2 2� D �2 2� �2 2� Lời giải: Ta có : y '  cos x  �x  6  y' � �  �x  �  �  ; ( Do x �� ) � 2� �   �  �  � �  � � � �  Tính : y �  �  ; y�  �   ; y� �   ; y� �  6 � 2� �6� �6 � �2 �  max y   Vậy : �  �  ; � � �2 2� Câu 25: Tìm giá trị lớn hàm số y  2sin x  cos x  25 1 y2 Max y  A Max y  B Max C x�R x�R x�R Max y  x�R Hướng dẫn Đặt t  cos x (1 �t �1 ) miền giá trị biến t Thay sin x = 1- t y    t   t   2t  t  y '  4t   � t   �[ 1;1] � � 25 y �  �  y (1)   y(1)  � 4� D Max y  t�[ 1;1] 25 Vậy Max y  x�R 25 Câu 26: Tìm giá trị lớn hàm số y  sin x  cos x  A max y  B m ax y  C max y  �  1;1 � m ax y   1;1 Lời giải : TXĐ : D  R  Ta có : y  cos x  cos x   Đặt : t  cos x ; t � 1;1 ; x �R  Ta xét hàm số : g  t   t  2t  đoạn  1;1  Ta có : g /  t   2t   g /  t   � t  1  Tính : g ( 1)  4; g (1)  max y  max g  t    Vậy : R  1;1 Câu 27: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  A y  x�[ 1;1]  32 2x  x2 x   x2  2 B y  x�[ 1;1] D y  2   y  1 C, x�[ 1;1] x�[ 1;1] Hướng dẫn Đặt t  x   x , x � 1;1 * Tìm miền giá trị t �t '   x  x2   x2  x  x2 � x �0 �t '  �  x  x � � �x 1 x  x � D x 2 1 t’ + - t 1 � t �� 1; � � �  t    x2 �  x2  t  � y  �y '  t 1 t2 t  4t   t  2  y '  � t  4t   � t  2  hay t  2  ( loai )  y (  2)  2(  2) , y  x�[ 1;1]  32 ( nhan ) y ( 1)  , y( 2)   2 2 Câu 28: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  x  10  4; 4 A y  [ 4;4] B y  [ 4;4] y  4 [ 4;4] Hướng dẫn �2 x �5 � �x  3x  10 � x �2 y  x  3x  10  � � �  x  3x  10   x  � Trên [ -4; ] �x  x  10  �x �2 y�  x  3x  10   x �4 � x    x  2 � y' � 2 x    x  � y'  � x  C y  2 [ 4;4] D x -4 y’ (x) y -2 - +0 49 18 y  [ 4;4] Câu 29: Tìm giá trị thực m để GTNN hàm số y  x3  3mx2  3m2x  m  [0;1] A m=3 B m=0 C m=2 D m=   Lời giải: y '  3x2  6mx  3m2  x  m Do y  y   �  m  � m  �0, x ��  0;1 Câu 30: Tìm m để GTLN hàm số y  x4  2m2x2  m  [0;1] A m  1; m  m=3 B m=2 C m=1 D   2 0;1� Lời giải: y '  4x  4m x  4x x  m �0, x �� � � y  y  1 �  2m  m � m  1; m  Do max  0;1 mx Câu 31: Tìm m để hàm số y  đạt giá trị lớn x  đoạn  2; 2 x 1 A m  B m  C m  D m  2 Cách 1: m(1  x ) 2m 2m m m y '    x  �1; f (2)  , f (2)  , f(1)  , f(1)  Ta có 5 2  x2   mx đạt giá trị lớn x  m>0 Đáp án A x2  Cách 2: Dùng máy tính, thử đáp án suy m>0 Câu 32 : Tìm GTNN hàm số y   x  x  21   x  3x  10 Như vậy, hàm số y  y A  2;5 y 5 B  2;5 y  � Lời giải: Tập xác định D=  2;5 Ta có y  C � D y'  y' � x2  2x   x  3x  10 x2  4x  4 x  12 x  x2   �  x  x  21   x  3x  10   x  x  21  x  x  10  x  x  21 2x  �   x  x  10   x  x      x  x  21  x  12 x   � 51x  104 x  29  � x  Thử lại, ta thấy có x  29 x 17 nghiệm y ' Vận dụng cao 3 Câu 33: Cho x , y �0 thỏa mãn x  y  Tìm GTLN biểu thức S   x  1  y  1 A max S  49 C max S  B max S  D max S  x  y Giải Đặt t  xy , suy �t �  Ta có 3  3t � 1  t3  � S   xy    x  y  �  x  y   3xy � � �  t  12t  63 � � Xét hàm f  t   t  12t  63 , với t � 0; 4 Ta có f '  t   3t  12  t � 0; 4 � f  t  đồng biến  0; 4 Do  S  f  t   f    63 , đạt t� 0;4 �x  y  �  x; y    4;   x; y    0;  � �xy   max S  max f  t   f    49 , đạt t� 0;4 �x  y  �  x; y    2;  � �xy  Câu 34: Cho x , y �0 thỏa mãn x  y  Tìm GTNN S  x  y  xy A S  B S  1 C S  S  Giải.Đặt t  x  y � t  Ta có t   x  y  �2  x  y   � t �2 , t   x  y   x  y  xy �x  y  � t � D � Suy t �� � 2; � Lại có  x  y   x2  y   t2 1 � S  f  t    t  t 1 2 Ta có f '  t   t   với t � 2; , f    , f  1  Do �x  y  �x  S  f    , đạt � � �  � �y  �x  y  xy     � 1 � 1 x  � �x  �x  y  � � 2 �� max S  f  1  , đạt � � � 2 �x  y  �y   �y   � � � � Câu 35: Cho x , y �0 thỏa mãn x  y  Tìm GTNN S  C S  A S  B S  1 S  2 Giải Đặt t  x  y , ta có  x  y  x  y x y  y 1 x 1 D �2  x  y   �  16 � t �4 ,  x  y  xy �x  y  � t �2 Suy 2 �t �4 Lại có x� y  x  y   x2  y  t2   Ta có biến đổi sau 2 x  x  1  y  y  1  x  y    x  y   xy  t  t   t   t 8  �2 S   t   y  1  x  1 t  2t  x  y  xy  t 1 t 8 Xét hàm f  t   với 2 �t �4 Ta có t  2t  t  2t     t    2t   t  16t  22  f ' t     , t : 2 �t �4 2 2 t  t  t  t        � Do f  t   f    max f  t   f 2  2; Suy f nghịch biến � � � t�� 2 ;4 � � � f  t  +) S �2 �min � � t�� 2 ;4 � � x  y  �x  y  4 � x  y  Vậy S  , đạt , dấu xảy � � 3 �x  y  2 � �x  �x  y  �x  2 S � � max f t  2   � � +) , dấu xảy � � � � t�� 2 ;4 � � �x  y  2 �y  2 �y  �x  �x  2 Vậy S  , đạt � � � �y  2 �y 