Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài toán chọn lọc về phương trình giúp học sinh THCS có những kĩ năng giải toán độc đáo, thú vị.; nâng cao tư duy toán học. tài liệu gồm các bài toán chọn lọc về phuuwowng trình bậc 2, bậc cao với những lời giải gần gũi với học sinh THCS
độc đáo nghiệm phơng trình 1) Tìm a,b,c để phơng trình ax2 + bx + c = có nghiệm x = Giải X = − => ( x + )2 = => x2 + 2x - = §ång với phơng trình cho => a = 1, b = 2, c = -1 2) Tìm a,b để phơng trình x2 + ax + b = có nghiệm x = 7+ Giải Trục thức ta đợc x = - 35 Biến đổi nh 1, ta tìm đợc a = -12 vµ b = 3) CMR x = = nghiệm phơng trình x4 - 10x2 + Gi¶i X= − => x2 = - => => 4) CMR x= (5 - x2)2 = (2 )2 x4 - 10x2 + = => §PCM + nghiệm phơng trình X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = Gi¶i x= + => (x - 3 2) = ( 2) => x3 -3 x2 + 6x - 2 = => (x3 + 6x - 2)2 = [ (3x2 + 2) ]2 => X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = => §PCM (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + * chó ý 2bc 5) CMR x = + nghiệm phơng trình 2x2 - 2x - = Giải Biến đổi x = 4+2 3 +1 = TiÕp tơc nh c¸c => ĐPCM 6) Tìm a,b,c,d để phơng trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = có nghiệm X=1+ + Giải X=1+ + => ( x - )2 = ( + )2 => x2 -2x + = + => ( x2 - 2x - 4)2 = ( )2 => x4 - 4x3 - 4x2 + 16x - = §ång nhÊt hÖ sè => a = b = -4, c = 16 vµ d = - 7) CMR x = tr×nh 2+ 2+ - − + nghiệm phơng X4 - 16x2 + 32 = Gi¶i Gt => x2 = - 2 + - 3(2 − 3) => x2 − = 2 + + 3(2 − 3) => ( x2 − ) = ( + + 3(2 − 3) )2 = ….= => X4 - 16x2 + 32 = = ĐPCM 8) Tìm a,b, c để phơng trình nghiƯm lµ ax4 + bx2 + c = cã x = + 10 + + 10 + Giải Tơng tự , tính đợc a = 1, b = -24 vµ c = 104 9) CMR x = = 10) CMR 3 + nghiệm phơng trình x - 3x + 3x - x= + + lµ nghiệm phơng trình X4 - x3 + 20x2 - 24 = 11) Tìm số hữa tỉ a,b để x = phơng trình - lµ nghiƯm cđa X3 + ax2 + bx + = Giải Ta không áp dụng đợc chiến thuật "bình phơng làm căn" nh trớc đợc làm nh bậc cao x chẵn phơng trình bậc lẻ! Thay giá trị cho x vào phơng trình ta có: ( - 1)3 + a( - )2 + b( - 1) + = BiÕn ®ỉi => ( - 2a + b) + 3a - b - = Vì a,b số hữa tỉ số vô tỉ nên xảy ®ång thêi - 2a + b = 3a - b - = Từ tìm đợc a = 1, b = -3 12) Tìm số hữa tỉ a,b để x = + nghiệm phơng trình X3 + ax2 + bx + = ( Tơng tự ta đợc a = - 5, b = 3) 13) CMR x = 9+4 + − nghiệm phơng trình X3 - 3x -18 = Giải Đặt a = + , b = − => a + b = x , a.b = vµ a3 + b3 = 18 X3 = ( a + b)3 = a3 + b3 + 3ab( a + b ) = 18 + 3x => X3 - 3x -18 = 14) CMR => ĐPCM 3+ 9+ 125 125 mét sè nguyªn + 3− 9+ 27 27 3+ 9+ 125 125 + 9+ 27 27 Giải Đặt x = CM tơng tự 13, ta có x nghiệm phơng trình x3 + 5x - = (*) NhÈm nghiƯm => x = lµ nghiệm pt (*) => phơng trình (*) ( x - )( x2 + x + ) = Vì đa thức x2 + x + nghiệm thực nên x = nghiệm nhÊt => §PCM 15) CMR: a) 182 + 33125 + 182 − 33125 = b) −1 − −1 = -1 Trªn núi cao có ốc sên chim đại bàng 16) CMR x = + nghiệm phơng trình 2x3 - 4x2 + x + = (1) Giải Tơng tự ta chứng minh đợc x lµ nghiƯm pt = (2) 2x2 - 2x - Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc (2x3 - 4x2 + x + 1) cho ®a thøc (2x2 - 2x - 1) đợc thơng ( x - 1) => pt (1) < = > (2x2 - 2x - 1) ( x - 1) = => nghiƯm cđa pt (2) còng lµ nghiƯm cđa pt (1) Theo bµi 5, ta cã §PCM 17) CMR x = + nghiệm phơng trình X7 - 10x5 + x4 + x3 - 10x2 + = (1) Giải Ta chứng minh đợc x = + lµ nghiƯm pt x4 - 10x2 + = (2) Đa thức vế trái (1) chia hết cho ®a thøc vÕ tr¸i cđa pt (2) => NghiƯm cđa pt (2) còng lµ nghiƯm cđa pt ( 1) => ĐPCM 18) Tìm a, b, c để phơng trình x3 - ax -1 có hai nghiệm nghiệm phơng tr×nh x2 - bx + c = 18) TÝnh giá trị biểu thức A= Với x nghiệm phơng trình x 10 x x − x − x + 5x − x = x − x −1 (1) Gi¶i Tõ pt (1) => x2 -10x -1 = Thùc hiƯn chia ®a thøc ë tử mẫu phân thức A cho ( x2 - 10x - 1) ta biến đổi đợc nh sau: ( x − 10 x − 1)( x + 1) + x 4x = = A= ( x − 10 x − 1)( x + 3) + 36 x 36 x Mét hi sinh to lớn dễ dàng hi sinh nhỏ nhoi liên tục 19) Cho x nghiệm phơng tr×nh x3 - x2 + x - = Chøng minh Gi¶i x6 − x5 − x3 + x + phơng trình cho có bốn nghiệm phân biệt Thay vào pt ta đợc at2 + bt + c = (*) Pt bËc cđa x cã nghiƯm phân biệt nên pt (*) có nghiệm dơng t1,t2 thoả mãn t1.t2 = b c t1 + t2 = a a Không tổng quát, giả sử x1 = t1 , x2 = x4 = - t => A = x1.x2.x3.x4 = t1.t2 = 21) Cho ph¬ng trình phân biệt x1,x2 CMR: t , x3 = - t1 , −b vµ B = a x2 - 4ax + 2a2 = cã hai nghiÖm (x1)2 + 4ax2 + 2a2 > Giải Pt cho có hai nghiệm phân biệt nên = 2a2 > => a ≠ Ta cã x1 lµ nghiƯm phơng trình nên (x1)2 - 4ax1 + 2a2 =0 => (x1)2 + 4ax2 + 2a2 = ( (x1)2 - 4ax1 + 2a2 ) + 4ax1 + 4ax2 = 4a( x1 + x2 ) = 4a 4a = 16a2 > ( v× a ≠ 0) 22) Gäi x1, x2 nghiệm phơng trình x2 - 5mx - 4m = CMR: (x1)2 + 5mx2 - 4m > 23) Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình x2 - x - = Tính giá trị biểu thøc A = (x1)5 + 5x2 Gi¶i Ta thÊy hƯ sè cđa hai nghiƯm kh¸c nhau, sè mò cđa hai nghiệm khác hoàn toàn! Các bạn học sinh nên ý phép biến đổi để thấy thú vị toán Trong biểu thức A, số mũ x1 nên cần phải đa vỊ mò ( cïng mò víi x2) X nghiệm phơng trình nên (x1)2 - x1 - = => (x1)2 = x1 + => (x1)4 = (x1)2 + 2x1 + = (x1 + 1) + 2x1 + = 3x1 + => (x1)5 = x1.(x1)4 = x1.( 3x1 + 2) = 3(x1)2 + 2x1 = 3.( x1 + 1) + 2x1 = 5x1 + => A = 5x1 + + 5x2 = 5(x1 + x2) + = + = Bạn tuyệt đối tin tởng điều này: "mọi điều tơng đối!" 24) Cho phơng trình x2 - ax + = cã hai nghiÖm x1, x2 Tìm a để (x1)3 + (a2 - 1)x2 + a = Giải Tính toán nh ta tìm đợc giá trị a 0, - 1, Các giá trị không thoả mãn điều kiện phơng trình x có hai nghiệm thực phân biệt.Vậy a = 25) Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình x2 - x - = Tính giá trị biểu thức A = (x2)11 + 89x1 Giải Tơng tự 23 ta đợc A = 144 Chú ý bạn nên bình phơng giá trị (x2)5 Làm nh nhanh đợc mũ cao phải không bạn? 26) Gọi x1,x2,x3,x4 tất nghiệm phơng trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = (1) TÝnh A = x1.x2.x3.x4 Gi¶i Pt (*) < = > ( x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 8) - = Đặt t = x2 + 8x + => t2 + t - = (2) Giả thiết => phơng trình (2) có hai nghiệm t1 vµ t2 Vi-et => t1.t2 = t1+ t2 = -1 Ta cã t1 = x2 + 8x + => x2 + 8x + - t1 = T2 = x2 + 8x + => x2 + 8x + - t2 = Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 nghiệm (3) x1.x2 = - t1 (3) (4) => x3,, x4 lµ nghiƯm cđa ( 4) => x3.x4 = - t2 => A = x1.x2.x3.x4 = (7 - t1)( - t2) = 49 -7(t1+ t2) + t1.t2 = 55 27) Gi¶ sư pt ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n ax1 + bx2 + c = CMR : Gi¶i a2c + ac2 + b3 - 3abc = b c x2 + = a a Gi¶ thiÕt => x1 + ( Vì a khác 0) < = > x1 - ( x1 + x2 ).x2 + x1.x2 = < = > x1 - (x2)2 = KÕt hỵp víi b c vµ x1.x2 = a a c vµ x2 = ( ) a x + x2 = - Ta tính đợc x1 = c ( )2 a Thay vµo hƯ thøc x1 + x2 = ac2 + b3 - 3abc = b råi biÕn ®ỉi ta đợc a2c + a 28) Tìm giá trị m để phơng trình (x +1)(x + 2)(x + 3) (x + 4) = m cã nghiƯm ph©n biƯt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện x1.x2.x3.x4 = m Gi¶i Pt < = > ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = m Đặt t = x2 + 5x + = > pt : t2 + 2t - m = cã hai ngiÖm t1 vµ t2 => m > -1/2 Vi-et => t1+ t2 = -2 , t1.t2 = - m Ta cã t1 = x2 + 5x + => x2 + 5x + - t1 = T2 = x2 + 5x + => x2 + 5x + - t2 = Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 lµ nghiƯm cđa (3) x1.x2 = - t1 (3) (4) => x3,, x4 lµ nghiƯm cđa ( 4) => x3.x4 = - t2 =>x1.x2.x3.x4 = (4 - t1)( - t2) = 16 - 4(t1+ t2) + t1.t2 = 24 - m Kết hợp với yêu cầu toán ta tìm đợc m = 12 ( thoả mãn đk) 29) Tìm m để phơng trình x(x -1)(x - 4)(x - 5) = m cã nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiÖn: 1 1 + + + = 10 x1 x x3 x Gi¶i Pt < = > ( x2 - 5x )( x2 - 5x + 4) = m Đặt t = x2 - 5x t2 + 4t - m = cã hai ngiÖm t1 vµ t2 = > pt : >-4 Vi-et => t1+ t2 = - , t1.t2 = - m t1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t1 = T1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t2 = Ta cã Gi¶ sư x1, x2 lµ nghiƯm cđa (3) => m (3) (4) => x1.x2 = t1 , x1 + x2 = x3,, x4 lµ nghiƯm cđa ( 4) => x3.x4 = t2, x3 + x4 = 1 1 ta cã x + x + x + x = - 10 x +x x +x < = > x x + = 10 x x 5 t + t = 10 < = > (t1+ t2)/ (t1.t2) = < = > - 4/ (-m) = => m = 30) Gọi x1 nghiệm âm phơng trình x2 + x - = TÝnh P = ( x1 ) + 10 x + 13 + x1 Gi¶i Nh trớc, ta tính đợc (x1)8 = 12 -20x1 + (x1)2 => P = 31) T×m m để phơng trình x3 - m(x + 1) + = cã ba nghiƯm ph©n biƯt x1, x2 , x3 thoả mãn điều kiện (x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = Gi¶i NhÈm nghiƯm => x1 = - nghiệm phơng trình cho => pt < = > ( x + 1)(x2 - x + - m) = Theo đầu phơng trình x2 - x + - m = hai nghiƯm x2 vµ x3 => m > 3/4 Ta cã cã x2 + x3 = 1, x2.x3 = - m (x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = < = > - + ( x2 + x3)( x22 - x3.x2 + x32) = < = > ( x2 + x3)2 - 3x2.x3 = => x2.x3 = - => - m = -1=> m = ( thoả mãn điều kiện) 32) Tìm m để phơng tr×nh x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + = cã nghiƯm ph©n biƯt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện (x1)4 + (x2)4 + (x3)4 +(x4)4 = Giải ĐK toán cho ta 2( t12 + t22) = Víi t1, t2 lµ nghiệm phơng trình t2 -2(m + 1)t + 2m + 1=0 => m = ( lo¹i m = 0) 33) Cho phơng trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 Đặt Sn = x1n + x2n Chøng minh r»ng aSn+2 + bSn+1 + cS = Giải Cách 1: aSn+2 + bSn+1 + cS = < = > Sn+2 + b c Sn+1 + S a a ( v× a kh¸c ) < = > x1n+2 + x2n+2 - ( x1 + x2) (x1n+1 + x2n+1) + x1.x2(x1n + x2n) = = ( §óng) => ĐPCM Cách 2: aSn+2 + bSn+1 + cS = a(x1n+2 + x2n+2) + b(x1n+1 + x2n+1) + c(x1n + x2n) = x1n( ax12 + bx1 + c) + x2n( ax22 + bx2 + c) = x1n + x2n = ( §PCM) 34) Cho x = 17 − 12 , y = 17 + 12 Tính x5 + y5 Giải Đặt Sn = xn + yn Ta cã x.y = vµ ( x+ y)2 = 36 = > S = x + y = => x, y lµ nghiƯm phơng trình X2 - 6X + = => Sn+2 - 6Sn+1 + S = ( Theo bµi 33) => Sn+2 = 6Sn+1 - S Ta cã ( x+ y)2 = 36 = > S = x + y = => S2 = x2 + y2 = ( x + y)2 -2xy = 34 => S3 = 6S2 - S1 = 6.34 - = 198 = => S5 = S2.S3 - x2.y2(x + y) = 34.198 - = 6732 35) Tìm phơng trình bậc có hệ số nguyên có nghiệm X= 7 + Giải nh ta đợc phơng trình 10x7 - 70x5 + 140x3 -70x 29 = 36) CMR ( + )n có phần nguyên số lẻ với số nguyên dơng n Giải Đặt x=2+ , y=2- x + y = 4, x.y = => x, y nghiệm phơng trình X2 - 4X + = Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 4Sn+1 + S = => Sn+2 = 4Sn+1 - S (1) S1 = x + y = S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 14 KÕt hỵp (1) => Sn chẵn với n < y < => < yn < => xn + yn - < xn < xn + yn => Sn - < xn < Sn => Phần nguyên xn Sn - Vì Sn chẵn => ĐPCM Ta có 37) Tìm số nguyên lớn không vợt ( + Tơng tự 36 )8