Phần hai HÌNH HỌC Chương KHỐI ĐA DIỆN I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức  Về khôi đa diện, khối đa diện lồi, xem lại định nghĩa SGK; cần có hiểu biết chắn định nghĩa hình dung rõ ràng về:  Hình (khối) lăng trụ, mặt bên, mặt đáy, chiều cao; hình (khối) lăng trụ đứng, đặc biệt lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác Về kí hiệu chẳng hạn lăng trụ tam giác thường kí ' ' ' hiệu ABC.A BC ; hình hộp, tức hình lăng trụ tứ giác mà đáy hình bình hành thường ' ' ' ' kí hiệu ABCD.A BC D Hình lăng trụ đứng mà đáy đa giác gọi lăng trụ đa giác  Hình (khối) chóp số điều liên quan đỉnh, mặt đáy, đường cao, chiều cao, mặt bên, đặc biệt hình chóp tam giác ( cần phân biệt với tứ diện), hình chóp tứ giác Về kí hiệu, hình chóp tứ giác thường kí hiệu S.ABCD hình chóp có mặt đáy hình đa giác mà tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với hình chiếu vng góc đỉnh (hoặc mặt đáy hình đa giác có đỉnh cách đỉnh hình chóp) gọi hình chóp đa giác Hình chóp cụt có hai mặt đáy , mặt bên hình thang, đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy  Về khối đa diện đều, biết rõ ràng khối lập phương, khối tứ diện đều, biết khối bát diện  Về thể tích khối đa diện, nắm cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V  B.h , B diện tích mặt đáy, h chiều cao , cơng thưc tính thể tích khối chop V  B h , B diện tích mặt đáy, h chiều cao Thể tích khối lập phương cạnh a a ; thể tích khối hộp chữ nhật cạnh a, b, c abc Nếu khối đa diện K phân chia thành hai K ,K K K khối đa diện thể tích K tổng thể tích thể tích Khi tính thể tích khối tứ diện, coi khối chóp cách thích hợp Cũng cần để ý phép đối xứng tâm hay đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng bảo tồn thể tích khối đa diện (chẳng hạn, mặt phẳng qua tâm đối xứng khối đa diện chia khối đa diện thành hai phần tích nhau) Phép vị tự tỉ số k biến đa diện tích V thành đa diện tích k V Kỹ  Cần hình dung, vẽ phác họa nhanh chóng hính lập phương, hình hộp chữ nhật, hình hộp, hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ, hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tam giác đều, hình chóp, hình chóp tam giác (khác với hình chóp có đáy tam giác đều.), hình chóp tứ giác, hình chóp tứ giác đều,…; biết mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, đường cao,…; biết góc mặt bên mặt đáy, cạnh bên mặt đáy,…  Sử dụng thành thạo cơng thức tính thể tích khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối chóp, khối chop tam giác đều, khối chóp tứ giác đều,…  Để giúp tính tốn nhanh thể tích nên ý: Thể tích khối chóp khơng thay đổi đỉnh thay đổi mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy ' ' ' ' ' ' Xét hai khối chóp tam giác đỉnh S.ABC , S.A BC mà S, A, A S, B, B S, C, C thẳng hàng giác)  VS.ABC SA SB SC  ' ' VS.A'B'C' SA SB SC' (cơng thức khơng cho khối chóp tứ Trong số trường hợp, để đỡ tính tốn dài, nên biết phân chia, ghép khối đa diện để tính nhanh chóng thể tích: ' ' ' Ví dụ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC tích V Tính thể tích khối chóp tứ giác A.BCC' B' V A V B 2 V C 3 V D ' ' ' ' Hướng dẫn giải: Nối BC hai khối chóp tam giác A.BCC A.BBC tích nên lăng trụ tam giác cho phân chia thành khối chóp tam giác có thể tích khối chóp tứ giác xét hợp hai ba khối chóp tam giác nên ta chọn câu trả lời C ( Nếu chưa có phương hướng chứng minh, ta thử xét trường hợp riêng quen thuộc: coi lăng ' ' ' ' trụ tam giác “một nửa” khối lập phương ABDC.A B D C cạnh a thấy thể tích a3 a3 ' ' khối lăng trụ , cịn thể tích khối chóp A.BCC B ; trường hợp chọn C Có thể coi câu hỏi cấp độ “Vận dụng (thấp)” ' ' ' ' ' ' Ví dụ Cho khối hộp ABCD.A BC D tích V Tinh thể tích khối chóp A.CB D V A V B 2 V C 3 V D ' ' ' Hướng dẫn giải: Hình hộp cho hợp khối chóp xét với khối chóp A AB D , V B.ABC , C BCD , D.ACD ; khối chóp cuối tích nên thể tích cần ' tìm ' V ' ' ' 4V V  Vậy chọn A Cũng xét trường hợp riêng hình hộp chữ nhật hình lập phương cạnh a dễ thấy a3 thể tích khối chóp nói cịn thể tích khối lập phương a nên chọn A Trong a3 trường hợp này, khối chop khối tứ diện cạnh a nên tích Có thể coi câu hỏi cấp độ “Vận dụng (thấp)”  Cần linh hoạt ứng dụng hiểu biết nêu (cùng hiểu biết hình học phẳng) vào tình cụ thể câu hỏi Ví dụ (Câu 38 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): cho hình chóp từ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh mặt bên  SAD 2a Tam giác SAD cân S a vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD SCD  Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  A h a B h a h a C D h a Hướng dẫn giải: a Cách 1: Diện tích ABCD 2a nên thể tích S.ABCD , suy chiều cao chóp SH  2a ( H trung điểm AD ) DO AB song song với mặt phẳng (SCD) , dễ thấy khoảng SCD cách từ B đến đến mặt phẳng  khoảng cách từ A đến mặt phẳng nên gấp đơi 1    h a 2 HD 4a , suy Chọn khoảng cách từ H đến đường thẳng SD Từ đó, h SH B Cách 2: Từ SH  2a suy SD  a Thể tích chóp B.SCD nửa thể tích S.ABCD 3 a a nên mà diện tích tam giác vuông SCD suy chiều cao chóp a B.SCD tức h (trong cách này, khơng cần “dựng” cụ thể đường cao chóp đó) Vậy ta dùng suy luận hình học (cách 1) ta ứng dụng lần công thức tính thể tích chóp từ giác S.ABCD chóp tam giác B.SCD ( cách 2) để đến kết II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP Tổng diện tích mặt khối lập phương 150cm Tính thể tích khối A 25 cm B 75 cm C 125 cm D 100 cm o Đáy khối hộp đứng hình thoi cạnh a ,góc nhọn 60 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ khối hộp Tính thể tích khối hộp 3a3 A a3 B a3 C a3 D Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy cm, cm, 10 cm, cạnh bên 14 cm góc o cạnh ben mặt đáy 30 Tính thể tích khối A 112 cm B 56 cm C 112 cm D 168 cm o Một khối lăng trụ tứ giác có đáy hình thoi cạnh a , góc nhọn 45 , lăng trụ có cạnh bên 2a , góc cạnh bên mặt phẳng đáy 45o Tính thể tích khối a A 3 B a a3 C 3 D 2a Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB cho AE  3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD V A V B V C V D 5 ' ' ' Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC Đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC ' song song với BC cắt AB D , cắt AC e Mặt phẳng qua A , D, E chia khối lăng trụ thành phần, tính tỉ số thể tích ( số bé chia cho số lớn) chúng A B 23 C D 27 ' ' ' ' Mặt phẳng qua đỉnh A, B khối hộp ABCD.A BC D qua trung điểm E ' ' cạnh A D chia khối hộp thành phần, tính tỉ số thể tích ( số bé chia cho số lớn) chúng A B C D ' ' ' ' Cho khối hộp ABCD.A BC D tích V Tính thể tích khối tứ diện có đỉnh ' ' ' ' C' trung điểm cạnh AB, BC , C D V A 12 V B V C 24 V D Xét khối chóp tam giác cạnh đáy a , cạnh bên lần chiều cao tam giác đáy Tính thể tích khối chóp a A a B a C 3 a D o 10 Xét khối chóp tứ giác cạnh đáy a , góc cạnh bên với mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp a3 A a3 B a3 C a3 D 11 Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy o 45 a3 A a3 B a3 C 3 D a 12 Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên mặt đáy o 60 a3 A a3 B a3 C 12 a3 D ' ' ' 13 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC tích V P điểm đường thẳng AA' Tính thể tích khối chóp tứ giác P.BCC'B' V A V B 2V C V D ' ' ' ' ' 14 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC điểm P thuộc cạnh AA , điểm Q thuộc cạnh BB PA QB'  ' ' , điểm R thuộc cạnh CC cho PA QB Thể tích khối lăng trụ V , tính thể tích khối chóp tứ giác R.ABQP V A V B V C 3 V D ' ' ' ' 15 Cho khối lập phương ABCD.A BC D cạnh a Xét khối chóp tứ giác đỉnh A , đáy tứ giác ' ' cs đỉnh tâm mặt khối song song với AA hay chứa AA Tính thể tích khối chóp a A 3 a B a C a D 12 ' ' ' ' 16 Cho khối lập phương ABCD.A BC D cạnh a Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC'D' a3 A a3 B a3 C a3 D 17 Diện tích tồn phần khối hộp chữ nhật S , đáy hình vng cạnh a Tính thể tích khối hộp  a S  2a2 A  �aS � � � a B �4 � �aS � � � 2a C �4 �  a S  2a2 D  18 Một khối chop tam giác có ba góc phẳng vng góc đỉnh, tích V hai cạnh bên a, b Tính cạnh bên thứ khối 3V A ab 4V B ab 5V C ab 6V D ab 19 Khối chóp tam giác S.ABC có SA  AB  c , AC  b , SA vuông góc với mặt phẳng đáy �  30o BAC Tính thể tích khối bc2 A 12 bc2 B bc2 C bc2 D 12 ' ' ' ' ' ' 20 Xét khối lăng trụ tam giác ABC.A BC Mặt phẳng qua C tung điểm AA , BB chia khối lăng trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích chúng A B C 1 D ' ' ' ' ' ' 21 Khối hộp ABCD.A BC D tích V Tính thể tích khối chóp A.BB D D 2V A V B 3V C V D ' ' ' ' ' ' 22 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A BC D tích V Gọi E trung điểm A B , F ' ' ' trung điểm BC Tính thể tích khối tứ diện BD EF V A V B V C 10 V D ' ' ' ' 23 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A BC D tích V Mặt phẳng qua đỉnh A , qua trung ' ' ' ' ' ' ' ' điểm cạnh BC C D cắt đường thẳng A B E , cắt đường thẳng A D F Tính ' thể tích khối chóp A.A EF V A 2V B 3V C 3V D ' ' ' ' 24 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC Điểm P thuộc đoạn BB cho mặt phẳng qua PB A, P song song với BC chia khối lăng trụ thành phần tích Tính tỉ số PB' A B C D ' ' ' ' ' 25 Xét khối hộp ABCD.A BC D Mặt phẳng qua đỉnh D , điểm Q thuộc cạnh AA , điểm R QA RC  3 ' ' thuộc cạnh CC cho QA , RC chia khối lập phương thành phần, tính tỉ số thể tích chúng ' A B C (hay ) D ' ' ' ' 26 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A BC tích V Xét điểm P thuộc đoạn BB PB QC   ' ' ' cho BB , điểm Q thuộc đoạn CC cho CC Tính thể tích khối chóp tứ giác A.BCQP 3V A V B V C V D 27 Cho khối hộp H tích V Xét tất khối tứ diện có đỉnh đỉnh H có cạnh cạnh H (do có mặt dó khối tứ diện phải nằm mặt khối hộp) Chọn câu ? V A Tất khối tứ diện tích V B Tất khối tứ diện tích V V C Có khối tứ diện tích , có khối tứ diện tích V D Khơng có khối tứ diện tích khơng có khối tứ diện tích V 28 Cho khối hộp H tích V Xét tất khối tứ diện có đỉnh đỉnh H khơng có cạnh cạnh H , tức cạnh tứ diện đường chéo mặt khối hộp Chọn câu V A Tất khối tứ diện tích V B Tất khối tứ diện tích V V C Có khối tứ diện tích , có khối tứ diện tích V D Khơng có khối tứ diện tích khơng có khối tứ diện tích V 29 Cho khối hộp H tích V Xét tất khối chóp tứ giác có đỉnh chóp đỉnh mặt đáy đỉnh H Chọn câu đúng: V A Tất khối chóp tích V B Tất khối chóp tích V V C Có khối chóp tích , có khối chóp tích V V D Khơng có khối chóp tích khơng có khối chóp tích 30 Cho khối lăng trụ tam giác H tích V Xét tất khối chóp tứ giác có đỉnh đỉnh mặt đáy đỉnh H Chọn câu đúng: V A Tất khối chóp tích V B Tất khối chóp tích V V C Có khối chóp tích , có khối chóp tích V 2V D Khơng có khối chóp tích khơng có khối chóp tích 31 Cho tứ diện ABCD tích V Xét điểm P thuộc cạnh AB , điểm Q thuộc cạnh BC , QB PA  RB  2 QC điểm R thuộc cạnh BD cho PB , RD Tính thể tích khối từ diện BPQR V A V B V C V D 10 ' 32 Xét khối chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng chứa đường thẳng AB , qua điểm C SC' cạnh SC chia khối chóp thành hai phần tích Tính tỉ số SC A 2 B C 51 D 33 Gọi G trọng tâm tứ diện cho trước Mặt phẳng qua G song song với mặt tứ diện chia khối tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích ( số lớn chia cho số bé) chúng A 35 B 25 37 C 27 D 34 Một khối chóp tam giác có cạnh đáy a , cạnh bên a Tính thể tích khối a3 A a3 B 12 a3 C 12 a3 D 35 Cho khơi chóp tam giác có chiều cao h cạnh bên 2h Tính thể tích khối h3 A 3h3 B 9h3 C h3 D 12 36 Cho khối chóp tam giác S.ABC , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SBC tam giác cạnh a , góc mặt phẳng SBC mặt đáy  Tính thể tích khối chóp đó: a sin2 A 16 a sin2 B a cos  C 16 a cos2 D 37 Một khối lăng trụ có đáy tam giác cạnh a có cạnh bên b , goc cạnh bên o mặt phẳng đáy 60 Tính thể tích khối a2b A a2b B 3a2b C a2b D 38 Các trung điểm cúa cạnh tứ diện cạnh a đỉnh khối đa diện Tính thể tích khối a3 A 12 a3 B 12 a3 C 24 a3 D 16 11 ' ' ' ' BC D A , qua trung điểm 39.5Xét khối hộp ABCD.AB đỉnh A Mặt phẳng quaC D 8của cạnh ' ' ' ' ' ' ' ' C B C D chia khối chóp A.A BC D thành hai phần Tính tỉ số thể tích ( số lớn chia cho số 40 Xét khối chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng qua đỉnh A , qua trung điểm cạnh bé)của chúng: SC song song với BC chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích chúng: A C B D ' ' ' ' ' ' 41 Cho khối hộp ABCD.A BC D Mặt phẳng qua A trung điểm cạnh BB , DD chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích chúng: A C B ' ' ' ' ' 42 Cho khối hộp ABCD.A BC D điểm E thuộc cạnh BB cho ' DF  cạnh DD cho số thể tích chúng: A D BE  BB' , điểm F thuộc 3DD' Mặt phẳng qua A, E, F chia khối họp thành hai phần, Tính tỉ C B D ' ' ' ' 43 Một nhà kho có dạng khối hộp chữ nhật đứng ABCD.A BC D , hình chữ nhật ABCD , AB  3m , BC  6m, chiều cao AA'  3m, chắp thêm khối lăng trụ tam giác mà ' ' ' ' ' ' mặt bên A BC D A B cạnh đáy lăng trụ Tính thể tích nhà kho 27 3 m A   27  m3 B C 54m   12  m3 D 12 III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN – ĐÁP ÁN Gợi ý – Hướng dẫn giải ' ' ' ' Câu Đáy ABCD hình thoi AB  a , BD  a , AC  a , hộp đứng ABCD.A BC D có DB'  AC nên BB'  a Câu Để ý tam giác đáy tam giác vuông a2 h b  nên thể tích khối Câu Cạnh bên b  a , chiều cao khối chóp h với 2 a chóp a a tan60o  Câu 10 Diện tích mặt đáy a , chiều cao 2 ' ' ' Câu 13 Vì P nằm đường thẳng AA song song mặt phẳng BCC B nên thể tích khối chóp ' ' P.BCC'B' thể tích A.BCC'B' Chỉ cần nối BC' chia ABC.A' BC thành ba khối chóp tam ' ' giác tích mà hợp hai khối A.BCC B (xem phần I Kiến thức, kỹ cần thiết) ' ' Câu 14 Để ý PQ qua tâm hình bình hành ABB A nên diện tích hình thang APQB ' nửa diện tích hình bình hành Gọi h khoảng cách từ đường thẳng CC đến mặt phẳng hdt (ABB' A' ) ABB A 2V  hdt ( ABB A ), thể tích khối chóp tứ giác đnag xét ' ' ' ' Câu 15 Để ý mặt phẳng đáy khối chóp song song với mặt phẳng ABCD Câu 25 Để ý QR qua tâm khối lập phương Câu 32 Ứng dụng công thức tỉ số thể tích hai khối chóp đỉnh đường thẳng chứa SC' x cạnh bên, đặt SC x nghiệm phương trình x  x   a Câu 38 Để ý khối đa diện khối tám mặt cạnh 2 VS.EFG  VS.BCD 3, Câu 40 Gọi E, G theo thứ tự giao mặt phẳng với SB, SD 2 VS.AEG  VS.ABD VS.AEFG  VS.ABCD 3, Câu 41 Để ý mặt phẳng đnag xét qua tâm đối xứng khối hộp Câu 42 Để ý trung điểm EF tâm đối xứng hình hộp Đáp án Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ C 16 B 31 A D 17 A 32 C D 18 D 33 C B 19 D 34 C B 20 D 35 B B 21 B 36 A B 22 B 37 C C 23 D 38 C B 24 A 39 C 10 A 25 D 40 B 11 A C C B D 3 3 26 D B A A B 41 42 43 B B B 3 12 13 14 15 27 28 29 30 3 ... vuông góc v? ?i mặt phẳng đáy �  30o BAC Tính thể tích kh? ?i bc2 A 12 bc2 B bc2 C bc2 D 12 '' '' '' '' '' '' 20 Xét kh? ?i lăng trụ tam giác ABC.A BC Mặt phẳng qua C tung ? ?i? ??m AA , BB chia kh? ?i lăng trụ... diện tích V B Tất kh? ?i tứ diện tích V V C Có kh? ?i tứ diện tích , có kh? ?i tứ diện tích V D Khơng có kh? ?i tứ diện tích khơng có kh? ?i tứ diện tích V 28 Cho kh? ?i hộp H tích V Xét tất kh? ?i tứ diện... diện đường chéo mặt kh? ?i hộp Chọn câu V A Tất kh? ?i tứ diện tích V B Tất kh? ?i tứ diện tích V V C Có kh? ?i tứ diện tích , có kh? ?i tứ diện tích V D Khơng có kh? ?i tứ diện tích khơng có kh? ?i tứ diện