Chương IV SỐ PHỨC I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức Theo yêu cầu chuẩn kiến thức mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần hiểu, nhớ khái niệm kết • Các khái niệm: i − Định nghĩa số (đơn vị ảo) − Định nghĩa số phức Phần thực, phần ảo số phức Số ảo (còn gọi số ảo) − Hai số phức Kí hiệu − − − − − − − • − − − − £ : tập hợp số phức ¡ £ :¡ ⊂ £ Quan hệ tập số thực tập số phức Biểu diễn hình học số phức Khái niệm mơ đun số phức Cách cộng, trừ, nhân, chia hai số phức Cách tính bậc hai (phức) số thực Cách giải tìm nghiệm phức phương trình bậc hai với hệ số thực Cách tìm nghiệm phức phương trình trùng phương với hệ số thực Các kết quả: i2 Tính Cách xác định phần thực, phần ảo số phức Cách xác định điểm biểu diễn số phức Công thức xác định số phức liên hợp, mô đun số phức z.z = z − Cơng thức − Cơng thức tính bậc hai số phức − Công thức nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực ax2 + bx + c = Kỹ Theo u cầu Chuẩn kỹ mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần luyện tập để thành thục kỹ đây: • Có khả vận dụng khái niệm nêu mục tình cụ thể • • • • • • Biết xác định phần thực, phần ảo số phức Biết biểu diễn hình học số phức Biết tìm mơ đun, số liên hợp số phức cho Biết thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức Biết tính bậc hai (phức) số thực cho Biết tìm nghiệm phức phương trình bậc hai, phương trình trùng phuowngvowis hệ số thực Một số ví dụ Ví dụ (Câu 29 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho số phức z = 3− 2i A Phần thực B Phần thực C Phần thực D Phần thực −3 −3 3 Tìm phần thực phần ảo số phức , phần ảo , phần ảo , phần ảo z −2i −2 2i , phần ảo Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm khái niệm số phức liên hợp khái niệm phần thực, phần ảo số phức Ngoài ra, em cần tránh sai lầm kh quan niệm phần ảo số phức toàn phần lại số phức sau bỏ phần thực (quan niệm em chọn C đáp án đúng) Cách giải: Vì D z = 3− 2i nên z = 3+ 2i Số phức có phần thực 3, phần ảo Đáp án Chỉ cần hiểu khái niệm số phức liên hợp, phần thực, phần ảo số phức, học sinh dễ dàng chọn đáp án câu trắc nghiệm Ví dụ (Câu 30 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): z1 = 1+ i Cho hai số phức z2 = 2− 3i , z1 + z2 Tính mơ đun số phức z1 + z2 = 13 A z1 + z2 = B z1 + z2 = C z1 + z2 = D Hướng dẫn giải: Để trả lời câu hỏi này, học sinh cần biết cách tính tổng hai số phức biết cách tính mơ đun số phức Cách giải: Áp dụng định nghĩa tổng hai số phức mô đun số phức, ta có: z1 + z2 = 32 + ( −2) = 13 z1 + z2 = ( 1+ 2) + ( 1+ 3) i = 3− 2i Đáp án A Ví dụ (Câu 31 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho số phức sau ? z ( 1+ i ) z = 3− i thỏa mãn Hỏi điểm biểu diễn M ( 1;2) z điểm điểm N ( −1;2) A Điểm B Điểm P ( −1; −2) Q( 1; −2) C Điểm D Điểm Hướng dẫn giải:Vì phép tốn cộng, trừ, nhân, chia tập số phức có tất tính chất z phép tốn tập số thực, ddoscos thể tính từ điều kiện cho cách chia z z hai vế phương trình cho hệ số ẩn Điểm biểu diễn điểm có hồnh độ, tung độ theo z thứ tự phần thực, phần ảo ( 1+ i ) z = 3− i Cách giải: Chia hai vế phương trình phép chia số phức, ta có z = 1− 2i cho Điểm biểu diễn z 1+ i z= ta 3− i 1+ i Thực Q( 1; −2) điểm Chọn đáp án D Ví dụ (Câu 33 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): z1, z2, z3, z4 Kí hiệu bốn nghiệm phức phương trình z4 − z2 − 12 = Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 A T=4 C T = 4+ B T=2 D T = 2+ Hướng dẫn giải: Câu hỏi kiểm tra kỹ tìm nghiệm phương trình trùng phương vơi hệ số thực Cách giải: Đặt z2 = t , phương trình cho trở thành Phương trình có hai nghiệm (thực) trái dấu t2 − t − 12 = t= , t = −3 , ứng với z2 = z2 = −3 Nghiệm phương trình cho bậc hai z1,2 = ±2 nghiệm C z1,2 = z3,4 = ±i , Từ đó, −3 Do phương trình cho có bốn z3,4 = , Do T = 4+ Chọn đáp án Ví dụ (Câu 34 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Cho số phức z z=4 thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = ( 3+ 4i ) z + i đường tròn Tính bán kính A r=4 B r=5 r đường tròn C r = 20 D r = 22 Hướng dẫn giải: Đây câu hỏi trắc nghiệm hay Học sinh thường bị phương hướng r khơng để ý cần tìm bán kính đường tròn Đọc kĩ đề ta thấy liệu sau: w = ( 3+ 4i ) z + i (1): Tập hợp điểm biểu diễn số phức (2): r z=4 (*) với (**) đường tròn bán kính đường tròn Các liệu nói số phức M w biểu diễn số phức w , ta cần tìm mối liên hệ hồnh độ tung độ điểm M ( x; y) Cách giải 1: Kí hiệu viết lại thành điểm biểu diễn số phức x + yi = ( 3+ 4i ) z + i ⇔ ( 3+ 4i ) z = x + ( y − 1) i ⇔ z = w w = x + yi , tức Do (*) x + ( y − 1) i 3+ 4i ⇔ z= ( x + ( y − 1) i ) ( 3− 4i ) = 3x + 4( y − 1) + 3( y − 1) − 4x + i ( 3+ 4i ) ( 3− 4i ) 25 25  3x + 4( y − 1)   3( y − 1) − 4x   ÷ + ÷ = 16 25 25     Sử dụng (**), ta (***) (***) ⇔ x2 + ( y − 1) = 202 ( *** ) Sau vài biến đổi đơn giản ta có I ( 0;1) tròn tâm số phức bán kính w Đây phương trình đường r = 20 M ( x, y) , đường tròn tập hợp điểm biểu diễn Vậy C đáp án w0 Cách giải 2: Ta biết đường tròn có tâm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a, b số thực) w , bán kính tập hợp w − i = ( 3+ 4i ) z w − w0 = r thỏa mãn r nên ta xét Đặt w − i = ( 3+ 4i ) ( a + bi ) = ( 3a − 4b) + ( 4a + 3b) i , ( ) w − i = ( 3a − 4b) + ( 4a + 3b) = 25 a2 + b2 = 25.16 = ( 5.4) 2 2 Vậy r = 20 II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP Tìm khẳng định sai khẳng định sau đây: A Số phức B Só phức z = 5− 3i z = 2i có phần thực 5, phần ảo là số ảo M ( −1;2) C Điểm −3 điểm biểu diễn số phức z = −1+ 2i D Số số phức ( x; y) Tìm tất cặp số thực ( 2x − 1) + ( 3y + 2) i = 5− i thỏa mãn điều kiện ( −1;−1) A ( 3;−1) B ( 3;1) C ( −2; −1) D ( x; y) Tìm tất cặp số thực (x ) ( )  A ( 2; −1) , 3;  C ¡ Kí hiệu C ( ) − 3x + 5y2 + y + i = ( 2x − 6) + y2 + 2y + i ( −2;1) , 2; A thỏa mãn điều kiện 5 4÷  ( 2;−1) ,  2; B 5 ( 3; −1) 4÷  tập số thực,  5 ;( 3; −1) 4÷  ( 2; −1) ,  2;  D £ 5  5 ;( 3; −1) ,  3; ÷ ÷ 4  4 tập số phức Tìm khẳng định sai ? ¡ ⊂£ z = z ∀z∈ £ B , z = 1− 7i Kí hiệu đúng? khơng phải số thực M điểm biểu diễn số phức D z , ' z = −5i số phức điểm biểu diễn số phức z Khăng định M, M ' A đối xứng qua trục tung M, M ' B đối xứng qua trục hoành y= x M, M ' C đối xứng qua đường thẳng y = −x M, M ' D đối xứng qua đường thẳng Tìm khẳng định sai ? z z A Với số phức , số thực z z B Với số phức , số phức z z C Với số phức , số thực dương z z D Với số phức , số thực không âm Khẳng định khẳng định sau sai ? z= 2 A Số phức có phần thực z= 2−i B Số phức 2 có phần thực , phần ảo −i C Tập số phức chứa tập số thực z = −3+ 4i D Số phức có mơ đun Tìm khẳng định sai ? A Tập hợp điểm biểu diễn số phức có mơ đun đường tròn đơn vị ( đường tròn có bán kính 1, tâm gốc tọa độ) B Tập hợp điểm biểu diễn số phức (kể biên) đường tròn đơn vị z z ≤1 thỏa mãn điều kiện phần mặt phẳng phía C Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực đường thẳng song song với trục hoành ( −1;1) D Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phần thực phần ảo thuộc khoảng miền hình vng Khẳng định sai ? A ∀z∈ £ , z+ z số thực B C ∀z∈ £ , z số thực ∀z∈ £ z − z , số ảo ∀z∈ £ z.z D , số thực không âm 10 Khẳng định sai ? ( 2− 3i ) + ( 5+ i ) = 7− 2i A ( 3− 4i ) − ( 1− 6i ) = 2( 1i ) B ( − 3i ) ( + 5i ) = 23+ 14i C D ( 2− 3i ) ( 1+ i + 3i ) = 5− ( ) + 2+ i 11 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trục tung z thỏa mãn điều kiện z2 có điểm biểu diễn nằm A Trục tung B, Trục hoành C Đường phân giác góc phần tư (I) góc phần tư (III) D Đường phân giác góc phần tư (I), (III) đường phân giác góc phần tư (II), (IV) 12 Tính ( 12− 3i ) ( 4+ i + 3i ) ( ) 31− + −12 + i A ( B ) 51− + 12+ i C ( ) ( ) 51− + −12 + i 51+ + −12+ i D z = ( 1− i ) ( 3+ 2i ) + cosγ + i sinγ 13 Tính mơ đun số phức A 51 61 B C z 14 Có số phức A − D z.z+ z = thỏa mãn điều kiện B 15 Tính phần thực số phức A , z z= thỏa mãn điều kiện D ( 3+ i ) ( 1− 3i ) D ( 2− 3) ( 1+ 3i ) − ( 2+ 5i ) 3− 4i ( ) ( ( ) −2 + + − 5 − 3 i B ) −12 + −5 − 3 i C ? C −2 + −5 − 3 i A z=2 C B 16 Tính π D Oxy 17 Trên mặt phẳng tọa độ z = ( − i ) ( −1+ i ) M điểm biểu diễn số phức uuuu r ϕ sin2ϕ OM góc tạo chiều dương trục hoành với véc tơ Tính A 0,8 lấy điểm ( −5 − 3) i B 0,6 C gọi −0,8 D 18 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z −0,6 thỏa mãn điều kiện z− i + = 2x − 3y + = A Đường thẳng y= x ( x + 2) + ( y − 1) = B Đường thẳng x2 + ( y − 2) = 2 C Đường thẳng D Đường thẳng 19 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z( i + 1) + 1+ i = x + y− 1= ( x + 1) A Đường thẳng + y2 = B Đường tròn x2 + y2 = y= C Đường tròn đơn vị D Đường thẳng 20 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1− i = 4i − 3− 3z 6y+ = B Đường thẳng A Đường thẳng 6x+ = 3x − 4y − = 3x + 4y + = D Đường thẳng C Đường thẳng 21 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : số w = z( 1+ i ) + ( 2− i ) phức số ảo y = x+ x2 + y2 = B Đường thẳng A Đường tròn y= x 2x = y2 C Đường thẳng D Đường parabol z 22 Tìm giá trị lớn A biết z −2 − 3i z+ = 3− 2i thỏa mãn điều kiện B C z 23 Tím số phức A z = 1− 3i z thỏa mãn điều kiện B 24 Có số phức A z= z z + iz + C thỏa mãn điều kiện B D z− i =0 1− i z= z = −21+ 2i z2 + 3z − 2.zz =0 C D i ? D 10 w= 25 Gọi M điểm biểu diễn số phức ( 1− i ) ( z + 2i ) = − i + 3z Gọi uuu r uuuu r ϕ = Ox, OM ( N z− z+ z2 , điểm mặt phẳng cho ) góc lượng giác tạo tành quay tia góc phần tư ? Ox ( tới vị trí tia z số phức thỏa mãn uuu r uuur Ox, ON = 2ϕ ) uuuu r OM A Góc phần tư (I) B Góc phần tư (II) C Góc phần tư (III) D Góc phần tư (IV) , ddos Điểm N nằm 26 Trong khẳng định sau đây, khẳng định ? A Căn bậc hai −2 C Căn bậc hai là i ± + 0i B Căn bậc hai D Căn bậc hai −3 −1 là −i i 27 Tính tổng mơ đun nghiệm phức phương trình A 2 B C x4 − 6x2 − 16 = −4 28 Tính tổng nghịch đảo nghiệm phức phương trình +i B 2 C D x4 − 7x2 − = D −2 A 11 29 Trong khẳng định sau , phương trình xét tập số phức Hãy tìm khẳng định sai A Phương trình B Phương trình C Phương trình D Phương trình x2 − 4x + = x2 + = x2 = −2 vơ nghiệm có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm x4 − 4x2 = ±i có nghiệm 30 Cho Phương trình bậc hai với hệ số thực khẳng định khẳng định sau sai ? az2 + bz + c = ( a ≠ 0) , Xét tập số phức, A Phương trình bậc hai cho co nghiệm − B Tổng hai nghiệm phương trình cho C Tích hai nghiệm phương trình cho D Nếu ∆ = b2 − 4ac < b a c a phương trình cho vơ nghiệm III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN Gợi ý – Hướng dẫn giải Câu Xem lại định nghĩa số phức Câu Trong tập số phức khơng có so sánh hơn, z = x + yi ( x, y∈ ¡ ) Câu 11 Nếu z2 = x2 − y2 + 2xyi x2 − y2 độ ( ) z.z + z = z z + = z z + Câu 14 Chú ý Điểm biểu diễn số phức z2 có hồnh tanϕ = M ( x; y) Câu 17 Nếu sin2ϕ = 2tanϕ 1+ tan2 ϕ Áp dụng công thức M ( x; y) z = OM Câu 22 y x , điểm biểu diễn z x, y Biên đổi điều kiện đề theo I ( 0; −1) x2 + ( y + 1) = (phương trình đường tròn tâm OM đường tròn để lớn zz = z , bán kính 1) Chọn điểm ta M Câu 23 Chú ý z= z, w Câu 25 Các điều kiện tanϕ = − Từ đó, sin2ϕ = Từ N 56 33 cho 3+ 6i w= , 33− 56i 45 cos2ϕ Áp dụng cơng thức tính sin2ϕ tanϕ , theo , ta tính −3696 −2047 cos2ϕ = 4225 4225 , thuộc góc phần tư thứ (III) Đáp án Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ D 11 D 21 B B 12 B 22 B 3 D 13 B 23 D D 14 A 24 C B 15 A 25 C C 16 A 26 C B 17 D 27 B C 18 B 28 C B 19 B 29 A 10 D 20 A 30 D ... giác góc phần tư (I) góc phần tư (III) D Đường phân giác góc phần tư (I), (III) đường phân giác góc phần tư (II), (IV) 12 Tính ( 12 3i ) ( 4+ i + 3i ) ( ) 31 + 12 + i A ( B ) 51 + 12 + i C... góc phần tư thứ (III) Đáp án Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ D 11 D 21 B B 12 B 22 B 3 D 13 B 23 D D 14 A 24 C B 15 A 25 C C 16 A 26 C B 17 D 27 B C 18 B 28 C B 19 B 29 A 10 ... 12 + i C ( ) ( ) 51 + 12 + i 51+ + 12 + i D z = ( 1 i ) ( 3+ 2i ) + cosγ + i sinγ 13 Tính mơ đun số phức A 51 61 B C z 14 Có số phức A − D z.z+ z = thỏa mãn điều kiện B 15 Tính phần thực số phức