Câu 1: Câu 1: Câu 1: Câu 1: TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC MÀU NHẬN BIẾT MÀU THÔNG HIỂU MÀU VẬN DỤNG THÂP MÀU VẬN DỤNG CAO BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxyz Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức A ( 2;0;0 ) B ( 0; 2; ) C ( 0;0; ) Oxy M Câu 2: Cho , , Tập hợp điểm mặt phẳng cho uuur uuur uuuu r2 MA.MB + MC = A Tập rỗng B Một mặt cầu C Một điểm D Một đường tròn Hướng dẫn giải Chọn D M ∈ ( Oxy ) M ( x; y;0 ) Điểm uuur nên uuur uuuu r MA = ( − x; − y; ) MB = ( − x; − y;0 ) MC = ( − x; − y; ) Ta có: ; ; uuur uuur uuuu r2 MA.MB + MC = x − x + y − y + x + y + Do uuur uuur uuuu r2 MA.MB + MC = ⇔ x + y − x − y + = ⇔ x + y − x − y + = A ( 3;5;0 ) ( P ) : 2x + y − z − = M mặt phẳng Tìm tọa độ điểm điểm đối ( P) A xứng với điểm qua M ( −1; −1; ) M ( 0; −1; −2 ) M ( 2; −1;1) M ( 7;1; −2 ) A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A A ( 3;5; ) ( P) ∆ Gọi đường thẳng qua vuông góc với mặt phẳng  x = + 2t  ∆ :  y = + 3t  z = −t  Phương trình tham số ( P) H ∆ H Gọi giao điểm , suy tọa độ nghiệm hệ:  x = + 2t x =  y = + 3t y =   ⇔ + t + + t + t − = ⇔ ( ) ( )    z = −t z = 2 x + y − z − = t = −1 Câu 3: Cho điểm Ta có H trung điểm MA M ( −1; −1; ) nên Oxyz Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ d: x +1 y −1 z = = −1 , cho đường thẳng hai điểm A(1;5;0) B (3;3;6) M ∈d MAB , Điểm cho tam giác có diện tích nhỏ có tọa độ M ( 0;1;2 ) M ( 2;1;0 ) M ( 1;0;2 ) M ( −3;2; −2 ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Tự luận uuu r uuur AB = ( 2; −2;6 ) ; AM = ( 2t − 2; −t − 4;2t ) M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2t;1 − t;2t ) Ta có điểm Suy uuu r uuur  AB, AM  = ( 2t + 24;8t − 12; 2t − 12 )   Nên 1 ⇒ S ∆ABM = 72t − 144t + 864 = 72 ( t − 1) + 11 ≥ 22 ⇒ t = ⇒ M 1;0;2 ( )   2 , Cách 2: Trắc nghiệm Thế điểm đáp án vào đường thẳng cho, ta loại đáp án A, B uuur uuur S∆MAB =  AB, AM   2 Còn đáp án C, D Ta tính diện tích tam giác theo công thức , phương án nàocho diện tích nhỏ ta chọn phương án C Oxyz , A ( 1; −1;1) , B ( 2;1; −2 ) , C ( 0;0;1) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm Gọi H ( x; y; z ) x+ y+z ABC trực tâm tam giác giá trị kết đây? −1 −2 B C D A Hướng dẫn giải Chọn A.uuur uuur AH = ( x − 1; y + 1; z − 1) BH = ( x − 2; y − 1; z + ) Tọaucó ; uur uuur uuu r BC = ( −2; −1;3) AC = ( −1;1;0 ) AB = ( 1; 2; −3 ) Và ; ; uuur uuur  AH BC =  −2 x − y + 3z =  uuur uuur  ⇔ − x + y = −1  BH AC = r uuur uuur  uuu   x + y + z = AB , AC  AH =   ABC  H Để trực tâm tam giác x + y + z =1 Vậy từ phương trình cuối hệ ta có A ( 1; 2; −1) Oxyz , ABCD A′B′C ′D′ Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có , C ( 3; −4;1) B′ ( 2; −1;3 ) D′ ( 0;3;5 ) D ( x; y; z ) x + y − 3z , Giả sử tọa độ giá trị kết đây? B A C Hướng dẫn giải D Chọn B I I' Gọi tâm cáchình bình hành ABCD Khi A' B 'C ' D ' I ( 2; −1;0 ) I ' ( 1;1; ) uuur uuuuu r I 'I = D'D Theo tính chất hình hộp suy x = y = z =1 suy x + y − 3z = Khi Câu 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ A ( 1;3;5 ) , B ( 2;0;1) , C ( 0;9;0 ) Oxyz , cho ba điểm Tìm trọng G ABC tâm tam giác G ( 3;12;6 ) G ( 1;5; ) G ( 1; 0;5 ) G ( 1; 4; ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D x A + xB + xC + +  = =1  xG = 3  y A + yB + yC + +  = =4  yG = 3  z A + z B + zC + +  = =2  zG = ⇒ G ( 1; 4; ) 3  Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có uuuu r M ( 3;1;0 ) MN = ( −1; −1;0 ) Oxyz , Câu 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ cho điểm Tìm tọa độ N điểm N ( 4; 2; ) N ( −4; −2; ) N ( −2; 0; ) N ( 2; 0; ) B C D A Hướng dẫn giải Chọn D uuuu r N ( x; y ; z ) MN ( x − 3; y − 1; z ) Gọi điểm cần tìm Ta có:  x − = −1  x =    y − = −1 ⇔  y = ⇒ N ( 2;0; ) z = z =   Khi theo giả thiết ta có: M ( 3; −2;3) , I ( 1; 0; ) Oxyz , Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm Tìm tọa độ điểm N MN I cho trung điểm đoạn 7  N  2; −1; ÷ N ( 5; −4; ) N ( −1; 2; ) N ( 0; 1; ) 2  B C D A Hướng dẫn giải Chọn D N ( x; y; z ) MN I Giả sử Do trung điểm nên xM + xN   xI =  xN = xI − xM  x N = −1  yM + y N    ⇔  yN = yI − yM ⇔  yN = ⇒ M (−1; 2;5)  yI =   z = 2z − z z = I M  N  N zM + z N  z =  I  Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ A ( 0; −2; −1) Oxyz , cho điểm M AB MA = MB điểm thuộc đoạn cho     M  ; − ; 1÷ M  ;− ; ÷ M ( 2; 0; ) 2 2 3  A B C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: B ( 1; −1; ) Tọa độ M ( −1; −3; −4 ) D   xM =  xM − x A = 2( xB − xM ) 3xM = xB + x A    ⇔  yM − y A = 2( yB − yM ) ⇔ 3 yM = yB + y A ⇔  yM = −  z − z = 2( z − z ) 3z = z + z  uuuu r uuur  M A B M  M B A  zM = AM = MB A ( 1; −1;1) B ( 3;1; ) D ( −1; 0;3 ) C Câu 4: Trong không gian cho ba điểm , , Xét điểm cho ο ABCD C 45 AB CD tứ giác hình thang có hai đáy , có góc Chọn khẳng định bốn khẳng định sau: 7  C  0;1; ÷ 2  C A Khơng có điểm B C ( 5; 6;6 ) C ( 3; 4;5 ) C D Hướng dẫn giải Chọn D B A Oxyz D uuur AB = ( 2; 2;1) Ta có H C (α) Phương trình mặt phẳng ⇔ x + y + z − 10 = vng góc với • Phương trình đường thẳng  x = −1 + 2t  d :  y = 2t z = + t  H ( x; y; z ) d AB B ( x − 3) + ( y − 1) + ( z − ) = : D ( −1; 0;3) qua điểm song song với AB DC B chân đường cao hạ từ đỉnh xuống vng góc với Suy tọa độ 2 x + y + z − 10 = x =  x = −1 + 2t   ⇔  y = ⇒ H ( 1; 2; )   y = 2t  z =  z = + t H ( x; y; z ) nghiệm hệ phương trình: HBC H ⇒ HB = HC • Khi tam giác vng cân C ( 3; 4;5 ) C • Lần lượt thay tọa độ đáp án, ta điểm thỏa mãn u cầu tốn • Gọi HB = HC ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 4) = Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ ( − 1) Oxyz , cho hình hộp + ( − 2) + ( − 4) ⇔ = 2 ABCD A′B′C ′D′ B ( 2;1; ) C ′ ( 4;5; −5 ) , D ( 1; −1;1) A′ , Tọa độ đỉnh là: ( 5; −5; −6 ) ( 3;5; −6 ) ( −5; −5; ) A B C Hướng dẫn giải: Chọn uuur Buuu r DC = AB ⇒ ( xC − 1; yC + 1; zC − 1) = ( 1;1;1) ⇒ C ( 2; 0; ) A ( 1; 0;1) Biết , ( −5;5; −6 ) D uuur uuuu r AA′ = CC ′ ⇒ ( x A ' − 1; y A ' ; z A ' − 1) = ( 2;5; −7 ) ⇒ A′ ( 3;5; −6 ) Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ( α ) : x + y + z − 17 = mặt phẳng ( 0; 0;9 ) A Chọn B M ∈ Oz ⇒ M ( 0, 0, c ) ( 0; 0;3) B , tìm trục Oz điểm M A ( 2;3; ) cách điểm ( 0;0; −3) C Hướng dẫn giải ( 0;0; −9 ) D Theo ycbt , có MA = d  M , ( α )  ⇔ + + ( c − 4) = c − 17 14 ⇔ 14 ( c − 8c + 29 ) = ( c − 17 ) ⇔c =3 Câu 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Tìm tọa độ điểm M ( −2;1; ) A M A ( 2; −3;7 ) , B ( 0; 4; −3) Oxyz , cho ba điểm uuur uuur uuuu r MA + MB + MC Oxy ( ) nằm mp cho M ( −2; −1; ) M ( 2;1; ) B C Hướng dẫn giải C ( 4; 2;5 ) có giá trị nhỏ M ( 2; −1;0 ) D Chọn C uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC Có : uuuu r uuu r uuur uuur 3MG + GA + GB + GC = uuu r uuu r uuur r GA + GB + GC = Tìm G cho : uuur uuur uuuu r MA + MB + MC Từ : uuur uuur uuuu r MA + MB + MC G hay uuuu r 3MG = 3.MG trọng tâm ∆ABC G ( 2;1;3) Khi : = MG ( Oxy ) M nhỏ nhỏ Mà nằm mp M M ( 2;1;0 ) ( Oxy ) hình chiếu G lên hay A ( 1; 0;3) , B ( 2;3; −4 ) , C ( −3;1; ) Oxyz Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Xét ABCD D D điểm cho tứ giác hình bình hành Tìm tọa độ điểm ( 4; 2; −9 ) ( −4; 2;9 ) ( −4; −2;9 ) ( 4; −2;9 ) A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C uuur uuur AD = BC ⇒ ( xD − 1; y D ; z D − ) = ( −5; −2; ) ⇒ D ( −4; −2;9 ) Dạng 2: Tìm tọa độ vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ ( P ) : x − y + z − = Oxyz , ( P) ? cho mặt phẳng đâyrlà vectơ pháp tuyến r r n = ( 2; −1; −1) n = ( −2; 1; −1) n = ( 2; 1; −1) B C A Hướng dẫn giải: Vectơ r n = ( −1; 1; −1) D Chọn B ( P ) : 2x − y + z −1 = r n = ( 2; −1;1) ( P) Vec tơ pháp tuyến ( P ) : −3x + 2z − = Oxyz Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng Véc tơ pháp tuyến r ( P) n r mặt phẳng r r r n = ( −3;2;−1) n = ( 3; 2;−1) n = ( −3;0;2 ) n = ( 3;0;2 ) A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C r r r a = ( 2; −1; ) Oxyz, a b Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho , biết chiều với có rr a.b = 10 Chọn phương án r r r b = ( −6;3;0 ) b = ( −4; 2; ) b = ( 6; −3;0 ) A B C Hướng dẫn giải: Chọn D r b = ( 4; −2;0 ) D r b = x ( 2; −1; ) = ( x; − x;0 ) , x > Ta có rr r a.b = 10 ⇔ x + x = 10 ⇔ x = ±2, ( x > ) ⇒ x = ⇒ b = ( 4; −2;0 ) Mà r r r a = 1; 2; − b = 0; 4;3 c = ( −2;1; ) ( ) ( ) oxyz Câu 8: Trongr không gian với hệ toạ độ cho véctơ , , r r r r Gọi u = 2a − 3b + 5c Tìm toạ độ u A ( −8; − 3;9 ) B ( −9; − 5;10 ) C ( −8; 21; 27 ) Hướng dẫn giải: Chọn A r 2a = ( 2; 4; − )   r −3b = ( 0; − 12; − )  r  5c = ( −10; 5; 20 )  r r r r u = a − 3b + 5c = ( −8; − 3;9 ) ⇒ D ( 12; − 13; − 31) Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng góc Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ MN thẳng MN = 10 A B M ( 3;0;0 ) , N ( 0; 0; ) Oxyz cho hai điểm MN = MN = C Hướng dẫn giải: Chọn B MN = ( − 3) + ( − 0) + ( − 0) = 2 Tính độ dài đoạn D MN = Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ ( α ) : x − = 0, ( β ) : y − = 0, ( γ ) : z + = ( γ ) / /Oz A Chọn A I ( 2;6; −3) Oxyz , cho điểm mặt phẳng Tìm mệnh đề sai: ( β ) / / ( xOz ) ( α ) qua I B C Hướng dẫn giải (α) ⊥ ( β) D ( γ ) ∩ Oz = A ( 0;0; −3) Dễ thấy Oxyz ·ABC A ( −1; 2; ) B ( −1;1; ) C ( 0; 0; ) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , Tìm số đo 135° 45° 60° 120° A B C D Hướng dẫn giải Chọn A uur uuu r BA BC uur uuu r ⇒ cos ·ABC = =− BA = ( 0;1;0 ) BC = ( 1; −1;0 ) BA.BC ⇒ ·ABC = 135° Ta có: , Dạng 4: Diện tích tam giác Câu 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 1; 2;0 ) , B ( 3; −1;1) C ( 1;1;1) Tính diện tích S tam giác ABC S =1 A S= B C Hướng dẫn giải S= D S= Chọn C - Phương pháp: Diện tích tam giác cho biết tọa độ ba đỉnh A, B, C xác định uuur uuur S =  AB, AC  công thức - Cách giải: uuur uuur uuur uuur AB = ( 2; −3;1) ; AC = ( 0; −1;1) ⇒ AB, AC  = ( −2; −2; −2 ) Ta có: uuur uuur S =  AB, AC  = 22 + 2 + 22 = 2 Dạng 5: Thể tích khối đa diện Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD C ( 1;0;1) D ( 2;1; −1) ABCD , Tính thể tích tứ diện 3 B C A Hướng dẫn giải Chọn D A ( −1; 2;1) B ( 0;0; −2 ) với , , D uuur uuur uuur uuu r uuur uuur  AB, AC  AD = V = ABCD AB = ( 1; −2; −3) AC = ( 2; −2;0 ) AD = ( 3; −1; −2 )  6 Ta có: , , Dạng 6: Thẳng hàng, đồng phẳng Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ A ( 1; 2;3) , B ( 3;3; ) , C ( −1;1; ) Oxyz , điểm C A B A ba đỉnh tam giác B thẳng hàng nằm C C B A A B C thẳng hàng nằm D thẳng hàng nằm Hướng dẫn giải Chọn D uuur uuuu r uuu r uuur r AB = ( 2;1;1) , AC = ( -2;-1;-1) ⇒ AB + AC = Ta có BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vấn đề II.1 Viết phương trình mặt phẳng Vấn đề II.2 Viết phương trình mặt phẳng (P ) (P ) Câu 13: Cho mặt phẳng chứa điểm M ( x0;y0;z0 ) ( β ) P( α ) Phương trình mặt phẳng M ( 1; −3; ) là: x − y + 3z − 11 = x − y + 3z = C (β) x − y + 3z + = B r n song song với mặt phẳng ( α ) : x − y + 3z − = A có vectơ pháp tuyến chứa điểm (Q ) M ( x0;y0; z0 ) qua điểm x − y + 3z + 11 = D Hướng dẫn giải Chọn A ( β ) P( α ) ⇒ ( β ) : x − y + 3z + m = 0, m ≠ −1 , mà 2.1 − ( −3) + 3.2 + m = ⇔ m = −11 Vấn đề II.3 Viết phương trình mặt phẳng thẳng (β) M ( 1; −3; ) qua điểm (P ) nên M ( x0;y0; z0 ) chứa điểm vng góc với đường d Oxyz Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ ,viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn A ( 1; −2;3) , B ( 3; 2;1) x + y − z = A x − y + z − = B C Hướng dẫn giải Chọn A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng x − y − z = AB với x + y + z − = D I = ( 2;0; ) qua điểm AB có vec tơ pháp tuyến r uuu r n = AB = ( 2;4; −2 ) ( x − ) + ( y − ) − 1( z − ) = ⇔ x + y − z = Nên có phương trình Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ A ( 2; −1;3 ) , B ( 2; 0;5 ) , C ( 0; −3; −1) Oxyz , cho ba điểm BC ? A Phương trình phương trình mặt phẳng qua vng góc với x − y + z + = x − y + z − = A B x + y − z − 19 = x + y + z − 19 = C D Hướng dẫn giải Chọn D A ( 2; −1;3) ( P) BC Mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng nên nhận véctơ uuu r CB = ( 2;3;6 ) ( P) làm véctơ pháp tuyến Khi phương trình tổng qt mặt phẳng là: ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) = ⇔ x + y + z − 19 = A ( 3; 1; ) , B ( 1; 5; ) Oxyz , Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm Phương trình AB ? phương trình mặt phẳng trung trực đoạn x − y − z + = x + y + z − = x + y − z − = x + y − z − = A B C D Hướng dẫn giải Chọn A I ( 2;3;3) ( P) AB Mặt phẳng trung trực qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với uuu r AB = ( −2; 4; ) ( P) AB nên nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến Vậy phương trình tổng quát ( P ) −2 ( x − ) + ( y − 3) + ( z − 3) = ⇔ −2 x + y + z − 14 = x − 2y − z + = là: hay M ( x0;y0; z0 ) (P ) Vấn đề II.4 Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm vng góc với hai mặt (Q ) ,( R ) phẳng (P ) A, B ,C Vấn đề II.5 Viết phương trình mặt phẳng chứa ba điểm khơng thẳng hàng Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng Véctơ r sau véctơ pháp r tuyến A n = ( 2; −3;1) B n = ( 3; −2;6 ) ( P) C ( P) x y z + + =1 có phương trình −3 r n = ( −3;2;6 ) D r n = ( 1; −3;2 ) Hướng dẫn giải Chọn B Mặt phẳng (P ) 3x - 2y + 6z - = P Suy VTPT ( ) r n = ( 3; −2;6 ) ( P) Gọi vng góc với ( P ) : 2x + y − z + = d Phương trình ∆ ,( P ) H ,K A Gọi hình chiếu vng góc ∆ mặt phẳng qua M A d K H M P K ( −3; −2; −1) Ta có d( A, ∆ ) = AH ≥ AK A Vậy khoảng cách từ đến ∆ bé ∆ qua M ,K ∆ có véctơ phương BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Vấn đề IV.1 Xác định tâm bán kính mặt cầu Oxyz Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ ( S) , cho mặt cầu x + y + z − 6x + y − 4z − = 2 Khi tọa độ tâm có phương trình: I bán kính R r u = ( 1;0; ) I ( 3; −1;2 ) , R = A I ( −3;1; −2 ) , R = B I ( 6; −2;4 ) , R = 58 C I ( 3;1; ) , R = D Hướng dẫn giải Chọn A I = ( 3; −1;2 ) , R = + + + = Tâm Vấn đề IV.2 Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính M ( 6; 2; −5 ) , N ( −4;0;7 ) Oxyz Câu 24: Trong không gian cho hai điểm Viết phương trình mặt cầu MN đường kính ? 2 2 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62 ( x − 5) + ( y − 1) + ( z + ) = 62 A B 2 2 2 ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 62 ( x + 5) + ( y + 1) + ( z − ) = 62 C D Hướng dẫn giải Chọn A MN Tâm mặt cầu trung điểm , ta có r = IM = 62 Bán kính mặt cầu: 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62 Phương trình mặt cầu S A ( 1;1; ) , B ( 3; 0;1) ( ) Oxyz Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu qua hai điểm ( S) Ox có tâm thuộc trục Phương trình mặt cầu là: 2 2 ( x + 1) + y + z = ( x − 1) + y + z = A B 2 2 2 ( x − 1) + y + z = ( x + 1) + y + z = C D Hướng dẫn giải: Chọn B I ∈ Ox ⇒ I ( x;0;0 ) ( S ) A, B Tâm , qua nên: 2 IA = IB ⇔ ( x − 1) + + = ( x − 3) + + ⇔ x = ⇒ I ( 1; 0; ) ( S) Bán kính r = IA = ( S) Phương trình mặt cầu ( x − 1) + y2 + z2 = là: ( S) ( Oxy ) Oxyz I Câu 26: Trong không gianvới hệ tọa độ cho mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng A = ( 1; 2; −4 ) , B = ( 1; −3;1) , C = ( 2; 2;3 ) I qua ba điểm Tọa độ tâm là: ( −2;1;0 ) ( 2; −1;0 ) A ( 0;0;1) B ( 0;0; −2 ) C Hướng dẫn giải D Chọn A ( I ) ∈ Oxy ⇒ I ( a; b;0 ) ( − a ) + ( − b ) + 16 = ( − a ) + ( + b ) +  IA = IB  a = −2 ⇔ ⇔  2 2  IA = IC b = ( − a ) + ( − b ) + 16 = ( − a ) + ( − b ) + 2 Vấn đề IV.3 Viết phương trình ngoại tiếp tứ diện Câu 27: Gọi I tâm mặt cầu qua ABCD M ( 1; 0; ) , N ( 0;1; ) , P ( 0; 0;1) , Q ( 1;1;1) điểm Tìm tọa độ I tâm 1 1  ;− ; ÷ 2 2 A 2 2  ; ; ÷ 3 3 B Hướng dẫn giải 1 1  ; ; ÷ 2 2 C  1 1 − ;− ;− ÷  2 2 D Chọn C M , N , P, Q, O cạnh , có Nhận xét nằm hình lập phương OQ MNPQ đường chéo Tâm mặt cầu ngoại tiếp tâm mặt cầu OQ ngoại tiếp hình lập phương trung điểm Vấn đề IV.4 Viết phương trình mặt cầu có tâm điểm Câu 13: Bán kính mặt cầu tâm A I Vậy (P ) tiếp xúc với mặt phẳng Tìm tọa độ tiếp (α ) :12 x − z − 19 = I (4; 2; −2) tiếp xúc với mặt phẳng 39 13 1 1 I ; ; ÷ 2 2 13 C Hướng dẫn giải: B D 39 Chọn A R = d ( I , (α )) = 12.4 − 5.( −2) − 19 122 + (−5) Bán kính mặt mặt cầu là: =3 Oxyz Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ I ( 1; 2; −1) tâm , phương trình dây phương trình mặt cầu có ( P ) : x − y − 2z − = tiếp xúc với mặt phẳng ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 1) = ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = A ( x − 1) C Chọn C ? 2 + ( y − ) + ( z + 1) = 2 B ( x + 1) + ( y + 2) + ( z − 1) = D Hướng dẫn giải (S ) Gọi mặt cầu cần tìm (S ) I (1; 2; −1) R Ta có mặt cầu có tâm bán kính (S ) ( P) : x − y − z − = Vì tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có − 2.2 − 2.( −1) − R = d ( I ; ( P )) = =3 12 + (−2)2 + (−2)2 ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = Vậy phương trình mặt cầu cần tìm Vấn đề IV.5 Viết phương trình mặt cầu có tâm I điểm I (4; −2;3) Oxyz Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ d tiếp xúc với đường thẳng , cho điểm Mặt cầu tâm I Tìm tọa độ tiếp tiếp xúc với Oy trục A có diện tích 100π B 400π 25π C Hướng dẫn giải D 500π Chọn A Oy Do mặt cầu tiếp xúc với trục , suy R = 42 + 32 = ⇒ S = 100π I Vấn đề IV.6 Viết phương trình mặt cầu có tâm , cắt đường thẳng d A, B cho AB = 2b > A, B Tìm tọa độ hai điểm Vấn đề IV.7 I (P ) Viết phương trình mặt cầu tâm cắt mặt phẳng theo theo đường tròn có bán r kính Tìm tọa độ tâm đường tròn I d Vấn đề IV.8 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng tiếp xúc với mặt phẳng (P ) H ( S) Oxyz I Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm thuộc x y +3 z ∆: = = ( S) 1 đường thẳng Biết mặt cầu có bán kính ( Oxz ) 2 cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính Tìm tọa độ điểm I I ( 5; 2;10 ) , I ( 0; −3;0 ) I ( 1; −2; ) , I ( 0; −3; ) A B I ( 1; −2; ) , I ( 5; 2;10 ) I ( 1; −2; ) , I ( −1; 2; −2 ) C D Hướng dẫn giải Chọn C ( Oxz ) : y = Mặt phẳng x y +3 z I ∈∆ : = = ⇒ I ( t; −3 + t ; 2t ) 1 Gọi R, r tròn H hình chiếu I ( Oxz ) lên mặt phẳng bán kính mặt cầu bán kính đường giao tuyến Theo ta có IH = d ( I , ( Oxz ) ) = R − r = − = ⇔ −3 + t t = =2⇔ t = t = ⇒ I ( 1; −2; ) Với t = ⇒ I ( 5; 2;10 ) , với (P ) R M tiếp xúc với mặt phẳng điểm A , B I d Vấn đề IV.10 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng qua hai điểm (P ) I Vấn đề IV.11 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng tiếp xúc với mặt phẳng (Q ) M Vấn đề IV.12 Phương trình mặt cầu tổng hợp A ( 1; 2;1) , B ( 3; 2;3) , ( S) Oxyz , Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ xét mặt cầu qua hai điểm có ( P ) : x − y − = 0, R tâm thuộc mặt phẳng đồng thời có bán kính nhỏ nhất, tính bán kính ( S) mặt cầu 2 2 B C D A Hướng dẫn giải Chọn D I ( a; a − 3; b ) ( P) : x − y − = Gọi tâm thuộc mặt phẳng A ( 1; 2;1) , B ( 3; 2;3 ) IA = IB = R Do mặt cầu qua hai điểm nên Vấn đề IV.9 Viết phương trình mặt cầu có bán kính ( a − 1) + ( a − 5) + ( b − 1) = ( a − 3) + ( a − 5) + ( b − 3) ⇔ a + b = ⇔ b = − a Suy R= ( a − 1) + ( a − 5) + ( − a ) = 3a − 18a + 35 = ( a − ) + ≥ 2 Khi Câu 29: Trong khơng gian với hệ toạ độ bán kính R=5 Tìm giá trị ( S ) : x + y + z − 2x + y − 4z − m = Oxyz, cho mặt cầu m 2 có A m = −16 B m = 16 C Hướng dẫn giải m=4 D m = −4 Chọn B a = 1; b = −2; c = 2; d = −m Ta có: Theo giả thiết 2 R =5 ⇒ a +b +c −d =5 ⇔ + m = ⇔ m = 16 BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Dạng 7: Vị trí tương đối hai mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = 0; ( β ) : x − y + mz − m + = ( m ∈ R ) Câu 30: Cho hai mặt phẳng A C m (α) ⊥ ( β ) Để phải có giá trị bằng: B Khơng có −1 D Hướng dẫn giải m thỏa mãn Chọn D r r n = ( 1;1;1) ( β ) u = ( 2; −1; m ) (α ) có vtpt r r ; có vtpt ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ n ×u = ⇔ − + m = ⇔ m = −1 Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng Câu 31: Giao điểm hai đường thẳng ( 5; −1; 20 ) A  x = −3 + 2t  d :  y = −2 + 3t  z = + 4t  ( 3;7;18) B  x = + t′  d ′ :  y = −1 − 4t ′  z = 20 + t ′  ( −3; −2;6 ) C Hướng dẫn giải có tọa độ là: ( 3; −2;1) D Chọn B Xét hệ phương trình −3 + 2t = + t ′ 2t − t ′ = t =   −2 + 3t = −1 − 4t ′ ⇔ 3t + 4t ′ = ⇔  t ′ = −2 6 + 4t = 20 + t ′ 4t − t ′ = 14   M ( 3; 7;18 ) Khi tọa độ giao điểm Câu 32: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng ( d1 ) : x −1 y z +1 = = −4 −8 x−7 y−2 z = = −6 12 Xét vị trí tương đối ( d1 ) ( d ) ( d1 ) ( d ) ( d1 ) ( d ) ( d2 ) : A cắt B song song với C ( d1 ) ( d2 ) chéo D Hướng dẫn giải ( d1 ) ( d2 ) trùng Chọn C PTTS  x = + 4t1 ( d1 ) :  y = −4t1  z = −1 − 8t  VTCP ur u1 = ( 4; −4; −8 )  x = − 6t ( d ) :  y = + 9t2 uu r  z = 12t u = −6;9;12 )  PTTS VTCP ( 1 + 4t1 = − 6t2  −4t1 = + 9t2 ur uu r −1 − 8t = 12t d d u , u  Ta thấy hệ PT: vô nghiệm không phương nên ( ) ( ) chéo Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ x y−4 z−2 d′ : = = −2 A C d //d ′ d d′ d: Oxyz , cho hai đường thẳng Mệnh đề sau đúng? B cắt Chọn A Đường thẳng d D Hướng dẫn giải x − y + z +1 = = −3 −2 d ≡ d′ d d′ chéo r u = ( −3;1; −2 ) M ( 2; −2; −1) qua điểm có VTCP r N ( 0; 4; ) u ′ = ( 6; −2; ) d′ Đường thẳng qua điểm có VTCP −3 −2 = = r r u u′ −2 M ( 2; −2; −1) ∉ d ′ Ta có: nên , phương Lại có d //d ′ Vậy Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ vng góc (P) : x + y + z − = phẳng d: Oxyz , cho đường thẳng x −1 y +1 z = = −1 Mệnh đề đúng? ( P) ( P) d ⊥ (P) A d cắt khơng vng góc với B d / /(P) d ⊂ (P) D C Hướng dẫn giải : Chọn C (1 + t) + 8( −1 − t) + 2(3 t) − = ⇔ 0t − 12 = d / /(P) Gọi (vô nghiệm) suy ra: mặt x −1 y −1 z − = = −3 mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = Trong khẳng Câu 35: Cho đường thẳng định sau, khẳng định đúng? d ⊂ (α) d // ( α ) d ⊥ (α) (α) A B C D d cắt Hướng dẫn giải Chọn A x = t +1 x −1 y −1 z −  d: = = ⇒ d :  y = 2t + 1 −3  z = −3t +  Ta có x = t +1 x = t +1  y = 2t +  y = 2t +   ⇔   z = −3t +  z = −3t +  x + y + z − = 0t = α ( ) Số giao điểm d số nghiệm hệ d ⊂ (α) Thay vào thấy với t Vậy d: Dạng 10: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu S I −1, 2, −5 ) ( P ) : x − y − z + 10 = theo thiết diện hình tròn có Câu 12: Mặt cầu ( ) có tâm ( cắt ( S ) diện tích 3π có phương trình 2 A x + y + z + x − y + 10 z + 18 = 2 C x + y + z + x − y + 10 z + 12 = B ( x + 1) + ( y − ) + ( z + ) = 25 2 x + 1) + ( y − ) + ( z + ) = 16 D ( Hướng dẫn giải 2 Chọn A ( S ) với ( P ) bán kính mặt cầu Gọi r , R bán kính thiết diện 2 Ta có B = π r = 3π ⇒ r = ⇒ r = I ( −1, 2, −5 ) ( P ) : x − y − z + 10 = Mặt khác khoảng cách từ tâm đến −2.1 − 2.2 + + 10 h( I,( P) ) = = ⇒ R = r + h = + = 12 2 22 + ( −2 ) + ( −1) ( S ) Vậy phương trình mặt cầu 2 ( x + 1) + ( y − ) + ( z + ) = 12 ⇔ x + y + z + x − y + 10 z + 18 = S P Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) mặt phẳng ( ) có phương 2 trình x + y + z − x + y − z − = 0, x + y + z + 2m = Có giá trị nguyên m để ( P ) tiếp xúc với ( S ) ? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B ( S ) có tâm I ( 1; −1;1) bán kính R = ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) nên ta có: Do mặt cầu − + + 2m m = d ( I,( P) ) = R ⇔ = ⇔ 2m + = ⇔  2 2 + +1  m = −5  Chú ý: Ta nhận xét nhanh vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu để thấy ( P ) khơng đổi nên có mặt phẳng thỏa mãn điều kiện tiếp xúc phương 2 S : x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 25 α : 2x + y − 2z + m = Câu 37: Cho mặt cầu ( ) ( mặt phẳng ( ) Các α S giá trị m để ( ) ( ) khơng có điểm chung là: A m ≤ −9 m ≥ 21 B m < −9 m > 21 C −9 ≤ m ≤ 21 D −9 < m < 21 Hướng dẫn giải Chọn B ( S ) có tâm I ( −1; 2;3) bán kính R = Mặt cầu ( α ) ( S ) khơng có điểm chung d ( I , ( S ) ) > R m−6  m − > 15  m > 21 ⇔ > ⇔ m − > 15 ⇔  ⇔  m − < −15  m < −9 S : x − ) + ( y + 1) + ( z − 3) = Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( Mệnh đề đúng? S Oxy ) A Mặt cầu ( ) tiếp xúc với ( S Oxy ) ( Oxz ) ( Oyz ) B Mặt cầu ( ) không tiếp xúc với ba mặt ( , , S Oyz ) C Mặt cầu ( ) tiếp xúc với ( S Oxz ) D Mặt cầu ( ) tiếp xúc với ( Hướng dẫn giải Chọn A S I 2; −1;3) Mặt cầu ( ) có tâm ( bán kính R = d ( I , Oxy ) = = R S nên mặt phẳng Oxy tiếp xúc với mặt cầu ( ) S d ( I , Oxz ) = < R; d ( I , Oyz ) = < R nên mặt cầu ( ) cắt hai mặt phẳng Oxz , Oyz 2 BÀI 6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Dạng 11: Góc Vấn đề 1: Góc hai mặt phẳng Vấn đề 2: Góc đường thẳng mặt phẳng Vấn đề 3: Góc hai đường thẳng Dạng 12: Khoảng cách Vấn đề 4: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng x + y + z − = A 1 B C Hướng dẫn giải Chọn A D ( P ) :2 x + y + z − = , ta có: Gọi d ( O, ( P ) ) = 2.0 + 2.0 + 1.0 − 22 + 22 + 12 =1 P : 2x + y − z + = Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) đường thẳng x −1 y + z = = 2 Gọi A giao điểm ( d ) ( P ) ; gọi M điểm thuộc ( d ) thỏa ( P) mãn điều kiện MA = Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng 8 B C D A ( d) : Hướng dẫn giải Chọn C A ∈ d ⇒ A ( t + 1; 2t − 3, 2t ) A ∈ ( P ) ⇔ ( t + 1) + ( 2t − 3) − 2t + = ⇔ t = 5 1 A∈ d ⇒ A ; − , ÷  2  ; M ∈ d ⇒ M ( u + 1; 2u − 3, 2u ) Khi đó:  11  23 11  u = 12 ⇒ M  12 ; − ; ÷   ⇔ 2  23   1  1  1  MA = ⇔  u − ÷ +  2u − ÷ +  2u − ÷ = u = − ⇒ M  ; − ; − ÷ 12 6 4  2  2  12    23    11    23   ÷+  − ÷− +  ÷+  − ÷+ + 8  12     12    d  M ; ( P )  = = d  M ; ( P )  = = 9; BÀI 7: HÌNH CHIẾU VÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG Dạng 13: VII.1 Hình chiếu điểm lên mặt phẳng Câu 39: Trong không gian với hệ trục ( P) : x + y + z = mặt phẳng ( –1; 0; 1) A A ( 0; 1; ) Oxyz , tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm ( –2; 0; ) B ( –1; 1; ) C Hướng dẫn giải ( –2; D 2; ) Chọn A Kiểm tra đáp án: r M ( –1; 0; 1) ∈ ( P ) ( P ) n ( 1;1;1) Ta có véctơ pháp tuyến uuucó: u r r u u u u r M ( –1; 0; 1) AM ( −1; − 1; − 1) ⇒ AM n ⇒ AM ⊥ ( P ) phương với Do hình chiếu ( P) A vng góc Dạng 14: Hình chiếu điểm lên đường thẳng Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M ( 4;1;1)  x = −1 + 3t  d : y = + t  z = − 2t  đường thẳng Xác định tọa độ hình chiếu vng góc H M lên đường thẳng d H ( 3; 2; −1) H ( 2;3; −1) H ( −4;1;3) H ( −1; 2;1) A B C D Hướng dẫn giải Chọn B - Phương pháp: Hai vectơ vng góc với tích vơ hướng chúng Nếu H hình chiếu vng góc điểm M (khơng nằmuu uu r đường thẳng d) lên đường thẳng d MH vectơ phương đường thẳng d vng góc với - Cách giải: r u ( 3;1; −2 ) Từ phương trình tham số đường thẳng d có vecto phương duulà uu r H ( −1 + 3t; + t;1 − 2t ) MH ( −5 + 3t;1 + t; −2 t ) Vì H nằm đường thẳng d nên Khi Vì H uuuu r rlà hình chiếu vng góc M lên d nên MH.u = ⇔ ( −5 + 3t ) + + t − ( −2t ) = ⇔ 14t − 14 = ⇔ t = H ( 2;3; −1) Khi Dạng 15: Hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng Oxyz d Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng có phương trình x −1 y + z − = = ( Oxz ) d ∆ Gọi hình chiếu vng góc mặt phẳng Tìm ∆ phương trình tham số phương trình sau: x = 1+ t  x = −3 + 2t   ( t ∈ R) ( t ∈ R) y = y =  z = + 2t z = 1+ t   A B  x = − 2t  x = −1 + 3t   ( t ∈ R) ( t ∈ R) y = y = z = + t z = + t   C D Hướng dẫn giải: Chọn B A 1; −2;3) B 3;1; ) Lấy điểm ( ( d Oxz ) A ' 1; 0;3) B ' 3; 0; ) Hình chiếu A B lên ( ( ( Oxz ) Hình chiếu d lên (  x = + 2t  y = z = + t chon t=−2  → (A’B’):  Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ uuuuu r đường thẳng A’B’ qua A’ có VTCP A ' B '  x = −3 + 2t  y = z = 1+ t  Oxyz , cho đường thẳng ( Oxy ) d lên mặt phẳng x =   y = −1 − t z =  A d: x −1 = y +1 = z − 2 Hình chiếu là: B  x = + 2t   y = −1 + t z =   x = −1 + 2t   y = 1+ t z =  C Hướng dẫn giải D  x = − 2t   y = −1 + t z =  Chọn B • Phương trình tham số đường thẳng • Do mặt phẳng Dạng 16:  x = + 2t  d :  y = −1 + t z = + t  ( Oxy ) : z = nên hình chiếu d ( Oxy ) lên  x = + 2t   y = −1 + t z =  Điểm đối xứng qua mặt phẳng Câu 40: Cho M ( 2;1;0 ) ( α ) : x + y − z − 27 = N ( −6;13; −4 ) A N M (α) Khi tọa độ điểm đối xứng qua N ( 6; −13; ) N ( 6;13; −4 ) N ( 6;13; ) B C D Hướng dẫn giải Chọn C H ( x, y , z ) ( α ) : x + 3y − z− 27 = M Gọi hình chiếu mặt phẳng x = + t ; y = + t ; z = − t  ⇒ t = ⇒ H ( 4;7; −2 )  H ( x, y , z )  x + y − z − 27 = Ta có tọa độ thỏa mãn hệ Suy M = ( 6;13; −4 ) Dạng 17: Điểm đối xứng qua đường thẳng M ( 2; −3;1) Oxyz, Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ d: x +1 y + z = = −1 M ′ ( 3; −3;0 ) A cho điểm đường thẳng d M′ M Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua M ′ ( 1; −3; ) M ′ ( 0; −3;3) B C Hướng dẫn giải M ′ ( −1; −2; ) D Chọn C Phương pháp tự luận ( P) Ta có phương trình mặt phẳng ( x − ) − 1( y + 3) + ( z − 1) = M qua vng góc với d là: ⇔ 2x − y + 2z − = Gọi giao điểm đường thẳng x + y+2 z  = =  −1 ⇒ I ( 1; −3; )  2 x − y + z − = M′ d M I Gọi đối xứng với qua Phương pháp trắc nghiệm MM ′ Tìm tọa độ trung điểm d Kiểm tra xem có thuộc đường thẳng ( P) d I mặt phẳng , tọa độ I nghiệm hệ MM ′ ⇒ M ′ ( 0; −3;3) trung điểm không Nếu không thuộc ta loại, thuộc kiểm tra thêm uuuuur r MM ′.u d = điểm thỏa mãn BÀI 8: CÁC DẠNG TOÁN TỔNG HỢP Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ ( xOz ) cắt mặt phẳng A A B M ( −2;3;1) Oxyz , cho , Đường thẳng qua M , N MN chia đoạn theo tỷ số nào? −1 C D Hướng dẫn giải Khi điểm N ( 5; 6; − ) A Chọn D Phương trình đường thẳng A ( −9; 0; ) giao điểm Điểm A chia đoạn k= ⇒ tỷ số MN MN theo tỷ Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ D ( 3;1; ) A :  x = −2 + 7t   y = + 3t  z = − 3t  k ( xOz ) : y = , phương trình mặt phẳng , suy uuuur AM = ( 7;3; − 3) uuur AN = ( 14;6; − ) uuuu r uuur AM = k AN với A ( 1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) , Oxyz , cho bốn điểm Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó? B C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn C uuur uuur AB = ( −1;1;1) , AC = ( 1;3; −1) , Ta có uuu r uuur  AB, AC  = ( −4;0; −4 )   Khi suy uuur AD = ( 2;3; ) uuur uuur uuur  AB, AC  AD = −24 ≠   A, B, C , D Do khơng đồng phẳng đỉnh tứ diện Khi có mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh tứ diện Bao gồm: mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh tứ diện mặt phẳng qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ) A ( 1; −1;1) B ( 0,1, −2 ) Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm sau , điểm T = MA − MB ( Oxy ) M thay đổi mặt phẳng tọa độ Giá trị lớn biểu thức 12 14 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A z A zb < ⇒ A B nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxy) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua A '(1; −1; −1) (Oxy) Ta tìm T =| MA − MB |=| MA'− MB |≤ A ' B M , A', B M Ta có: Dấu “=” xảy thẳng hàng nằm T = A ' B = A' B đoạn Vậy giá trị lớn Oxyz Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz A ( a; 0; ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) dương a , b , c a+b+c = Biết di động tia cho Biết thay ( P) OABC đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc mặt phẳng cố định Tính M ( 2016; 0;0 ) ( P) khoảng cách từ tới mặt phẳng 2014 2016 2015 A, B, C A 2017 , cho Ox, Oy, Oz a , b, c B với C Hướng dẫn giải D Chọn D (α) OA Gọi mặt phẳng trung trực đoạn a  uuu r D  ; 0;0 ÷ ⇒ (α) OA = ( a; 0;0 ) = a ( 1; 0; )   qua điểm có VTPT a ⇒ (α) : x − = (β) OB Gọi mặt phẳng trung trực đoạn  a  uuu r E  0; ;0 ÷ ⇒(β) OB = ( 0; a;0 ) = a ( 0;1; )   qua điểm có VTPT a ⇒(β) : y− =0 (γ ) OC Gọi mặt phẳng trung trực đoạn a  uuur F  0;0; ÷ ⇒(γ ) OC = ( 0;0; a ) = a ( 0; 0;1)   qua điểm có VTPT a ⇒(γ ) :z− = Gọi I a a a ⇒ I = (α ) ∩( β ) ∩( γ ) ⇒ I  ; ; ÷ 2 2 OABC tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện a b c a + b + c = ⇔ + + = ⇒ I ∈( P) : x + y + z = 2 Mà theo giả thiết, 2016 − 2015 d ( M ,( P) ) = = 3 Vậy, ... điểm Suy uuu r uuur  AB, AM  = ( 2t + 24 ;8t − 12; 2t − 12 )   Nên 1 ⇒ S ∆ABM = 72t − 144t + 864 = 72 ( t − 1) + 11 ≥ 22 ⇒ t = ⇒ M 1;0 ;2 ( )   2 , Cách 2: Trắc nghiệm Thế điểm đáp án vào... M ( 2; 1;0 ) M ( 1;0 ;2 ) M ( −3 ;2; 2 ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Tự luận uuu r uuur AB = ( 2; 2; 6 ) ; AM = ( 2t − 2; −t − 4;2t ) M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2t;1 − t;2t ) Ta có điểm Suy... thức - Cách giải: uuur uuur uuur uuur AB = ( 2; −3;1) ; AC = ( 0; −1;1) ⇒ AB, AC  = ( 2; 2; 2 ) Ta có: uuur uuur S =  AB, AC  = 22 + 2 + 22 = 2 Dạng 5: Thể tích khối đa diện Câu 11: Trong