HƯỚNG DẪN GIẢI Bi 1 Ta có: A (0;0;0), A '(0;0; a), B (0; a;0), B '(0; a; a), C (a; a;0), C '(a; a; a), D(a;0;0), D '(a;0; a) uuuuuur Ta có : B ' D ' = (a; − a;0) , uuuuur uuuur A ' B = (0; a; − a) , BB ' = (0;0; a) , uuuuuur uuuuur 2  Suy  B ' D ', A ' B  = (a ; a ; a ) uuuuuur uuuuur uuuur nên  B ' D ', A ' B  BB ' = a ≠ uuuuuur uuuuur uuuur Vậy ba vectơ B ' D '; A ' B, BB ' không đồng phẳng hay B ' D ' A ' B chéo uuuuuu r uuuuuu r uuuur [B ' D ', A ' B].BB ' d ( B ' D ', A ' B ) = = uuuuuu r uuuuur [B ' D ', A ' B] a3 a4 + a4 + a4 = a3 a2 = a Đặt AA ' = 2x, x > Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có A (0;0;0), C (0;2a;0), A '(0;0;2x), C '(0;2a;2x) Gọi H , K hình chiếu B lên trục Ox, Oy , suy a a , AK = BH = AB.sin 300 = 2 a a  a a  a a  ; − ;0÷, B '  ; − ;2x÷, M  ; − ; x÷ Do B  ÷  ÷  2 2 ÷       AH = AB.cos 300 = 181 uuuur a a r  uuuu uuuur uuuu r ( ; − ; x÷, AC = ( 0;2a;0) ⇒  AM , AC  = −2ax;0; a2 Ta có AM =    2 ÷   ) uur ⇒ n1 = 2x;0; − a VTPT mặt phẳng (MAC ) ( ) ( uuuuuu r a a r uuuuuu r uuuuuu r  uuuuuu A 'M =  ; − ; − x÷, A ' C ' = ( 0;2a;0) ⇒  A ' M , A ' C ' = 2ax;0; a2    ÷   uur ⇒ n2 = 2x;0; a VTPT mặt phẳng (MA ' C ') ( ) ) Vì (MAC ) ⊥ (MA ' C ') nên uur uur a n1.n2 = ⇔ 4x2 − 3a2 = ⇒ x = ⇒ AA ' = a a) Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là: 3a3 VABC A ' B ' C ' = AA '.S∆ABC = a a.2a.sin 1200 = 2 b) Ta có uuuur uuur  a 5a  uuuur uuur  5a2 3a2  CC ' = 0;0; a , BC =  − ; ;0÷ ⇒ CC ', BC  =  − ;− ;0÷     ÷ 2 ÷ 2     uur ⇒ n3 = 5; 3;0 VTPT mặt phẳng (BCC ' B ') ( ( ) ) Gọi α góc hai mặt phẳng (MAC) (BCC ' B ') , ta có: uur uur n1.n3 cos α = uur uur = n1 n3 28 = 14 28 Chọn hệ trục hình vẽ Gọi M trung điểm đoạn BC 182 ( a a  ;0÷ ÷ 2  ) Ta có tọa độ đỉnh là: A (0;0;0), B ( a;0;0) , C 0; a 3;0 , M  ; Vì AM = BC = a ⇒ MA ' = a a A ' A − AM = a ,  ; a 3÷ suy A '  ; ÷ 2  uuuuuu r uuur r uuuu r  3a a  uuuuuu  a 3a  A ' B ' = AB ⇒ B ' ; ; a , A ' C ' = AC ⇒ C ' ; ; a 3÷  ÷ Vì  ÷ 2 ÷ 2     Thể tích khối chóp A '.ABC : V = A ' M S∆ABC = a a = a 3 4 uuuur  a a r  uuuuuu AA ' = ; ; a , B ' C ' = −a; a 3;0  ÷ Vì 2 ÷   uuuur uuuuuu r AA '.B ' C ' a2 suy cos ( AA ', B ' C ') = = = AA '.B ' C ' 2a.2a ( ) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Tọa độ đỉnh là: ( ) ( A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , C ( 0; a;0) , A ' 0;0; a , B ' a;0; a ( ) ) a a  C ' 0; a; a , M  ; ;0÷ 2  183 Thể tích khối lặng trụ: V = AA '.S∆ABC = a a = a uuuur a a 2 r  uuuu uuuuu r ( Ta có: AM =  ; ;0÷, AC = ( 0; a;0) , B ' C = − a; a; a uuuur uuuuu r   2  ) uuuur uuuuu r uuuu r a a 2 a ;− ; a ÷ ⇒  AM , B ' C  AC = − Suy  AM , B ' C  =   ÷  2   uuuur uuuuu r uuuu r  AM , B ' C  AC a   = Vậy d ( AM , B ' C ) = uuuur uuuuu r  AM , B ' C    Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi M , H trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC Đặt BC = x, SH = y; x, y > suy AC = AB.cot 60 = x Tọa độ đỉnh là:   x C ( 0;0;0) , B ( x;0;0) , A  0; ;0÷, H   uuuur  2x x  r ; ; y÷ , k = ( 0;0;1) VTPT ( ABC )  3  Suy BB ' =  − 184 x x  x x  ;0÷, B '  ; ; y÷  ; 3 3  3 3  Theo đề ta có: uuuur r  BB '.k 2y = a  uuuur r = sin 600   ⇔  13 ⇔  BB ' k x + y2 = a    27  BB ' = a Suy S∆ABC =  a y =    27a2  x = 52 1 x x2 81a2 CA.CB = x = = 2 3 104 Vậy thể tích khối chóp A '.ABC là: x2 3a 27a2 9a3 VA ' ABC = VB '.ABC = y = = 3 104 208 Đặt BC = x, x > Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Tọa độ điểm là: B ( 0;0;0) , A ( a;0;0) , C ( 0; x;0) , B '(0;2a;0), A ' ( a;0;2a) , C '(0; x;2a) uuuuu r Suy A ' C = ( − a; x; −2a) ⇒ A ' C = a2 + x2 + (2a)2 = (3a)2 ⇒ x = 2a uuuur  a a   M ; a ;2 a ⇒ AM =  − ; a;2a ÷ Trung điểm  ÷ 2    x = a − t uuuur  Phương trình AM :  y = 2t ⇒ I ( a − t;2t;4t) ⇒ A ' I = ( −t;2t;4t − 2a)  z = 4t  185 Vì I ∈ A ' C ⇒  2a 2a 4a  −t 2t 4t − 2a a = = ⇒t= ⇒ I ; ; ÷ − a 2a −2a  3 3 Suy uuu r  2a 2a 4a  uur  2a 4a 4a  BI =  ; ; ;− ; ÷, CI =  ÷⇒ 3  3 3  2 uuu r uur   BI , CI  =  8a ;0; − 4a ÷    3 ÷   uuu r  a 2a 4a  uuu r uur uuu r 8a3   AI =  − ; ; ⇒ BI , CI AI = − ÷    3 3 uuu r uur uuu r Thể tích khối chóp I ABC : V =  BI , CI  AI = 4a  6 ur Ta có n = ( 2;0; −1) VTPT (I BC ) , phương trình mặt phẳng (I BC ) : 2x − z = Vậy d( A, (I BC )) = 2a = 2a Đặt AA ' = x, x > Chọn hệ trục hình vẽ Tọa độ điểm: a a  A ( 0;0;0) , C ( 0; a;0) , A ' ( 0;0; x) , C ' ( 0; a; x) , B  ; ;0÷  2 ÷   186 Suy uuuuur  a a r uuuuur uuuuu r  ax ax a2   uuuuu ÷ A 'B =  ; ; − x÷, A ' C = (0; a; − x) ⇒  A ' B, A ' C  =  ; ;     2 ÷ ÷ 2     ur r Nên n = x; x 3; a VTPT ( A ' BC ) , k = ( 0;0;1) VTPT ( ) ( ABC ) ur r n.k 3a 2 Theo đề bài: ur r = cos 60 ⇒ 3a = 4x + 3a ⇒ x = n.k Thể tích lăng trụ: VABC A ' B ' C ' = x.S∆ABC = 3a a = 3a  a a a ; ; ÷ Tọa độ trọng tâm G  ÷  2 Gọi I ( x; y; z) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC , ta có     x2 + y2 + z2 =    I A = I B    2 2 I A = I C ⇔  x + y + z =    I A = I G  2  x + y + z =     a a a ; ; − ÷, bán kính Tâm I  ÷  12  2   a 3 a x− ÷ +  y − ÷ + z2  ÷ 2     a x =   a x2 + ( y − a)2 + z2 ⇔ y =  2   a      a a a z=− x− ÷ +  y− ÷ + z− ÷   12 ÷ 2 2      R = IA = 7a 12 Gọi H tâm đáy ABCD đặt A1H = x Chọn hệ trục hình vẽ 187 Tọa độ điểm: a a  A (0;0;0), B (a;0;0), D(0; a 3;0), C a; a 3;0 , H  ; ;0÷ , 2 ÷   a a  A1  ; ; x÷ 2 ÷   ( uuuuu r a a r  uuuu ( ) ) ; x÷, AD = 0; a 3;0 Suy AA1 =  ; ÷ 2  uuuuu r uuuu r ur  a2  ÷ ⇒ n = ( 2x;0; a) VTPT ( A1 AD) ⇒  AA1, AD  =  ax 3;0;    ÷   r Và k = (0;0;1) VTPT ( ABCD) nên theo giả thiết đề ta có: ur r n.k 3a ur r = cos 600 ⇒ 2a = 4x2 + a2 ⇒ x = n.k Thể tích khối lăng trụ: V = x.S ABCD = 3a a.a = 3a uuuuu r a a r  a a  uuuuu  A1B =  ; − ; − x÷, A1D =  − ; ; − x÷ ⇒ 2 ÷  2 ÷     Phương trình ( A1BD) : x + y − a = Vì uuuuuu r uuur  3a a a  A1B1 = AB ⇒ B1  ; ; ÷  2 ÷   188 uuuuu r uuuuu r  A B, A D  = a 3x; ax;0   ( ) Vậy d ( B1, ( A1BD)) = a Bi a) Ta có: AB + AC = BC = 25 nên ∆ABC vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz hình vẽ Suy O ≡ A (0;0;0) , B(3;0;0) , C (0;4;0) , D(0;0;4) Phương trình tổng quát mặt x y z + + =1 4 ⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = phẳng (BCD) : Do đó: d ( A, (BCD)) = −12 = 12 = 34 17 16 + + 34 3  b) Ta có M ( 0;2;2) , N  ;2;0÷ Suy 2  uuuur  u u u u r uuuu r  AN =  ;2;0÷, CM = ( 0; −2;2) , AC ( 0;4;0) 2  uuuur uuuur uuuur uuuur uuuu r ⇒  AN , CM  = ( 4; −3; −3) ,  AN , CM  AC = −12     Suy khoảng cách hai đường thẳng AN , CM là: uuuur uuuur uuuu r  AN , CM  AC 12 34   d( AN , CM ) = = = uuuur uuuur 17 2  AN , CM  + +   Góc hai đường thẳng AN , CM là: cos ( AN , CM ) = uuuur uuuur AN CM AN CM = + 22 + 22 = 2 ⇒ ( AN , CM ) ≈ 560 Bi a) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có tọa độ điểm 189 A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , D ( 0;2a;0) , C ( a;2a;0) , S ( 0;0;3a) uuur Suy SB = ( a;0; −3a) , uuur uuur SD = (0;2a; −3a), SC = (a;2a; −3a) x = a + t  Phương trình SB :  y =  z = −3t  uuuur ⇒ M ( a + t;0; −3t) ⇒ AM = ( a + t;0; −3t ) Mà uuuur uuur  9a a 3a  AM ⊥ SB ⇒ AM SB = ⇔ (a + t) + 9t = ⇒ t = − ⇒M ;0; ÷ 10 10   10  18a 12a  ; Tương tự ta tìm N  0; ÷  13 13  uur uuuur uuuur Suy n1 =  AM , AN  = − 27a ( 1;2; −3)   65 Do ta có phương trình ( AMN ) : x + 2y − 3z = x = t  Phương trình SC :  y = 2t nên tọa độ điểm P nghiệm hệ  z = 3a − 3t  x = t   9a 9a 15a  9a 9a 15a  y = 2t ⇒ x= ,y= ,z = ⇒ P ; ;  ÷ 14 14  14 14   z = 3a − 3t  x + 2y − 3z = 2 uuuur uuur uuuur uuur Ta có:  AM , AP  = − 27a ( 1;2; −3) ,  AN , AP  = 27a ( 1;2; −3)     70 91 uuuur uuur uuuur uuur 621 14a2 Suy S AMPN =   AM , AP  +  AN , AP   =       1820 9a d(S, ( AMN )) = 14 190 Tọa độ đỉnh: a  A (0;0;0), B ( a;0;0) , D(0; a;0), C (a; a;0), M  ;0;0 ÷, N 2  uuuur a 2  a   0; ;0÷    Suy DM =  ; − a;0÷ ⇒ phương trình  x = t  DM :  y = a − 2t ⇒ H ( t; a − 2t;0) z =  uuuu r uuuu r  a  ⇒ CH = ( t − a; −2t;0) , CN =  − a; − ;0÷   Vì H ∈ CN ⇒  a 3a   a 3a  t − a −2t a = ⇔ − t + a = 4t ⇒ t = ⇒ H  ; ;0÷ ⇒ S  ; ; a ÷ −a −a 5  5  2 2 Vì SCDNM = S ABCD − S∆AMN − S∆BCM = a2 − a − a = 5a 8 Nên thể tích khối chóp S.CDNM : V = 1 5a2 5a3 SH SCDNM = a = 3 24 195 Ta có: uuur  4a 2a r uuuur uuur   uuuu a2  SC =  ; ; − a ÷, DC = ( a;0;0) ⇒  DM , SC  =  a2 3; ;a ÷    ÷  5    uuuur uuur uuuu r ⇒  DM , SC  DC = a3   uuuur uuur uuuu r  DM , SC  DC a3 2a 57   d SC , DM = = = uuuur uuur ) Vậy ( 19  DM , SC  a 19   Ta có AH = a ⇒ SH = SA − AH = a 14 4 Chọn hệ trục hình vẽ Tọa độ điểm  a a   a a a 14  A (0;0;0), B (a;0;0), D(0; a;0), C (a; a;0), H  ; ;0÷, S  ; ; ÷ ÷  4   4  Gọi N trung điểm uuuu r  7a 7a a 14   a a a 14  SA ⇒ N  ; ; ;− ; ÷ ⇒ CN =  − ÷ 8 ÷  ÷ 8     uuuu r  a a a 14  uuuu r uuuu r SN =  − ; − ; − ÷ ⇒ SN CN = ⇒ CN ⊥ SA ⇒ N ≡ M  8 ÷   196 uuur  3a a Ta có: SB =  ; − ; −  a 14  uuur  3a 3a a 14  ; ;− ÷, SC =  ÷  4 ÷ ÷    uuur uuur uuur uuur uuuur  a2 14 3a2  a3 14 ÷ ⇒  SB, SC  SM = − ⇒  SB, SC  =  ;0;     ÷    uuur uuur uuuur Vậy VS.MBC =  SB, SC  SM = a 14 6 Bi  48 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ O trung điểm cạnh BC 1· = 600 nên a) Vì ·BAO = BAC a a , BO = AB sin 600 = 2 Đặt SA = x, x > , tọa độ điểm là: a   a  a A (0; − ;0), B  ;0;0÷, C  − ;0;0÷,  ÷  ÷ 2     AO = AB cos 600 =  a  S  0; − ; x÷   uuur uuur  a a  SA = 0;0; − x , AB =  ; ;0÷ ⇒ ( ) Suy  2 ÷   uur Nên n1 = 1; − 3;0 VTPT (SAB) ( ) uuur uuur    SA, AB  =  − ax ; ax ;0÷    ÷   uuur  a a uuur uuur   uuur a2  ÷ SB =  ; ; − x÷, BC = − a 3;0;0 ⇒  SB, BC  =  0; ax 3;     2 ÷ ÷     uur Nên n2 = ( 0;2x; a) VTPT (SBC ) uur uur −2x n1.n2 a = cos 60 ⇔ = ⇔ x= Theo đề uur uur n1 n2 4x2 + a2 (  ) a a 2 ÷ Do S  0; − ; ÷   197 a2 · Vì S∆ABC = AB.AC.sin BAC nên thể tích khối = a.a.sin 1200 = 2 chóp S.ABC VS ABC = Ta có: 1 a a2 a3 SA.S∆ABC = = 3 4 48 SM SA x2 SN SA = = = , = = nên SB SB a2 + x2 SC SC VS AMN = SM SN a3 a3 VS.ABC = = SB SC 81 48 3888 (Bạn đọc tự vẽ hình) Gọi O hình chiếu S ( ABC ) , ta suy O trọng tâm ∆ABC Gọi I trung điểm BC , ta có: a a a BC = ⇒ OA = , OI = 2 Trong mp ( ABC ) , ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h , chọn hệ AI = trục tọa độ hình vẽ ta được: a   a   a a  O ( 0;0;0) , A  ; 0; 0÷, S ( 0;0; h) ⇒ I  − ; 0; 0÷, B  − ; ; 0÷  ÷  ÷  6 ÷        a a   a a h  a a h C − ; − ; 0÷, M  − ; ; ;− ; ÷, N  − ÷  ÷  12 ÷  12 ÷ 4       uuuur uuuur uur  ah 5a  ÷ ⇒ n1 = 6h;0;5a VTPT Suy  AM , AN  =  ; 0; 24 ÷   ( AMN ) uuur uuur uur    SB, SC  =  − ah; 0; a ÷ ⇒ n = 6h;0; − a VTPT (SBC )    ÷   uur uur Vì ( AMN ) ⊥ (SBC ) ⇒ n1.n2 = ⇔ h2 = 5a 12 u u u u r u u u u r a 10 ⇒ S∆AMN =  AM , AN  =   16 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ O trung điểm BC ) ( ( 198 )   a  a A  0; − ;0÷, B  ;0;0÷,  ÷    2    a  a C  − ;0;0÷ , S  0; − ;2a ÷  ÷     uuur  a a  uuur  a a  SB =  ; ; −2a ÷, SC =  − ; ; −2a ÷ 2 ÷  2 ÷      a x = + t  Phương trình SB :  y = 3t  z = −4t   uuuur  a  a  a ⇒ M  + t; 3t; −4t ÷ ⇒ AM  + t; 3t + ; −4t ÷ 2 ÷ 2    Vì AM ⊥ SB ⇒  2a a 2a  a 3a a + t + 3t + + 16t = ⇒ t = − ⇒M ;− ; ÷  2 10 10 ÷    2a a 2a  ; ÷ Tương tự ta tìm N  − ; − 10 5÷   uuur uuuur  2a 2a 8a  uuuu r  2a 2a 8a  SA = ( 0;0; −2a) , SM =  ; ;− ; ;− ÷, SN =  − ÷  ÷  5 5 5÷     uuuur uuuu r  32a2 8a2  ÷⇒ ⇒  SM , SN  =  0; ;    25 25 ÷   uuuur uuuu r uuur  SM , SN  SA = − 16a   25 uuuur uuuu r uuur Do VS.AMN =  SM , SN  SA = 8a Mặt khác 6 VS ABC =  75 a a 2a = Vậy VA.BCNM = VS ABC − VS AMN = 3a 50 199 Gọi H hình chiếu S lên BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Đặt BH = x, SH = y; x, y > Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Tọa độ đỉnh B(0;0;0), C (4a;0;0), A(0;3a;0), H (x;0;0), S(x;0; y) uuur uuur uuur uuur Suy BS = (x;0; y), BC = (4a;0;0) ⇒ BS.BC = 4ax uuur uuur  4ax  BS.BC =  = cos 30   x = 3a ⇔ ⇔  2a 3.4a Theo đề ta có:  SB.BC    y = a 2  SB = 2a  x + y = 12a 1 y BA.BC = a 3.4a.3a = 2a3 3 uuur uuur uuur uuur SA = −3a;3a; − a , SC = a;0; − a ⇒  SA, SC  = −3a2 3; −4a2 3; −3a2   ur Suy n = (3;4; 3) VTPT (SAC ) , phương trình (SAC ) là: Thể tích khối chóp S.ABC : V = ( ) ) ( 3x + y + 3z − 12a = Vậy d ( B, (SAC )) = −12a 32 + 42 + = 6a Bi ( Bạn đọc tự vẽ hình ) Ta có : O(0; 0; 0), A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) 200 ( ) Tọa độ điểm H H trực tâm ∆ABC hình chiếu O lên ( ABC )  x =    y =   z =   ab2c2 a2b2 + b2c2 + c2a2 bc2a2 a2b2 + b2c2 + c2a2 ca2b2 a2b2 + b2c2 + c2a2 Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : x y z + + = a b c d(O, ( ABC )) = a2 + b2 + = c2 abc 2 2 2 a b +b c +c a x y z Gọi M (x; y; z) Ta có M ∈ ( ABC ) ⇒ + + = a AM 2 (x − a) + y + z = = = 2 b c 2x OM 2x +1= − + a a AO2 a2 a2 OA  AM BM CM 1  + + = OM  + + Tương tự ta đến ÷+ AO2 BO2 CO2  OA OB OC  Ta có 2 x +y +z OM +1= − MH OH OH Dễ chứng minh sin2 α + sin2 β + sin2 γ = + 2 Chú ý sin β sin γ ≤ sin α + sin γ nên 2 sin α 2sin2 α 2sin2 α ≥ = + sin β sin γ + sin2 β + sin2 γ − sin2 α Tương tự ta có vế trái T bất đẳng thức cần chứng minh thỏa mãn T ≥ 2sin2 α − sin2 α  Hay T + ≥  + 2sin2 β − sin2 β + + 2sin2 γ − sin2 γ +  ÷ − sin2 γ ÷  2  − sin α − sin β 1 , ∀x, y, z > ta Áp dụng bất đẳng thức + + ≥ x y z x+ y+ z 201 T +6≥ Vậy 72 12 − (sin2 α + sin2 β + sin2 γ ) = 36 sin2 α sin2 β sin2 γ + + ≥ + sin β sin γ + sin γ sin α + sin α sin β Dấu đẳng thức xảy α = β = γ = arcsin Bi Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ) ( Tọa độ đỉnh: A (0;0;0), S 0;0; a , B ( a;0;0) , D ( 0;2a;0) , C ( a; a;0) x = a − t uuur  Suy SB = − a;0; a , phương trình SB :  y = ⇒ H a − t;0; 2t   z = 2t uuuur ⇒ AH = a − t;0; 2t ( ) ( ) ( uuuur uuur  2a a a 2 AH ⊥ SB ⇒ AH SB = ⇔ − a + t + 2t = ⇒ t = ⇒ H  ;0; ÷  3 ÷   uuur uuur Ta có: SC = a; a; − a , CD = ( a; − a;0) ( uuur uuur ) Suy SC.CD = ⇒ SC ⊥ CD ⇒ ∆SCD vuông C ( ) uuur uuur ur  SC, CD  = − a2 2; − a2 2; −2a2 ⇒ n = 1;1; VTPT (SCD)   202 ( ) ) Phương trình (SCD) : x + y + 2z − 2a = Vậy d ( H , (SCD)) = 2a 2a + − 2a 3 1+ 1+ = a Bi Ta có A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , D ( 0;2a;0) , C (a; a;0) Đặt SA = x ⇒ S ( 0;0; x) uuur uuur uuur uuur BD = ( − a;2a;0) , SC = ( a; a; − x) ⇒ DB = a 5, SC = x2 + 2a2; BD.SC = a2 uuur uuur SC.BD uuur uuur a Nên cos α = cos SC, BD = = = SC.BD 30 5(x2 + 2a2) ( ) ⇔ x2 + 2a2 = 6a2 ⇔ x = 2a ⇒ S ( 0;0;2a) uuur uuur uuur uuur Ta có CS = ( − a; − a;2a) , CD = ( − a; a;0) ⇒ CS.CD = ⇒ ∆SCD vuông C 1 Do đó: S∆SCD = CS.CD = a 6.a = a2 2 · Gọi β = ( (SCD), (SAB)) Ta có hình chiếu tam giác SCD lên mặt phẳng a.2a (SAB) tam giác SAB nên ta suy cos β = = = S∆SCD a2 S∆SAB 203 Ta có E ( 0; a;0) Gọi I ( x; y; z) tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCE  I B2 = I S2 (x − a)2 + y2 + z2 = x2 +     2 2 Khi  I C = I S ⇔ (x − a) + ( y − a) + z =   2 2  I E = I S  x + ( y − a) + z = x +  a x = −2x + 4z = 3a  a a  a   ⇔ − x − y + 2z = a ⇔  y = ⇒ I  ; ; a ÷ 2  −2y + 4z = 3a   z = a   y2 + (z − 2a)2 x2 + y2 + (z − 2a)2 y2 + (z − 2a)2 Bán kính R = I E =  a ÷ +  a − a ÷ + a2 = a 2  2  uuuu r uuur  2a 2a  Ta có M ( 0;0; a) Do SN = SB ⇒ N  ;0; ÷, 3  uuur uuur  3a  uuur uuur  a 9a  BP = BC ⇒ P  a; ;0÷ , CQ = CD ⇒ Q  ; ;0÷   5  uuuur  2a  uuuur  a 9a  a  uuuur  3a Suy MN =  ;0; − ÷, MP =  a; ; −a ÷, MQ =  ; ; − a ÷ 3    5  uuuur uuuur  2 2  MN , M P  =  a ; a ; a ÷ ⇒    ÷   uuuur uuuur uuuur  M N , MP  MQ = 3a ≠ nên M , N , P , Q   20 không đồng phẳng uuuur uuuur uuuur Vậy VMNPQ =  MN , MP  MQ = a Bi 204 6  40 Đặt AA ' = 2x, x > Ta có A (0;0;0), C ( 0; a;0) , A '(0;0;2x), C '(0; a;2x) Gọi K hình chiếu B lên Oy , BK = AB.sin 600 = a AK = a , 2 Nên a a  a a  B ; ;0÷, B '  ; ;2x÷  2 ÷  2 ÷     uuuur uuuuuu r  a a  ; ; − x÷ Suy M ( 0; a; x) ⇒ AM = ( 0; a; x) , B ' M =  − ÷ 2   uuuur uuuuuu r a2 uuuur uuuuuu r a ⇒ AM B ' M = − x2 Mà AM B ' M = nên suy x = 2 a a  ; ; a 2÷ Do A ' 0;0; a B '  ÷  2  uuuuur uuuuuu r a a  ; ; a ÷, Ta có A ' N = A ' B ' ⇒ N  ÷  4  uuuuur uuuuuu r  2a  A ' P = A ' C ' ⇒ P  0; ; a 2÷   ( ) uuuuu r uuuuu r  a a 3a   a 2 B 'Q = B ' B ⇒ Q  ; ; ÷ M  0; a; ÷  2  4 ÷ ÷     uuuur  a a  uuuur   a  uuur  2a ; ; a ÷, AM =  0; a; ; a ÷, ÷, AP =  0; Suy AN =  ÷  ÷    4    uuuu r  a a 3a  AQ =  ; ; ÷  2 ÷   uuur uuuu r uuur uuuu r uuuur  a2 a2  ÷ ⇒  AP , AQ  AN = − ⇒  AP , AQ  =  0; ;− a ;     ÷  24   uuur uuuu r uuuur a3  AP , AQ  AM =   205 uuur uuuu r uuuur Do VA.MPQ =  AP , AQ  AN = a3;  6 24 u u u r u u u u r u u u u r a VA.MPQ =  AP , AQ  AM =  6 3 Vậy VAMPNQ = VA.MPQ + VA MPQ = 13a 24 Bi ( Bạn đọc tự vẽ hình ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (hình vẽ), với O ≡ A, trục Oz chứa AB, trục Ox chứa đường thẳng a, trục Oy // b Đặt AB = h, AM = a, AN = b, (h, a, b > 0) Tọa độ điểm A (0;0;0), B(0;0; h), M (a;0;0), N (0; b; h) Vì MN = AM + BN nên Ta có: h2 + a2 + b2 = a + b ⇔ 2a.b = h2 h2 AM BN = a.b = , uuur uuuur uuuur uuur uuuur AB(0;0; h), AM (a; 0; 0), AN (0; b; h) ⇒  AB, AM  = (0; ah; 0)   Thể tích khối tứ diện ABMN là: uuur uuuur uuuur 1 VABMN =  AB, AM  AN = abh = h   6 12 Vì h = AB khơng đổi nên tích AM BN thể tích khối tứ diện ABMN đại lượng không đổi  h ÷ 2  uuuur uuur  uuuur uuur  hb  h  MN ( − a ; b ; h ), I M a ; 0; ; ; − ab÷ Ta có  ÷ nên  MN , I M  =  − 2   2  Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng MN là: uuuur uuur  MN , I M  h2b2 + h2a2 + 4a2b2 2ab3 + 2ba3 + 4a2b2   d(I , MN ) = = = uuuur MN 4(a2 + b2 + h2) 4(a2 + b2 + h2) Gọi trung điểm AB I  0; 0; ab h AB = = 2 Vậy đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB = Bi 10 Chọn hệ trục tọa độ cho: 206 A ( 0;0;0) ; S ( 0;0;2a) , B ( a;0;0) , D ( 0;2a;0) ⇒ C ( a;2a;0) uuur uuuur Do MD = x ⇒ M ( x;2a;0) ⇒ SB = ( a;0; −2a) , SM = ( x;2a; −2a) uuur uuuur ⇒ S∆SBM =  SB, SM  = a x2 − 2ax + 6a2  2 Xét hàm số: f ( x) = x2 − 2ax + 6a2 , x ∈ 0; a Ta có: f ′ ( x) = x− a x2 − 2ax + 6a2 ≤ ∀x ∈ 0; a ⇒ a = f ( a) ≤ f ( x) = a ⇒ a2 ≤ S∆SBM ≤ a2 Vậy max S∆SBM = a2 có M ≡ D S∆SBM = a2 có M ≡ C uuur Ta có: SC = ( a;2a; −2a) uuur uuuur uuur ⇒  SB, SM  SC = 4a3 + 4a2 ( a − x) − 4a3 = 4a3 ( a − x)   ⇒ VC SBM = VS ACBD = uuur uuuur uuur 2a2 ( a − x)  SB, SM  SC = Mà   4a3 AS.AB.AD = 3 a 2a2 ( a − x) 4a3 a ⇒ VC SMB = VS.ABC ⇔ = ⇔ x = Vậy DM = 3 Bi 11 Vì SA = SB = SC nên hình chiếu H S lên mặt phẳng đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên H ∈ BD Chọn hệ trục hình vẽ Giả sử B ( b;0;0) , C ( 0; c;0) với b, c > Khi A (0; − c;0), D(−b;0;0) b2 + c2 = Gọi H (h;0;0) , ta có: HB = HA ⇒ (h − b)2 = h2 + c2 ⇒h= b2 − c2 2b2 − = 2b 2b 207 2 Ta có: SH = SA − AH = − = 4b − ⇒ SH = 4b − , b > 4b2 2b 4b2   b − c2 4b2 − ÷  ;0; Do S  2b ÷ 2b   Vì đáy ABCD hình thoi nên ta có S ABCD = 4S∆ABO , uuur uuur uuur uuur uuur uuur VS ABCD = 4VSABO = OA, OB  OS =  OA, OB  OS   6 3 uuur uuur uuur uuur Mà OA = ( 0; − c;0) , OB = ( b;0;0) ⇒ OA, OB  = (0;0; bc) uuur uuur uuur ⇒ OA, OB  OS = c 4b2 −   1 4c2 (4b2 − 1) Nên VS.ABCD = c 4b2 − = 2 Ap dụng bđt Cơ si ta có: 4c2 (4b2 − 1) ≤ 4c + 4b − =  10 b =  c2 + b2 =  ⇒ Đẳng thức xảy ⇔  2 4c = 4b −   c = 2  b2 − c2  4b2 − Khi SD2 =  + b÷ + = ⇒ SD =  2b ÷ 2 4b   đạt SD = cm 2 Ngoại tiếp tứ diện ABCD hình lập phương AB1CD1.C1DA1B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Vậy max VS.ABCD = Tọa độ điểm  2 2 A ( 2; 0;0), B(0; 2;0), C (0;0; 2), D( 2; 2; 2), S  ; ; ÷  2 ÷   Suy uuur  2  uuur  2  uuur  2 2 SA  ;− ;− ; ;− ;− ; ÷, SB  − ÷, SC  − ÷,  ÷  ÷  ÷ 2 2 2       uuur   2 SD  − ;− ;− ÷  2 ÷   208 r Gọi e = (x; y; z) véc tơ đơn vị đường thẳng ∆ Khi đó: r uuur r uuur r uuur r uuur SA′ = e.SA , SB ′ = e.SB , SC ′ = e.SC , SD′ = e.SD Vì x2 + y2 + z2 = nên 4P = 4(SA′4 + SB′4 + SC ′4 + SD′4 ) = (− x + y + z)4 + (x − y + z)4 + (x + y − z)4 + (x + y + z)4 16 = + 16(x2 y2 + y2z2 + z2x2) ≤ + (x + y2 + z2)2 Hay P ≤ Dấu đẳng thức có x2 = y2 = z2 = ⇔ x = y = z = 3 đạt ∆ đường thẳng qua đỉnh tứ diện ABCD Vậy max P = 209 ... t;0; −3t ) Mà uuuur uuur  9a a 3a  AM ⊥ SB ⇒ AM SB = ⇔ (a + t) + 9t = ⇒ t = − ⇒M ;0; ÷ 10 10   10  18a 12a  ; Tương tự ta tìm N  0; ÷  13 13  uur uuuur uuuur Suy n1 =  AM , AN  =... ⊥ SB ⇒  2a a 2a  a 3a a + t + 3t + + 16t = ⇒ t = − ⇒M ;− ; ÷  2 10 10 ÷    2a a 2a  ; ÷ Tương tự ta tìm N  − ; − 10 5÷   uuur uuuur  2a 2a 8a  uuuu r  2a 2a 8a  SA = ( 0;0; −2a)... uuuur  9a 3a  uuur CN = − a ; − ; , DM = ; − a ; b) Ta có  ÷  ÷, CD = ( − a;0;0) 13 13  10    10 Vậy VS.AMPN = uuuu r uuuur  348a2 147a2 426a2  ÷⇒ ⇒ CN , DM  =  ; ;    65 130 65