Thông tin tài liệu
HƯỚNG DẪN GIẢI Bi 1 Phương trình mặt cầu (S) : (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 Gọi I tâm mặt cầu Vì I �Ox � I (x;0;0) Ta có I A2 I B2 � (x 1)2 22 12 (x 3)2 12 (2)2 � x Suy tâm I (2;0;0) bán kính R I B Vậy phương trình mặt cầu (S ) : (x 2)2 y2 z2 Vì mặt cầu (S) có tâm I (3; 2;4) tiếp xúc với mp(P ) Suy R d(I , (P )) 2.3 2.4 22 (1)2 22 20 Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x 3)2 ( y 2)2 (z 4)2 400 Gọi C1, C2, C3 hình chiếu C lên trục tọa độ Ox, Oy, Oz Suy C1(2;0;0), C2 (0; 4;0), C3(0;0;3) Giả sử (S) : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d Do (S) qua C, C1, C2, C3 nên ta có hệ phương trình � d4 �a �4a 8b 6c d 29 � d 16 � � b �4a d 4 � �� � � 8b d 16 � � d9 � �c �6c d 9 � � �2d �a � b 2 � � � �c � �d Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x y 3z Vì tâm I mặt cầu nằm mp(Oxy) nên I (x; y;0) 2 � �6x 2y �I M I N �� � Ta có: � 2x y 3 � �I N I P � Và R I M � x � �1 � � 10 � I � ; ;0� � �10 � �y � 109 20 168 � Vậy phương trình mặt cầu (S) : �x � 2 � � 4� 109 � �y � z 10 � � � 20 Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy nên suy R d(I , Oy) Vậy phương trình (S) : (x 6)2 ( y 3)2 (z 4)2 Bi 1.Ta có, bán kính mặt cầu R d(I , (P )) 1 2 12 22 22 Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x 1)2 ( y 1)2 (z 2)2 64 Gọi đường thẳng qua A vng góc với mp(P) �x t � � : �y 2t �z 3 2t � Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mp P A nên tâm I � � I (1 t;1 2t; 3 2t) Và d(I , (P )) R � 9t � t �1 * Với t � I (2;3; 1) � (S) : (x 2)2 ( y 3)2 (z 1)2 * Với t 1 � I (0; 1; 5) � (S) : x2 ( y 1)2 (z 5)2 Vì mặt cầu (S) có tâm I �d � I (2 3t;1 2t;1 2t) Mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mp (P ) (Q) nên d(I , (P )) d(I , (Q)) R | 3t| | 3t| 11 11 � 3t 6 3t � t � I (2; ; ) 3 3 R � Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x 2)2 ( y 169 11 11 ) (z )2 3 Giả sử phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d Vì � 2b d � 4a 6b 2c d 14 � A, B, C, D �(S) � � � a b c d 12 � � 2a 2b 4c d � � a �d 2b � 4a 4b 2c 13 � � 4a 2b 4c 11 � � 2a 4b 4c � ,b , c , d 2 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 z2 x 3y 5z Giả sử phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d Vì �a b c � �A, B, C �(S ) 4a 2c d � �� � � �I �(P ) �2a d � �2a 2b 2c d �d 2a � 2a 2c � � � �a b c � 2b 2c � �a � b � � c1 � � d 1 � Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 2z Gọi I tâm mặt cầu, suy I (2;0; z) Do (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ) (Q) nên ta có: d(I , (P )) d(I , (Q)) � 2z 10 � z 3 � I (2;0; 3), R z1 � z 11, z 3 � phương trình 16 (S) : (x 2)2 y2 (z 3)2 � z 11 � I (2;0; 11), R 12 144 (S) : (x 2)2 y2 (z 11)2 Bi � phương trình 170 Giả sử S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d � 6a 6b d 18 � 6a 6c d 18 � Do (S) qua A, B, C, D nên ta có hệ: � 6b 6c d 18 � � 6a 6b 6c d 27 � Giải hệ ta tìm được: a b c ; d Vậy S : x2 y2 z2 3x 3y 3z uuur uuuu r Ta có: AB (0; 3;3), AC (3;0;3) uuur uuuu r ur �� AB, AC � (9; 9; 9) � n (1;1;1) VTPT ( ABC ) Suy � � phương trình ( ABC ) : x y z Gọi I (a; b; c) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC �I �( ABC ) � Suy �I A I B � �I B I C � � a b c � b c � a b c Vậy I (2;2;2) � � ab � Bi Đường thẳng qua điểm M(2; 1; 1) có véc tơ phương uuur r uuur r � I u (1; 2; 2) Ta có I M(4; 2; 2) nên � �M, u � (8; 10; 6), bán kính mặt cầu là: uuur r � � 2 I 10 �M, u � (8) 10 R d(I, ) r 2 u (2) Phương trình mặt cầu cần tìm 200 (x 2)2 (y 3)2 (z 1)2 Đường thẳng �qua điểm M(2; 3; 0) có véc tơ phương uuur r uuur r � I u �(1; 1; 1) Ta có I M(1; 6; 5) nên � �M, u � (1; 4; 5), uuur r � � 2 I �M, u �� (4) d(I, � ) 14 r u � (1)2 12 12 Vì mặt cầu cắt �tại hai điểm A,B nên bán kính mặt cầu xác 171 �AB � định theo công thức R d (I, � ) � � 14 36 50 �2 � 2 Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình là: (x 1)2 (y 3)2 (z 5)2 50 r Đường thẳng d�qua điểm N(4; 6; 19) có ud�(3; 2; 2) Vì tâm mặt cầu I �d nên I(2 t; t; 2t) uuur uur Ta có MI(t; t; 21 2t), NI(6 t; t; 18 2t) nên uur r � � NI, � ud�� (6t 54; 8t 66; t 15) ) R Vì mặt cầu qua điểm M tiếp xúc với d�nên MI d(I,d� uur r � NI, ud�� � hay Do MI � r , ud� (6t 54)2 (8t 66)2 (t 15)2 t2 t2 (21 t)2 32 22 (2)2 t0 � � � 17(3t 42t 441) 101t 1734t 7497 � 102 � t � Với t I(2; 3; 1),R 21 nên phương trình mặt cầu 2 (x 2)2 (y 3)2 (z 1)2 441 Với t 102 209 � 20817 � 92 87 ; ; ,R I � nên phương trình � 5 � � 2 � 92 � � 87 � � 209 � 20817 mặt cầu: �x y z � � � � � 25 � 5� � 5� � � Bi Vì tâm I � nên I (2 t; 2t; 2t) Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng d(I , (1)) d(I , ( 2)) R 3(2 t) 2(1 2t) t Suy 32 22 12 (1) ( 2) nên : 2(2 t) 3(1 2t) t 22 32 12 � � 6t 11 7t t 9 � 6t 11 7t � � �� 6t 11 7t t1 � � �Nếu t I (1; 3; 3), R nên phương trình mặt cầu 14 172 (x 1)2 ( y 3)2 (z 3)2 �Nếu t 9 I (11; 17; 17), R 65 14 25 14 nên phương trình mặt cầu (x 11)2 ( y 17)2 (z 17)2 4225 14 Đường thẳng �qua điểm M (2; 3; 0) có véc tơ phương r u� (1; 1; 1) uuur r uuur I M , u � (1; 4; 5), Ta có I M (1; 6; 5) nên � � � uuur r � I M , u�� � � � d(I , ) r u� 12 (4)2 52 (1)2 12 12 14 Vì mặt cầu cắt �tại hai điểm A, B nên bán kính mặt cầu xác định �AB � � 14 36 50 �2 � theo công thức : R d2 (I , � )� Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình là: (x 1)2 ( y 3)2 (z 5)2 50 uuur Đường thẳng d�qua điểm N (2; 2;4) có ud� (1;1; 4) VTCP Vì tâm mặt cầu I �d nên I (2 t; t; 2t) uuur uuur Ta có MI (t 1; t 1;2t 1), NI (4 t;2 t; 2t) nên uuur r � � (2t 7;6t 15;2t 2) NI , ud� � � ) R Vì mặt cầu qua điểm M tiếp xúc với d ' nên MI d(I , d� Do uuur r � � NI , ud� � � MI , r ud� (2t 1)2 2(1 t)2 (2t 7)2 (6t 15)2 (2t 2)2 12 12 42 � t 1 2 � � 18(6t 3) 44t 160t 278 � � t � �Với t 1 I (1;1;1), R nên phương trình mặt cầu (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 173 hay �Với t � � 11 34 I � ; ;10�, R nên phương trình mặt cầu 2 �2 � 2 � 11 � � � 153 �x � �y � z 10 � � � 2� Bi Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) , bán kính R Khoảng cách từ I đến (P ) : d(I , (P )) 2 4 3 3 R Suy mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Gọi H , r tâm bán kính đường tròn đó, suy H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P ) nên tọa độ H nghiệm hệ: �x 2t � �y 2t � � z t � � 2x 2y z � �x � �y � H (3;0;2) Bán kính r � �z R2 I H Bi Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 2), bán kính R Ta có d(I; (P )) 2 0 2 R nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 22 22 12 Tiếp điểm M hình chiếu I mặt phẳng (P ) uuur Gọi M(x; y; z) I M(x 1; y; z 2) nên uuur r �x y z � I M t.n(P ) � � � 11 20 17 � ��2 �M� ; ; � 9 9� � � � �M �(P ) 2x 2y z � Giả sử (S) cắt đường thẳng điểm N Vì N � nên N(3 2t; t; t) Vì N �(S) nên (4 2t)2 (1 t)2 (t 2)2 9, hay t2 3t � t t Với t N 1(1; 2; 1) với t N 2(1; 3; 2) Vậy mặt cầu (S) cắt đường thẳng N 1(1; 2; 1) N (1; 3; 2) Bi (1 ) : 6x 3y 2z 35 0, (1 ) : 6x 3y 2z 63 Vì hai mặt phẳng (1 ) ( ) song song với nhau, nên tâm I mặt cầu cần tìm thuộc mặt phẳng ( ): 6x 3y 2z 14 174 d((1 ), (2 )) Tiếp điểm mặt cầu với (1 ) A(5; 1; 1) nên tâm I thuộc đường thẳng d qua A,d (1 ) �x 6t � y 1 3t (t ��) Do tâm I d �( ) (1; 2; 1) Phương trình d : � � z 1 2t � Bán kính mặt cầu cần tìm R Phương trình mặt cầu cần tìm (S) :(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 49 Gọi I(a; b; c) tâm mặt cầu Ta có � (x 1)2 (y 3)2 (z 2)2 49 �BI � � �BI CI � �2x 3y z �I �( ) �6x 3y 2z 14 � � 10 10x � 10 10x � ,z 12 8x �y y ,z 12 8x � � � � �� � �� x 1 �19 10x � 2 � � � (x 1) � 1693 � (14 8x) 49 �� � x � � � �� 685 Suy có hai mặt cầu thỏa mãn (S) :(x 1)2 y2 (z 4)2 49 2 � 1693 � � 672 � � 5324 � (S) : � x y z � � � � � 49 � 685 � � 137 � � 685 � Bi r Ta có n(P ) (1; 1; 1) A �1,B � nên uuur A(a; a; 2a), B(1 2b; b; b), AB(1 2b a; b a; b 2a) Vì //(P ) AB nên uuur r �AB.n 1 2b a b a b 2a (P ) � � �� u u u r � (1 2b a)2 (b a)2 (1 b 2a)2 AB � � � a 0; b � �b a �b a � �� �� � 4 a ; b (1 a)2 (2a)2 (1 3a)2 � 14a 8a � � � 7 Nếu a b A(0;0;0) �(P ) nên �(P ) (khơng thỏa mãn) 4 �4 � uuur � � , AB � ; ; � (3; 8; 5) Nếu a ; b A � ; ; � 7 �7 7 � � 7 7� 175 4 y z Nên đường thẳng cần tìm 7 7 : r r r � �(Q) ud; n(Q) � Ta có � nên u � � � (2; 3;1) Như ta cần tìm điểm � d mà qua Giao điểm M d (Q) có tọa độ nghiệm hệ phương trình �x y z � 1 � M(1; 3; 0) �2 � �x y z x Gọi (R) mặt phẳng chứa d (R) (Q) Một véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (R) r r r n(R ) � ud ; n(Q) � � � (2; 3;1) Hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt phẳng (Q) có véc tơ r r r n(R ); n(Q) � phương ud� � � � (4; 1;5) �x 4t � :� y 3 t (t ��) Đường thẳng d�qua M nên có phương trình d� � z 5t � , gọi N �d�thì MN khoảng cách Rõ ràng (R) � d� từ điểm M đến đường thẳng , hay MN 42 Tọa độ điểm N(1 4t; t; 5t) nên t 1 � (1 4t 1)2 (3 t 3)2 (5t 0)2 42 � 42t 42 � � t 1 � Với t N(3; 4; 5) nên phương trình đường thẳng x3 y4 z5 : 3 Với t 1 N(5; 2; 5) nên phương trình đường thẳng x5 y2 z5 : 3 Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 1) bán kính R Ta có điểm C(0; 5; 0), thuộc mặt cầu (S) nên I C � I C Vì � nên véc tơ phương � d1 uur r r � u � I �C; ud1 � (2;3;2) 176 Phương trình đường thẳng cần tìm : x y5 z Bi 10 Điều kiện tồn mặt cầu 14 m Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) bán kính R 14 m Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng d(I ; (P )) 1 2.2 2.(3) 2 4 (2) Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên R � m 2 Vậy giá trị cần tìm m m 2 Ta có d(I ; (Q)) 2 12 (2)2 22 Vì đường tròn giao tuyến có diện tích 4 nên có bán kính r , bán kính mặt cầu là: R r d2 (I , (Q)) � R � 14 m � m Vậy giá trị cần tìm là: m Gọi H (1 t; 2t; t) hình chiếu I (1; 2; 3) uur uuur Ta có I H (t; 2t 2; t) u (1; 2; 2) nên uuur r I H � I H u � t 4t 10 2t � t uuur Vậy I H (2; 2; 3) � I H 17 Do tam giác I AB cân I nên vng cân I , tam giác I HA vng cân H , R I A 2.I H 34 � 14 m 34 � m 20 Vậy giá trị cần tìm m m 20 Bi 11 uur uur Ta có n1 (2; 2; 1), n2 (1;2; 2) VTPT ( ) ( ) u r Suy u uur uur 1� n1, n2 � (2;1;2) VTCP đường thẳng d � 3� Hơn điểm A (6;4;5) điểm chung hai mặt phẳng ( ) ( ) nên A �d Mặt cầu (S) có tâm I (2;3;0) , bán kính R 13 m với m 13 177 uur uur u r I A (8;1;5) � � I A, u� (3; 6;6) � d(I , d) � � Gọi H trung điểm AB � AH AB I H Trong tam giác vng I HA ta có: I A2 I H AH � R 16 � 13 m 25 � m 12 Vậy m 12 giá trị cần tìm Mặt cầu (S) có tâm I (1; 1;1) , bán kính R Gọi đường thẳng qua I , vng góc với (P ) Suy phương trình : x1 y z1 2 Mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S) � d(I , (P )) R � m2 3m 3 � m2 3m 10 �� � m 5, m � m m VN � Khi (P ) : 2x 2y z 10 Tọa độ tiếp điểm A nghiệm hệ: �x y z � , giải hệ ta x 3, y 1, z � A (3;1;2) �2 � x y z 10 � Vì A �1, B �2 nên A(2 2a; 5a; a),B(3 b;1;10 b) uuur Do AB(5 b 2a; 5a; b a) uuur r �AB.u �AB 1 1 � Ta có � nên �uuur r �AB � �AB.u 2 2(5 b 2a) 5(4 5a) (6 b a) � �� � �5 b 2a b a 10a b a1 � � �� � 3a 2b 1 �b 2 � Vì A(0;2;3), B(5;1;8) Gọi (1 ), (2 ) mặt phẳng qua A, vng góc với 1 mặt phẳng qua B, vng góc với Rõ ràng AB giao tuyến 178 hai mặt phẳng (1 ), (2 ) Mặt cầu (S) tiếp xúc với 1 A tiếp xúc với B nên tâm I mặt cầu thuộc mặt phẳng (1 ) ( ) Hay I nằm giao tuyến AB suy I trung điểm AB 52 �5 11 � ,R AB Ta có I � ; ; nên phương trình mặt cầu là: � 2 2 � � 2 � � � � � 11 � 51 x � �y � � z � � � 2� � 2� � � Bi 12 Mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; 3), bán kính R d(I , ( )) R nên đường tròn (C) có bán kính r �x t � Gọi H tâm (C), suy I H : �y 3 2t �z 3 2t � Tọa độ H nghiệm hệ � �x �x t � � �5 13 � �y 3 2t � � �y � H � ; ; � � 3� �3 �z 3 2t � 13 � � �x 2y 2z �z � d Gọi đường thẳng qua H vng góc với � �x t � � ( ) � d : �y 2t � 13 � �z 2t � Gọi I ', R ' tâm bán kính mặt cầu (S ') 179 � �x t � � �11 19 � �y 2t � I '� ; ; � Vì I ' �d, I ' �(P ) � I ' : � 3 3� �3 � 13 2t �z � � �x y z Suy d(I ', ( )) 50 � R ' r d2(I ', ( )) 706 9 2 � 11 � � 19 � � � 2824 Vậy phương trình (S ') : �x � �y � �z � 81 � � � � � 3� Bi 13 Ta có khoảng cách hai mặt phẳng (P1), (P2) bằng: Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song (P1) (P2) nên bán kính mặt cầu (S) là: R Gọi (R ) mặt phẳng song song với hai mặt phẳng (P1) , (P2) nằm hai mặt phẳng đó, suy (R ) : 2x y 2z Gọi I tâm mặt cầu, suy I �(R ) Hơn I A nên I thuộc mặt cầu (S ') tâm A bán kính Do I thuộc đường tròn (C) giao mặt cầu (S ') mặt phẳng (R ) Từ ta tìm tâm (C) � 11 10 � H � ; ; �, bán kính r � 9 9� 180 ... cầu 2 (x 2)2 (y 3)2 (z 1)2 441 Với t 102 209 � 20817 � 92 87 ; ; ,R I � nên phương trình � 5 � � 2 � 92 � � 87 � � 209 � 20817 mặt cầu: �x y z � � � � � 25 � 5� �...� Vậy phương trình mặt cầu (S) : �x � 2 � � 4� 109 � �y � z 10 � � � 20 Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy nên suy R d(I , Oy) Vậy phương
Ngày đăng: 02/05/2018, 09:35
Xem thêm: Huong dan giai 09
