HƯỚNG DẪN GIẢI Bi tốn VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Bi uur Đường thẳng d1 có u1 = (2; −1; −2) VTCP, đường thẳng d2 có uur u2 = (−2;1;3) VTCP 1 + 2t = −1 − 2t ' uur uur  Vì hệ phương trình : 3 − t = + t ' vơ nghiệm u1 ≠ ku2 nên ta có  −2t = −2 + 3t '  hai đường thẳng d1 d2 chéo 1 + t = −3 + 3t '  Xét hệ phương trình 2 − 2t = − t ' ⇔ 3 + 2t = −6 + t '  t = −1  t ' = Do hai đường thẳng d1 d2 cắt A (0;4; −5) = y−1 = z− Ta viết lại phương trình đường thẳng d2 : −1 −1 uur Đường thẳng d1 có u1 = (1; −2;2) VTCP, đường thẳng d2 có uur uur uur u2 = (− ;1; −1) VTCP Ta có u1 = −2u2 A (1; −2; −1) ∈ d1 A ∉ d2 x+ Vậy hai đường thẳng d1 d2 chéo Bi uur uur Ta có u1(−1; 3; − 2), u2(0; 0; 5) khơng phương nên hai đường thẳng cắt nhau, chéo − t =  Hệ phương trình tương giao 3t = vô nghiệm, nên hai đường  −1 − 2t = + 5u  thẳng chéo Góc hai đường thẳng uur uur u1.u2 uur uur cos(∆1, ∆ 2) = cos(u1, u2) = uur uur = u1 u2 10 14.5 = 14 150  ⇒ (∆1, ∆ 2) = arccos   uuuu r uuuu r uuuu r Ta có u∆2 =  nα1 , nα2  = (1; − 4; − 3) =  ÷ ≈ 57, 69 14  uuuu r u∆ nên hai đường thẳng song song trùng Vì điểm M (0; − 3; − 3) ∈ ∆1 M ∉ ∆ nên hai đường thẳng song song Góc hai đường thẳng (∆1, ∆ 2) = 00 Bi u r ur Ta có u = (8;2;3) VTCP d , n = (1;2; −4) VTPT (α ) u r ur Do u.n = điểm N (13;1;4) ∈ d đồng thời N ∈ (α ) nên suy d ⊂ (α ) uur uuu r uur uuu r Ta có ud = (8;2;3), nα = (1;2; −4) ⇒ ud nα = điểm M (13;1;4) ∈ d đồng thời M ∈ (α ) ⇒ d ⊂ (α ) Bi Gọi I tâm hình vng thìuurI hình chiếu C BD Ta có I(−1 + 4t; − t; − + t) ⇒ CI(4t − 2; − t; t + 1) uur r Vì CI ⊥ BD nên CI.uBD = ⇔ 4(4t − 2) − (2 − t) + t + = ⇔ t =  1 Do I  1; ; − ÷,CI =  2 Từ điều kiện I trung điểm AC suy A(1; 2; 3) Tọa độ điểm B(−1 + 4t; − t; − + t) với t > Ta có I B = I C nên t = 1    (−2 + 4t)2 +  − t ÷ +  − + t ÷ = ⇔ t2 − t = ⇔  2    t = Tọa độ điểm B(3; 0; 0), suy D(−1; 1; − 1) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(1; 2; 3), B(3; 0; 0), D(−1; 1; − 1) Ta có A(1 + a; − a; − + a), B(b; + b; − + 2b) uuur ⇒ AB(b − a − 1; b + a; 2b − a) uuur r Vì ABCD hình bình hành nên AB = t.uCD , hay b − a − b + a 2b − a = = ⇒ a = 0; b = −1 2 Vì A(1; 1; − 1), B(−1; 0; − 3) 151 Bi u r u B ( − 1;2;0) Đường thẳng ∆ qua có = ( 2;3;1) VTCP uuur uuur u r Ta có: AB = ( −4;0; −1) ⇒  AB, u = ( 3;2; −12) uuur u r  AB, u 157   = Vậy d ( A, ∆ ) = u r 14 u uur Đường thẳng ∆1 qua A1 ( 1; −4;3) có u1 = ( 0;2;1) VTCP uur Đường thẳng ∆1 qua A2 ( 0;3; −2) có u2 = ( −3;1;0) VTCP uuuuuur uur uur Ta có A1 A2 = ( −1;7; −5) , u1, u2  = ( −1; −3;6) uuuuuur uur uur ⇒ A1 A2 u1, u2  = −50 ≠   Suy hai đường thẳng ∆1 ∆ chéo uuuuuur uur uur A1 A2  u1, u2  25 46   d ( ∆1, ∆2 ) = = uur uur 23 u , u    uur Đường thẳng ∆1 qua M (1; −1; −2) có u1 = ( 2; −1;3) VTCP uur Đường thẳng ∆ qua N (2;1;3) có u2 = ( 1; −2;4) VTCP uuuur uur uur uur uur uuuur Ta có MN = ( 1;2;5) , u1, u2  = ( 2; −3; −3) ⇒ u1, u2  MN = −19 uur uur uuuur  u , u  MN 19  2 = Hai đường thẳng ∆1 ∆ chéo d(∆1, ∆ 2) = uur uur u , u  22  2 Ta thấy C (1;1; −2) ∈ ∆ ∆ / /(α ) nên ta có: d(∆, (α )) = d(C, (α )) = 21 Bi Tọa độ điểm M(t; − − t; + t), t ∈ ¡ Ta có uuur uuur uuuur AB(−1; 1; 1), AC(−1; 0; 2), AM(t − 1; − t − 2; t + 1) Suy véc tơ phương mặt phẳng (MAB) uuur uuuur r n1 =  AB, AM  = (2t + 3; 2t; 3) Một véc tơ phương mặt phẳng (CAB) 152 uuur uuur r n2 =  AB, AC  = (2; 1; 1) Vì góc hai mặt phẳng (MAB) (CAB) 300 nên 2(2t + 3) + 2t + r r cos300 = cos(n1, n1 ) ⇔ = (2t + 3)2 + (2t)2 + 32 ⇔ (2t + 3)2 + (2t)2 + 32 = 2t + ⇔ 2(2t + 3)2 = 8t2 + 12t + 18 ⇔ t = Điểm cần tìm có tọa độ M(0; − 2; 1) Bi Mặt phẳng qua O vng góc với AB (P ) : x − y = 8  Ta có C = AC ∩ (P ) ⇒ C  − ; − ; ÷  13 13 13  Mặt phẳng qua O vng góc với AC (Q) : 7x − 6y − z =   Vậy B = AB ∩ (Q) ⇒ B  − ; − ; 1÷  13 13  Bi tốn LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bi x = + t  Phương trình tham số d :  y = −t , t ∈ R z = − t  x− y z−1 = = − − uuur Ta có AB = (−2; −2; −1) VTCP d Phương trình tắc d :  x = − 2t  Phương trình tham số d :  y = − 2t , t ∈ R z = − t  x−1 y− z−1 = = −2 −2 −1 ur Ta có n = (1;2; −2) VTPT (P ) Phương trình tắc d : 153 ur Vì d ⊥ (P ) nên d nhận n = (1;2; −2) làm VTCP  x = −2 + t  Phương trình tham số d :  y = + 2t , t ∈ R  z = −2t  x+ y−1 z = = −2 u r Đường thẳng ∆ có u = (2; −2; −1) VTCP u r Vì d / / ∆ nên d nhận u = (2; −2; −1) làm VTCP Phương trình tắc d :  x = −1 + 4t  Phương trình tham số d :  y = − 7t , t ∈ R  z = −3 − 3t  x+1 y− z+ = = −7 −3 Tọa độ điểm I ∆ với (P ) thỏa mãn hệ: Phương trình tắc d : x+ y− z = =  −1 ⇒ I ( −3;1;1)   x + 2y − 3z + =  ur u r n = 1;2; − u ( P ) Ta có ( ) VTPT ; = ( 1;1; − 1) VTCP ∆ r ur u r Đường thẳng d cần tìm qua I có v =  n, u = ( 1; − 2; − 1) VTCP Phương trình tham số d : x+ y−1 z−1 = = −2 −1 Bi Gọi d giao tuyến hai mp (P ) (Q) uur uuu r uuu r Suy ud = [nP , nQ ] = (−1;9; −24) VTCP d uur uur ∆ / /(P ) ⇒ ∆ / / d ⇒ u Vì  ∆ = ud = (−1;9; −24)  ∆ / /(Q) x = − t  Vậy phương trình ∆ :  y = + 9t ,  z = −2 − 24t  (t ∈ ¡ ) 154 Gọi A, B giao điểm (P ) với d1, d2 Ta có : A (1;0;0), B(6; −2;1) Vì ∆ nằm (P ) đồng thời ∆ cắt d1,d2 nên ∆ qua A, B uuur Suy ∆ nhận AB = (5; −2;1) làm VTCP  x = + 5t  Vậy phương trình đường thẳng ∆ là:  y = −2t , (t ∈ ¡ ) z = t  uur Ta có d1 qua M 1(−1; −3;2) VTCP u1 = (3; −2; −1) uur Đường thẳng d2 qua M (2; −1;1) VTCP u2 = (2;3; −5) Gọi (P ) mp qua M chứa đường thẳng d1 uuu r uuuuuur uur Khi (P ) có nP = [MM 1, u1] = (−4;0; −12) VTPT Tương tự gọi (Q) mp qua M đường thẳng d2 , suy uuu r nQ = (7; −13; −5) VTPT (Q) Vì ∆ qua M cắt hai đường thẳng d1, d2 nên ∆ giao tuyến (P ) (Q) uur uuu r uuu r  u = n , n suy d  P Q  = −52(3;2; −1)  x = −4 + 3t  Phương trình ∆ :  y = −5 + 2t , t ∈ ¡ z = − t  Bi uuur Ta có AB = ( −4;3; −5) VTCP đường thẳng ∆  x = − 4t  Suy phương trình tham số đường thẳng ∆ là:  y = + 3t , t ∈ ¡  z = − 5t  u r Đường thẳng d có u = (2;1; −1) VTCP u r Do ∆ / /d , suy u = (2;1; −1) VTCP ∆  x = + 2t  Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ là:  y = + t , t ∈ ¡ z = − t  155 I ∈ d ⇒ I = d ∩ (α ) , tọa độ I  I ∈ (α ) Gọi I = d ∩ ∆ , suy  x−1 y+ z = =  −1 , giải hệ ta được: nghiệm hệ  x + y + z − =  x = 5, y = 0, z = −2 hay r ∆ ⊂ (α ) Vì  , suy v =  ∆ / /d I ( 5;0; −2) u r uur  u, n  = ( 2; −3;1) VTCP ∆ 1   x = + 2t  Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ là:  y = −3t , t ∈ ¡  z = −2 + t  Bi u r Đường thẳng d có u = (2;3; −4) VTCP Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng d , suy H (−1 + 2t; −1 + 3t;7 − 4t) uuuur ⇒ AH = ( 2t − 6;3t − 6; −4t + 7) uuuur u r Vì AH ⊥ d ⇒ AH u = ⇔ 2(2t − 6) + 3(3t − 6) + 4(4t − 7) = ⇔ t = ⇒ H (3;5; −1) Do H trung điểm AA ' nên A ' ( 1;5; −2) Vì tam giác ABC vng C nên AC ⊥ d ⇒ C ≡ H hay C (3;5; −1) uuur B ∈ d ⇒ B (−1 + 2t; −1 + 3t;7 − 4t) ⇒ CB = (2t − 4;3t − 6; −4t + 8) Do BC = 29 ⇔ (2t − 4)2 + (3t − 6)2 + (4t − 8)2 = 29 ⇔ t = 3, t = Suy B (1;2;3) B(5;8; −5) Bi uuuur Ta có M ∈ ∆ ⇒ M ( + 2t; −1 − 3t;2 − t) nên AM = ( 2t − 3; −3t − 4; −t) Do AM = 105 ⇔ AM = 105 ⇔ (2t − 3)2 + (3t + 4)2 + t2 = 105 ⇔ 7t2 + 6t − 40 = ⇔ t = 2, t = − 20 156 33 53 34 ; ; ) 7 Gọi H hình chiếu A lên ∆ , suy H ( + 2t; −1 − 3t;2 − t) , uuuur AH = ( 2t − 3; −3t − 4; − t) u r uuuur u r Vì AH ⊥ ∆ nên AH u = , u = (2; −3; −1) VTCP ∆ Từ ta tìm hai điểm M (5; −7;;0) M (− Do : 2(2t − 3) − 3(−3t − 4) + t = ⇔ 14t + = ⇔ t = − Suy  17  H ; ; ÷ 7 7  Vì H trung điểm AA ' nên  26  xA ' = 2xH − xA = −   26 −17 20  17  ⇒ A ' − ; ; ÷  yA ' = 2yH − yA = −  7 7  20   zA ' = 2zH − zA =  Ta có D ∈ ∆ nên D ( + 2t; −1 − 3t;2 − t) Suy d ( D, (α )) = (1 + 2t) + 2(1 + 3t) + 2(2 − t) + = 2t +  t = −1 ⇒ D(−1;2;3)  t = −2 ⇒ D(−3;5;4) Do d ( D, (α )) = ⇔ 2t + = ⇔  Bi Vì B ∈ Oy ⇒ B (0; b;0) ⇒ OB = 2OA ⇔ b2 = 36 ⇔ b = ±6 uuur x y− z • b = ⇒ AB = (2;4; −1) nên phương trình ∆ : = = −1 uuur x y+ z • b = −6 ⇒ AB = (2; −8; −1) nên phương trình ∆ : = = −8 −1 uuur uuur Ta có C ( + t;3 − 2t; −1 + t) ⇒ OC = ( + t;3 − 2t; −1 + t) , OB = (1;1;2) uuur uuur uuur uuur Suy OB, OC  = ( 5t − 7; t + 5;1 − 3t) ⇒ S∆OBC = OB, OC   157  2  uuur uuur 2  OB Do  , OC  = 83 ⇔ (5t − 7) + (t + 5) + (1 − 3t) = 83 ⇔ t = 2, t = − 35 uuur • t = ⇒ C (4; −1;1) ⇒ BC = (3; −2; −1) , phương trình x−1 y−1 z− ∆: = = −2 −1 • t=− uuur  31 78 109   66 113 39  ⇒ C ; ;− ; ;− ÷ ⇒ BC =  ÷, 35 35  35   35 35  35 35 phương trình ∆ : Bi x−1 y−1 z− = = 31 78 −109 uuuu r Đường thẳng ∆1 qua điểm M 1(1; − 1; 0) có u∆1 = (2; 1; − 1) Đường uuuu r thẳng ∆1 qua điểm M (3; 0; − 1) có u∆2 = (−1; 2; 1) Hệ phương trình tương giao ∆1 ∆ là: 1 + 2t1 = − t2 2t1 + t2 =    −1 + t1 = 2t2 ⇔ t1 − 2t2 = ⇔    − t1 = −1 + t2 t1 + t2 =  t1 =   t2 = Do hai đường thẳng cắt điểm I (3; 0; − 1) uuuu r uuuu r  u , u Ta có  ∆1 ∆2  = (3; − 1; 5) nên phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng ∆1 ∆ 3x − y + 5z − = Vì M ∈ ∆1 nên M (1 + 2t; − + t; − t) uuuuuur Ta có: M 2M (2t − 2; − + t;1 − t), uuuuuur  M M , ur  = (3t − 3; − t; 5t − 5) ∆   Do uuuuuur  M M , ur  ∆   d(M , ∆ 2) = = r u∆ (3t − 3)2 + (1 − t)2 + (5t − 5)2 (−1)2 + 22 + 12 = t−1 35 158 35 = Theo giả thiết ta có t − 210 ⇔ t−1 = 2⇔ t =   t = −1 Từ ta có tọa độ điểm M cần tìm M (7; 2; − 3) M (−1; − 2;1) Hai đường thẳng cắt I (3; 0; − 1) Xét hai điểm thuộc hai đường thẳng A (1; − 1; 0), B (2;2;0) uur uur uur uur I A ( − 2; − 1; 1), I A = I B ( − 1; 2; 1), I B = nên véc tơ đơn vị Ta có ∆1 ∆ là: uur uur r IA  1  r IB   e1 = uur =  − ;− ; ; ; ÷, e2 = uur =  − ÷ 6 6 6 6 IA  IB  Phân giác góc tạo hai đường thẳng đường thẳng qua I có r r   véc tơ phương e1 + e2 =  − ; ;  (−3; 1; 2), ÷= 6   r r e1 − e2 =  − ;− ; 0÷ = − (1; 3; 0) 6   Vậy phương trình tham số đường phân giác cần tìm  x = − 3t  , y = t  z = −1 + 2t  x = + t   y = 3t (t ∈ ¡ )  z = −1  Bi Giải theo hai cách Cách 1: Vì ∆ qua điểm A(2; 0; 3) vng góc với ∆1 nên ∆ thuộc mặt phẳng (α ) qua A,(α ) ⊥ ∆1 có phương trình x + 2y − z + = Gọi A ′ = ∆ ∩ ∆1 A ′ = (α ) ∩ ∆1 nên tọa độ A ′ thỏa mãn hệ phương trình x −1 y +1 z + = = 4  2 −1 ⇒ A ′  ; − ; − ÷   3 3  x + 2y − z + = uuuur  13  Ta có AA ′  − ; − ; − ÷ = − (4; 5; 13) nên phương trình tắc 3  3 x−2 y z−3 = = đường thẳng cần tìm ∆ : 13 Cách 2: Gọi A ′ = ∆ ∩ ∆1 A ′(1 + t; − + 2t; − − t) 159 uuuur r uuuur Ta có AA ′(t − 1; 2t − 1; − t − 5) Mà ∆ ⊥ ∆1 nên AA ′.u ∆1 = 0, hay t − + 2(2t − 1) + t + = ⇔ t = − uuuur  13  Do AA ′  − ; − ; − ÷ = − (4; 5; 13) nên ta có phương trình đường thẳng 3 3   x−2 y z−3 = = ∆ ∆ : 13 ∆ thuộc mặt phẳng (β ), với (β ) qua B(1; − 1; 1) (β ) ⊥ d1 nên (β ) có phương trình 2x + 3y + z = Gọi B ′ = ∆ ∩ d2 B ′ = (β ) ∩ d2 nên tọa độ B ′ thỏa mãn hệ phương trình x − y z + = =  −2 ⇒ B ′(3; − 2; 0)  2x + 3y + z = uuuu r Vì BB ′(2; − 1; − 1) nên phương trình tắc ∆ x −1 y +1 z−1 ∆: = = −1 −1 Vì ∆ song song (Q) : 5x + 2y + 7z + = nên ∆ thuộc mặt phẳng (P ) qua C(0; − 4; 0) (P )//(Q) Phương trình mặt phẳng (P ) : 5x + 2y + 7z + = Gọi C′ = ∆ ∩ d2 C′ = (P ) ∩ d nên tọa độ C′ thỏa mãn hệ phương trình x −1 y − z = =  ⇒ C′(−1; 2; − 1)  5x + 2y + 7z + = uuuu r Vì CC′(−1; 6; − 1) nên phương trình tắc ∆ x y+4 z ∆: = = −6 Bi Góc đường thẳng ∆ (α ) 300 Điểm A(−1; 0; 4) Ta có B(−3 + 2t; − + t; + t) AB = nên B(−3; − 1; 3) · B(1; 1; 5) Vì BA = 2BC = ABC = 600 nên tam giác ABC vuông · C Suy BAC = 300 điểm C hình chiếu điểm B mặt phẳng (α ) Từ ta tìm hai điểm C tương ứng với hai 5 11   1 điểm B C  − ; 0; ÷ C  ; 0; 2 2÷  2  160 Vì B ∈ d ⇒ B ( + t;2 + 2t; −t) , 2t + t = = ⇔ t+1 = 3⇔   t = −4 uuur • t = ⇒ B (3;6; −2) ⇒ AB = ( 1;3; −1) , suy phương trình ∆ là: d ( B, (α )) = x− y− z+ = = − uuur • t = −2 ⇒ B (−3; −6;2) ⇒ AB = ( −5; −9;3) , suy phương trình ∆ là: Bi 10 x+ y+ z− = = −5 −9 uur Đường thẳng ∆1 qua M ( 1; −1;3) có u1 = ( 1;2; −1) VTCP uur Đường thẳng ∆ qua M ( 2;3; −9) có u2 = ( 3;2; −2) VTCP uuuuuuur uur uur uur uur uuuuuuur M 2M = (−1; −4;12), u1, u2  = ( −2; −1; −4) ⇒  u1, u2  M 2M = −42 ≠     Suy hai đường thẳng ∆1 , ∆ chéo khoảng cách chúng : uur uur uuuuuuur u , u  M M 42  2 d ( ∆1, ∆ ) = = = 21 uur uur u , u  21  2 Gọi H hình chiếu C lên đường thẳng ∆1 , : S∆ABC = CH AB = CH Do tam giác ABC có diện tích nhỏ CH nhỏ Hay CH đường vng góc chung hai đường thẳng ∆1 , ∆ Ta có : C ( + t; −1 + 2t;3 − t) , H ( + 3t ';3 + 2t '; −9 − 2t ') uuuu r ⇒ HC = ( t − 3t '− 1;2t − 2t '− 4; −t + 2t '+ 12) uuuu r uur  HC ⊥ ∆1  HC u1 = ⇒  uuuu ⇔ r uur Mà   HC.u2 =  HC ⊥ ∆ Vậy C (3;3;1) điểm cần tìm 161 2t − 3t ' = ⇔  9t − 17t ' = 35 t =  t ' = −1 Vì M ∈ ∆1, N ∈ ∆ nên suy M ( + a; −1 + 2a;3 − a) , N ( + 3b;3 + 2b; −9 − 2b) uuuuu r ⇒ NM = ( a − 3b − 1;2a − 2b − 4; − a + 2b + 12) Theo giả thiết tốn ta có hệ phương trình :  MN =    cos α =   (a − 3b − 1)2 + (2a − 2b − 4)2 + (a − 2b − 12)2 = 180 uuuuu r uur NM u1 3(2a − 3b − 7) = uuuuu r uur = 15 30 NM u1 (a − 3b − 1)2 + (2a − 2b − 4)2 + (a − 2b − 12)2 = 180 (1) ⇔ (2)  2a − 3b − =  3b + 11 a =   2a − 3b − = (2) ⇔  ⇔ 3b +   2a − 3b − = −4  a = • a= 3b + 11 thay vào (1) ta có : (3b − 9)2 (b + 13)2 + (b + 7)2 + = 180 ⇔ 14b2 + 28b − 274 = 4 Bi 11 Vì B ∈ Oz nên B(0;0;t) Ta có OB = 2OA nên t = 12 + (−2)2 + 22 ⇔ t = ±6 uuur Nếu t = B(0;0;6) nên AB(−1; 2;4) phương trình tắc x y z−6 = = đường thẳng ∆ −1 uuur Nếu t = −6 B(0;0; − 6) nên AB(−1; 2; − 8) phương trình tắc x y z+6 = = đường thẳng ∆ −1 −8 Ta có C ∈ d nên C(1 + t; 2t; − t) mà d(C, (Oxy)) = nên − t = ⇔ t = ± uuur Nếu t = C(4;6; − 3) nên AC(3; 8; − 5) phương trình tắc x −1 y + z− = = đường thẳng ∆ −5 162 uuur Nếu t = −3 C(−2; − 6;3) nên AC(−3; − 4;1) phương trình tắc x −1 y + z− = = đường thẳng ∆ −3 −4 ′ nên D(−1 + 2t;2 + t;1 − t) D ∈ud uur uuur Ta có: OA(1; − 2; 2), OD(−1 + 2t; + t; − t) uuur uuur nên OA, OD  = (−6; 5t − 3; 5t) uuur uuur (−6)2 + (5t − 3)2 + (5t)2 Do SOAD = OA, OD  = 2 45 , nên Theo SOAD = 33 (−6)2 + (5t − 3)2 + (5t)2 = 45 ⇔ 5t2 − 3t − 198 = ⇒ t = −6; t = uuur Nếu t = −6 D(−13; − 4; 7) ⇒ AD(−14; − 2; 5), phương trình tắc x −1 y + z− = = đường thẳng ∆ −14 −2 33  61 43 28  uuur  56 53 38  ;− ⇒ AD  ; ;− , phương trình Nếu t = D  ; 5÷ 5÷  5   5  x −1 y + z− = = tắc đường thẳng ∆ 56 53 −38 Bi 12 uuuur M(1 + 2t; − + t; + 3t) ⇒ AM(2t − 1;t − 2; + 3t) AM = ⇔ 14t2 + 4t + = ⇔ t = t = − uuuur x − y −1 z = = t = ⇒ AM(−1; − 2;2) nên ∆ : −2 uuuur x − y −1 z t = − ⇒ AM = (11;16; − 8) nên ∆ : = = 7 11 16 −8 uuur N(1 + 2t; − + t; + 3t) ⇒ BN(2t + 1;t − 5; + 3t) uuur uuur uuur BC(0; − 2; − 1) ⇒ BC, BN  = (−9 − 5t; − − 2t; 4t + 2) uuur uuur Diện tích tam giác BNC SBNC = BC, BN  nên 21 (−9 − 5t)2 + (−1 − 2t)2 + (4t + 2)2 = 2  t = −1 ⇔ 45t + 110t + 86 = 21 ⇔   t = − 13  163 13 uuur  17 58  x y−4 z ⇒ BN  − ; − ; − ÷ nên ∆ : = = 9 3 17 58 21  uuur x y−4 z = t = −1 ⇒ BN(−1; − 6; − 1) nên ∆ : = 1r 1uuur uuu Ta có D(1 + 2t; − + t; + 3t),AB(−2; 3; 0), AC(−2; 1; − 1) nên uuur uuur  AB,AC  = (−3; − 2; 4) ⇒ S ABC = 29 ⇒ d(D,(ABC)) = 19   29 t=− Phương trình (ABC) : 3x + 2y − 4z − = 17 Do 4t + 15 = 19 ⇒ t = 1; t = − Có hai đường thẳng thỏa mãn ∆: 19 47 x−3 y z−5 y+ z+ x + 16 = = 2 ∆: = = −4 −4 Bi 13 ∆1 ∩ ∆ = I(1; 0; 1) 1 nên SI AB = I A.I B sin(∆1, ∆ ) = I A ⇒ I A = I B = 2 Gọi A(−1 + a; − + a;1),B(1 − b;0; + b) ta có a = IA = ⇔ a − = ⇔  ⇒ A 1(2;1;1), A 2(0; − 1;1) a = cos(∆1, ∆ ) = b = IB = ⇔ b = ⇔  ⇒ B1(0;0;2), B 2(2;0;0)  b = −1 Có bốn đường thẳng thỏa mãn x y z−2 x−2 y z ∆(A 1B1 ): = = ; ∆(A 2B ) : = = −1 −1 x = x =   (m,n ∈ ¡ ) Và ∆(A 1B ) : y = m, (t ∈ R) ∆(A 2B1 ) : y = t z = m z = + n   Bi 14 uur Đường thẳng d1 qua A (1; −3; −2) có u1 = ( 1;2;3) VTCP uur Đường thẳng d2 qua B (4;2;3) có u2 = (1; −4; −3) VTCP uur uur uuur uur uur uuur Ta có: u1, u2  = ( 6;6; −6) , AB = (3;5;5) ⇒ u1, u2  AB = 18 ≠ suy hai đường thẳng d1, d2 chéo Gọi M N đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 164 ( với M ∈ d1, N ∈ d2 ) Suy M ( + t; −3 + 2t; −2 + 3t) , N ( + t ';2 − 4t ';3 − 3t ') uuuur ⇒ MN = ( − t + t '+ 3; −2t − 4t '+ 5; −3t − 3t '+ 5) uuuur uur  MN ⊥ d1  MN u1 = ⇒  uuuur uur Vì   MN ⊥ d2  MN u2 = 1(− t + t '+ 3) + 2(−2t − 4t '+ 5) + 3(−3t − 3t '+ 5) = ⇔ 1(− t + t '+ 3) − 4(−2t − 4t '+ 5) − 3(−3t − 3t '+ 5) = 7t + 8t '− 14 = t = ⇔ ⇔ 8t + 13t '− 16 = t ' = uuuur Từ suy M (3;1;4), MN = (1;1; −1) x− y−1 z− = = Vậy phương trình MN : 1 −1 Ta có A(1 + 2a; a; + a), B(b; + 2b;1 + 3b) uuur r Vì AB ⊥ d3 nên AB.ud3 = ⇔ + 9a = 10b Vì AB = 13 nên tìm hai cặp điểm a = b = A(3; 1; 4), B(1; 4; 4) 223 488  294  223 177  209  177 120 ;− ; a=− ,b = − A  − ÷, B  − 237 ; 237 ; − 237 ÷ 237 237 237 237 237     Bi 15 Gọi M = ∆ ∩ ∆1 M(t; − + 2t; − t) uuuur Véc tơ phương đường thẳng ∆ AM(t + 1; − + 2t; − t) Vì góc hai đường thẳng 600 nên cos600 = cos(∆, ∆1 ), hay uuuur r AM.u ∆ t + − + 4t − + t 1 = uuuur r ⇔ = AM u ∆ (t + 1)2 + (−1 + 2t)2 + (2 − t)2 t = ⇔ 3t2 − 3t = ⇔  t = uuuur Nếu t = AM(1; − 1; 2) nên ∆ có phương trình tham số  x = −1 + t  (t ∈ ¡ ) y = −t z = + 2t  uuuur Nếu t = AM(2; 1; 1) nên ∆ có phương trình tham số 165  x = −1 + 2t  (t ∈ ¡ ) y = t z = + t  Gọi N = ∆ ∩ ∆ N(1 + 3t; + 2t; + 2t) uuur Véc tơ phương đường thẳng ∆ BN(3t + 4; 2t + 2; 2t + 2) Vì góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) : x + 2y − z + = 300 nên r r sin 300 = sin(∆,(α )) = cos(u ∆ ,n(α ) ) , hay uuur r BN.n(α ) 3t + + + 4t − − 2t 1 = uuur r ⇔ = BN n(α ) (3t + 4)2 + (2 + 2t)2 + (2 + 2t)2 ⇔ 4(5 + 6t)2 = (3t + 4)2 + 2(2 + 2t)2  ⇔ t2 = ⇔ t = uuur Với t = BN(4; 2; 2) = 2(2; 1; 1) nên  x = −3 + 2t  ∆ có phương trình tham số  y = −1 + t (t ∈ ¡ ) z = + t  Bi 16 Đường thẳng dm qua A (4m − 3;2m + 3;8m + 7) có u r u = ( 2m − 1; m + 1;4m + 3) Giả sử dm ⊂ (α ) : ax + by + cz + d = với m , ta có:  a(2m − 1) + b(m + 1) + c(4m + 3) = ∀m   a(4m − 3) + b(2m + 3) + c(8m + 7) + d = (2a + b + 4c)m − a + b + 3c = ⇔ ∀m (4a + 2b + 8c)m − 3a + 3b + 7c + d = 2a + b + 4c = b = 10a   − a + b + 3c = ⇔ ⇔  c = −3a , ta chọn 2a + b + 4c =  d = −6a  −3a + 3b + 7c + d = a = ⇒ b = 10, c = −3, d = −6 Vậy dm ⊂ (α ) : x + 10y − 3z − = 166