HƯỚNG DẪN GIẢI Vấn đề CÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ Bi u r r r a) Ta có: a = ( 2;3; −5) , b = ( 0; −3;4) , c = ( −1; −2;0) u r r r Suy 3a = ( 6;9; −15) , 2b = ( 0; −6;8) ⇒ x = ( 6;3; −7) r Do đó: x = 62 + 32 + (−7)2 = 94 r r u r r r b) Ta có: 2b − c = ( 1; −4;8) , nên y vng góc với 2b − c u r r r y 2b − c = ⇔ 1.(2x − 1) − 4.(− x) + 8(3x + 2) = ⇔ x = − ( ) c) u r r u r r r Cách 1: Ta có:  a, b = ( −3; −8; −6) ⇒  a, b c = + 16 = 19 ≠ u r r r Nên ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng u r r r Cách Giả sử ba véc tơ a, b, c đồng phẳng Khi tồn hai số thực x, y u r r r cho a = x.b + y.c (1) − y = r r  Mà xb + yc = ( − y; −3x − 2y;4x) nên (1) ⇔ −3x − 2y = hệ vô  4x = −5  nghiệm u r r r Vậy a, b, c không đồng phẳng u r u r r r Giả sử u = ma + nb + pc (2) u r r r ma + nb + pc = ( 2m − p;3m − 3n − 2p; −5m + 4n ) nên (2) tương đương Do với 2m − p =  3m − 3n − 2p = ⇔ m = 2, n = −1, p =  −5m + 4n = −14  u r u r r r Vậy u = 2a − b + c u r r r a) Ta có a = (2;3; −1), b = (−1;0;2), c = ( 0;2; −3) u r u r r r u r b) Ta có: u = 2a + 3b − 4c = ( 1; −2;16) ⇒ u = 29 r r rr = ⇔ −1(3x − 1) + 2(3 − x) = ⇔ x = c) Ta có: v ⊥ b ⇔ vb 124  32 k = 11 k − p =  r u r r r   ⇔ p = − d) Giả sử: x = k.a + p.b + l c ⇔ 3k + 2l = 11 − k + 2p − 3l =   37   l = − 11  r 32 u r r 37 r a− b− c Vậy x = 11 11 11 Bi r r r r rr Do a = 3, b = 3, (a, b) = 30 nên ta có a.b = a) Sử dụng công thức u r r r r r r rr ma + nb = (ma + nb)2 = m2a2 + 2mn.ab + n2b2 r r r r r r Ta tính a + b = 39, 5a + 2b = 129, 3a − 2b = r r r r r r b) Sử dụng công thức  ma, nb = m.n a b sin(ma, nb) r r r r r r r r Với ý (a, 3b) = (a, b) = 300 , (5a, − 2b) = 1800 − (a, b) = 1500 r r 2 a) Ta có [ u,v] = (−2m; − m − m; − m − 5) nên ba véc tơ cho đồng phẳng r r r [ u,v] w = hay − 2m.1 + (− m2 − m).(− 1) + (− m − 5).2 = ⇔ m2 − 3m − 10 = ⇔ m = −2;m = Vậy giá trị cần tìm m m = −2;m = uuur uuur uuur b) Ta có CA(−3; − 4;m − 1),CB(4 − m;0;2 − 2m), CD(1 − m;3 + m;m − 1) uuur uuur Suy CA,CB  = (8(1 − m); (m − 1)(m + 2); 4(m − 4)) uuur uuur uuur Vậy bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng CA,CB  CD = 0, hay 8(1 − m)2 + (m − 1)(m + 2)(3 + m) + 4(m − 1)(m − 4) = ⇔ (m − 1)2 (m + 18) = ⇒ m = 1; m = −18 Vậy giá trị cần tìm m m = 1; m = −18 r r r r a.b c) Ta có cos(a,b) = r r nên a.b cos600 = 2m + 2m + (2m − 1).(− 1) 2 2 2 + m + (2m − 1) m + + (− 1) ⇔ 2m + = 2 5m − 4m + m2 + Với m ≥ − , nên bình phương hai vế rút gọn ta 125 5m4 − 4m3 + 14m2 − 36m + 21 = ⇔ (m − 1)2 (5m2 + 6m + 21) = ⇔ m = Giá trị cần tìm m m = Bi uuur 2S 14 Ta có BC(3;2;6) ⇒ BC = nên AK = ABC = BC  AK ⊥ BC uuuu r    Gọi A  x; ;z ÷ AK ( − x;2;3 − z) Do từ  14 suy    AK = 3x + 6z = 25  3x + 6z = 25  160 ⇔  2 45z − 318z + 405 = (1 − x) + ( − z) =  37 25   5 Từ ta có A  − ; ; (loại) A  5; ; ÷ (thỏa mãn) ÷  15   3 Gọi L chân đường vng góc hạ từ B đến AC uuur uuur 10   t Ta có CL = tCA nên L  + 3t;3 − t;5 − 3 ÷   uuur  u u u r 10  10   t ÷,CA  3; − ; − ÷ nên Do BL  + 3t;2 − t;6 − 3  3   uuur uuur  19  BL CA = ⇔ t = ⇒ L  ; ;3÷  5   3 5  7 I  ; ; ÷, H  3; ; ÷  2 3  3 r uur  1 4 2  13 17  uuuu ; ⇒ HG  −1; ; − ÷ = 2GI  − ; ; − ÷ G  2; ÷ 9 9 9    18 Bi A(2;4;1),B(0;4;4),C(0;0;1) Gọi D(x;y;z) Từ DA = BC,DB = CA,DC = AB ta có hệ (x − 2)2 + (y − 4)2 + (z − 1)2 = 25 x = 2(1 − y)  12 − 4y   2 ⇔ z =  x + (y − 4) + (z − 2) = 20   2  x + y + (z − 1) = 13 x2 + y2 + (z − 1)2 = 13  166 144 52  ; ; ÷ Chọn điểm D(2;0;4) Suy D(2;0;4),D  −  61 61 61  5  Tọa độ trọng tâm tứ diện G  1;2; ÷ 2  29 Tính GA = GB = GC = GD = 126 Vậy G cách đỉnh tứ diện (là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) 5  uuuur   Ta có M  1;4; ÷, N  1;0; ÷ ⇒ MN(0; − 4;0) 2 2   uuuur uuur uuuur uuur Do MN.AB = MN.CD = Hay MN đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD Gọi A ′,B ′,C′,D′ trọng tâm mặt đối diện 29 Ba góc đỉnh tứ diện ba góc tam giác, nên tổng góc đỉnh 1800 Bi uuur uuur uuur uuur Ta có BA = (1;2;3), BC = (1; −2;3), BD = (4;2;4) , CD = (3;4;1) uuur uuur  −2 3 1 −  ; ; ÷ = (−14;8;10) Suy  BC, BD  =  2÷  4 4  uuur uuur uuur Do BA  BC, BD  = 32 ≠ ⇒ A, B, C, D không đồng phẳng uuur uuur (−14)2 + 82 + 102 = 10 Ta có: S∆BCD =  BC, BD  =  2 2S 10 65 = Vì S∆BCD = BH CD nên suy BH = ∆BCD = CD 13 26 uuur uuur uuur 16 Ta có: VABCD = BA  BC, BD  =   3V 16 10 Gọi h = d( A, (BCD)) ⇒ h = ABCD = S∆BCD 10 15 Ta có AA ′ = BB ′ = CC′ = DD′ = Gọi E (x; y; z) x = uuur uuur  ABCE hình bình hành ⇔ CE = BA ⇔  y + = ⇔ z =  x =  y = z =  Vậy E (1;0;3) uuuu r uuuu r uuur Ta có: AC = (0; −4;0) ⇒ AC.BD = −8 uuuu r uuur uuuu r uuur AC.BD ⇒ cos AC, BD = = = AC.BD 4.6 ( ) Ta có M ∈ Oy ⇒ M (0; y;0) Tam giác BMC cân M ⇔ MC = MB ⇔ (−1)2 + y2 + 32 = ( y + 2)2 ⇔ y = 127   Vậy M  0; ;0÷  2 3  2 3  1 1  2 2 uuuur  r  1  uuuu ⇒ AA ' =  ; −2; − ÷, AG =  ; − ; − ÷ 3 3  2 2 2 − uuuur uuuu r = −2 = = ⇒ AA ' = AG ⇒ A, A ', G Mà thẳng hàng −3 3 − 2 Bi Gọi K chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC  K ∈ BC Khi đó:   AK ⊥ BC uuuu r uuur • K ∈ BC nên BK = t.BC,  xK + = t(1 + 1)  xK = 2t −    yK − = t(1 − 2) ⇒  yK = − t (t ∈ ¡ ) ⇒ K (2t − 1;2 − t; − 2t)    xK − = t(−2 − 0)  xK = −2t uuuur uuuur uuur • AK ⊥ BC ⇔ AK BC = Vì AK (2t − 3; − − t; − − 2t) nên Ta có: A '  ;0; − ÷, G  ; ; − ÷ (2t − 3).2 + (−1 − t).(−1) + (−1 − 2t).(−2) = ⇔ t =   3 2 3 Tọa độ điểm K cần tìm K  − ; ; − ÷ Gọi H (x; y; z) trực tâm tam giác ABC Ta có uuuur uuuu r uuur uuuu r uuur AH (x − 2; y − 3; z − 1), BH (x + 1; y − 2; z), AB (−3; − 1; − 1), AC (−1; − 2; − 3), BC (2; − 1; uuur uuuu r Tích có hướng hai véc tơ AB, AC uuur uuuu r    AB, AC  =  −1 −1 ; −1 −3 ; −3 −1 ÷ = (1; − 8;5)    −2 −3 −3 −1 −1 −2 ÷   Vì H trực tâm tam giác ABC nên uuuur uuur  AH BC =  AH ⊥ BC 2x − y − 2z = −1  uuuu    r uuur ⇔  x + 2y + 3z =  BH ⊥ CA ⇔  BH CA = r uuuur  H ∈ ( ABC )   uuur uuuu  x − 8y + 5z = −17      AB, AC  AH = 128  29  ; ; − ÷  15 15  Giải hệ ta H  Gọi I (x; y; z) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có uuu r uuu r uur AI (x − 2; y − 3; z − 1), BI (x + 1; y − 2; z), CI (x − 1; y − 1; z + 2) Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên  AI = BI  AI = BI 6x + 2y + 2z =     2 ⇔  x + 2y + 3z =  AI = CI ⇔  AI = CI u u u r u u u u r u u u r  I ∈ ( ABC )   x − 8y + 5z = −17      AB, AC  AI =  14 61  Giải hệ ta I  ; ; − ÷  15 30  Trọng tâm G tam giác ABC có tạo độ thỏa mãn  − + + + 1 + − 2  1 G ; ; ÷ =  ; 2; − ÷ 3 3   3 uuuur  r uuuur uuu r  uuu  1 ; 0÷, GI  ; ; 0÷ nên HG = 2GI , tức ba điểm Do HG  ;  15 15   15 30  G, H , I nằm đường thẳng Bi Vì C ∈ (Oxy) nên C (x; y;0) uuur uuuu r uuur Ta có AB (−3;0; − 3), AC (x − 5; y − 3;1), BC (x − 2; y − 3;4) Tam giác ABC tam giác nên AB = AC = BC, (x − 5)2 + ( y − 3)2 + 12 = 18  AC = AB ⇔    AC = BC (x − 5)2 + ( y − 3)2 + 12 = (x − 2)2 + ( y − 3)2 + 42  x = 1; y = ( y − 3)2 = ⇔ ⇔  x = 1; y =  x = Vì C có tung độ nhỏ nên C (1;2;0) a) Gọi D(x; y; z) uuuu r uuur uuur Khi AD(x − 5; y − 3; z + 1), BD(x − 2; y − 3; z + 4), CD(x − 1; y − 2; z) Tam giác ABC tam giác nên ABCD tứ diện AD = BD = CD = AB = Ta có hệ phương trình (x − 5)2 + ( y − 3)2 + (z + 1)2 = (x − 2)2 + ( y − 3)2 + (z + 4)2   2 2 2 (x − 5) + ( y − 3) + (z + 1) = (x − 1) + ( y − 2) + z  2 (x − 5) + ( y − 3) + (z + 1) = 18 129 z = − x  ⇔  y = 16 − 5x ⇔  2 (x − 5) + (13 − 5x) + (2 − x) = 18 z = − x   y = 16 − 5x  3x − 16x + 20 = 10 Giải phương trình 3x2 − 16x + 20 = ta x = 2, x =  10 7 Vậy tọa độ điểm D D(2; 6; − 1) D  ; − ; − ÷ 3  b) Gọi S (x; y; z) Ta có uuur uuur uuur AS (x − 5; y − 3; z + 1), BS (x − 2; y − 3; z + 4), CS (x − 1; y − 2; z) SA, SB, SC đơi vng góc uuur uuur  AS.BS = (x − 5)(x − 2) + ( y − 3)2 + (z + 1)(z + 4) =  uuur uuur   BS.CS = ⇔ (x − 2)(x − 1) + ( y − 3)( y − 2) + (z + 4)z =  uuur uuur (x − 1)(x − 5) + ( y − 2)( y − 3) + z(z + 1) = CS.AS =    x2 + y2 + z2 − 7x − 6y + 5z = −23   ⇔  x2 + y2 + z2 − 3x − 5y + 4z = −8 ⇔  2  x + y + z − 6x − 5y + z = −11  y = 5z + 11  ⇔ x = − z  3z + 10z + =  x + y − 4z = 12  −3x − 3z = −3  2  x + y + z − 6x − 5y + z = −11 Giải phương trình 3z2 + 10z + = ta z = −2; z = −  13  ; − ÷ 3 3 Suy hai điểm S thỏa mãn S (3;1; − 2), S  ; Bi a) Gọi A1, A2, A3 hình chiếu A lên trục Ox, Oy, Oz B1, B2, B3 hình chiếu A lên mặt phẳng tọa độ (Oxy),(Oyz), (Ozx) Ta có: A1 ( 3;0;0) , A2 ( 0; −2;0) , A3 ( 0;0;4) B1 ( 3; −2;0) , B2 ( 3;0;4) , B3 ( 0; −2;4) b) Do M ∈ Ox ⇒ M ( m;0;0) , N ∈ Oy ⇒ N ( 0; n;0) 130 uuuur uuuur Suy AM = ( m − 3;2; −4) , AN = ( −3; n + 2; −4) uuuur uuuur  AM AN = Tam giác AMN vuông cân A nên ta có   AM = AN  2(n + 2) + 16 (1) m − = −  3(m − 3) + 2(n + 2) + 16 =  ⇔ ⇔ 2 2 2 (m − 3) + + (−4) = (−3) + (n + 2) + (−4)   2(n + 2) + 16 = (n + 2)2 +     Ta có: (2) ⇔ 4(n + 2)2 + 64(n + 2) + 256 = 9(n + 2)2 + 45   32 + 231 22 + 231 n + = n = 5 ⇔ 5(n + 2)2 − 64(n + 2) − 211 = ⇔  ⇔   32 − 231 22 − 231 n + = n = 5    189 + 231 m = ⇒  189 − 231 m =  Vậy có hai thỏa yêu cầu toán:  189 + 231   22 + 231  M1  ;0;0÷, N  0; ;0÷  ÷  ÷ 15      189 − 231   22 − 231  M2  ;0;0÷, N  0; ;0÷  ÷  ÷ 15     c) Vì E ∈ (Oyz) nên E ( 0; x; y) uuuu r uuur Suy AE = ( −3; y + 2; z − 4) , BE = ( 1; y − 4; z + 4) uuuu r uuur ⇒  AE , BE  = ( 8y + 6z − 8;4z + 8;10 − y)   Nên từ giả thiết tốn ta có:  AE = BE  AE = BE   r uuur ⇔  uuuu r uuur  uuuu   AE , BE  = 29   AE , BE  = 1044  2  AE = BE ⇔ + ( y + 2)2 + (z − 4)2 = + ( y − 4)2 + (z + 4)2 ⇔ y = uuuu r uuur  AE , BE  = 1044 ⇔ ( 8y + 6z − 8) + (4z + 8)2 + ( 10 − y) = 1044   131 4z + 2  50z − 16   26 − 16z  34 ⇔ ÷ + ( 4z + 8) +  ÷ − 1044 = ⇔ z = 2, z = − 3 25     • z = ⇒ y = nên E ( 0;3;2) • z=− Bi  37 34  34 37 ⇒ y= − nên  0; − ; − ÷ 25 25  25 25  uuur uuur uuur uuur Ta có: OA = (4;0;0), OB = (x0; y0;0) ⇒ OA.OB = 4x0 (x − 4)2 + y2 = 40   x Theo giả thiết tốn ta có hệ phương trình sau:  =  2  x0 + y0  x2 + y2 − 8x = 24  0   y0 = x0 ⇔ ⇔  2x0 = x02 + y02  x02 − 4x0 − 12 =   x = ⇔ ⇒ B ( 6;6;0)  y0 = a) Do C ∈ Oz ⇒ C (0;0; m), m > uuur uuur uuur uuur  OA = (4;0;0), OB = (6;6;0) ⇒ OA , OB  = (0;0;24) Ta có:   uuur OC = (0;0; m) uuur uuur uuur ⇒ OA, OB  OC = 24m ⇒ V OABC = 24m = ⇔ m = ⇒ C (0;0;2)   uuuu r  10  uuuur b) Ta có G  ;2;0÷, AM = xAC = (−4x;0;2x)   uuuur uuuur   ⇒ M (4 − 4x;0;2x) ⇒ OM = (4 − 4x;0;2x); GM =  − 4x;2;2x ÷ 3  uuuur uuuur ⇒ OM ⊥ GM ⇔ OM GM = ⇔ (4 − 4x)( − 4x) + 4x2 = ⇔ 20x2 − 56 ± 19 x + = ⇔ 15x2 − 14x + = ⇔ x = 3 15 132