HƯỚNG DẪN GIẢI Vấn đề BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẠNH, ĐỈNH VÀ MẶT CỦA HÌNH ĐA DIỆN Bi 1 • Xét hình đa diện (H ) , (H ) có mặt, giả sử M mặt (H ) , M đa giác nên có đỉnh, giả sử A, B, C Vì AB cạnh chung hai mặt nên AB cạnh củau mặt thứ hai M (H ) , suy M có thêm đỉnh D Nếu D ≡ C M M có hai cạnh chung AB BC vơ lí, D≠C Dẫn tới hình đa diện (H ) có đỉnh Có hình đa diện có đỉnh hình chóp tam giác Vậy số đỉnh hình đa diện • Xét hình đa diện (H ) có mặt M Khi M có ba cạnh liên tiếp C1; C2; C3 Gọi M mặt khác M có chung cạnh C1 với M Trên mặt M có hai cạnh C4; C5 khác C1 Do tính phân biệt M M nên C4; C5 phải khác C2; C3 Như C1; C2; C3; C4; C5 khác Gọi M mặt khác M có chung cạnh C2 với M Khi M có hai cạnh C6; C7 khác C2 phân biệt với C1; C3 +) Nếu C6 khác với C4; C5 hình (H ) có cạnh +) Nếu C6 ≡ C4 M M có nhiều cạnh chung nên C7 khác C4; C5 nên (H ) có cạnh C1; C2; C3; C4; C5; C7 +) Nếu C6 ≡ C5 tương tự (H ) có cạnh Suy hình (H ) ln có cạnh Có hình đa diện có cạnh hình chóp tam giác Vậy số cạnh hình đa diện • Vì mặt hình đa diện (H ) có ba cạnh, mà cạnh có thêm mặt chung, hình đa diện (H ) có mặt Hình chóp tam giác hình đa diện có mặt Vậy số mặt hình đa diện Gọi D, M , C số đỉnh, số mặt số cạnh khối đa diện loại { n; p} Vì mặt có n cạnh nên M mặt có nM cạnh, cạnh lại chung cho hai mặt nên 2C = nM Vì đỉnh đỉnh chung cho p cạnh nên D cho pD cạnh , cạnh cạnh chung hai mặt suy 2C = pD Vậy pD = 2C = nM 217 D C M D − C + M ( D − C + M ) 2pn = = = = Từ suy ra: 1 1 1 2n + 2p − np − + p n p n D C M pn = = = Mà D − C + M = suy 1 2n + 2p − np p n 4n 2np 4p ;C = ;M = Vậy : D = 2n + 2p − np 2n + 2p − np 2n + 2p − np Ta có D, C, M , n, p số nguyên dương nên 2n + 2p − np > 0, mà 2n + 2p − np = n(2 − p) − 2(2 − p) + = −( p − 2)(n − 2) + 4, ( p − 2)(n − 2) < Vì đa giác phải có cạnh, đỉnh có khơng cạnh nên n ≥ 3, p ≥ ⇒ n − 2, p − hai số ngun dương có tích nhỏ 4, nên xảy trường hợp n − = •  ⇒ n = p = 3, ta có khối đa diện loại { 3;3} , p − = khối tứ diện n − = •  ⇒ n = 4; p = 3, ta có khối đa diện loại { 4;3} , p − = khối lập phương n − = •  ⇒ n = 3; p = 4, ta có khối đa diện loại { 3;4} , p − =  khối bát diện (tám mặt đều) n − = •  ⇒ n = 5; p = 3, ta có khối đa diện loại { 5;3} , p − = thập nhị diện (mười hai mặt đều) n − = •  ⇒ n = 3; p = 5, ta có khối đa diện loại { 3;5} , p − = khối nhị thập diện (hai mươi mặt đều) Vì mặt (H ) có p cạnh nên 2q + mặt có ( 2q + 1) p cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên số cạnh c= 218 p ( 2q + 1) , c số nguyên nên p phải số chẵn 4 a) Do mặt có cạnh, nên số cạnh m mặt không nhỏ 3m Mà cạnh cạnh chung hai mặt nên c≥ 3m ⇔ 2c ≥ 3m > 2m ⇔ c > m b) Vì đỉnh đỉnh chung ba cạnh qua hai đỉnh có cạnh nên 2c ≥ 3d > 2d ⇔ c > d Xét hình đa diện có mặt M i với số cạnh lớn Khi đó, đỉnh mặt M i đỉnh chung cạnh, nên đỉnh có thêm cạnh qua, số cạnh hình đa diện lớn Vì vậy, hình đa diện (H ) có số cạnh khơng tồn mặt có số đỉnh lớn 4, tức mặt hình phải tam giác Gọi M,C số mặt số cạnh hình đa diện (H ) Do cạnh cạnh chung hai mặt nên 3M = 2C = 14 ⇒ M = 14 (vô lý, M số nguyên dương).Vậy khơng tồn hình đa diện có cạnh Xét khối đa diện (H ) có số đỉnh D số cạnh xuất phát từ đỉnh C1;C2; ;C D , C k số nguyên dương với k = { 1;2; ;D} Vì số đỉnh khối đa diện D nên số cạnh xuất phát từ đỉnh phải nhỏ D, C k < D Như tập C k có D phần tử mà nhận giá trị từ đến D, theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai phần tử có giá trị Vậy khối đa diện bất kỳ, tồn hai đỉnh mà số cạnh xuất phát từ hai đỉnh Bi Gọi Đ số đỉnh đa diện C số cạnh đa diện Vì đỉnh đỉnh chung ba cạnh cạnh qua hai đỉnh nên 3Đ = 2C ⇒ 3Đ số chẵn ⇒ Đ số chẵn Giả sử A đỉnh chung ba cạnh AB,AC AD khối đa diện Khi mặt đa diện chứa cạnh AB , AC tam giác ABC ; mặt đa diện chứa cạnh AC,A D tam giác ACD ; mặt đa diện chứa cạnh A D,AB tam giác ABD Vì BC,BD,DC cạnh đa diện nên tam giác BCD mặt đa diện Vậy đa diện cho giới hạn mặt A BC,A CD,A DB BCD nên đa diện khối tứ diện Giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng O Nếu O thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện mặt hình có tâm đối xứng Điều khơng thể xảy mặt tứ diện tam giác mà tam giác hình khơng có tâm đối xứng Vậy O khơng thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện Gọi A ’,B’ hai điểm đối xứng A B qua O A ’,B’ thuộc hai mặt BCD 219 ACD tứ diện Vì đoạn A ’B’ hình đối xứng đoạn AB qua O nên A ’B’ P = AB ⇒ tứ giác ABB’A ’ hình bình hành ⇒ BA ’ P AB’ Nếu A ’ khơng trùng B B’ khơng trùng A , hai mặt phẳng ( BCD ) ( ACD ) chứa hai đường thẳng song song BA ’ AB’ nên giao tuyến CD chúng song song với BA ’ , điều khơng thể xảy A ’ thuộc tam giác BCD , A ’ trùng B B’ trùng A  , O trung điểm AB tức O thuộc mặt tứ diện (điều mâu thuẩn) Vậy tứ diện khơng có tâm đối xứng Bi Xét khối đa diện (H ) có mặt M Gọi A,B,C ba đỉnh liên tiếp M Ta có AB,BC hai cạnh liên tiếp (H ) Vì cạnh cạnh chung hai mặt, nên tồn mặt M khác M có chung cạnh AB với M Mặt M phải có đỉnh khác với đỉnh A,B Giả sử D ≡ C M M có hai cạnh chung AB BC (BD), tức hai mặt trùng nhau, điều mâu thuẫn với M khác M Vậy D phải khác C, tức đa diện (H ) phải có bốn đỉnh Xét hình đa diện (H ) có mặt M Khi M có ba cạnh liên tiếp C1;C2;C3 Gọi M mặt khác M có chung cạnh C1 với M Trên mặt M có hai cạnh C4 ;C5 khác C1 Do tính phân biệt M M nên C4 ;C5 phải khác C2 ;C3 Như C1;C2;C3;C ;C5 khác Gọi M mặt khác M có chung cạnh C2 với M Khi M có hai cạnh C6 ;C7 khác C2 phân biệt với C1;C3 - Nếu C6 khác với C4 ;C5 hình (H ) có cạnh - Nếu C6 ≡ C4 M M có nhiều cạnh chung nên C7 khác C4 ;C5 nên (H ) có cạnh C1;C2;C3;C ;C5;C7 - Nếu C6 ≡ C5 tương tự (H ) có cạnh Vậy hình (H ) ln có cạnh Giả sử đỉnh khối đa diện đỉnh chung khơng cạnh Khi đó, gọi C1,C2, ,C D số cạnh xuất phát từ đỉnh khối đa diện C k ≥ với k = { 1;2; ;D} Ta có cạnh qua hai đỉnh nên C + C2 + + C D 6D C C= ≥ ⇒D≤ 2 220 Chứng minh tương tự ta có M ≤ 2C ⇒ D + M ≤ C Điều khơng thể xảy ra, nên tốn chứng minh Bi Gọi M ,N trung điểm AB CD Hai tam giác ACD BCD (c.c.c) ⇒ AN = BN (hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác ACD,BCD ) ⇒ Tam giác ANB cân N ⇒ NM đường trung trực AB Tương tự MN đường trung trực CD Thực đối xứng trục MN ,ta có A → B,B → A ,C → D ,D → C (kí hiệu A → B có nghĩa B ảnh A qua phép biến hình) Suy A ’ = hcA /CD → B’ = hcB/CD C’ = hcC /AB → D’ = hcD /CD D’ = hcD /CD → C’ = hcC /AB ⇒ A ’C’ → B’D’ A ’D’ → B’C ⇒ A ’C’ = B’D’ A ’D’ = B’C’ y x F E C 60° E B 75° a a 105° D 120° A ( ) ( ) 0 0 0 · · · · Ta có : ADC = 360 − BAD + ABC + DCB = 360 − 120 + 75 + 60 = 105 uuur Thực phép tịnh tiến AD Điểm B biến thành điểm E , tứ giác ABED hình bình hành Suy : DE = AB = a ·ADE = ·ABE = 1800 − ·BAD = 600 ⇒ ·EDC = ·ADC − ·ADE = 1050 − 600 = 450 221 Tam giác CED có ·EDC = 450 ,CD = a 2,DE = a nên tam giác vuông cân E ⇒ ·ECD = 450 ⇒ ·ECB = ·DCB − ·ECD = 600 − 450 = 150 Lại có : ·EBC = ·ABC − ·ABE = 750 − 600 = 150 Suy tam giác BEC cân E ⇒ EB = EC = ED = a , ·BEC = 1500 Áp dụng định lí hàm cosin tam giác BEC , ta có: BC = EB2 + EC − 2EB.EC.cos·BEC = 2a2 – 2a2 cos1500 = 2a2 + 2a2 = a2 + ⇒ BC = a + BE,CF Vì vng góc với ( P ) nên BC hình chiếu vng góc EF lên ( ( P ) , suy ) ( ) BC = EFcos EF,( P ) = EFcos600 a 2+ = 2a + cos60 Gọi M ’ điểm đối xứng M qua EF H giao điểm MM ’ EF H trung điểm MM ’ MA + MB = AM + AM ’ Dựng hình bình hành AMNM ’ ,ta có : A M + MN ≥ AN = 2AH ⇒ AM + AM ' ≥ 2AH ⇒ MA + MB ≥ 2AH Tương tự MC + MD ≥ 2CH Ta chứng minh HA + HC ≥ OA + OC uuur uur Dựng EA ' = CF , ta có tứ giác EA ’FC hình bình hành nên O trung điểm A ’C  EA ’ ⊥ EF (do EF ⊥ CF ) suy OA ’ = OC Hai tam giác vng HEA HEA ’ có chung cạnh HE EA = EA ’ (cùng CF ) nên chúng nhau, suy HA ’ = HA Do HA + HC = HA ’ + HC ≥ A ’C = OA ’ + OC = OA + OC Suy MA + MB + MC + MD ≥ 2( AH + CH ) ⇒ EF = BC = ≥ 2( OA + OC ) = OA + OB + OC + OD (đpcm) Bi Gọi A ’ điểm đối xứng A qua ( P ) , ta có MA = MA ’ , suy MA + MB = MA ’ + MB ≥ A 'B MA + MB = A ’B ⇔ M giao điểm A ’B ( P ) Vậy ( MA + MB) = A ’B đạt M giao điểm A ’B với ( P) uuuu r uur Gọi A ’ điểm đối xứng A qua c , ta có : AA ' = 2IO ⇒ I trung điểm A ’B Vì ( P ) ( Q ) vng góc với theo giao tuyến c ; AA ’ vng góc c trung điểm E AA ’ Từ suy A A ’ đối xứng qua ( Q ) 222 ⇒ ·A 'Oz ảnh ·AOz qua phép đối xứng qua ( Q ) ⇒ ·A 'Oz = ·AOz Trong mặt phẳng xác định Oz A ’B ta có: ·A 'Oz + ·BOz = 1800 ⇒ ·AOz + ·BOz = 1800 Gọi D hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng ( P ) Thực phép tịnh uuur tiến vectơ DC , mặt phẳng ( P ) biến thành mặt phẳng ( P’) Gọi A ’,B’,G’ lên mặt phẳng ( P’) , ta có A A ’ = a + c,BB’ = b + c,GG’ = h + c Vì tam giác A ’B’C hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng ( P’) , G trọng tâm tam giác ABC nên uuur uuu r uuur ur GA + GB + GC = O G’ trọng tâm tam giác A ’B’C Suy  uuuuu r uuuur uuuu r ur G'A ' + G'B' + G'C = O uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuuuu r uuu r uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuu r ⇒ AA ' + BB' + CC = AG + GG' + G'A ' + BG + GG' + G'B' + CG + GG' + G'C uuuu r uuur uuu r uuur uuuuu r uuuur uuuu r uuuu r = 3GG' + AG +4 BG + CG + G'A ' + G'B' + G'C3 = 3GG' 44444 244444 4444444 24444444 r r hình chiếu vng góc uuuu r uuur uuuu r uuu r r ⇒ AA ' + BB' = 3GG' CC = uuuu r uuur uuuu r ⇒ AA ' + BB' = GG' ( 1) ) ( A ,B,G 0 uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur Vì AA ' , BB' hai vectơ hướng nên AA ' + BB' = AA ' + BB' uuuu r uuur ( 1) ⇒ GG' = AA ' + BB' ⇒ 3GG' = AA '+ BB' ⇒ 3( h + c) = a + c + b + c ⇒ h = ( a + b − c) Xét phép vị tự tâm A tỉ số gọi A 1,B1 ảnh A ’,B , ta có : uuuur uuuu r uuuu r uuu r AA = AA ' , AB1 = AB ⇒ A 1,B1,M , N thẳng hàng 2 D Tương tự gọi ảnh D qua phép vị tự ta có B1,D1P,Q thẳng hàng A 1,D1,R,S thẳng hàng biến mặt phẳng ( A ’BD ) thành mặt phẳng qua điểm M ,N ,P,Q,R,S , từ suy đpcm Bi Vậy phép vị tự tâm A , tỉ số 223 S K A D D E A H H B M C B M C Nối AH , SH ⊥ DM nên theo định lí ba đường vng góc, ta có A H  ⊥ DM Trong mặt phẳng ( ABCD ) , ·A HD = 900 , suy H thuộc đường tròn ( C ) đường kính AD Mặt khác Khi M ≡ B H ≡ E giao điểm thứ hai ( C ) với BD Khi M ≡  C H ≡ D Khi M di động cạnh BC H di động cung nhỏ DE đường tròn ( C ) chứa góc BDC Vậy tập hợp điểm H cung nhỏ DE đường tròn ( C ) chứa góc BDC Lại có K điểm đối xứng H qua điểm D , suy tập hợp điểm K ảnh cung nhỏ DE nói qua phép đối xứng tâm D 224 y N B x' I N' A t E M x uuu r Tia By ảnh tia Ax’ qua phép tịnh tiến AB By song song chiều với tia Ax’ Từ N dựng đường thẳng song song với AB cắt tia Ax’ N ’ , tứ giác ABNN ’ hình bình hành , suy AN ’ = BN Lại có BN = AM , AM = AN ’ , suy tam giác AMN ’ cân A Gọi E trung điểm MN ’ E thuộc tia phân giác At góc ·x'Ax Vậy tập hợp điểm E tia At uu r uuuur uuu r Vì EI đường trung bình tam giác MNN ’ nên EI = N 'N = AB I 2 u u u r ảnh E qua phép tịnh tiến AB r uuu Suy tập hợp điểm I ảnh tia At qua phép tịnh tiến AB 225 S K B' I L G C' A A' C P J M N Q B 1.Cách dựng điêm A ’,B’,C’ Gọi N giao điểm MA với BC,P giao điểm MB với AC , Q giao điểm MC với AB Ta có ba điểm S,A ’,N ba điểm chung mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng α xác định hai đường thẳng song song SA ,A ’M nên chúng thẳng hàng, từ suy cách dựng A ’ sau • Dựng N giao điểm MA với BC • Dựng A ’ giao điểm SN đường thẳng qua M song song với SA Tương tự B’ giao điểm SP đường thẳng qua M song song với SB ; C’ giao điểm SQ đường thẳng qua M song song với SC 2.Tập hợp điêm G MB' P SB ⇒ ( MB'C') P ( SBC ) Ta có:  MC' P SC ( A 'B'C') ∩ ( MB'C') = B'C' Mặt khác  A ' ∈ ( A 'B'C') ∩ ( SBC ) Do giao tuyến mặt phẳng ( A ’B’C’) mặt phẳng ( SBC ) đường thẳng qua A ’ , song song với đường thẳng B’C’ cắt SB,SC J K Giao tuyến mp ( A ’B’C’) với mặt phẳng ( SAB) đường thẳng JC’ P A ’B’ cắt SA I Giao tuyến mp ( A ’B’C’) với mặt phẳng ( SCA ) đường thẳng KI P A ’C’ 226 Tứ giác A ’KB’C’ có A ’K P B’C’, KB’ P A ’C’ nên hình bình hành hai đường chéo C’K A ’B’ cắt trung điểm K chúng Từ suy trọng tâm G tam giác A ’B’C’ thuộc C’K Chứng minh tương tự G thuộc B’J Ba điểm S,G,M ba điểm chung hai mặt phẳng ( SBP ) ( SCQ ) nên chúng thẳng hàng GM GC' SG = = ⇒ = Vì MC’ P SC nên ta có: GS GK SM Suy G ảnh M qua phép vị tự tâm S , tỉ số , tập hợp điểm M miền tam giác ABC nên tập hợp điểm G miền tam giác A 1B1C1 ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm S , tỉ số Bi O trọng tâm tứ diện ABCD , tức điểm thỏa hệ thức : uuur uuu r uuur uuur ur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r OA + OB + OC + OD = O Khi đó, ta có MA + MB + MC + MD = 4MO Lại có uuuu r uuur uuur uuur uuuu r MA + MB + MC + MD = 2MN (giả thiết), suy uuuu r uuuu r MN = 2MO Điều chứng tỏ N điểm đối xứng M qua O , tập hợp M mặt phẳng ( P ) nên tập hợp N mặt phẳng ( P’) đối xứng ( P ) qua O Gọi K hình chiếu vng góc S lên MB Vì  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ ( MBC ) ⊥ ( SAB)   BC ⊥ AB ( MBC ) ∩ ( SAB) = MB, ( MBC ) ⊥ ( SAB) ⇒ SK ⊥ ( MBC ) ⇒ K = hcM / ( MBC )  SK ⊂ ( SAB) ,SK ⊥ MB Trong mặt phẳng ( SA B) , ·SKB = 900 , suy K thuộc đường tròn ( C ) đường kính SB chứa mặt phẳng ( SAB) Mặt khác M di động cạnh SA nên K di động cung nhỏ SA đường tròn ( C ) , gọi cung ( L ) Suy tập hợp K cung ( L ) Qua phép đối xứng trục SA : S → S , K → H ∈ ( P ) , SK → SH SK ⊥ ( MBC ) , ( P ) ảnh mặt phẳng ( MBC ) qua phép đối xứng trục SA nên SH ⊥ ( P ) tức H hình chiếu vng góc S lên ( P ) Lại có tập hợp điểm K cung ( L ) , suy tập hợp điểm H ảnh ( L ) qua phép đối xứng trục SA 227 Gọi I giao điểm DM CN , dễ thấy I điểm chung hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) nên I thuộc giao tuyến d hai mặt phẳng ( d đường thẳng qua S song song với A D,BC ) Mặt khác M di động cạnh SA nên I di động tia Sx nằm uuur d chiều với DA Vậy tập hợp điểm I tia Sx Phép đối xứng qua mặt phẳng ( SCD ) biến :  D → D ,M → M '  DM → DM ' ⇒ → I = DM ∩ CN → E = DM '∩ CN '  C → C ,N → N ' CN → CN ' Suy tập hợp E ảnh tia SX qua phép đối xứng qua mặt phẳng ( SCD ) a.Tập hợp điểm M ’ Dựng đường thẳng qua A ’ song song với OO’ , cắt d1 K Vì MM ’ P OO’ nên MM ’ P A ’K , lại có M ∈ AA ’  MM ’ chứa mặt phẳng ( AA ’K ) M ’ uuuur uuuu r uuuur uuuuu r thuộc AK , mặt khác MA ' = kMA nên ta có: M 'K = kM 'A Mặt phẳng ( AA ’K ) song song với mặt phẳng ( P ) ( chứa hai đường thẳng cắt A ’K ,AA ’ song song với ( P ) ) Do mặt phẳng ( Q ) cắt hai mặt phẳng theo hai giao tuyến song song : AK P Ox Trong góc ( d,d1) , đường thẳng AK song song với đường thẳng cố định Ox điểm M ’ chia đoạn AK theo ti số không đổi Vậy tập hợp điểm M   đường thẳng ( D ) vẽ từ O qua vị trí đặc biệt M ’ b.Tập hợp điểm M Ta có uuuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r MA ' = kMA MA + AA ' = kMA uuuu r uuuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuuu r uuuuu r ⇒  uuuuu r uuur uuuuu r ⇒ MA − M 'A + AA ' − AK = k MA − M 'A  uuuur M 'K = kM 'A M 'A + AK = kM 'A uuuuu r uuuu r uuuuu r uuuuu r uuuur uuuuur r r uuuu uuuu ⇒ MM ' + KA ' = kMM ' ⇒ ( 1− k ) MM ' = A 'K ⇒ M 'M = KA ' = OO' 1− k 1− k uuuu r uuuu r r uuuu doKA ' = OO' Vậy M ảnh M ’ qua phép tịnh tiến OO' Suy tập 1− k r uuuu OO' hợp điểm M ảnh đường thẳng ( D ) qua phép tịnh tiến 1− k a.Tập hợp điểm A ’,B’,C’ Gọi A 1,B1,C1 hình chiếu vng góc A ,B,C ( P ) Khi ( ( ) AA 1,BB1,CC1 theo giả thiết AA ’ P BB’ P CC’ nên ba mặt phẳng ( AA 1A ’) ,( BB1B’) ,( CC1C’) song song với nhau, chúng cắt mặt phẳng ( P ) theo ba giao tuyến song song A 1A ’,B1B’,C1C’ Từ suy ba tam giác vng AA 1A ’,BB1B’,CC1C’ đồng dạng Ta có: 228 ) AA ' BB' CC' AA '+ BB'+ CC' = = = AA BB1 CC1 AA + BB1 + CC1 Vì ba điểm A ,B,C cố định nên AA 1,BB1,CC1 ba đoạn thẳng có độ dài khơng đổi Đặt AA + BB1 + CC1 = h ( h > k ) Lại có AA ’ + BB’ + CC’ = k  h h h Suy AA ' = AA , BB' = BB1 , CC' = CC1 k k k Trong tam giác vuông AA 1A ’ ,  k2  k2 A 1A ' = AA '2 − AA 12 = AA 12  − 1÷ = AA −1  h2 ÷ h2   Tương tự B1B' = BB1 k2 k2 −1 h2 h2 Vậy tập hợp điểm A ’,B’,C’ đường tròn tâm A 1,B1,C1 ; bán k2 − , C1C' = CC1 k2 k2 − chứa mặt phẳng ( P ) h2 h2 h2 b.Tập hợp trọng tâm G’ Gọi M ,M ’ theo thứ tự trung điểm BC B’C’ MM ’ P BB’ P CC’ MM ’ P AA ’ Trong mặt phẳng xác định hai đường thẳng song song AA ’,MM ’ , hai đường thẳng AM A ’M ’ cắt I Khi I giao điểm AM với ( P ) nên I cố định Gọi G trọng tâm tam giác ABC , ta kính AA − , BB1 − , CC1 có : uuu r uuu r GM G'M ' IG' IG = = ⇒ GG' P AA ' ⇒ = = t (hằng số) ⇒ IG' = t.IA ' GA G'A ' IA ' IA Suy G’ ảnh A ’ qua phép vị tự tâm I , tỉ số t k2 Vì tập hợp điểm A ’ đường tròn ( a) tâm A , bán kính AA − chứa h2 ( P ) nên tập hợp điểm G’ đường tròn ảnh đường tròn ( a) qua phép vị tự tâm I , tỉ số t Vấn đề PHN CHIA – LẮP GHP CC KHỐI ĐA DIỆN CHỨNG MINH HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU, CC BI TỐN VỀ ĐA DIỆN ĐỀU Bi 1 Ta phân chia khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' thành ba khối tứ diện C ' ABC, ABA ' C ', BA ' B ' C ' 229 Khối lăng trụ chia thành khối tứ diện Chia khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' thành khối tứ diện A ' ABD, BA ' B ' C ', C ' BCD, DA ' C ' D ', A ' C ' BD 230 Vì AB CD chéo nên tồn cặp mặt phẳng (α ), (β ) thỏa mãn  AB ⊂ (α ) / /CD  CD ⊂ (β ) / / AB 231 Tương tự tồn cặp mặt phẳng (P ), (Q) qua hai đường thẳng AC, BD song song với đường lại (R ), (γ ) qua hai đường thẳng AD, BC song song với đường lại mặt phẳng cắt tạo thành khối hộp Từ ta có đpcm Gọi O tâm hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' ÑO phép đối xứng tâm O : ĐO : A ' → C A → C' B → D' D → B' Do ĐO biến tứ diện A ' ABD thành CC ' D ' B ' nên chúng ( ) Xét phép đối xứng qua mặt phẳng SAA ' biến điểm S, A, B, A ' lần ( ) lượt thành điểm S, A,C , A ' phép đối xứng qua mặt phẳng SCC ' 232 biến điểm S, A,C , A ' thành điểm S, B,C , B ' Như vậy, qua hai phép đối xứng trên, bốn đỉnh S, A, B, A ' tứ diện SABA ' thành bốn đỉnh S, B,C , B ' tứ diện SBCB ' nên hai tứ diện Bi Tứ giác ABCD hình vng cạnh a, nên tứ giác a A ′B ′C′D′,A ′′B ′′C′′D′′ hình vng cạnh hai mặt phẳng (A ′B ′C′D′) (A ′′B ′′C′′D′′) song song với E Ta có A ′A ′′ //EF nên A ′A ′′ ⊥ (ABCD) ⇒ A ′A ′′ ⊥ (A ′B ′C′D′) C' Tương tự suy cạnh bên D' ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ A A ,B B ,C C ,D D vng góc A' B' D với hai mặt đáy Vậy A ′B ′C′D′.A ′′B ′′C′′D′′ hình hộp chữ O nhật B A D'' C'' a Các cạnh đáy hình hộp có độ dài , B'' A'' cạnh bên hình hộp có độ dài a F Bi (bạn đọc tự vẽ hình) a) Khối lăng trụ ABC.A ′B′C ′ phân chia thành ba khối tứ diện là: ABCA′; BCA ′B′; CA ′B′C ′ b) Khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ phân chia thành khối chóp tam giác C.A ′B ′C ′ khối chóp tứ giác C.A ′B ′AB (Bạn đọc tự vẽ hình) Khối lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' thành năm khối tứ diện: ABDA ', CBDC ', B ' A ' C ' B, D ' A ' C ' D, BDA ' C ' Từ hình chóp ta dựng hình lập phương HEF G.ABCD Ta thấy hai hình chóp F ABCD F ABEH đối xứng qua mặt phẳng ( ABF ) , hai hình chóp F ABCD F AH GD đối xứng qua mặt phẳng 233 C ( ADF ) Do ba hình chóp F ABCD , F ABEH , F AH GD Như hình lập phương H EF G.ABCD chia thành ba khối chóp F ABCD Từ suy ghép ba hình chóp hình chóp F ABCD để hình lập phương a) Gọi O tâm hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' , phép đối xứng tam O biến điểm A, A ', B ', C ', D ' thành điểm C ', C, D, A, B nên phép đối xứng qua tâm O biến hình chóp A.A ' B ' C ' D ' thành hình chóp C '.ABCD hai hình chóp A.A ' B ' C ' D ' C '.ABCD b) Xét phép đối xứng qua mặt phẳng ( ADC ' B ') điểm A, B, C, A ', B ', C ' biến thành điểm A, A ', D ', B, B ', C ' nên biến lăng trụ ABC.A ' B ' C ' thành lăng trụ AA ' D '.BB ' C ' nên hai lăng trụ Xét tứ diện ABCD Gọi M,N hai điểm thuộc cạnh AB cho M nằm A N Gọi E,F hai điểm thuộc cạnh CD cho E nằm C F Khi mặt phẳng (ABE ),(ABF ),(CDN ),(CDM ) phân chia khối tứ diện ABCD thành khối tứ diện Bi Tứ giác ABCD hình vng cạnh a Do tứ giác A ' B ' C ' D ' A " B " C " D " hình vng cạnh a ( A ' B ' C ' D ') / / ( A " B " C " D ") Mặt khác A ' A "/ / EF ⇒ A ' A " ⊥ ( A ' B ' C ' D ') Tương tự ta có B ' B ", C ' C ", D ' D '' song song với EF Từ suy A ' B ' C ' D '.A " B " C " D " hình hộp chữ nhật 234 a) Gọi Q, M trung điểm CD, CB ; G1, G2, G3, G4 trọng tâm mặt ( ABC ) , ( ACD ) , ( ABC ) ( BCD ) 2a a = Gọi a cạnh tứ diện, ta có : G1G2 = MQ = 32 a Tương tự G1G4 = G1G3 = G2G3 = G2G4 = G3G4 = a Từ suy G1G2G3G4 tứ diện cạnh b) Gọi N , P , R, S trung điểm cạnh AD, AB, AC, BD a Ta có: QM = QN = QS = QR = PM = PN = PS = PR = Vậy MRNSQP hình bát diện 235 a) Vì AE = AF = BE = BF = CE = CF = DE = DF nên A, B, C, D nằm mặt phẳng trung trực EF b) Vì ( ABCD ) mặt phẳng trung trực EF nên EF ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( ECF A ) ⊥ ( ABCD ) ( Vì EF ⊂ ( CEAF ) ) Xét khối bát diện ABCDEF cạnh a Gọi O, M , N , P , Q, M ', N ', P ', Q ' lần tâm mặt ABCD, EAD, EAB, EBC , ECD, F AD, F AB, F BC, F CD Ta chứng minh AC, BD, EF đơi vng góc O Ta có MM '/ / EF MM ' = EF = a = 2a , tương tự 3 NN ', PP ', QQ ' song song với E 2a Vậy MNPQ.M ' N ' P ' Q ' hình hộp Mặt khác MN , MQ, MM ' song song với BD, AC, EF nên chúng đơi vng góc, lại có MN = BD = a MNPQ.M ' N ' P ' Q ' 3 hình lập phương Xét hình lập phương cạnh a Gọi M , N , P , Q, E , F tâm mặt ABB ' A ', ADD ' A ', DCC ' D ', BCC ' B ', ABCD, A ' B ' C ' D ' Ta có EM = EN = EP = EQ = a 2 FM = FN = FP = FQ = 236 a Vậy MNPQEF bát diện cạnh a Ghép hai khối tứ diện (một mặt tứ diện ghép vào mặt tứ diện kia, hai đỉnh không thuộc hai mặt nằm khác phía so với mặt phẳng ghép) ta khối đa diện có mặt tam giác Cứ làm vậy, ghép n − khối tứ diện ta khối đa diện có 2n mặt Do tồn khối đa diện có 20 mặt tam giác khối hai mươi mặt Bi a) Gọi Q,M trung điểm CD,CB ; G1,G2 ,G3,G4 trọng tâm mặt ( ABC ) , ( ACD ) , ( ABD ) ( BCD ) Gọi a cạnh tứ diện, ta có 2a a G1G2 = MQ = = 32 a Tương tự G1G4 = G1G3 = G2G3 = G2G4 = G3G4 = A a nên G1G2G3G4 tứ diện cạnh N P b) Gọi N,P,R,S trung R điểm cạnh AD,AB,AC,BD G G Theo tính chất đường trung bình, ta D có B S a M QM = QN = QS = QR = PM = PN = PS = PR = Q C Vậy MRNSQP hình bát diện Xét khối bát diện ABCDEF cạnh a O,M,N,P,Q,M ′,N ′,P ′,Q′ Gọi lần tâm mặt ABCD,EAD,EAB,EBC,ECD,FAD,FAB,FBC,FCD E Vì đỉnh A,B,C,D cách E,F nên thuộc mặt phẳng, ABCD hình thoi Mà E cách A,B,C,D nên ABCD hình vng, Q đơi vng góc O Ta có AC,BD đơi vng góc Từ AC,BD,EF M2a MM ′ //EF MM ′ = EF = D 3 P N Tương tự NN ′,PP ′,QQ′ song song O với E Q' A B M' C 2a P' N' 237 F Vậy MNPQ.M ′N ′P ′Q′ hình hộp Mặt khác MN,MQ,MM ′ song song với BD,AC,EF nên chúng đôi a vng góc, lại có MN = BD = MNPQ.M ′N ′P ′Q′ hình lập 3 phương 238