Chun đề: Phương trình vơ tỉ GV : Cù Đức Hồ PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Giải phương trình sau: 1) x2  4x  x  2) x  2x    x 3)  x  3 x  x  4) 3x  x  x  5) x  x    x 0 6) 7) 3x  3x  5 8)  1 x   x 9) 10) 13) 11) 14) 16) x   x  3 x  11 x    x  2x  y  14  12  y 0 18) x  3x   x  x   x  x  20) x2   17) x   x   x  0 x   x   x  0 12) 15) x   x  3 x x 1 x  x x    x   2x 3x2  6x  16 x2  2x 2 x2  2x  21) x  2 3x  x   x  19) x 1  x   3x  x   x  x  1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng Bài Giải phương trình sau: 1) ( x  1)( x  4) 5 x  x  28 ) A.B  A.B  C 0 7) 2) x  10 x  7  x  x  x  3  3x  22  x  3x  3) x( x  5) 23 x  x   5)  (4  x)(  x)  x  x  12 6) (4  x)(6  x) x  x  12 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1  x)(3  x) 2 x  x   m b)  x  x    x  x  1 m  4) x  x  2 x  x  Bài Cho phương trình:  x  x  (3  x)( x  1) m  a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x1 Bài Cho phương trình: (x  3)(x  1)  4(x  3) m (Đ3) x a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm?   Dạng 2: Các phương trình có dạng: A  B  A  B  C 0 Bài Giải phương trình sau: x  x2  x  1 x a) (QGHN-HVNH’00)  b) x   x  3 x  2 x  x  - x 4 x c) (AN’01) x   x   49 x  x  42 181  14 x d)  x  x2  16 2 x   2 x   (Đ36) e) x  g) (TN- KA, B ‘01) x  2x 2x x x h) z   z   ( z  1)( z  3) 4  z i) x   x  4 x   3x  x  (KTQS‘01)  x   x  1  x   x  a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình:  x   x    x   x  m (Đ59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x    x  ( x  1)(3  x) m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a để PT sau có nghiệm:  x   x    x   x  a Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ĐK cần đủ) http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Chun đề: Phương trình vơ tỉ b) Tìm a để phương trình cho vơ nghiệm? Dạng 3: Một số dạng khác  1) 9 x  1  3x    3x   4) 10 x  3 x  x  x  2) x  x    5) 35 12 x  x2 1 x   x  x  2 x 3) 6) x   x  3x  6x  x 12 x 12 x  24 0 x x 3x 1 x  x 3x     1 2 1 x 1 x x2  1 x 1 x 4x x x 1 2 x  10) 11)  3 (Đ141) x 1 x   2x Dạng 4: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu 1)  x  1 x  2 x  x  2) 21  x  x  x   x  x  3) x2  x  12 x  36 7) x   8)  4) 1 x  2x2  4x2   7) 2x  x  x  5)  x  x   x   x 6) sin x  sin x  sin x  cos x 1   1 2 x y  cos x  y   13  cos  x  y  8) 3 x  x sin 1  x  0   x x 2x  PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1) 2) 3) 4) 8) x  x  15 3 x   x   x2  7x  5) 4 x (ĐHDL ĐĐ’01)  x  1  3n  x  1  2n x  0 (với n  N; n  2) x2 6)  x  2 x  1  x  4   x  6 x  1  x  x2  x   x    x 1 x  10 x  21 3 x   x   n 7) x  x    x  1 x  x  x 0 (1) (HVKT QS - 2001) PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC (ĐHSPHN2’00) x( x  1)  x ( x  2)  x 2 x  2002 x  2001  x  2003x  2002  x  2004 x  2003 x( x  1)  x( x  2) 2 x( x  3) x( x  1)  x ( x  2)  x( x  3) 8) x  3x   x  x   x  x  4 x( x   x( x  2)  x x  x   x  x  2 x  x  x  3x   x  x   x  x  (Đ8) (BKHN- 2001) PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x2  4x   x2 x  x x  x2 x  x x2  10x  50 5 x   x   x   x  1 x 3 x   2x   x   x  x  1  x x  15  x   x   x  1 x  x  2 (HVCNBC’01) x   x  x  2 Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ24) x  2 x   x   Chuyên đề: Phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Giải phương trình sau: 1) x( x  1)  x( x  2) 2 x( x  3) 4) 21  x  21  x 21  x 21  x  21  x 5) x( x  2)  x 2) x( x  1)  7 x  x 6  x 7 x 3 x  6) 3) 2x   2x  x x2  3x   x2  4x  2 x2  5x  7) 2x2   x2  3x   2x2  2x   x2  x  8) x  x   x   x  x   x  3x  9) x  2003 x  2002  x  2004 x  2003 2 x  2005 x  2004 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: 1) x  x   x  10 x  14 4  x  x 2) 3) x  x  11  x  x  13  x  x  3  5) x  x  12 3  8)  x   x  x  12 x  13  2x  2x   2x  2x 10) x  x   x  x   3x  x 6) x  x  15  x  x  18 x  x  11 4) x  x  3,5   x  x  2 x  x  5 x  x   x  2 7) 9) 11) 2(  x  x )   x  x x    x x  x  11 x   10  x  x  12 x  52 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ11) Chuyên đề: Phương trình vô tỉ 1)  x 1  x GV : Cù Đức Hoà 25) (ĐHTCKTHN - 2001) 2) 1  cos2x   cos2x 1 2 26)  x  x2  10 8sin2 x  8cos2 x  1 x  x   x  x 127) 17 x  17 x 2  x  x2  3) (ĐHDL HP’01) 4) 5) 5 x  x   (DL Hùng vương- 2001) 28) x     x (CĐ mẫu giáo TW1- 2001) 29) x2  3x   x2  3x  x23 x   x2  8x  5 6) x  34  x  1 30) (Đ12) x  x   x2  x   7) x  97  x 5 8) 14 x  12 x 2 (Đ142) 9) 31) 2 3 ( x  8)  ( x  8)  x  64 4 x3 x  35 x3 30 x3 35 32) 10)   2 x  17  x  x 17  x 9 3x  5x   3x  5x  1 33) 1   11) 2x2  5x   2x2  5x  1  x2 x 34) 12) 47 2x  35 2x 4  x   x 2 65 1 13) x  3 x  1 14)  x   x 1 2 15)  tgx  tgx3 16) 24 x  12 x 6 17)  34 x 3 x    x  1 34 x 30 34 x  x  18) 1 1 x2  1 x  1 x  2 1 x2 19)  x  x2   x  x2 3 20)  3x  1   3x  1  x  1 21)   x    x    x  x 3 22) x  x    x  x  2 x   23) sin2 x  cos2 x 3 24) sinx   sin2 x  sinx  sin2 x 3 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cï Đức Hoà Tổ : Toán - Lý Dng 2: a phương trình cho hệ đối xứng loại hai 1) x  23 x  2) x3  33 3x  3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4) x   x  5)  x2    x 6) x   x 5 7)   x  x 4x  , x  (ĐHAN-D) 9)  28 11) x2   x 5 12) x3  33 3x  2 8) 7x2  7x  10)  x x x   x  3  13) x2  1 x 1 14)   x x PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM Các bước:  Tìm tập xác định phương trình  Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) biểu thức  Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính đồng biến(nbiến) hàm số để kết luận nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: x   x   x  0 (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = x 1  x   x  Ta có: f ' ( x)  (2 x  1)  (2 x  2)    (2 x  3) Suy hàm số f(x) đồng biến tập M=   ,  0; x  , 1, 2 1    3       , 1    1,     , 2    2   Ta thấy f(-1)=0  x=-1 nghiệm (1) Ta có: f (  ) 3; f ( )  2 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞  f’(x)  -1   +∞  F(x) +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) =  x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 Bài tập tương tự: Giải phương trỡnh sau: http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý 1)   2 2)  x  1   x  1    3x  x  0 x   x  3 x   x Từ 2, ta có tập 3)   x  1 2000   x  1  1999   x2000   x  1999 0 4) x   x  19  y   y  19 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:   m  x   x  2  x   x   x 6) (ĐH.A’08) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  x  24  x   x m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HỐ Ví dụ Giải phương trình sau: x  1  x 3 x  x (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với  t   (A) Khi phương trình (1) trở thành: cos t  1  cos t 3 cos t 2(1  cos t ) (3) Với t  (A), ta có: (3)  cos t  sin t  cos t sin t   cos t  sin t 1  sin t cos t   cos t sin t (4) Đặt X = cost + sint (5), X  (B) X2 = + 2sint.cost  sint.cost = X2  Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X:  X  1 X21   X 1    X  X  X   X  X  3X        X    X  2 X  2 X  0     X  2 X  0   0 X    X     X   Ta thấy có nghiệm X = X = - + thoả mãn điều kiện (B) + Với X = , thay vào (5) ta được: sin t  cos t   Vì t  (A) nên ta có t =        sin t     sin t   1  t    k 2  t   k 2 , k  Z 4  4  4   Thay vào (*) ta được: x = cos = (thoả mãn tập xác định D) 4 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cù Đức Hoà Tổ : Toán - Lý + Với X = - + 1, thay vào (5) ta được:      sin  t       sin  t    4 4   sin t  cos t    (**)  1 Khi đó, ta có:        cos t      sin  t       4      2 1 3 2 21      2   21   cos t    4   cos t cos   21  cos t  sin t    2   cos t  sin t  2  1(6)  sin t.sin    4 2 Từ (**) (6) suy cost = 1  2   Thay vào (5), ta x =   1 2  thoả mãn tập xác định D Nhưng có nghiệm x =  Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = x =  1 2x 1 x2 1 2x2 1 1 x2  1 x  1 2  1) x  x   x (HVQHQT- 2001)2) x  1  x 3  x 21  x  Bài tập tương tự 3)  1 x 4)  2  1 x2 Một số tập tham khảo: Giải phương trình sau: x  x 1)  x 5  x  8) 2x  2) 25  x  x  9) 3x   x  1 5x   3x   1  2  15)  x   x    x 16) x  0 3)  2x  x x  10) 11  x  17) 1 x  x x  4) x   x2  11)  x   16  x 18) 2 x   13  x 6) x  2x    x 13) x 5  20) x  2 x  14  x  12  x   x 4 7) x  x   x  14)  x  x   x   x 21) x   x  3 x  Giải phương trình sau: 1) x   x  x  12  x 9) x  ( x  1)(2  x) 1 x http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com Cù Đức Hoà Tổ : To¸n - Lý 2) ( x  5)(2  x) 3 x  x 10) x  x   x  x   3x  3x  13 3) x  x  x  7 x  11) (4 x  1) x  2( x  x)  4) ( x  1)( x  4)  x  x  6 12) x  x  ( x  3) x  x    x 3  ( x  3)(6  x) 5) 13) 2( x  1) x  2 x  x  6)  x  x 3( x   x ) 14) 7) 15) x   x   16 3x  2 x  x  x  3x   x  x  3 x   x  x  x   3x  3x  19 Giải phương trình sau: (ẩn phụ  hệ) 2) 2  x  x   x  x 1 3) 1) x 3  x  4) x   10  x 5 3x  x  15  3x  x  7 Giải phương trình sau (Đánh giá) 3) x    x  x  x  18 2) 1) x  x   x  2  x  23  x 3 x  x   x   x 4 Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x    x  ( x  1)(3  x) m 2) 4) x    x a ( x  2)(4  x)  x 2 x  m Tìm m để phương trình có nghiệm 1)  x  x  m 4) x   x m 4) 2) x   x m 5)  x  23  x  m 3) x   x    x   x m 6) x  x   x   x m Giải phương trình, hệ phương trình: a)  x  x   x  12 x  38 b)  x  x  3 x  12 x  14 c) x  x  2004 2004  x   y 1  x   y 4 2x 1 d)  e)  f)   2  x  y 7 1 x 2x  x  y  1 http://violet.vn/DucHoac3vc duchoa_7804@yahoo.com ... x   x   x  1 x  x  2 (HVCNBC’01) x   x  x  2 Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ24) x  2 x   x   Chuyên đề: Phương trình vơ tỉ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN... Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV Trường THPT Trung Giã (Đ11) Chun đề: Phương trình vơ tỉ 1)  x 1  x GV : Cù Đức Hoà 25) (ĐHTCKTHN - 2001)